Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza. Lezione 7. Il modello a shell

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 7 Il modello a shell

2 Modello a shell Le informazioni ottenute sul potenziale di interazione nucleone-nucleone vengono usate concretamente nel modello a shell: si assumono i nucleoni all interno di un potenziale efficace prodotto dagli altri nucleoni. Definizione dei livelli energetici Spin e momenti magnetici Momento di quadrupolo elettrico Maria Goeppert Mayer J. Hans D. Hensen Nobel 1963 Approccio simile alle strutture a shell degli atomi, ma con significative differenze potenziale a breve range non esiste il potenziale coulombiano del nucleo: i nucleoni producono e subiscono il potenziale interazioni spin-spin e spin-orbita molto più rilevanti 2

3 Numeri magici Uno degli obiettivi del modello a shell è quello di spiegare la presenza di nuclei fortemente stabili (massimi dell energia di legame) in corrispondenza di numeri specifici di neutroni o protoni. Numeri Magici 3

4 2 e 2 2 mec 2 2 me c En = = α 2(n + l)2 4πε 0!c 2(n + l)2 stati degeneri con diverso momento angolare La degenerazione è rimossa quando si considerano perturbazioni al puro potenziale 1/r: presenza di altri elettroni che modificano il potenziale interazione spin-orbita (splitting fine) Energia di legame e dimensione atomica (R decresce all aumentare di Z) presentano transizioni brusche quando si passa al livello successivo 4 Z Energia ionizzazione [ev] Nel modello dell atomo di idrogeno, l energia dipende dalla somma n+l Raggio atomico [nm] Modello a shell atomico

5 Modello a shell atomico 5

6 Potenziale nucleare Il potenziale di base riflette la densità di materia all interno del nucleo: V (r) = V0 1 + exp [ (r R) / a ] V0: profondità della buca R: estensione del nucleo a: dimensione dello strato superficiale Compaionio salti a certi valori di nucleoni: Numeri magici Non sono però corretti: 40, 58, 92, 112 non sono magici mancano 28, 50, 82,126 6

7 Interazione spin-orbita Un nucleone in uno stato con momento orbitale L, vede un momento magnetico: µ L µ N L si può vedere, nel sistema di quiete del nucleone, come il momento generato dal resto del nucleo che orbita attorno al nucleone. Questo interagirà con lo spin del nucleone a dare un termine energetico: U L S Ogni livello si divide in due sottolivelli con momento angolare totale: J = l J = l 1 2 7

8 Interazione tra momenti magnetici Un momento magnetico, immerso in un campo magnetico acquista un energia potenziale: U = µ B A sua volta genera un campo magnetico: B = µ 0 4π 3 ( µ ˆr ) ˆr µ r 3 L interazione tra due dipoli è dunque della forma: U = µ 0 3 µ 1 ˆr 4π ( )( µ 2 ˆr ) µ 1 µ 2 Come ordine di grandezza dell interazione: U µ 2 0 µ N 4π r 3 = MeV/T J/MeV ( m) 3 = J = 3.4keV r 3 ( ) 2 8 per elettroni atomici: ( ) 2 U µ 2 0 µ B 4π r 3 = MeV/T J/MeV ( m) 3 = J= ev

9 Interazione spin-orbita Risulta energeticamente favorevole l allinenamento di spin e momento angolare orbitale. Il valore: L S = 1 2 J2 L 2 S 2 = 1 [ J(J +1) l(l +1) s(s +1) ] 2 La separazione tra i livelli: aumenta all aumentare di L gli splitting dei livelli con L grande giustificano i numeri magici effettivamente osservati. Interazione spin-spin 9 Δ( L S) = J l+s ( J l+s +1) J l s ( J l s +1) = ( l )( l ) ( l 1 2 )( l ) = 2( l ) come abbiamo visto nell interazione nucleone-nucleone ci deve essere anche un termine di accoppiamento spin-spin di due nucleoni: energia di pairing. questo favorisce l anti-allineamento dei due spin, risultando in uno stato con spin totale 0 tutti i nuclei pari-pari hanno stato fondamentale con J=0.

10 Interazione spin-orbita 10

11 La formula di Bethe-Weizsäcker B.E. ( A, Z ) = a 1 A + a 2 A 2 Z a3 A 1 3 Gli ultimi due termini non hanno un analogo classico e vengono introdotti fenomenologicamente. Il quarto termine tiene conto del fatto che i nuclei sono più stabili quando c è simmetria fra protoni e neutroni: N ~ Z descrive la valle di stabilità ( N Z ) 2 + a 4 A a 1 = MeV a 2 = MeV a 3 = MeV a 4 = MeV Principio di esclusione di Pauli: due particelle con s=1/2 non possono avere gli stessi numeri quantici. 7 0n 7 1 H 7 2 He 7 3 Li 7 4 Be 7 5 B 11

12 La formula di Bethe-Weizsäcker B.E. ( A, Z ) = a 1 A + a 2 A 2 Z a3 A 1 3 ( N Z ) 2 + a 4 A ± a 5 A 3 4 Il quinto termine tiene conto del pairing degli spin è nullo per A dispari è negativo quando N e Z sono pari (nuclei pari-pari) è positivo quando N e Z sono dispari (nuclei dispari dispari) a 1 = MeV a 2 = MeV a 3 = MeV a 4 = MeV a 5 = 33.6 MeV Preferito Sfavorito Eccezione sono i nuclei leggeri H 3Li 5B 7N 12

13 Momento di dipolo magnetico Nei nuclei con A-dispari, spin e momento magnetico sono determinati dal nucleone spaiato Ripetendo il discorso fatto per il deutone: Per determinare il coefficiente giromagnetico, si può moltiplicare per J/ħ: 13 j=l+1/2 j=l-1/2 µ = gµ N J = g l µ N L + g s µ N S gj 2 = g l (L J) + g s (S J) g l l(l +1) g = j( j +1) g l(l 2 + L S) + g s (S 2 + S L) 1 [ j( j +1) l(l +1) s(s +1)] 2 = j( j +1) +g s s(s +1) + 1 [ j( j +1) l(l +1) s(s +1)] 2 1 = 2 j( j +1) g l j( j +1) + l(l +1) g s j( j +1) l(l +1) g = g l j g s j( j + 3 / 2) g = g l 1 j +1 2 j j +1 g s µ = gjµ N

14 Eccitazioni collettive Per nuclei grandi il modello a shell riduce il suo valore predittivo. Eccitazioni dei nucleoni più esterni possono trasferirsi agli orbitali meno legati ed eccitare movimenti degli altri nucleoni. Moti collettivi dei nucleoni. Modi vibrazionali: E=(n+1/2)ħω ΔE=ħω Modi rotazionali E=L2/2I ΔE=[l(l+1)-(l-1)l]ħ2/2I=lħ2/I 14