Elementi di Informatica e Programmazione

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1 Università degli Studi di Brescia Elementi di Informatica e Programmazione Rappresentazione dell'informazione Docente: Marco Sechi E mail: marco.sechi@unibs.it Vers. 16/08/2017 Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Industriale Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Industriale Corso di laurea: Ingegneria Gestionale Elementi di informatica e programmazione

2 Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Industriale Corso di laurea: Ingegneria Gestionale 2 ESERCIZIO 1 - CONVERSIONE DA BASE 10 A BASE N Convertire i seguenti numeri in base 10 nelle basi specificate. (345)10 in base 2 (417)10 in base 7 (6666)10 in base 16 (111)10 in base 2 (345)10 in base 8 (615)10 in base 9 (4596)10 in base 4 (656)10 in base 5 (345) 10 in base 16 (426)10 in base 2 (687)10 in base 16 (811)10 in base 16 (989) 10 in base 5 (1042)10 in base 11 (595)10 in base 5 (1101)10 in base 8 Metodo: Si effettuano divisioni successive per la base N del numero X 10 dato in base 10. I resti delle singole divisioni, presi in ordine rovesciato, rappresentano le cifre che compongono la rappresentazione del numero in base N. reperibile al seguente indirizzo: v2.htm. Inoltre nella risoluzione degli esercizi possono essere utili le seguenti rappresentazioni di riferimento. Esercizio d'esempio: convertire in base 2, 5 e = ( ) = (6D) = (414) 5

3 Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Industriale Corso di laurea: Ingegneria Gestionale 3 ESERCIZIO 2 - CONVERSIONE DA BASE N A BASE 10 Convertire i seguenti numeri dalle basi specificate alla base 10. ( ) 2 (5778) 9 (10010) 8 (94598) 11 (477) 8 (126) 9 (2EA) 16 (889) 12 (40F) 16 (781) 16 (369F1) 15 (1110) 3 (3074) 5 (3B8) 13 (5669) 11 (1357) 8 Attenzione: alcune conversioni sono impossibili. Motivare! Metodo: Si prende la cifra meno significativa (quella più a destra) C 0 e la si moltiplica per la base N elevata alla potenza corrispondente alla sua posizione ovvero N 0 (la posizione più a destra è la zero per cui l'esponente è zero!). Si ripete l'operazione sulle cifre a sinistra fino ad arrivare alla cifra più significativa (quella più a sinistra) C n 1 che verrà moltiplicata per N n 1. La soluzione è la somma dei valori ottenuti. Attenzione nel test all'appello d'esame basta solo scrivere la somma di potenze! reperibile al seguente indirizzo: v2.htm. Inoltre nella risoluzione degli esercizi possono essere utili le seguenti rappresentazioni di riferimento. Esercizi d'esempio: convertire ( ) 2, (414) 5 e (6D) 16 in base 10. Partendo da destra, la prima cifra avrà come coefficiente N 0, la seconda N 1, la terza N 2 e così via. 1x64+1x32+1x8+1x4+1x1 6x x25+1x5+4

4 Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Industriale Corso di laurea: Ingegneria Gestionale 4 ESERCIZIO 3 - CONVERSIONE DA BASE N A BASE M Convertire i seguenti numeri dalle base N a quella M. ( ) 2 in base 8 (213) 4 in base 2 (AC29B) 16 in base 8 (1492) 11 in base 15 (101000) 2 in base 16 (821) 9 in base 16 (34772) 8 in base 16 (C14) 15 in base 16 (13277) 8 in base 2 (821) 9 in base 3 (1011) 4 in base 16 (C14) 15 in base 8 (B0E9) 16 in base 2 (321) 4 in base 8 (815) 16 in base 4 (558) 9 in base 12 Le conversioni blu richiedono il doppio passaggio da N a 10 e successivamente da 10 a M. Quelle rosse possono essere convertire da N a 2 e poi da 2 a M Metodo: In generale conviene fare prima la conversione dalla base N alla base 10 (base intermedia) e poi quella dalla base 10 alla base M. Quando invece si passa dalla base 2 alle basi 4, 8 o 16 (e viceversa) la conversione risulta più semplice poiché basta: sostituire ogni cifra in base 4 (0, 1, 2, 3) con la corrispettiva codifica binaria a 2 cifre (00, 01, 10, 11) rimpiazzare ogni cifra ottale (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) con la corrispondente codifica binaria a 3 cifre (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111) cambiare ogni cifra esadecimale (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) con la relativa codifica binaria a 4 cifre (0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111) Qualora la conversione riguardi le basi 4, 8 e 16 si può utilizzare come alternativa alla conversione intermedia in base 10 quella con base 2. reperibile al seguente indirizzo: v2.htm. Inoltre nella risoluzione degli esercizi possono essere utili le seguenti rappresentazioni di riferimento.

5 Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Industriale Corso di laurea: Ingegneria Gestionale 5 Esercizio d'esempio 1: Convertire ( ) 2 in ottale. Partendo da destra (cifra meno significativa) si valutano le cifre binarie a gruppi di 3: Quindi: ( ) 2 = (126) 8 Esercizio d'esempio 2: Convertire (A3D) 16 in binario. Scriviamo le singole cifre esadecimali come numeri binari di 4 cifre: Quindi: (A3D) 16 = ( ) 2 Esercizio d'esempio 3: Convertire (A3D) 16 in base 4. Scriviamo le singole cifre esadecimali come numeri binari di 4 cifre. Separiamo successivamente i digit in gruppi di 2 bit e scriviamo per ogni coppia il numero in base 10 associato Quindi: (A3D) 16 = (220331) 4 Esercizio d'esempio 4: Convertire (214) 7 in base 5. Convertiamo il 214 dalla base 7 alla base 10 utilizzando la somma di potenze di 7 ed otteniamo Successivamente convertiamo il 109 dalla base 10 alla base 5 continuando a dividere per 5 fino a quando il quoziente non diventa 0.

6 Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Industriale Corso di laurea: Ingegneria Gestionale 6 ESERCIZIO 4 - CONVERSIONE NUMERI CON DECIMALI DALLA BASE 10 ALLA BASE N Convertire i seguenti numeri frazionari in base 10 nelle basi 2, 8, 16 (16,625) 10 (20,828125) 10 (11,125) 10 (11,11) 10 (0,03125) 10 (30,99) 10 (1024, ) 10 (1,234) 10 Metodo: si convertono separatamente parte intera e parte frazionaria. Per la parte intera si segue la stessa procedura di conversione vista negli esercizi precedenti. Per la parte frazionaria procedo in questo modo: A) Passo n esimo: moltiplico la parte frazionaria per la base N ottenendo un valore X n = = + B) estraggo da X n la parte intera e la metto da parte ( < N!) C) Se ho raggiunto la precisione richiesta (l'errore dovuto all'arrotondamento con n cifre decimali è minore di B n!) oppure la parte decimale è uguale a zero proseguo con lo step D altrimenti ritorno al punto A per eseguire il passo n+1. D) La sequenza di digit ottenuta estraendo la parte intera dei prodotti X n = è la rappresentazione in base N della parte frazionaria. reperibile al seguente indirizzo: v2.htm. Inoltre nella risoluzione degli esercizi possono essere utili le seguenti rappresentazioni di riferimento. Esercizio d'esempio 1: convertire in binario (6,25) 10. Per la parte intera: (6) 10 = (110) 2 mentre la parte decimale: Esercizio d'esempio 2: convertire in binario (0,3) 10 con una precisione di almeno 0,01. quindi 6,25 10 = 110,01 2 quindi 0,3 10 = 0, (l'errore è minore di 1/100 poiché 2 7 =1/128)

7 Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Industriale Corso di laurea: Ingegneria Gestionale 7 ESERCIZIO 5 - CONVERSIONE NUMERI CON DECIMALI DALLA BASE N ALLA BASE 10 Convertire in base 10 i seguenti numeri frazionari rappresentati nella base indicata: (0, ) 2 (A,A) 16 (0,333) 4 (1,234) 5 (11,10011) 2 (C1,A0) 15 (FF,1F) 16 (1011,0101) 2 Metodo: si convertono separatamente parte intera e parte frazionaria. Per la parte intera si segue la stessa procedura di conversione vista nel secondo esercizio. Per la parte decimale la rappresentazione in base 10 si ottiene sommando le potenze negative della base N dove i rispettivi coefficienti sono le cifre poste dopo la virgola. La prima cifra dopo la virgola è il coefficiente di N 1, la seconda è il coefficiente di N 2 e così via. La soluzione è la somma dei valori ottenuti. reperibile al seguente indirizzo: v2.htm. Inoltre nella risoluzione degli esercizi possono essere utili le seguenti rappresentazioni di riferimento. Esercizio d'esempio 1: convertire in base 10 il seguente valore in notazione binaria 0, ,01101=0*2 1 +1*2 2 +1*2 3 +0*2 4 +1*2 5 =0*0,5+1*0,25+1*0,125+0*0,0625+1*0, =0,25+0,125+0, = 0, Attenzione nel test, all'appello d'esame, basta scrivere la somma di potenze! Esercizio d'esempio 2: convertire il numero periodico 0, in base 9. quindi 0, = 0,1 9 (si osservi che la periodicità può sparire utilizzando una notazione con una base differente. Infatti il numero periodico in base 10 0, = 1/9 = 9 1 non lo è in base 9).

8 Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Industriale Corso di laurea: Ingegneria Gestionale 8 ESERCIZIO 6 - CONVERSIONE FLOATING POINT Indicare il bit di segno, la mantissa e l'esponente relativamente ai seguenti numeri decimali. Esponente eccesso-k Esponente complemento a 2 12,25 0,012 1, ,625-1, ,01 La notazione Floating Point richiesta è a 10 bit dove 1bit è relativo al segno, 6 bit per la 9 mantissa e 3 per l'esponente: S esponente mantissa 1 bit 3 bit 6 bit Metodo: Se il numero è negativo il bit di segno è 1 altrimenti 0. Successivamente si converte la parte intera sfruttando il metodo presentato nell'esercizio 1 (con base N=2) mentre per la parte decimale si utilizza il metodo utilizzato nell'esercizio 4 (con base N=2). Si uniscono i bit ottenuti con le 2 rappresentazioni e si normalizza eliminando l'hidden bit se l'esponente non è il minimo valore rappresentabile. Si converte l'esponente in Eccesso K oppure in complemento a 2 come richiesto. reperibile al seguente indirizzo: v2.htm Inoltre nella risoluzione degli esercizi possono essere utili le seguenti rappresentazioni di riferimento Bin Esercizio d'esempio 1: Convertire 7,75 in notazione Floating Point. segno = 1; Parte intera: 7 in binario è 111 (7:2 Q 1 =3 R 1 =1; Q 1 :2 Q 2 =1 R 2 =1; Q 2 :2 Q 3 =0 R 3 =1 R 3 R 2 R 1 ) Parte decimale: 0,75 in binario è 0,11 (F 0 =0,75 0,75*2 = I 1 =1 F 1 =0,5 0,5* 2 = I 2 =1 F 2 =0 I 1 I 2 ) Mantissa: Unisco le due rappresentazioni 111,11 normalizzo 1,1111x2 2 elimino l'hidden bit e costruisco la mantissa su 6 bit ; Esponente = 2 Se uso l'eccesso K avendo a disposizione 3 bit per l'esponente eccesso 3 ( ) quindi 2+3 = 5 => 101. Se uso il complemento a 2 con 3 bit 2 è positivo quindi 010 La soluzione è quindi (con esponente con eccesso K) o (con esponente in complemento a 2)