Domande di teoria. Chiorri, C. (2014). Fondamenti di psicometria - Risposte e soluzioni Capitolo 3

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1 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo Domade di teoria. Per le caratteristiche geerali vedi paragrafo. p. 79. Per le procedure di calcolo vedi per la moda pp. 79-8, per la mediaa pp. 8-8, per la media pp (dati sigoli) e pp per dati raggruppati i frequeze. Vedi pp Vedi paragrafo.. pp Vedi paragrafo.. p. 95 e Approfodimeto. 5. Vedi paragrafo.. pp e Approfodimeto. 6. Vedi p Vedi pp Vedi pp Vedi pp Deviaza, variaza, deviazioe stadard e coefficiete di variazioe: vedi pp Vedi p. 5. Vedi pp Vedi p. 6. Vedi p Vedi p Vedi pp Vedi pp Vedi p. 8 Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

2 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo Esercizi Esercizio a. Trattadosi di ua scala ad itervalli equivaleti, come idici di tedeza di cetrale possiamo calcolare la moda (che i questo caso però sarebbe poco iformativo, se calcolato sui puteggi grezzi), la mediaa e la media. Per calcolare la mediaa dobbiamo mettere i ordie i valori x, assegare ad ogi valore u rago R (idipedetemete dal fatto che alcui valori siao uguali) e idividuare il valore mediao i base alla sua posizioe: x R La posizioe della mediaa è Posizioe mediaa Il valore i posizioe è il puteggio, che duque costituisce la mediaa della distribuzioe. La media, ivece, viee calcolata come somma di tutti i puteggi diviso il umero di puteggi: M ,0 I questo caso sarebbe stato iappropriato calcolare la media o la mediaa a partire dai dati raggruppati i classi, dato che avevamo a disposizioe i dati grezzi. Gli idici di dispersioe calcolabili su ua scala metrica soo lo scostameto semplice medio (SSM), deviaza (SS), la variaza (s )e la deviazioe stadard (s). Lo scostameto semplice medio è uguale alla somma dei valori assoluti degli scarti dalla media diviso il umero di osservazioi. Per cui, dobbiamo calcolare per ogi puteggio il suo scarto dalla media, elimiare il sego, sommare tutti questi valori e dividere per 5. Questa operazioe può essere fatta valore per valore, oppure, sui dati raggruppati per frequeze. I quest'ultimo caso, si faccia attezioe a calcolare prima lo scostameto semplice, a moltiplicarlo per frequeza del valore x e a sommare i prodotti della frequeza per lo scostameto semplice: Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

3 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo Puteggio x x M,0,0 9,96 5 0,96 0,0 6 8,0,0,0 6,96 0,0 5 0,96 0 5,96 9,96 0,0 5 9,0 8,96 8 6,0 6,96 5 0,96 0,0 6,96 6 8,0 6,96,0 7 7,0 Somma, Puteggio x Frequeza f x M f x M 5 9,0 9,0 6 8,0 6,08 7 7,0 7,0 8 6,0 6,0 0,0 8,08,0,6,0,0 0,0 0,08 5 0,96,9 6,96,96 8,96,96 9,96,96 0 5,96 5,96 6,96 0,88 9,96 9,96 5 0,96 0,96 Somma 5, Lo scostameto semplice medio sarà quidi M i, SSM, 8 5 La deviaza è la somma degli scarti dalla media elevati al quadrato. Ache i questo caso possiamo utilizzare u approccio per sigolo valore o per dati raggruppati i frequeze: Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

4 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo Puteggio x (x M),6 9, 99,0 5 0,9 0,00 6 6,6 9, 9, 6,8 0,00 5 0,9 0 5,5 9,60 0 6, 5 8,7 8 5,68 8 6,8 8, 5 0, 0 6, 8, 6 6,6 8, 9, 7 9,56 Somma 86,960 Puteggio x Frequeza f (x M) f (x M) 5 8,7 8,7 6 6,6 9,8 7 9,56 9,56 8 6,8 6,8 0 6,,6 9, 6,966,6,6 0,00 0,00 5 0,9,8 6,8,8 8 5,68 5,68 9,60,60 0 5,5 5,5 8, 5,5 99,0 99,0 5 0, 0, Somma 5 86,960 La deviaza è quidi uguale a: SS ( x M ) 86, 96 La variaza, ivece, è la deviaza diviso il umero di osservazioi, per cui: s SS, 68 i i Si oti che la variaza avrebbe potuto essere calcolata ache seza calcolare la deviaza co la formula: s i x i i x i i x i M I questo caso avremmo dovuto elevare al quadrato ogi sigolo valore x, sommare i quadrati, dividere per e sottrarre la media elevata al quadrato. La deviazioe stadard o è altro che la radice quadrata della variaza, per cui: Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

5 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 5 s,68 5,7 b. L'aver calcolato media e deviazioe stadard ci permette di stadardizzare i puteggi mediate la formula: z x M s x,0 5,7 Se poi vogliamo trasformare i puteggi z i ua distribuzioe co media 00 e deviazioe stadard 0 (per comodità idichiamo co w questi uovi puti stadard), basta utilizzare la seguete formula: uovo puto stadard w uova deviazioe stadard z + uova media 0 z + 00 Puteggio x z w 5 -,58 68,9 6 -, 7,89 7 -, 75,8 8 -,06 78,88 0-0,7 85,87-0,5 89,7-0,6 9,87-0,0 99,86 5 0,7 0,6 6 0, 06,85 8 0,69,85 9 0,87 7, 0,0 0,8,,,7,8 5,9 8, c. Se u puteggio si trova 0,7 deviazioi stadard sotto alla media, sigifica che il suo puto z è 0,7, per cui occorre trovare quel valore per cui: Basta risolvere l'equazioe per x: 0, 7 x M s x ( 0,7) s + M ( 0,7) 5,7 +,0 0,0 Allo stesso modo idividuiamo quel valore che si trova,8 deviazioi stadard sopra la media: x,8 5,7 +,0, Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

6 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 6 Esercizio a. Per calcolare i cique umeri di sitesi iazitutto dobbiamo ordiare i puteggi e assegare loro u rago: Puteggio Rago Il miimo e il massimo soo facilmete idividuabili ei valori e. Per mediaa, Q e Q occorre prima calcolare la posizioe: ( + ) (0 + ) Posizioe Mediaa 5, 5 ; ( + ) (0 + ) Posizioe Q, 75; ( + ) (0 + ) Posizioe Q 8, 5 La posizioe 5,5 si trova a metà fra la posizioe 5 e la posizioe 6, occupate rispettivamete dai puteggi 6 e 7. La mediaa sarà quidi la semisomma di questi due puteggi, ossia (6+7)/ 6,5. La posizioe di Q (,75) cade fra i puteggi e, che soo i posizioe e, rispettivamete. Per calcolare Q basta moltiplicare la differeza fra e per la parte decimale della posizioe (i questo caso 0,75) e aggiugerlo al puteggio iferiore fra i due cosiderati (i questo caso ): Q ( ) 0,75 +,75 Mediate lo stesso procedimeto idividuiamo il valore di Q, che essedo i posizioe 8,5 cade fra la posizioe 8 e 9, occupate dai valori e, rispettivamete: Q ( ) 0,5 +,50 Poiché l'iformazioe è a livello metrico ha seso calcolare ache la differeza iterquartile Q Q,50,75 7,75. I cique umeri di sitesi soo quidi: Miimo Q,75 Mediaa 6,5 Q,5 Massimo Nel caso delle costati descrittive abbiamo già idividuato miimo e massimo ( e, rispettivamete), metre dobbiamo calcolare media, deviazioe stadard, skewess e curtosi. La media è M 7,0 0 Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

7 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 7 metre la deviazioe stadard la calcoliamo co la formula "abbreviata": s i x i M , 0,8 Per il calcolo della skewess e della curtosi abbiamo bisogo della somma dei quadrati, dei cubi e delle quarte poteze degli scarti dalla media, dato che le formule soo ( M ) ( + ) ( M ) ( M ) ( ) i i i SK KU ( ) ( ) s ( ) ( ) ( ) s A questo puto basta applicare le formule: Puteggio x (x M) (x M) (x M),96 6,66 67,96 0 6,76 7,58 5,70,56 87,50 897,7 7 0,6-0,06 0,0 6,96 -,7,8 5 5,76 -,8,8,56-9,0,6 9,6-85,8 7,8,6 75,6 98,5 0,96-6, 677,7 Somma 7,0,08 57,79 ( M ) i SK ( ) ( ) s ( + ) KU i,08 0 (0 ) (0 ),8 ( M ) ( M ) i ( ) ( ) ( ) s [ 0 (0 + ) 57,79] [ 7,0 (0 ) ], 5 (0 ) (0 ) (0 ),8 Le costati descrittive soo quidi: Miimo Massimo Media 7,0 DS,8 Skewess 0, Curtosi,5 0, ( ) Per rappresetare graficamete i dati utilizziamo u grafico box-ad-whisker. I questo grafico rappresetiamo ua "scatola" il cui margie superiore corrispode a Q e il cui margie iferiore Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

8 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 8 corrispode a Q. All'itero della "scatola" segeremo co u tratto più spesso la mediaa e aggiugeremo dei "baffi" che possoo corrispodere o al miimo e al massimo (come i figura), oppure ua distaza di,5 volte la differeza iterquartile (i questo caso,5 7,75,6) da Q e Q. Esercizio a. Comiciamo co l'idividuare i limiti reali di classe e l'ampiezza di ogi classe. I limiti reali si ottegoo sottraedo mezza uità di misura al limite tabulato iferiore e aggiugedo mezza uità di misura al limite tabulato superiore. L'ampiezza si calcola come differeza fra il limite reale superiore e quello iferiore (oppure come limite tabulato superiore meo limite tabulato iferiore più uo) Classe di età Limiti reali Ampiezza Frequeza Frequeza cumulata 0-0,5, ,5 5, ,5 0, ,5, ,5 9, Totale 68 La classe modale i questo caso è 5 ai, poiché è quella co la frequeza maggiore (9). La classe mediaa si trova i posizioe / (si ricordi che el caso delle classi di puteggi la posizioe della mediaa o è (+)/, ma / [vedi ache Approfodimeto.] dove è il umero di soggetti), ossia 68 / 8. Il valore 8 o compare ella coloa della frequeza cumulata, per cui prediamo il valore immediatamete superiore, che è 07, a cui corrispode la classe 6 0 ai. Se volessimo ua stima più precisa del valore della mediaa (vedi Approfodimeto.) potremmo ricorrere alla formula geerale dei quatili: dove: Quatile Limite reale iferiore classe del quatile + posizioequatile F if A F quatile Limite reale iferiore classe del quatile è quello della classe che cotiee il quatile posizioe quatile posizioe del quatile F if somma delle frequeze di tutte le classi iferiori alla classe che cotiee il quatile F quatile frequeza della classe che cotiee il quatile A ampiezza dell itervallo di classe che cotiee il quatile I questo caso il limite reale iferiore della classe mediaa è 5,5, la sua posizioe 8, la frequeza cumulata immediatamete iferiore alla classe mediaa è 6, la frequeza della classe mediaa è e la sua ampiezza 5, per cui: Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

9 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo Mediaa 5, ,8 Lo stesso procedimeto ci sarà utile al puto (b) per idividuare i vari idici di posizioe. La media viee stimata moltiplicado la frequeza della classe per il puto medio della classe, sommado questi prodotti e dividedo per il umero di soggetti: Classe di età Puto medio della classe Frequeza Frequeza cumulata Puto medio Frequeza ,5 6, Totale 68-0 La stima della media è duque 0 / 68 8,5. b. Per calcolare gli idici di posizioe richiesti dobbiamo iazitutto calcolare le posizioi dei vari idici i base alla formula: Quatile desiderato Numero di parti i cui è divisa la distribuzioe Dalla posizioe è possibile risalire alla classe cercata idividuado ella coloa delle frequeze cumulate (f cum ) o il valore esatto della posizioe oppure, se o vi è, quello immediatamete superiore: 68 Posizioe T 56 valore di f cum uguale o immediatamete superiore: 6 classe Posizioe Q 6 valore di f cum uguale o immediatamete superiore: classe - 68 Posizioe Q 5, valore di f cum uguale o immediatamete superiore: classe 5-68 Posizioe D 67, valore di f cum uguale o immediatamete superiore: 07 classe Posizioe P5 5, valore di f cum uguale o immediatamete superiore: 6 classe 00-5 Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

10 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 0 I dodicili e gli ottili, per quato isoliti, idicao che la distribuzioe deve essere divisa i dodici e otto parti, rispettivamete, per cui le formule soo: 0 68 Posizioe Do0 0 valore di f cum uguale o immediatamete superiore: classe - 68 Posizioe O valore di f cum uguale o immediatamete superiore: 6 classe -5 8 Se o ci accotetiamo di idividuare la classe ma vogliamo ua stima del valore "preciso", occorre applicare la formula già utilizzata sopra per calcolare la mediaa: T,5 + 5,0 Q 0,5 +,6 9 6, 07 67, 6 Q 5 0,5 +,5 D 5, ,87 6 5, P5,5 +,; Do0 0,5 +, O,5 +,5 9 c. La richiesta di questo puto è per certi aspetti "iversa" alla precedete. I primo luogo, occorre determiare per ogi classe la sua posizioe "grezza" mediate la formula: Rago Quatile posizioe classe Numero di parti i cui è divisa la distribuzioe dove la "posizioe classe" è idicata dalla frequeza cumulata corrispodete alla classe dove è coteuto il puteggio (come descritto ell'approfodimeto., si divide per e o per +). Ad esempio, il puteggio è coteuto ella classe -, la cui frequeza cumulata, e quidi "posizioe classe", è RT ( ),55 ; RQ ( 7) ; RQ 5 (), 90 ; RD ( 0) 6,7 ; RP ( 7) 6, 69 ; RQ 7 () 5, 96 ; RQ (),6 68 Se ivece vogliamo i raghi dei puteggi,e o delle classi, dobbiamo applicare la formula (Approfodimeto.): Posizioe F if + puteggio Limite reale iferiore puteggio classe A F puteggio Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

11 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo dove: F if somma delle frequeze di tutte le classi iferiori alla classe che cotiee il puteggio Limite reale iferiore classe puteggio è quello della classe che cotiee il puteggio A ampiezza dell itervallo di classe che cotiee il puteggio F Puteggio frequeza della classe che cotiee il puteggio Ua volta otteuta la posizioe, adremo a calcolare il rago quatile del puteggio mediate la seguete formula: Rago Quatile posizioe puteggio Numero di parti i cui è divisa la distribuzioe Il puteggio ai cade ella classe, che ha frequeza cumulata iferiore 07, limite reale iferiore 0,5, ampiezza e frequeza 6, per cui: 0,5 9,5 Posizioe RT() ,5, per cui RT(), 68 Allo stesso modo risolviamo gli altri quesiti: 7 5,5 50,5 Posizioe RQ(7) ,5, per cui RQ(7), ,5 9,5 5 Posizioe RQ 5 () ,5, per cui RQ 5 (), ,5 0,7 0 Posizioe RD(0) 6 + 0,7, per cui RD(0) 6, ,5 76,9 00 Posizioe RP(7) ,9, per cui RD(7) 5, I settili e i tredicili suggeriscoo che la distribuzioe è divisa i 7 e parti, rispettivamete, quidi: 0,5,5 7 Posizioe RQ 7 () ,5, per cui RQ 7 () 5, ( 0,5) 7,5 Posizioe RQ () , 5, per cui RQ () 0, Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

12 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo I dati possoo essere rappresetati graficamete co u istogramma o co ua liea spezzata. Nel caso dell'istogramma si può rappresetare ache la diversa ampiezza di classe. Frequeza Frequeza Classe di puteggio Classe di puteggio Esercizio a. I questo caso ci troviamo di frote alle risposte otteute da ua scala di tipo Likert, che di per sé sarebbero ordiali, ma che ella comue pratica psicometria vegoo cosiderate come misure su scale ad itervalli, da cui la richiesta del calcolo delle costati descrittive. Per etrambi gli item Per calcolare la media e la deviazioe stadard utilizziamo le segueti formule: M fi fi i i s M per cui abbiamo bisogo di moltiplicare i puteggi e i quadrati dei puteggi per le rispettive frequeze: Item Item Puteggio x Frequeza f f x x f x Somma A questo puto calcoliamo media e deviazioe stadard per i due item: M , s, 99,69 78 M , 766 s 5,,9 78 Puteggio x Frequeza f f x x f x Somma Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

13 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo Per calcolare Skewess e Curtosi abbiamo bisogo per ogi valore degli scarti dalla media al quadrato, al cubo e alla quarta poteza, e di moltiplicarli per le rispettive frequete Item Item x f (x M) (x M) (x M) f (x M) f (x M) f (x M) 70 8,9-6,7 79,9 65,8-87,6 559,78 0,96-7,88 5,68 8,80-6, 70,7 59 0,98-0,97 0,96 57,8-57,5 56,68 0 0,00 0,00 0,00 0,0 0,00 0, ,0,0,0 0,7,7,9 6 09,0 8, 6, 0,7 885,5 779, Somma 78 5,99-68, 80,5 x f (x M) (x M) (x M) f (x M) f (x M) f (x M) 5 9,6-86,9 85, 9,7-0, ,05 7,76-0,5 8, 8,5-8,8 968,89 8 5,90 -,5,87 06,9-58,8 67,6 9,0 -,9,8 59,0-8,80, ,8-0,08 0,0 0,5 -,5, , 0,9 0,,6 65,9 7,6 Somma , -868,98 75,9 A questo puto possiamo calcolare skewess e curtosi per etrambi gli item: SK KU SK ( M ) i ( ) ( ) s 68, 78 (78 ) (78 ),69 ( + ) i ( M ) ( M ) i ( ) ( ) ( ) s [ 78 (78 + ) 80,5] [ 5,99 (78 ) ] 0, 89 KU (78 ) (78 ) (78 ),69 ( M ) i ( ) ( ) s 868,98 78 (78 ) (78 ),9 ( + ) i ( M ) ( M ) i ( ) ( ) ( ) s [ 78 (78 + ) 75,9] [ 667, (78 ) ] 5, 0 (78 ) (78 ) (78 ),9 0,86 ( ),77 ( ) Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

14 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo Le costati descrittive per i due item soo quidi: Item N Mi Max M DS SK KU item0 78 6,99,69 0,86 0,89 item ,,9,77 5,0 b. I dati possoo essere rappresetati mediate istogramma o poligoo di frequeza: Item Item Frequeza Frequeza Puteggio Puteggio Item Item Frequeza Frequeza Puteggio Puteggio Dai grafici possiamo cocludere che etrambi gli item hao ua otevole skewess egativa ("gobba" a destra). c. Data la diversità delle distribuzioi delle risposte ai due item, il sigificato del puteggio cambia i base all'item cosiderato. I questo caso possiamo avere due approcci al problema: u approccio ordiale, che cosiste el calcolare il rago percetile del puteggio i etrambi gli item, o u approccio metrico, che cosiste ello stadardizzare il puteggio i riferimeto a media e deviazioe stadard di etrambi gli item. Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

15 Chiorri, C. (0). Fodameti di psicometria - Risposte e soluzioi Capitolo 5 Nel caso della determiazioe del rago percetile del puteggio i etrambi gli item, occorre cosiderare i puteggi come classi di ampiezza : x Limiti reali f f cumulata 0,5, ,5,5 0 00,5, ,5, ,5 5, ,5 6, Somma 78 x Limiti reali f f cumulata 0,5,5 5 5,5,5 7,5,5 8 0,5, ,5 5, ,5 6, Somma 78 Per trovare il rago percetile del puteggio possiamo utilizzare la formula: posizioe puteggio Numero di parti i cui è divisa la distribuzioe Rago Quatile + dove posizioe puteggio è la frequeza cumulata corrispodete a puteggio i questioe. Poichè vogliamo il rago percetile il umero di parti i cui è divisa la distribuzioe è 00. Avremo quidi: RP() item,6 ; RP() item 8, Da questi risultati possiamo cocludere che il puteggio ha u rago percetile di,5 ell'item e di 8,5 ell'item, ossia, è maggiore del,5% degli altri puteggi ell'item e del 8,5% degli altri puteggi ell'item. Quidi, è u puteggio relativamete più alto ell'item. Saremmo giuti alla stessa coclusioe ache co la trasformazioe del puteggio i puti z i base a media e deviazioe stadard dei due item:,99 5, z 0,59 z, 0,69,9 Rispetto a prima, adesso sappiamo che il puteggio si colloca quasi 0,6 deviazioi stadard sotto la media ell'item, e oltre due deviazioi stadard sotto la media ell'item. d. La variabilità assoluta è data dalla deviazioe stadard: i questo seso, l'item ha maggiore variabilità assoluta perché la sua deviazioe stadard è,69, metre quella dell'item è,9. Per quato riguarda la variabilità relativa, ivece, occorre calcolare il coefficiete di variazioe:,69,9 CV 00,6 CV 00, 9,99 5, Questi risultati ci portao a cocludere che l'item è ache l'item co la maggiore variabilità relativa. Copyright 0 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia