13. Recipienti a parete spessa

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Tito Abate
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1 13. Recipienti a parete spessa 13.1 Equazioni di Lamé Si pone che lo stato tensionale sia funzione solo di r e inoltre che dσ z /dr = 0 dɛ z /dr = 0 (1) Le equazioni che occorrono sono: Equazione di equilibrio Equazione di congruenza. Saranno richiamete in seguito, ma di esse non si farà uso in quanto saranno sostituite dalla (1) scritta sopra. Legame tensione-deformazione (legge di Hooke, tradotta formalmente dalle equazioni di Navier) Equazione di equilibrio Si consideri un elementino come in fig e di altezza unitaria lungo z. Si dimostra che le direzioni r, θ e z sono direzioni principali, per cui sulle facce dell elementino non vi sono tensioni tangenziali. Se ne faccia l equilibrio alla traslazione lungo r (tutte le altre equazioni di equilibrio si riducono ad identità). Tale equazione si scrive: σ r rdθ + ( σ r + dσ r dr dr ) (r + dr) dθ 2σ t dr sin dθ 2 = 0 Innanzitutto si può identificare il seno col suo argomento; ciò comporta la comparsa di un dθ a fattor comune, che quindi si semplifica. Sviluppando il prodotto delle due parentesi si ottiene un termine finito σ r rche si semplifica col preesistente σ r r e un termine in d che si trascura in quanto infinitesimo di ordine superiore. Raccogliendo i termini in dr, eliminando il fattor comune dr e raccogliendo si ha: 1 dσ r dr = σ t σ r r Equazioni di congruenza Vedi fig Si considera diversa da zero una sola componente dello spostamento, ossia la u (le altre sono nulle per ragioni di simmetria). Risulta: ɛ r = du dr ɛ t = u r 1 Raccomando allo studioso lettore di fare effettivamente i passaggi e non accontentarsi di questa sintetica descrizione 13-1

2 Equazioni di Navier (legame tensione-deformazione) Si noti che rimangono formalmente identiche a quelle in coordinate cartesiane. Eɛ t = σ t ν(σ r + σ z ) Eɛ r = σ r ν(σ t + σ z ) Eɛ z = σ z ν(σ t + σ r ) Queste relazioni, che esprimono in sostanza la legge di Hooke, sono, secondo Franciosi, dovute al Navier (1821) Equazione differenziale della tensione Derivando rispetto ad r l ultima equazione di Navier si ha da cui Dalla equazione dell equilibrio si ricava subito Eliminando σ t dalle (1) e (2) si ha d dr (σ t + σ r ) = 0 r dσ r dr + 2σ r = 2C 1. Il primo membro di questa espressione è σ t + σ r = 2C 1 (1) r dσ r dr = σ t σ r. (2) cosicché separando le variabili 1 d(σ r ) r dr d(σ r ) = 2C 1 rdr Figura 13.1: Costruzione per l equazione di equilibrio. 13-2

3 Figura 13.2: Equazioni di congruenza per recipienti cilindrici di grosso spessore e integrando e ancora σ r = C 1 C 2, σ r = C 1 C 2 σ t = C 1 + C 2 Le due costanti C 1 e C 2 si ottengono imponendo le condizioni al contorno σ r = p i per r = r i In definitiva si ha σ r = p e per r = r e C 1 = p i i p e e C 2 = (p i p e ) r2 i re 2 ri 2. Le espressioni di σ t e σ r sono dette equazioni di Lamé, che si scrivono per esteso: r2 e σ t = p i i p e e σ r = p i i p e e + (p i p e ) r2 i r2 e (p i p e ) r2 i r2 e

4 Per quanto riguarda σ z la procedura precedente non ci illumina; ragionando in termini di equilibrio globale si ottengono i due valori σ z = p i i p e e valida per fondi di pezzo o flangiati sul mantello e σ z = 0 per fondi con tiranti. In quest ultimo caso però, poiché i tiranti sono pre-tesi mentre la spinta sui fondi dipende dalla pressione, la tensione del mantello può anche essere negativa. Anzi, un piccolo valore negativo della tensione è necessario per il corretto funzionamento delle guarnizioni. Un esempio dell andamento delle tensioni è dato nella fig cost st(r) sr(r) Figura 13.3: Diagramma delle tensioni in un recipiente di grosso spessore. In ascisse c è r/r e, in ordinata σ/p i ; la pressione esterna è nulla e r i /r e = Formule di progetto e di verifica Si studia il caso più comune p e = 0; in questo caso la pressione interna p i sarà indicata con p. Le tensioni nel punto più sollecitato, cioè a r = r i valgono σ t = p r2 i + r2 e 13-4

5 σ z = σ r = p { 0 per fondi con tiranti p r2 i e r2 i per fondi di pezzo La più grande delle tensioni è quella tangenziale, seguita da quella assiale e la più piccola è quella radiale (l unica negativa). Si ottengono varie formule di progetto e di verifica applicando vari criteri di resistenza. Nelle formule precedenti si porrà k = r e /r i. 1) Criterio della massima tensione si scrive che diventa σ t σ amm p 1 + k2 k 2 1 σ amm (σ amm p)k 2 (σ amm + p) 0. Siccome k può essere solo positivo la disequazione avrà soluzione solo se σ amm p > 0. L unico zero positivo del primo membro è la radice del rapporto cambiato di segno tra terzo e primo coefficiente; poiché il primo coefficiente è positivo la disequazione è soddisfatta solo per valori di k maggiori del suddetto zero. Per questo la soluzione è σamm + p k σ amm p. 2) criterio della massima deformazione σ t ν(σ r + σ a ) σ amm. A vantaggio di sicurezza si sceglie σ a nullo. Perciò il criterio si scrive che diventa p 1 + k2 k νp σ amm p(1 + k 2 ν + νk 2 σ amm (k 2 1) k 2 (σ amm (1 + ν)p) σ amm (1 ν)p 0. Svolgendo considerazioni analoghe a quelle fatte sopra si trova che la soluzione esiste solo se σ amm > (1 + ν)p e vale k σ amm + (1 ν)p σ amm (1 + ν)p. 3) criterio della massima tensione tangenziale 2 σ t σ r σ amm. 2 Questo criterio unisce la massima semplicità con un discreto accordo con i dati sperimentali. 13-5

6 diventa k 2 (σ amm 2p) σ amm 0 Svolgendo considerazioni analoghe a quelle fatte sopra si trova che la soluzione esiste solo se (σ amm > 2p) e vale σamm k σ amm 2p. 4) criterio di Hencky-von Mises 3 σ 2 t + σ 2 z + σ 2 r σ t σ z σ z σ r σ t σ r σ amm A vantaggio di sicurezza si tratta il caso dei fondi di pezzo (σ z = p/(k 2 1)). Dopo calcoli un po noiosi 4, si ha 3k 2 p k 2 1 σ amm La soluzione esiste solo se e vale k 2 (σ amm 3p) σ amm 0 σ amm > 3p σamm k σ amm 3p. 3è il criterio in maggior accordo con l esperimento, per materiali duttili. 4 svolti per voi dalla collega Paola Ammendola: Elevando al quadrato ambo i membri e sostituendo le espressioni delle tre tensioni la disequazione diventa: p 2 (k2 + 1) 2 (k 2 1) 2 + p2 + p 2 1 (k 2 1) 2 + p2 k2 + 1 k 2 1 p2 k2 + 1 (k 2 1) 2 + p2 1 k 2 1 σ2 amm Mettendo in evidenza al primo membro p 2 /(k 2 1) 2 : p 2 (k 2 1) 2 [ (k 2 + 1) 2 + (k 2 1) (k 2 + 1)(k 2 1) (k 2 + 1) + (k 2 1) ] σ 2 amm 13-6

7 13.3 Appendice al capitolo Equazione differenziale dello spostamento e sua integrazione Si ricorda che le equazioni inverse di Navier sono: eccetera, essendo Derivando la prima eq. inv. di Navier σ t = 2G ( ɛ t + G = ν 1 2ν e) E 2(1 + ν) e = ɛ t + ɛ r + ɛ z dσ r dr = 2G( dɛ r dr + ν 1 2ν de ) dr Sottraendo la prima eq. inv. di Navier dalla seconda e dividendo per r, σ t σ r r = 2G ( ɛ t ɛ r ) r Nelle due ultime espressioni i primi membri sono uguali per l equazione di equilibrio; sono dunque uguali anche i secondi membri, cioè dɛ r dr + ν de 1 2ν dr = ɛ t ɛ r (1) r Derivando ora le espressioni di ɛ t ed ɛ r prese dalle eq. di congruenza e ricordando che ɛ z è uniforme su tutta la sezione ossia non varia con r, si ha: de dr = dɛr dr + dɛt dr + dɛz dr = dɛr ɛt ɛr + 0 dr r confrontando con la (1) si ha de dr = 0 (2) che è l espressione cercata. Sapendo che dɛ z dr = 0 si ricava dalla (2) d(ɛ t + ɛ r ) = 0 (3) dr che si trova più spesso scritta in termini di spostamento Per l integrazione poniamo da cui quindi 1 du r dr u r + d2 u 2 dr = 0 2 d 2 u d u = r α du dr = αrα 1 = α(α 1)rα 2 α(α 1)r α r αrα 1 1 rα = 0 che, dividendo per r α 2 dà luogo ad un equazione algebrica in α la cui soluzione è α = ±1. La soluzione generale è quindi u = Ar B r. 13-7

8 Più facilmente, tornando alla (3) si integri una prima volta ɛ t + ɛ r = 2A e si passi allo spostamento ossia quindi e integrando ancora ossia Sostituendo nelle eq. di congruenza si ha u r + du dr = 2A 1 d(ur) = 2A r dr d(ur) dr = 2Ar ur = A B u = Ar B r. ɛ t = A + B ɛ r = A B e poi e quindi le equazioni di Lamè. σ t = C 1 + C 2 σ r = C 1 C2 13-8

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