1 Limite finito per x che tende a un valore finito.

Transcript

1 CONCTTO DI LIMIT ite inito per che tende a un vaore inito. Si consideri a seguente unzione in un intorno de punto = escuso da dominio di esistenza: 6 : R \ R Acuni vaori numerici cacoati negi intorni destro e sinistro de punto = sono riportati nea tabea seguente e i graico dea () è iustrato a ianco: () Aa () Osserviamo come i vaori dea unzione, a tendere dea a vaore = da sinistra e da destra, tendano a vaore =7 rispettivamente per dietto (7 - ) e per eccesso (7 + ) e, inotre, i graico indica che 'immagine di un intorno de vaore = è un intorno de vaore =7: i raggi dei due intorni sono indicati con e ettere greche, rispettivamente δ (deta) su'asse ed ε (epsion) su'asse.: (]-δ;+δ[)=]7-ε; 7+ε[. Per evidenziare che nei due intorni de vaore = a unzione tende a vaore =7, possiamo rappresentarne tutti i vaori in una tabea che incude e dierenze tra ciascuno di essi ed i vaore =7 senza considerarne i segno, ovvero riportandone i oro modui ()-7 che sono sempre più vicini a vaore con 'approssimarsi di a vaore = = () = () ccetto che per i punto = (che è di accumuazione de dominio) dove a unzione non è deinita (in quanto a unzione assume un vaore indeterminato /), i graico è queo di una retta e ciò si giustiica scomponendo in attori i trinomio a denominatore e sempiicando a razione: 6 Quindi, in ogni atro punto diverso da = i vaori dea unzione sono cacoabii in modo eementare, sempicemente sostituendoi a posto dea ettera ne'espressione () = +. Possiamo ora dire, con inguaggio matematico, che i imite dea unzione per che tende a vaore = è uguae a 7 e ciò viene scritto ne seguente modo: 7 Pro. I. Savoia Boogna, ebbraio

2 CONCTTO DI LIMIT Generaizziamo ora i concetto di imite, introdotto in modo intuitivo, ornendo a deinizione che segue. ite inito per che tende a. Si dice che a unzione y ha per imite i numero reae per che tende a, e si scrive, quando, comunque si scega un numero reae, positivo ε, si può determinare un intorno competo I( ), tae che risuti: per ogni I( ), diverso eventuamente da. I In simboi matematici, possiamo scrivere a deinizione de imite nea orma:, I, I Più Intuitivamente, 'interpretazione dea deinizione di imite consiste a sceta di un vaore reae positivo ε arbitrariamente piccoo, in corrispondenza de quae si trova sempre un intorno I per i quae i vaori dea unzione sono compresi ne'intervao ; per quaunque appartenente a tae intorno, in modo che a unzione si avvicina a vaore de imite. Quanto detto si sintetizza così: Sceto un numero ε arbitrariamente piccoo, si determina un intorno I per i quae è vera a disequazione: A diminuire de vaore di ε si restringe anche 'intorno I per i quae si veriica a disequazione: La veriica di un imite comporta i risovere a disequazione dea deinizione: sempio: veriica de imite 7. Risoviamo a disequazione ε 7 7 ε ε ε 4 ε 4 ε. Abbiamo così determinato un intorno de punto = per tutti i vaori de quae a deinizione è veriicata e a cui ampiezza diminuisce a diminuire de vaore sceto per ε. Pro. I. Savoia Boogna, ebbraio

3 CONCTTO DI LIMIT Aa ite destro e imite sinistro in un punto Aaa I imiti destro e sinistro di una unzione sono quei a cui deinizione e i cui cacoo interessano rispettivamente gi intorni destro e sinistro de punto verso cui tende a variabie e vengono così scritti: AAAA ite destro:. ite sinistro: In acuni casi, come ne'esempio che segue, a unzione è tae per cui i imiti destro e sinistro sono diversi ed i graico presenta un "sato" in corrispondenza a vaore.. sempio. Veriichiamo i imiti sinisstro e destro dea unzione deinita per intervai: 6,,, 6,, Veriica de imite sinistro dea unzione, per <: Veriica de imite destro dea unzione, per >: ' cosi veriicato i imite in un intorno sinistro di : ' cosi veriicato i imite in un intorno destro di : 6 Dobbiamo notare che per 'esistenza di un imite di una unzione in un dato punto occorre che i imiti destro e sinistro coincidano in tae punto poichè a veriica de imite deve aversi contemporaneamente negi intorni destro e sinistro: Pro. I. Savoia Boogna, ebbraio

4 CONCTTO DI LIMIT Continuità e discontinuità in un punto I comportamento di una unzione in un dato punto punto può assumere orme diverse, riconoscibii anche graicamente, in base ai vaori de imite e dea unzione stessa in tae punto, in modo che i punto stesso possa essere cassiicato nei modi seguenti : A) Continuità: una unzione () è continua in un punto se i imite in tuae punto esiste e coincide con i vaore dea unzione in que punto. Una unzione () è continua in un punto se si veriicano tre condizioni: - esistenza di un vaore inito dea unzione ; - coincidenza de imite inito con i imiti destro e sinistro: - coincidenza tra vaore dea unzione e imite: Ad esempio, i punto è di continuità per a. si veriica acimente i rispetto di tutte e tre e ; condizioni sopra eencate, mentre o stesso punto non o è rispetto aa unzione 6 poichè, come abbiamo già visto, non rispetta a prima condizione perchè a unzione non è deinita per =. In diversi casi e unzioni sono continue ne oro dominio naturae, come sotto speciicato: - Poinomi come k, 4, 5 6, ecc..., sono continue R ; - radici con indice dispari come,, - radici con indice pari come,, - esponenziai come, 5 ecc..., sono continue R ; 4 ecc..., sono continue ;, ecc..., sono continue R ; >. - ogaritmi come og og,, ecc..., sono continue >. B) Discontinuità di prima specie: un punto è discontinuità di prima specie se i vaori dei imiti destro e sinistro esistono initi ma non coincidono e a oro dierenza costituisce un "sato". Ad esempio, come abbiamo già visto, a unzione,, ammette due imiti destro e sinistro diversi ne punto con un sato di unità, per cui tae punto è una discontinuità di prima specie. Pro. I. Savoia 4 Boogna, ebbraio

5 CONCTTO DI LIMIT sempio di unzione che ha una discontinità di prima specie ne'origine è a così detta unzione segno che viene deinita come rapporto tra i vaore assouto di un numero e i numero stesso: +,, I sato tra i imite destro e queo sinistro è, in questo caso, di due unità:, - C) Un punto è detto discontinuità di seconda specie se ameno uno dei due imiti destro e sinistro è ininito oppure se i imite in tae punto non esiste. I concetto di mite ininito in, che qui anticipiamo, riguarda i vaori tendenziamente iimitati che una unzione assume quanto più i vaori dea sono prossimi a vaore in un suo intorno. Ad esempio, e unzioni ogaritmo con basi maggiore di e minore di hanno entrambe un discontinuità di seconda specie ne'origine poichè i imiteo destro vae - e + rispettivamente, mentre i imite sinistro non esiste. I graici seguenti si rieriscono ai ogaritmi nee basi e /. y /8-8 Log y /8 8 Log /4-4 /4 4 / - / A(; ) A(; ) Da ora, i imiti destro e sinistro in un punto si potranno anche scrivere ne seguente modo:, Pro. I. Savoia 5 Boogna, ebbraio

6 CONCTTO DI LIMIT sempi uteriori di discontinuità di seconda specie ne'origine sono rappresentate dae seguenti ormue: Reciproco : Reciproco de quadrato: In un intorno de'origine, a'approssimarsi dea variabie a vaore zero, entrambe entrambe assumono vaori via via più grandi in vaore assouto e, a imite, tendenziamente ininiti. () () () D) Un punto è detto discontinuità di terza specie, o discontinuità eiminabie, se o non esiste i imite oppure, se esiste, esso è diverso da vaore dea unzione in tae punto: Un esempio di unzione che ha una discontinuità eiminabie ne punto è quea chè ha introdotto precedentemente i concetto di imite : 6 Non è deinito i vaore ma esiste i suo imite: 7. Pro. I. Savoia 6 Boogna, ebbraio

7 CONCTTO DI LIMIT 4 ite ininito di una unzione per che tende ad un vaore inito Si consideri a seguente unzione in un intorno de punto = escuso da dominio di esistenza: : R \ R + Acuni vaori numerici cacoati negi intorni destro e sinistro de punto = sono riportati nea tabea seguente e i graico dea () è iustrato a ianco: () 4 -,5,9,99, () ,5,,,... + () Osservando sia a tabea che i graico si può notare come 'immagine di un intorno de punto = sia un intorno di + : ad esempio, 'immagine de'intorno ],5;,5[ è 'intervao iimitato ]4; + [. Inotre, restringendo 'intorno de punto =, aumenta i vaore de'estremo ineriore de corrispondente intorno di + : ad esempio, 'immagine de'intorno, come mostrato daa seguente tabea di corrispondenza: I( =) ],5 ;,5[ ],9 ;,[ ],99 ;,[ ],999 ;,[ ] -δ ; +δ[ J=(I) ]4 ; + [ ] ; + [ ]. ; + [ ].. ; + [ ] ; + [ La tendenza dea unzione ad assumere vaori via via sempre più grandi quando a variabie assume vaori sempre più vicini a vaore =, si riassume dicendo che i imite dea unzione per tendente a è + e ciò viene scritto, in inguaggio matematico, ne seguente modo: Per determinare 'intorno di = che corrisponde ad un certo vaore, estremo de'intorno di +, si risove a disequazione come segue e tendo conto che i quadrato è sempre positivo eccetto che per =: Abbiamo così determinato i raggio dee intorno de punto =, i quae diventa sempre più piccoo a'aumentare de vaore attribuito ad >, presente a denominatore : δ. Ne caso dea sceta =4 si ottiene 'intorno ].5;.5[ de punto =. Generaizziamo ora quanto è stato esposto ornendo e seguenti due deinizioni: Pro. I. Savoia 7 Boogna, ebbraio

8 CONCTTO DI LIMIT Una unzione : D R diverge positivamente per che tende a, e si scrive: Per se, per ogni numero reae >, è possibie determinare un intorno competo di I( ) D, tae che per ogni appartenente ad esso, escuso, si ha: Una unzione : D R diverge negativamente per che tende a, e si scrive: se, per ogni numero reae >, è possibie determinare un intorno competo di I( ) D, tae che per ogni appartenente ad esso, escuso, si ha: δ δ ()> - ()<- - δ δ Asintoto verticae è detta a retta di equazione = verso cui si avvicina ogni punto de graico quando tende a. uuu In generae, a veriica di un imite secondo e deinizioni scritte sopra, porta a determinare un intorno di che dipende da vaore sceto per > (può essere sia circoare che non circoare), per i quae si veriica una dee due disequazioni: oppure. Si para di imite destro oppure di imite sinistro ininiti quando e suddette diseguagianze sono veriicate rispettivamente in un intorno destro e sinistro de punto. sempio: veriichiamo i imite destro de ogaritmo in base, già introdotto ne paragrao precedente: Log. Risoviamo a disequazione: Log, da cui si ottiene 'intorno destro di : I ;. sempio: veriichiamo i seguente imite sinistro. Risoviamo a disequazione:, da cui si ottiene 'intorno sinistro di : I ;. Pro. I. Savoia 8 Boogna, ebbraio

9 CONCTTO DI LIMIT 5 ite inito di una unzione per che tende a ininito Si consideri a seguente unzione in un intorno di ininito: 6 : ℝ\ ℝ 4,5 y= Acuni vaori numerici cacoati negi intorni destro e sinistro di ininitosono riportati nea tabea seguente e i graico dea () è iustrato a ianco: () (), Osservando sia a tabea che i graico si può notare come 'immagine di un intorno di sia un intorno de punto =,: ad esempio, 'immagine de'intorno ]; + [ è 'intervao imitato ]; 4,5[ e 'immagine de'intorno ]- ;-[ è 'intervao imitato ]; [. Inotre, a'auentare de vaore assouto de'estremo degi intorni ]; + [ e ]- ; -[, si restringono i corrispondenti intorni de punto =, come si evince anche in base a graico dea unzione. Precisiamo quanto sopra ornendo e seguenti deinizioni vaide in generae: Una unzione : D ℝ converge a imite per Una unzione : D ℝ converge a imite per che tende a, e si scrive:, se che tende a -, e si scrive:, se per ogni numero reae, esiste un corrispondente numero reae k per cui, per ogni D tae che k, risuta: per ogni numero reae, esiste un corrispondente numero reae k per cui, per ogni D tae che k, risuta: ε ε ε ε ε ε ε ε y= y= ε ε k -k Asintoto orizzontae è a retta di equazione y verso cui i graico si avvicina negi intorni di ininito. Pro. I. Savoia 9 Boogna, ebbraio

10 CONCTTO DI LIMIT La veriica de imite si reaizza risovendo a disequazione ε, per a quae occorre trovare, come souzioni, gi intorni di ininito k oppure k, dove k è un numero reae che aumenta con i diminuire de vaore reae attribuito a. 6 sempio. Veriicare i imiti. Risoviamo a disequazione: 6 ε 6 6, da cui si ha: ε ε. La disequazione scritta equivae (supponendo ) aa, a cui souzione è data da'unione dee due souzioni di e di ininito e veriica perciò i imite per ; di esse, a prima ornisce a souzione di un intorno di più : ; La seconda ornisce a souzione di un intorno di meno ininito e veriica quindi i imite per : ; Approondimento: asintoti paraei agi assi. Data una unzione per cui, in un dato punto ameno uno dei due imiti destro o sinistro sia ininito, per esso Asintoto verticae : passa a retta asintoto verticae: In generae, come ad esempio in acune unzioni ratte senza attori in comune tra numeratore e denominatore e che hanno denominatori che si annuano per più vaori, in ognuno di tai vaori a unzione diverge a più o meno ininito (punti di discontinuità di seconda specie) e per ciascuno di essi passa un asintoto. L'asintoto orizzontae di una unzione esiste se si ha: Asintoto orizzontae: y Nei casi di unzioni ratte con numeratore e denominatore che sono poinomi di pari grado, 'ordinata de'asintoto orizzontae è data da rapporto ra i coeicienti dea di grado massimo de numeratore e de denominatore. La unzione ratta di equazione 4 9, ad esempio, non è sempiicabie e ha due asintoti verticai,di equazioni, passanti nei punti che annuano i denominatore; inotre, ha anche un asintoto orizzontae di ordinata data da rapporto ra i coeicienti di pari grado, di equazione 4 y. Pro. I. Savoia Boogna, ebbraio

11 CONCTTO DI LIMIT 6 ite ininito di una unzione per che tende a ininito Si consideri a seguente unzione in un intorno di ininito: : R R Acuni vaori numerici cacoati negi intorni destro e sinistro di ininito sono riportati nea tabea seguente e i graico dea () è iustrato a ianco:... + () () Osservando sia a tabea che i graico si può notare come 'immagine di un intorno di è pure un intorno di : ad esempio, 'immagine de'intorno ]; + [ è 'intervao iimitato ]8; + [ e 'immagine de'intorno ]- ;-[ è 'intervao iimitato ]- ; -8[. Inotre, a'aumentare de vaore assouto de'estremo degi intorni ]; + [ e ]- ; -[ su'asse, si restringono i corrispondenti intorni de di ininito su'asse, rispettivamente ]k; + [ e ]- ; -k[. Tutto questo si può sintetizzare dicendo che a unzione diverge a più o meno ininito per che tende rispettivamente a più o meno ininito, e ciò si scrive come:, Reativamente a concetto esposto, vagono in generae e seguenti deinizioni: Una unzione : D R diverge positivamente per che tende a +, e si scrive:, se per ogni numero reae, esiste un corrispondente numero reae k per cui, per ogni D tae che k, risuta: Una unzione : D R diverge negativamente per che tende a +, e si scrive:, se per ogni numero reae, esiste un corrispondente numero reae k per cui, per ogni D tae che k, risuta: k k Pro. I. Savoia Boogna, ebbraio

12 CONCTTO DI LIMIT Una unzione : D R diverge positivamente per che tende a, e si scrive:, se per ogni numero reae, esiste un corrispondente numero reae k per cui, per ogni D tae che k, risuta:. Una unzione : D R diverge negativamente per che tende a, e si scrive:, se per ogni numero reae, esiste un corrispondente numero reae k per cui, per ogni D tae che k, risuta:. k k La veriica dei imiti de tipo si attua risovendo a disequazione divergente) oppure (unzione positivamente (unzione negativamente divergente), per a quae occorre trovare, come souzioni, gi intorni di ininito, a seconda dei casi k oppure k, dove k è un numero reae che aumenta con i diminuire de vaore reae attribuito a. sempio. Veriicare i imiti: a) ; b). a) Risoviamo a disequazione : Abbiamo così' veriicato, avendo trovato un intorno di più ininito de tipo cercato, k con k. b) Risoviamo a disequazione : Abbiamo così' veriicato, avendo trovato un intorno di più ininito de tipo cercato, k con k. sempio. s Veriicare i imiti a) ; b) a) ; b). Pro. I. Savoia Boogna, ebbraio