pi 0,t = qi 0,t = vi 0,t =

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1 APPENDCE 2 Coyrig 29 Te McGraw-Hill Comanies srl Numeri indici numeri indici sono raori saisici ce misurano le variazioni nel emo o nello sazio ra grandezze della sessa naura. Nelle analisi economice le grandezze rincialmene analizzae araverso i numeri indici sono i rezzi e le uanià di uno o iù rodoi ce cosiuiscono un aggregao. numeri indici semlici e alcune rorieà dei numeri indici Pariamo dal caso iù semlice, ioizzando un aggregao cosiuio da un solo io di bene, il cui rezzo e la cui uanià al emo, denominao emo correne, li indiciamo riseivamene con e, menre con riferimeno al emo, denominao emo base, li indiciamo con e. ndiciamo inolre con v = e v = il valore dell aggregao, riseivamene, al emo correne e a uello base. A arire da uesi dai ossiamo calcolare re numeri indici semlici, relaivi alle variazioni, riseivamene, dei rezzi, delle uanià e del valore. L indice semlice dei rezzi del emo correne riseo a uello base è dao dal raoro ra il rezzo del emo e uello del emo (evenualmene molilicao er, er oenere un indice esresso in ermini ercenuali): i, = Per esemio, se il rezzo è assao da a euro, l indice vale. e se viene molilicao er vale, il ce vuol dire ce il rezzo è aumenao del %. Analogamene, l indice semlice delle uanià del emo correne riseo a uello base è dao dal raoro ra la uanià del emo e uella del emo : i, = L indice semlice del valore del emo correne riseo a uello base è dao infine dal raoro ra il valore dell aggregao del emo e uello del emo : vi, = v v Per i recedeni indici semlici valgono re rorieà fondamenali dei numeri indici: la rorieà di reversibilià delle basi; la rorieà di ransiivià delle basi; la rorieà di decomonibilià delle cause (o di reversibilià dei faori). Un generico numero indice soddisfa la rorieà di reversibilià delle basi se vale la relazione seguene:, =,

2 Coyrig 29 Te McGraw-Hill Comanies srl ovvero se l indice calcolao er il emo riseo alla base è uguale al reciroco dell indice del emo riseo alla base. Come deo, ale rorieà è soddisfaa dai numeri indici semlici. Per esemio, considerando l indice dei rezzi, si a: i, = = i, La rorieà di ransiivià delle basi (o circolarià) è invece verificaa se vale la seguene relazione:,s s, =, Tale rorieà è imorane ercé consene di cambiare la base semlicemene dividendo i due corrisondeni indici già calcolai con la veccia base: er esemio, un nuovo indice del emo in base s, invece ce, uò essere oenuo nel modo seguene: s, =,,s n alri ermini, se vale la rorieà di ransiivià delle basi si a ce serie di numeri indici con diversa base differiscono ra loro er una cosane molilicaiva (/,s ) e di conseguenza il confrono nel emo (o nello sazio) è indiendene dalla scela della base. La medesima rorieà consene inolre di esrimere un indice a base fissa come rodoo di indici a base mobile. Denoao con -, = / - un indice a base mobile, dao dal raoro ra il valore assuno dalla grandezza al emo e uello assuno nel emo recedene -, si uò scrivere cioè:, =,,2. -, Ance ale rorieà è soddisfaa dai numeri indici semlici. Per esemio, considerando ancora l indice dei rezzi, si a: i, i,2 = 2 = i,2 La rorieà di decomonibilià delle cause o di reversibilià dei faori è infine soddisfaa se, indicao con V l indice della variazione del valore e con P e Q riseivamene l indice dei rezzi e uello delle uanià, vale la relazione: P Q = V La rorieà è imorane ercé consene di scomorre la variazione del valore nelle sue due comoneni molilicaive, variazione dei rezzi e variazione delle uanià. E facile mosrare ce er i numeri indici semlici è soddisfaa ance uesa rorieà. nfai, oicé v = e v =, si a: v = v ovvero: 2

3 Coyrig 29 Te McGraw-Hill Comanies srl vi, = i, i, Nel caso di confroni saziali i numeri indici semlici si definiscono allo sesso modo. Se denoiamo con a e b due aziende (o due aesi), di cui a è assuna come siuazione (azienda o aese) base, e indiciamo con a e a i rezzi e le uanià del bene considerao in ale siuazione base e con b e b i rezzi e le uanià relaivi alla siuazione correne (azienda o aese b), gli indici dei rezzi, delle uanià e del valore sono dai, riseivamene, dai raori ra i rezzi ( b / a ), ra le uanià ( b / a ) e ra i valori (v b /v a ), e ovviamene valgono ancora le re rorieà dei numeri indici vise in recedenza. numeri indici comlessi L ineresse dell analisi economica iù sesso è rivolo alla variazione nel emo o nello sazio dei rezzi, delle uanià e del valore non di un singolo bene ma di un insieme di beni. Per esemio, la variazione dei rezzi o delle uanià di un insieme di beni rodoi da un azienda o, iù in generale, la variazione dell insieme dei rezzi dei beni acuisai dalle famiglie di un aese (inflazione) o uella dell insieme delle uanià di beni rodoi dalle sue indusrie. n al caso bisogna ricorrere a numeri indici comlessi ce sineizzino l andameno, a vole molo differenziao, dei rezzi o delle uanià dei diversi beni. Si considerino n beni i cui rezzi e le cui uanià (acuisae o rodoe) nell anno base e nell anno correne er il generico bene li indiciamo, riseivamene, con, e,. L insieme delle informazioni sui rezzi e sulle uanià degli n beni nei due emi e le rioriamo nello scema seguene: Beni Prezzi Quanià n n n n n A arire da ali dai si ossono definire i due segueni aggregai effeivi: ce raresenano, riseivamene, il valore effeivo dell aggregao (sesa, roduzione) nell anno base e nell anno correne. Con i medesimi dai dello scema si ossono inolre calcolare ance i due segueni aggregai fiizi: numeri indici comlessi sono di seguio illusrai con riferimeno al confrono emorale, ma è evidene ce gli sessi indici ossono essere alicai ance ai confroni saziali. 3

4 Coyrig 29 Te McGraw-Hill Comanies srl ce invece raresenano, riseivamene, la sesa (o roduzione) ce si sarebbe avua al emo correne se i rezzi degli n beni fossero resai uelli del emo base, e uella ce si sarebbe avua se al emo correne fossero rimase invece cosani le uanià del emo base. l raoro ra i due aggregai effeivi misura la variazione del valore dell aggregao considerao dall anno all anno ed è ciamao indice della variazione del valore: V, = La variazione del valore diende dalle variazioni sia dei rezzi ce delle uanià. Per misurare le due comoneni molilicaive di ale variazione, ovvero er oenere da un lao una misura della variazione dei rezzi e dall alro una misura della variazione delle uanià, si ossono raorare oorunamene aggregai effeivi e fiizi. Si oengono così due diversi indici comlessi dei rezzi e due delle uanià. due indici dei rezzi sono i segueni: ndice dei rezzi di Laseyres P L, = ndice dei rezzi di Paasce ( ω = = ω ) P P, = ' ' = ω ( = ω ) Enrambi gli indici comlessi, oenui raorando oorunamene aggregai effeivi e fiizi, come si vede sono ance esrimibili come medie onderae dei numeri indici semlici dei rezzi dei singoli beni ce fanno are dell aggregao ( / er il generico bene ). La differenza ra i due indici comlessi sa nel faore di onderazione, ce nell indice di Laseyres è cosiuio dalla uoa bene sul oale del valore dell aggregao effeivo (sesa o roduzione) nell anno base, menre in uello di Paasce è cosiuio dalla medesima uoa sul oale dell aggregao fiizio. Nel rimo caso (Laseyre l indice è erano deo a onderazione fissa alla base, menre nel secondo (Paasce) è deo a onderazione variabile. Gli indici delle uanià sono invece i segueni: ndice delle uanià di Laseyres 4

5 Q L, = ndice delle uanià di Paasce = ω Coyrig 29 Te McGraw-Hill Comanies srl ( ω = ) Q P, = ' ' = ω ( = ω ) Ance ali indici comlessi ossono essere visi come medie onderae dei numeri indici semlici delle uanià relaivi ai singoli beni ( / er il generico bene ). Per l indice di Laseyres il faore di onderazione è ancora cosiuio dalla uoa del bene sul oale dell aggregao effeivo nell anno base, menre er l indice di Paasce è la uoa sul oale dell aggregao fiizio. Gli indici di Paasce ossono eralro essere scrii ance come media armonica degli indici elemenari delle variazioni dei rezzi o delle uanià, onderai con i riseivi esi effeivi al emo. Si a infai: P P, = Q P, = = = ω ω dove ω = / Ciediamoci ora se gli indici comlessi aena definii consenono effeivamene di scomorre la variazione del valore dell aggregao nelle sue due comoneni: la variazione dei rezzi e la variazione delle uanià. Deo in alri ermini, si raa di sabilire se ance dei indici comlessi soddisfano la rorieà di decomonibilià delle cause o di reversibilià dei faori, ce come si è viso è semre valida er i numeri indici semlici. Tale rorieà in realà non è soddisfaa né dall indice di Laseyres, né da uello di Paasce. E infai facile verificare ce P L Q L V e P P Q P V. E uavia alreano facile verificare ce valgono le relazioni segueni: P L Q P = V P P Q L = V Si dice erano ce gli indici di Laseyres e Paace soddisfano la rorieà di reversibilià dei faori in senso debole. A arire dalle due relazioni recedeni è eralro ossibile definire un alro numero indice comlesso, l indice di Fiscer, ce soddisfa la rorieà di decomonibilià delle cause o reversibilià dei faori in senso fore. Molilicando membro a membro le recedeni due euazioni si oiene: 5

6 Coyrig 29 Te McGraw-Hill Comanies srl P L P P Q L Q P = V 2 da cui: segueni numeri indici dei rezzi e delle uanià (P L P P ) /2 (Q L Q P ) /2 = V e P F = (P L P P ) /2 Q F = (Q L Q P ) /2 definii come medie geomerice dei corrisondeni indici di Laseyres e Paasce, sono gli indici di Fiser. Poicé vale la relazione P F. Q F = V, l indice di Fiser soddisfa dunue la rorieà di decomonibilià delle cause o reversibilià (fore) dei faori. Con riferimeno ai numeri indici comlessi, vediamo infine se vengono soddisfae le rorieà di reversibilià e di ransiivià delle basi. La rorieà di reversibilià delle basi non è soddisfaa né er l indice di Laseyres, né er uello di Paace. Come è facile verificare, si a infai: e L = P P, P = P L, La medesima rorieà vale invece er l indice di Fiscer, oicé dalle esressioni recedeni si uò scrivere: P = P L, P P, L da cui e uindi ( L P ) /2 = (P P, P L,) /2 F = P F, La rorieà di ransiivià delle basi (o circolarià) non è invece soddisfaa da nessuno degli indici comlessi elencai in recedenza, neure da uello di Fiser. Tale rorieà è uavia imorane sia nei confroni emorali, uando si raa di confroni mulieriodali, sia nei confroni nello sazio, uando si raa di confroni mulilaerali. Nel rimo caso si ricorre alla ecnica della 6

7 Coyrig 29 Te McGraw-Hill Comanies srl concaenazione di indici a base mobile. Nel secondo caso si uò ricorrere invece a un indice oenuo araverso una sora di concaenazione di indici relaivi ai confroni binari (l indice ES). Gli indici a caena Nei confroni emorali, il rinciale limie degli indici comlessi a base fissa è la erdia di raresenaivià del sisema di onderazione, man mano ce ci si allonana dal eriodo base, a causa di vari cambiameni economici ce si verificano nel emo sia nelle uanià rodoe o acuisae sia nei loro rezzi relaivi. Per ovviare a ale erdia di raresenaivià, ovvero a uello ce viene definio logorameno della base, è referibile calcolare indici a base mobile, di ogni anno riseo al recedene, e oi cosruire er loro ramie un indice a caena ce misuri la variazione dal eriodo iniziale a uello finale. Un generico indice a caena dell anno con riferimeno all anno è definio nel modo seguene: C, =,,2. -, = s-,s s= dove,,., -, sono numeri indici comlessi di ualsiasi io. Per esemio, gli indici a caena di Laseyres dei rezzi e delle uanià dal emo al emo 2 sono i segueni: C P L,2 = C Q L,2 = 2 2 l coninuo rinnovo della base, ce è caraerisico degli indici a caena, eliminando il roblema del suo logorameno, rende raicamene ininfluene ance la scela del io di numero indice comlesso (Laseyres, Paasce o Fiser). Tuavia, oicé nessuno di ali indici comlessi gode della rorieà di ransiivià delle basi o circolarià, nella ioesi ce sia i rezzi ce le uanià assumano di nuovo i valori originari, l indice a caena non riornerà al suo valore iniziale. Gli indici ES er i confroni saziali mulilaerali Nel caso di confroni saziali è aricolarmene imorane ce i numeri indici imiegai soddisfino le rorieà necessarie affincé i risulai del confrono siano indiendeni dalla scela della base. Nel caso di confroni binari (ra due aziende o ra due aesi) è necessaria la rorieà di reversibilià delle basi, ce come si è viso è soddisfaa dall indice di Fiscer. Nel caso dei confroni mulilaerali è invece necessario ce i numeri indici uilizzai soddisfino, olre ce la rorieà di reversibilià delle basi, ance uella di ransiivià delle basi. Tale rorieà non è erò soddisfaa da nessuno dei numeri indici iù comuni, neure da uello di Fiser. Per oer effeuare confroni mulilaerali ce siano indiendeni dalla scela della base, occorre di conseguenza rocedere con alri meodi. 7

8 Coyrig 29 Te McGraw-Hill Comanies srl Uno di essi è noo come meodo ES 2 e consise nel generare un indice ransiivo con una rocedura simile a uella degli indici a caena uilizzai er i confroni emorali mulieriodali. Con riferimeno al caso generale di un insieme di siuazioni di raffrono (aziende, aesi, ecc.), indicae con r e due generice siuazioni, il meodo ES si basa su una marice di indici binari non ransiivi, ma ce godono della rorieà di reversibilià delle basi (ad esemio indici di Fiser) relaivi a ui i ossibili confroni ra coie di aziende o aesi, del io seguene:......,, r, r, r,,,, L indice ransiivo di io ES è dao dalla media geomerica degli indici binari di Fiser ce collegano direamene o indireamene le generice siuazioni r e. L indice è dao cioè dal rodoo degli elemeni di una generica riga (r) e di una generica colonna () della marice recedene, elevao a /: ES r, ) ( = [ ] / ( r, ) j= È facile mosrare ce l indice così definio soddisfa la rorieà di ransiivià delle basi. nfai, oicé gli indici binari soddisfano la rorieà di reversibilià delle basi, e uindi vale la relazione = /, si a: ( s, ( ES = [ ] / [ ] / ( s, ) ( r, ( s, ) ES r, j= = [ j= ( r, j= ] / = ) ES ( r, ) 2 Dalle iniziali dei rooneni: Elero, oves e Szulc. 8