Numeri reali. Successioni. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1

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1 Politecico di Milao. Scuola di Igegeria Idustriale e dell Iformazioe Aalisi e Geometria Federico Lastaria Il campo ordiato completo dei umeri reali. Successioi e serie. 23 Settembre 206 Idice I umeri reali 3. N, Z e Q I umeri razioali o bastao per misurare. Irrazioalità di Il campo ordiato completo dei umeri reali Assiomi di campo Assiomi di ordie, compatibile co la somma e il prodotto Assioma di completezza, ella forma di proprietà di separazioe Osservazioi sulla defiizioe assiomatica del sistema dei umeri reali Alcue proprietà dei umeri reali 7 2. Esisteza dell estremo superiore Proprietà di Archimede Valore assoluto e distaza Limiti di successioi Uicità del ite. Permaeza del sego Le successioi i cresceti e itate covergoo Proprietà degli itervalli compatti iscatolati L isieme dei razioali è umerabile L isieme dei umeri reali o è umerabile. (Prima dimostrazioe) appresetazioe biaria e rappresetazioe decimale dei umeri reali L isieme dei umeri reali o è umerabile. (Secoda dimostrazioe) Q è deso i Complemeti. Serie umeriche, o somme ifiite Sigificato di ua somma ifiita La serie geometrica Sigificato di u allieameto decimale. Desità di Q i Pag.

2 3.4 Numeri razioali e allieameti decimali periodici Il umero e di Napier Esercizi Esercizi sui umeri reali isposte e suggerimeti Esercizi sui iti di successioi isposte e suggerimeti Pag. 2

3 I umeri reali. N, Z e Q Per fissare le otazioi, ricordiamo i simboli co i quali si deotao i umeri aturali, i umeri iteri e i umeri razioali. L isieme N dei umeri aturali è costituito dai umeri iteri maggiori o uguali a zero: N = {0,, 2, 3, 4,...} L isieme Z è costituito dai umeri iteri relativi: Z = {... 4, 3, 2,, 0,, 2, 3, 4,...} (La lettera Z è l iiziale della parola tedesca Zahle, che sigifica umeri). L isieme Q dei umeri razioali (latio ratio, rapporto) è costituito da tutti i umeri che soo rapporti di iteri m m, m, Z, 0. Per essere più precisi, due frazioi, m si dicoo equivaleti, e rappresetao lo stesso umero razioale, se m = m. (La lettera Q ricorda che si tratta di quozieti di umeri iteri). Naturalmete, valgoo le iclusioi N Z Q..2 I umeri razioali o bastao per misurare. Irrazioalità di 2 I umeri reali rispodoo all esigeza di avere a disposizioe ua scala per la misura delle gradezze. Detto i termii geometrici, i umeri reali foriscoo ua descrizioe matematica della liea retta, pesata come u cotiuo. A questo scopo, come probabilmete è be oto, i umeri razioali o soo sufficieti. Ad esempio, la misura della diagoale di u quadrato, quado si assuma come uità di misura il lato del quadrato stesso, o è data da u umero razioale. Questo fatto è stato scoperto el VI secolo a.c. dalla scuola di Pitagora (i u cotesto che era però diverso da quello di ua teoria matematica formalizzata). Noi euceremo il risultato dei pitagorici el modo seguete. Teorema. ( Irrazioalità di 2 ). No esiste alcu umero razioale il cui quadrato sia uguale a 2. Dimostrazioe. Suppoiamo, per assurdo, che esistao due umeri iteri positivi p, q tali che ( ) 2 p = 2 (.) q Per seguire meglio la dimostrazioe, richiamiamo alcui fatti elemetari. U umero m N è pari se è divisibile per 2, cioè se si può scrivere m = 2h, h N; è dispari se diviso per 2 dà resto, cioè se si può scrivere m = 2k +, k N. Se u umero m = 2h è pari, il suo quadrato è pari. (Ifatti, m 2 = (2h) 2 = 2(2h 2 )). Se u umero m = 2k + è dispari, il suo quadrato è dispari. (Ifatti, m 2 = (2k + ) 2 = 4k 2 + 4k + = 2(2k 2 + 2k) + ). Pag. 3

4 No è restrittivo supporre che gli iteri p e q siao primi tra loro, cioè che o abbiao fattori primi i comue. (Altrimeti, riduciamo la frazioe p ai miimi termii). Da (.) segue q Dall uguagliaza (.2) segue che p 2 è pari. Quidi ache p è pari: p 2 = 2q 2 (.2) p = 2a (.3) (Ifatti, se p fosse dispari, ache il suo quadrato p 2 sarebbe dispari). Sostituedo p = 2a ell uguagliaza.2, si ottiee (2a) 2 = 2q 2 (.4) da cui 2a 2 = q 2 (.5) Ma allora q 2 è pari e quidi ache q è pari. Ne segue che p e q soo etrambi pari. Assurdo, perché o hao fattori primi i comue. Q.E.D. Abbiamo duque dimostrato che la diagoale d e il lato l di u quadrato soo icommesurabili tra loro, cioè o hao alcu sottomultiplo i comue: o esistoo umeri iteri m, per i quali m d = l. Ifatti, se ciò accadesse, il rapporto tra d e l sarebbe il umero razioale m/..3 Il campo ordiato completo dei umeri reali Defiiamo il campo ordiato completo dei umeri reali, attraverso u sistema di assiomi, suddivisi i tre gruppi: assiomi di campo, assiomi di ordiameto, assioma di completezza..3. Assiomi di campo Soo defiite i due operazioi, la somma e il prodotto. La somma di due umeri reali a, b si deota a + b e il loro prodotto si deota a b o ab. Si richiede che valgao le proprietà segueti.. Associatività della somma e del prodotto. Per ogi a, b, c, 2. Commutatività della somma e del prodotto. Per ogi a, b, a + (b + c) = (a + b) + c (.6) (ab)c = a(bc) (.7) a + b = b + a (.8) ab = ba (.9) Pag. 4

5 3. Distributività del prodotto rispetto alla somma. Per ogi a, b, c, a(b + c) = ab + ac (.0) Ovviamete, per la proprietà commutativa, vale ache la distributività a siistra: (b + c)a = ba + ca 4. Esisteza degli elemeti eutri. Esistoo (e soo uici) due umeri reali distiti, deotati 0 e, che soddifao: a + 0 = a, a = a (.) per ogi a i. 5. Esisteza degli opposti (rispetto alla somma). Per ogi a i esiste u (uico) b i tale che a + b = 0. Questo umero b si chiama opposto di a e si deota a. 6. Esisteza degli iversi (rispetto al prodotto) dei umeri diversi da zero. Per ogi a i, a 0, esiste u (uico) b i tale che ab =. Questo umero b si chiama iverso o reciproco di a e si deota a oppure a. Gli assiomi fi qui elecati si possoo riassumere dicedo che è u campo. No cosidereremo la sottrazioe e la divisioe (per u elemeto o ullo) come ulteriori operazioi. Si defiiscoo i termii di addizioe e prodotto el modo seguete: a b = a + ( b) a b = ab (b 0) (.2) Dagli assiomi di campo seguoo le be ote regole di coto dell algebra elemetare; per esempio, a 0 = 0, le regole dei segi ( più per meo fa meo ) eccetera..3.2 Assiomi di ordie, compatibile co la somma e il prodotto I è defiita ua relazioe d ordie, che si deota a b (si legge: a miore o uguale a b), vale a dire ua relazioe co le segueti proprietà:. Proprietà riflessiva. Per ogi a i a a 2. Proprietà atisimmetrica. Per ogi a, b i 3. Proprietà trasitiva. Per ogi a, b, c i, a b e b a = a = b a b e b c = a c Ioltre si richiede che l ordiameto sia compatibile co la somma e il prodotto, el seso che valgao le due ulteriori proprietà segueti: Pag. 5

6 4. Per ogi a, b, c, se a b, allora a + c b + c 5. Per ogi a, b e per ogi c 0, se a b allora ac bc. Useremo ache il simbolo < (miore i seso stretto). La scrittura a < b sigifica a b e a b I umeri a tali che a > 0 si dicoo positivi, quelli per i quali a < 0 si dicoo egativi..3.3 Assioma di completezza, ella forma di proprietà di separazioe L assioma decisivo per la defiizioe dei umeri reali è l assioma di completezza. I termii ituitivi, si tratta dell assioma che si richiede per garatire che abbia la proprietà di cotiuità. Grazie a questo assioma, il campo ordiato dei reali sarà adeguato per esprimere le misure delle gradezze. Ne esistoo diverse forme equivaleti. Ad esempio, si può formulare el modo seguete: Assioma di completezza. Prima forma: Proprietà di Separazioe. Siao A e B due sottoisiemi o vuoti di che soddisfio la codizioe: Allora esiste almeo u umero λ i per il quale si ha a A, b B a < b (.3) a A, b B a λ b (.4) U umero λ co tale proprietà si dice u elemeto separatore tra A e B. 2 Co la richiesta dell assioma di completezza, la defiizioe di come campo ordiato completo è coclusa. Qualuque altra proprietà del campo dei umeri reali si deduce dagli assiomi (di campo ordiato completo) co il metodo dimostrativo..4 Osservazioi sulla defiizioe assiomatica del sistema dei umeri reali (Cei. Argometo facoltativo). Il puto di vista assiomatico, che abbiamo seguito per itrodurre i reali, cosiste el defiire come u campo ordiato completo. Questo sigifica che si defiisce come u isieme (la atura dei cui elemeti è irrilevate), muito di due operazioi (la somma e il prodotto) e di ua relazioe d ordie. Si richiede, come abbiamo visto, che valgao opportue proprietà, che costituiscoo gli assiomi di campo ordiato completo: gli assiomi di campo, gli assiomi di ordie, l assioma di completezza (i ua di umerose formulazioi equivaleti). Se si volesse seguire i modo coerete il puto di vista assiomatico per defiire, occorrerebbe esplorare due questioi: 2 Si oti che l assioma di completezza assicura l esisteza di almeo u elemeto separatore, o la sua uicità. Vedremo però più avati u caso importate i cui esiste u uico elemeto separatore: si tratta del caso i cui l isieme B è costituito da tutti i umeri reali che soo maggiori o uguali di ogi elemeto di A. I tale caso l elemeto separatore è uico ed è l estremo superiore di A. Pag. 6

7 a) (Esisteza). Esistoo modelli di umeri reali? Vale a dire, esistoo dei metodi per costruire (a partire dai razioali, o da N) delle strutture che soddisfio tutti gli assiomi richiesti? (A priori, potrebbe ifatti accadere che u sistema di assiomi sia icompatibile, ossia cotraddittorio. I tal caso, staremmo parlado del ulla). b) (Uicità). Esistoo modelli dei reali, che siao diversi tra loro i modo esseziale? Seza etrare ei dettagli 3, rispodiamo a queste domade. Azitutto, esistoo metodi per costruire modelli di umeri reali, a partire dai razioali: il metodo delle sezioi (Dedekid, 872), il metodo delle succesioi di Cauchy (Cator, 872), il metodo delle semirette razioali eccetera. Quato alla questioe dell uicità, si dimostra questo otevole teorema: Se K e K soo due campi ordiati completi, allora esiste u isomorfismo (e uo solo) da K a K, ossia esiste u uica applicazioe biuivoca K f K, che preserva la somma, il prodotto e l ordiameto: f(x + y) = f(x) + f(y) f(xy) = f(x)f(y) x y = f(x) f(y) (.5) This theorem brigs to a ed our ivestigatio of the real umbers, ad resolves ay doubts about them: There is a complete ordered field ad, up to isomorphism, oly oe complete ordered field. It is a importat part of a mathematical educatio to follow a costructio of the real umbers i detail, but it is ot ecessary to refer ever agai to this particular costructio. It is utterly irrelevat that a real umber happes to be a collectio of ratioal umbers, ad such a fact should ever eter the proof of ay importat theorem about the real umbers. easoable proofs should use oly the fact that the real umbers are a complete ordered field, because this property of the real umbers characterizes them up to isomorphism, ad ay sigificat mathematical property of the real umbers will be true for all isomorphic fields. To be cadid I should admit that this last assertio is just a prejudice of the author, but it is oe shared by almost all other mathematicias. (M. Spivak, Calculus, Third editio, Publish or Perish, 994, p.595) 2 Alcue proprietà dei umeri reali 2. Esisteza dell estremo superiore Ua cosegueza fodametale della proprietà di completezza di è l esisteza dell estremo superiore. Premettiamo alcue defiizioi. Sia E u sottoisieme (o vuoto) di. U umero b si chiama ua itazioe superiore di E se x E x b (2.) 3 Per approfodimeti: H.-D. Ebbighaus, H. Hermes, F. Hirzebruch et al., Numbers, Spriger, 99. Oppure: M. Spivak, Calculus, Third editio, Publish or Perish, 994. Pag. 7

8 (Si oti che o si richiede che b appartega a E). U isieme E si dice superiormete itato se esistoo itazioi superiori di E. U umero M si chiama il massimo di E se è ua itazioe superiore di E e ioltre appartiee a E: M E e per ogi x E x M (2.2) U umero a si chiama ua itazioe iferiore di E se x E a x (2.3) (Si oti che o si richiede che a appartega a E). U isieme E si dice iferiormete itato se esistoo itazioi iferiori di E. U umero m si chiama il miimo di E se è ua itazioe iferiore di E e ioltre appartiee a E: m E e per ogi x E m x (2.4) U sottoisieme E si dice itato quado è sia superiormete itato che iferiormete itato. U isieme itato di umeri reali può o avere il miimo o il massimo (ad esempio l itervallo aperto (0, ) o ha miimo é massimo). Ovviamete, se il miimo (o il massimo) esiste, è uico 4. Dimostriamo ora che l assioma di completezza, ella forma della proprietà di separazioe (.4) implica la proprietà di esisteza dell estremo superiore. Teorema 2. (Esisteza del sup). Ogi sottoisieme E o vuoto e superiormete itato possiede ua miima itazioe superiore. Questa miima itazioe superiore si chiama estremo superiore di E e si deota sup E. Dimostrazioe. Deotiamo Z = {z x E x z} (2.5) l isieme di tutte le itazioi superiori di E. (L isieme Z o è vuoto, perché, per ipotesi, E è superiormete itato). Per l assioma di completezza visto sopra (Proprietà di Separazioe), esiste u umero λ che soddisfa le due disuguagliaze La prima disuguagliaza x E z Z x λ z (2.6) dice che λ è ua itazioe superiore di E. La secoda disuguagliaza x E x λ (2.7) z Z λ z (2.8) esprime il fatto che λ è la miima itazioe superiore di E, cioè che fra tutte le itazioi superiori di E, λ è la più piccola. Tale miima itazioe superiore è ovviamete uica, i quato è il miimo dell isieme Z dei maggiorati. (Il miimo di u isieme è sempre uico). Q.E.D. I modo del tutto simile, si dimostra che: 4 Se m, m soo elemeti miimi di u isieme E, si deve avere m m e m m. Duque m = m. Pag. 8

9 Ogi sottoisieme E o vuoto e iferiormete itato possiede ua massima itazioe iferiore. Questa massima itazioe iferiore si deota if E e si chiama estremo iferiore di E. Osservazioe. Abbiamo visto che la proprietà di separazioe (l assioma di completezza che abbiamo euciato precedetemete) implica l esisteza dell estremo superiore. Si dimostra che vale ache l implicazioe iversa: i u campo ordiato, la proprietà di esisteza dell estremo superiore (di isiemi o vuoti e superiormete itati) implica la proprietà di separazioe. Duque le due proprietà soo equivaleti (i u campo ordiato); ua qualuque di esse può essere utilizzata per esprimere la proprietà di completezza di. Potremmo duque richiedere direttamete la completezza di co l assioma seguete: Assioma di completezza. Secoda forma: Proprietà di esisteza dell estremo superiore. Ogi sottoisieme E o vuoto e superiormete itato possiede ua miima itazioe superiore. 2.2 Proprietà di Archimede. Teorema 2.2 (Proprietà di Archimede). Siao a, b umeri reali positivi. Allora esiste u umero aturale tale che a > b. Ituitivamete, questa proprietà dice che fissato u umero a > 0 (per quato piccolo possa essere) e fissato u umero positivo b (per quato grade possa essere), esiste sempre u multiplo a di a che supera b. (Naturalmete, le espressioi umero grade o piccolo o hao alcu sigificato). Ne segue che vale il fatto seguete. Suppoiamo che c sia u umero che soddisfi queste due proprietà: ) c 0; 2) per ogi ε > 0 si ha c ε. Allora c = 0. (Ifatti, se fosse c > 0, per qualche aturale si avrebbe c >, ossia c > ). I altri termii, i o esistoo umeri ifiitesimi, se co questo termie si itedoo umeri che siao positivi, ma miori o uguali a ogi umero positivo. Dimostrazioe. N, ossia (Proprietà di Archimede.) Suppoiamo che la tesi sia falsa. Allora a b per ogi b a (2.9) per ogi N. Da 2.9 segue che l isieme N è superiormete itato. Quidi N ha u estremo superiore, diciamo L: L = sup N Poiché L è per defiizioe la miima itazioe superiore di N, il umero L o può essere ua itazioe superiore di N. Duque esiste u 0 N tale che 0 > L (2.0) Ma allora 0 + > L. Assurdo, perché abbiamo trovato u umero aturale (il umero 0 + N) maggiore di L = sup N. Q.E.D. Pag. 9

10 2.3 Valore assoluto e distaza Defiizioe 2.3. Il valore assoluto di u umero reale a, deotato a, è defiito i questo modo: a se a > 0, a = 0 se a = 0, a se a < 0. Defiizioe 2.4. La distaza tra due umeri reali x, y, deotata d(x, y), è defiita da: d(x, y) = x y (2.) Occorre ricordare la disuguagliaza triagolare: x + y x + y (2.2) valida per ogi x, y i. Per la dimostrazioe della disuguagliaza triagolare (2.2), si veda l esercizio Limiti di successioi Defiizioe 2.5. Si chiama successioe i u isieme A o successioe di elemeti di A ua fuzioe N a A il cui domiio è l isieme N = {0,, 2, 3, 4,...} dei umeri aturali e il cui codomiio è A. Defiizioe 2.6. Si dice che la successioe a i tede al umero reale L, (o coverge a L, o ha per ite L) e si scrive + a = L se per ogi ɛ > 0 esiste u umero aturale r tale che, per ogi i N, > r = a L < ɛ A parole: a = L sigifica che la distaza d(a, L) (che è data da a L ) diveta arbitrariamete piccola, per tutti gli sufficietemete gradi. È utile itrodurre questo modo di dire: i termii di ua successioe godoo defiitivamete di ua proprietà se la possiedoo a partire da u certo idice i poi. Detto altrimeti, i termii di ua successioe possiedoo defiitivamete ua proprietà se a o soddisfa quella proprietà solo per u umero fiito di idici. Ad esempio, la successioe a = 0 è defiitivamete egativa, perché a è egativo per tutti gli maggiori di. Possiamo allora dire che: Ua successioe a tede a L quado tede a + se, per ogi ɛ > 0, la distaza di a da L è defiitivamete miore di ɛ. Pag. 0

11 Esempio. U ite fodametale, che segue dalla proprietà di Archimede, è il seguete: + = 0 Dimostrazioe. Fissiamo u ε > 0. Per la proprietà di Archimede, esiste u umero aturale 0 per il quale si ha 0 ε >, ossia 0 < ε. Allora per tutti i umeri aturali > 0 si ha 0 < < 0 < ε Quidi, per la defiizioe di ite, si ha + = 0. Esempio. U altro ite fodametale è + 2 = 0 Dimostrazioe. Segue dalla disuguagliaza 0 < 2 <, che vale per ogi itero positivo e dal fatto che + = 0. Ua successioe può divergere a +, oppure a. Diamo le defiizioi: Defiizioe 2.7. Si dice che la successioe di umeri reali a diverge a + (o tede a + ) e si scrive a = + se per ogi M > 0 esiste u umero aturale r tale che per ogi > r. a > M La variate da apportare per defiire le successioi divergeti a è ovvia: Defiizioe 2.8. Si dice che la successioe di umeri reali a diverge a (o tede a ) e si scrive + a = se per ogi M < 0 esiste u umero aturale r tale che per ogi > r. a < M Pag.

12 Esempio La successioe a = 2 dei quadrati degli iteri aturali, diverge a +. Ifatti, fissato M > 0, la disuguagliaza 2 > M è soddisfatta da tutti gli iteri maggiori di M. 2.5 Uicità del ite. Permaeza del sego. Per quato ovvio questo fatto possa sembrare, dimostriamo che ua successioe i o può avere due iti distiti: Teorema 2.9 (Uicità del ite). Ua successioe i può avere al più u ite. Dimostrazioe. Suppoiamo che L e L siao etrambi iti della successioe (a ). Per ogi ε > 0 esiste u K N tale che a L < ε/2 per tutti gli K, e esiste u K N tale che a L < ε/2 per tutti gli K. Chiamiamo K il più grade tra K e K. Allora, per ogi K, applichiamo la disuguagliaza triagolare (2.2) e otteiamo L L = L a + a L L a + a L < ε/2 + ε/2 = ε (2.3) Dal mometo che ε è u umero positivo arbitrario, cocludiamo che L = L. Q.E.D. Teorema 2.0 (Permaeza del sego). Sia a ua successioe covergete i al umero L. Se L > 0, allora i termii della successioe soo defiitivamete positivi. Dimostrazioe. Se ε è sufficietemete piccolo, l itoro (L ε, L + ε) di L o cotiee lo 0 (per esempio, basta predere ε < L/2) e quidi è costituito iteramete da umeri positivi. Fissato u tale ε, esiste u umero aturale 0 tale che per ogi N soddisfacete > 0, risulta a (L ε, L+ε): 0 < L ε < a < L + ε Duque, per ogi > 0, a è maggiore di zero. Q.E.D. I modo aalogo, si dimostra che se la successioe a coverge al umero L < 0, allora i suoi termii soo defiitivamete egativi. Pag. 2

13 2.6 Le successioi i cresceti e itate covergoo. Nel teorema seguete si usa i modo decisivo l assioma di completezza. Teorema 2. (Successioi mootoe itate). Ogi successioe i che sia crescete a < a 2 < a 3 < < a < a + < (2.4) e (superiormete) itata è covergete. Precisamete, coverge all estremo superiore dell isieme dei suoi termii. Se ivece ua successioe è decrescete e itata, covergerà all estremo iferiore dell isieme dei suoi termii. Dimostrazioe. Sia (a ), N, ua successioe crescete e itata. Chiamiamo A = {a, N} l isieme dei suoi elemeti. Per ipotesi l isieme A è (o vuoto e) itato. Pertato (qui si usa la completezza dei reali) A ha u estremo superiore. Poiamo L = sup A. icordiamo che l estremo superiore L di A è il umero reale caratterizzato dalle due proprietà segueti:. a L per ogi N. (L è ua itazioe superiore per A). 2. Per ogi L < L esiste u a k A per il quale L < a k. (L è la miima itazioe superiore di A, ossia essu umero L più piccolo di L è ua itazioe superiore per A). Dimostriamo che a coverge a L. Sia ε > 0 arbitrario. Siccome il umero L ε è miore di L, o può essere ua itazioe superiore dell isieme A = {a, N}. Duque esiste u itero k per il quale L ε < a k. Poiché la successioe è crescete, per tutti gli > k si ha a k < a e quidi L ε < a, defiitivamete. Ma per ogi si ha a L. Quidi si ha L ε < a L per tutti gli > k. Per l arbitrarietà di ε, si coclude che a tede a L. Q.E.D. U applicazioe importate. Come applicazioe del teorema precedete, si cosideri la successioe i : ( + ) =, 2,... Si dimostra ( (si veda il teorema 3.5) che tale successioe è crescete e itata. (Ad esempio, si dimostra che + ) ( 3, per ogi ). Allora per il teorema 2., la successioe + ) coverge a u ite, detto costate di Nepero, che si deota co la lettera e. Si poe duque per defiizioe: ( e = + ) + Pag. 3

14 Si tratta di u umero irrazioale, le cui prime cifre decimali soo date da: e = Si oti che la dimostrazioe del precedete teorema 2. sfrutta i modo esseziale la completezza di, sotto la forma dell esisteza dell estremo superiore. Ovviamete il teorema o vale i Q, dove si possoo trovare, ad esempio, successioi cresceti e itate di razioali che covergoo i a 2, e quidi i Q o covergoo. 2.7 Proprietà degli itervalli compatti iscatolati Dall assioma di completezza dei umeri reali, segue la validità del seguete teorema, che utilizzeremo i seguito (ad esempio el teorema degli zeri per le fuzioi cotiue). Per itervallo di itediamo u sottoisieme di di uo dei segueti tipi (a, b soo umeri reali, a b):. (a, b) = {x a < x < b} (itervallo aperto); 2. [a, b) = {x a x < b} ; 3. (a, b] = {x a < x b}, 4. [a, b] = {x a x b}, (itervallo chiuso e itato, o itervallo compatto); 5. (, b) = {x x < b}, (semiretta aperta); 6. (, b] = {x x b}, (semiretta chiusa); 7. (a, ) = {x a < x}, (semiretta aperta); 8. [a, ) = {x a x}, (semiretta chiusa); 9. L itera retta reale. Più i geerale, si dao queste defiizioi. U qualuque sottoisieme E di (ache o u itervallo) si dice itato se esiste u umero M tale che, per ogi x E, si ha x < M. U sottoisieme F di si dice chiuso i se sodisfa la proprietà seguete: per ogi successioe x di elemeti di F, se x = c, allora c appartiee a F. I altri termii, u sottoisieme F di è + chiuso se cotiee i iti di tutte le successioi (covergeti) di suoi elemeti. Teorema 2.2 (Proprietà degli itervalli compatti iscatolati). Sia I = [a, b ] = {x a x b }, (a < b ), N ua successioe di itervalli compatti (cioè chiusi e itati) dell asse reale, tali che ciascuo di essi icluda il successivo: I 0 I I (2.5) Allora l itersezioe + =0 che appartiee a tutti gli itervalli I, N. I di tutti gli itervalli I o è vuota, cioè esiste (almeo) u puto c Pag. 4

15 Se ioltre le lughezze b a degli itervalli I tedoo a zero, allora è uico il puto c che appartiee a tutti gli I. (b a ) = 0 (2.6) + Osservazioe. Grazie a questo teorema, potremo dire che ogi successioe I di itervalli compatti iscatolati, le cui ampiezze tedoo a zero, rappreseta u umero reale, determiato i modo uico da quella successioe di itervalli compatti iscatolati. Ci si covice facilmete che il teorema o sussiste el campo dei razioali 5. Ioltre, il teorema o sussiste, emmeo i, se si toglie l ipotesi che gli itervalli siao compatti. 6 Dimostrazioe. Dall ipotesi 2.5, che possiamo scrivere, i modo equivalete, come a 0 a a a + b + b b b 0 (2.7) si vede facilmete che, per ogi, m N (ache diversi tra loro) Poiamo a b m A = {a, N}, B = {b m, m N} L isieme A è superiormete itato (u qualuque elemeto di B è ua itazioe superiore di A) e l isieme B è iferiormete itato (u qualuque elemeto di A è ua itazioe iferiore di A). Allora, per il teorema di esisteza del sup (teorema 2.), esistoo sup A e if B. Poiamo sup A = α e if B = β. Ovviamete, si ha a α β b m I particolare, per = m, abbiamo N a α β b Duque ogi puto dell itervallo [α, β] è coteuto i oguo degli itervalli I. dimostrato che l itersezioe + =0 I di tutti gli itervalli I o è vuota. Abbiamo così Dimostriamo ora che, se le ampiezze (b a ) tedoo a zero, allora α = β e quidi esiste u uico puto α = β che appartiee a tutti gli I. Ifatti, se fosse α < β, avremmo, per ogi N, a α < β b 5 Ad esempio, ella retta razioale Q, si cosideri la successioe di itervalli I = [( + ), ( + )+ ]. No esiste alcu umero razioale che appartega a tutti questi itervalli. (I, l uico puto che appartiee a tutti questi itervalli I è la costate di Nepero e, che però o è razioale). 6 Ad esempio, si cosideri la successioe di itervalli (itati, ma o chiusi) iscatolati A = (0, /),. Ovviamete o esiste alcu umero reale che appartega a A per ogi. Esercizio: Trovare ua successioe J di itervalli iscatolati che siao chiusi e o itati, per i quali l itersezioe J sia vuota. Pag. 5

16 Ma allora tutte le ampiezze b a sarebbero maggiori di β α: b a β α > 0 Questo cotraddice l ipotesi (b a ) = 0. + Q.E.D. 2.8 L isieme dei razioali è umerabile Si dice che due isiemi X e Y hao la stessa cardialità se si possoo mettere i corrispodeza biuivoca, cioè se esiste ua fuzioe bigettiva (cioè iiettiva e suriettiva) da X a Y. U isieme T si dice umerabile se ha la stessa cardialità dell isieme N = {0,, 2, 3, 4,...} dei umeri aturali. 7 Ad esempio, l isieme P = {0,, 4, 9,..., 2,...} dei quadrati perfetti è umerabile. Si oti che P ha la stessa cardialità di N, ache se è u sottoisieme proprio di N. Teorema 2.3. L isieme Q dei umeri razioali è umerabile. Dimostrazioe. (Cei). Vediamo l idea della dimostrazioe. Basta dimostrare che l isieme Q >0 dei razioali positivi è umerabile 8. Cosideriamo allora questa tabella ifiita: L elemeto a m, che si trova ell itersezioe tra la riga m e la coloa è la frazioe m/. L isieme costituito da tutti gli elemeti a m, di tale tabella è umerabile. Ifatti, gli elemeti a m, = m/ si possoo ordiare ella seguete successioe:, 2, 2, 3, 2 2, 3, 4, 2 3, 3 2, 4,... (Elechiamo gli elemeti a m, = m/ scrivedo prima quello co m + = 2, poi quelli co m + = 3, poi quelli co m + = 4 eccetera.) L isieme Q >0 dei razioali positivi è u sottoisieme dell isieme degli elemeti che figurao ella tabella. Quidi ache Q >0 è umerabile. Q.E.D. 7 Si dice ache che gli isiemi umerabili hao cardialità ℵ 0 (aleph zero) o hao la cardialità del umerabile. 8 Ifatti, se i razioali positivi si possoo ordiare ella successioe r, r 2, r 3,.., allora tutti i razioali si possoo elecare come r, r, r 2, r 2, r 3, r 3,... Pag. 6

17 2.9 L isieme dei umeri reali o è umerabile. (Prima dimostrazioe). Teorema 2.4. L isieme dei umeri reali o è umerabile. Dimostrazioe. Dimostriamo che l itervallo [0, ] o è umerabile. (Questo implica ovviamete che o è umerabile). agioiamo per assurdo. Suppoiamo che l isieme [0, ] sia umerabile, vale a dire che si possao ordiare tutti gli elemeti di [0, ] i ua successioe x, x 2, x 3,..., x,.. (2.8) Poiamo I 0 = [0, ]. Sia I I 0 u qualuque itervallo chiuso di lughezza positiva (cioè o costituito da u sigolo puto) che o cotega x. Sia I 2 I u qualuque itervallo chiuso di lughezza positiva che o cotega x 2. Procededo i questo modo, costruiamo ua successioe di itervalli chiusi iscatolati I 0 I 2 I tali che x I, per ogi N. Per il teorema sugli itervalli iscatolati, esiste u umero reale c che appartiee a tutti gli I, N. Per ipotesi, questo umero c deve figurare ella successioe 2.8: c = x k, per u k opportuo. Ma per il modo i cui abbiamo costruito la successioe I, l itervallo I k o cotiee x k = c. Quidi c o appartiee a tutti gli itervalli I. Siamo arrivati a ua cotraddizioe. Q.E.D. 2.0 appresetazioe biaria e rappresetazioe decimale dei umeri reali Diamo u ceo alla rappresetazioe dei umeri reali i base 2 (rappresetazioe biaria) o i base 0 (rappresetazioe decimale). La rappresetazioe dei umeri i ua base b arbitraria (b N, b 2), si tratta i modo del tutto aalogo. appresetazioe i base 2. Vediamo, azitutto, come si rappreseta u umero aturale N i base 2, utilizzado solo le due cifre 0 e. Limitiamoci a illustrare il cocetto co u esempio, che dovrebbe bastare per capire come si procede el caso geerale. Vogliamo scrivere i base 2 il umero 2, (ossia, per essere più precisi, il umero la cui scrittura i base 0 è 2). Si tratta di scrivere 2 come somma di poteze 2 k, k = 0,, 2,... La più grade poteza di 2 che o supera 2 è 2 4 = 6. estao = 5 uità. La più grade poteza di 2 che o supera 5 è 2 2 = 4. La differeza è = = 2 0. Quidi, abbiamo 2 = Pertato la scrittura i base 2 di 2 è 00. Ora, ogi umero reale x si scrive come somma della sua parte itera [x] (defiita come il più grade itero miore o uguale a x) e di u umero (detto talvolta matissa di x) che si trova ell itervallo [0, ) (0 icluso, escluso). Abbiamo già visto come si rappreseta, i base 2, la parte itera (che potrà essere ache u itero egativo). esta allora da vedere come rappresetare, i base 2, u qualuque umero reale compreso tra 0 e. Pag. 7

18 Sia c u umero reale ell itervallo [0, ]. Associamo a c la sequeza di cifre 0 e costruita el modo seguete. Dividiamo l itervallo [0, ] i due parti uguali; se c sta ella metà di siistra, scriviamo la cifra 0, se sta i quella di destra, scriviamo la cifra. Poi iteriamo il procedimeto. Vale a dire, dimezziamo acora il semi-itervallo che cotiee c, e scriviamo 0 se c sta ella metà di siistra, se sta ella metà di destra. E così via. Ua difficoltà asce quado c coicide co il puto di mezzo di u itervallio. 9 I questo caso, scegliamo l itervallo di destra, ossia scriviamo la cifra. Il motivo di questa scelta sta el fatto che i questo modo, ei passi successivi, avremo sempre 0; se ivece scegliessimo l itervallio di siistra, otterremmo il periodo. Per esempio, scriveremo 0, 0000, e o 0, 0... I questo modo, a ogi umero reale compreso tra 0 e associamo ua successioe di cifre 0 e, che o è defiitivamete uguale a. Viceversa, ua sequeza 0, a a 2 a 3 a 4...a... (2.9) di cifre 0 e assega ua regola per costruire ua successioe di itervalli dimezzati, a partire dall itervallo [0, ], e quidi (per la proprietà degli itervalli iscatolati) determia u umero reale i [0, ]. Descriviamo questa regola. Dividiamo l itervallo I = [0, ] i due parti uguali. Se a = 0, scegliamo la metà di siistra; se a =, scegliamo la metà di destra. Chiamiamo I 2 l itervallo che abbiamo scelto i questo modo. Al secodo passo, dimezziamo acora I 2 ; se a 2 = 0, prediamo la metà di siistra, se a 2 =, prediamo la metà di destra. Iterado il procedimeto, otterremo ua successioe di itervalli dimezzati I I 2 I 3... Ad esempio, se la sequeza iizia co 0, 00..., i primi itervalli iscatolati sarao [ ] 2, [ 2, 3 ] [ 4 2, 5 ] [ 9 8 6, 5 ] 8 iassumedo: i umeri reali si rappresetao, i base 2, come allieameti di cifre uguali a 0 o. A siistra della virgola, scriviamo la rappresetazioe biaria della parte itera; a destra della virgola, scriviamo la rappresetazioe biaria di u umero ell itervallo [0, ). La corrispodeza tra l isieme di tali allieameti biari e è biuivoca, pur di utilizzare sequeze proprie, cioè sequeze di 0 e che o siao defiitivamete uguali a. appresetazioe i base 0. I modo del tutto simile si procede se si sceglie la base 0. Ad esempio, vediamo come si costruisce la rappresetazioe decimale di u umero c (0.). Dividiamo l itervallo [0, ] i 0 parti uguali [ 0, ] [, 0 0, 2 ] [ ] 9,..., 0 0, Se c appartiee al primo itervallio (0, /0), fissiamo la cifra 0; se appartiee al secodo itervallio (/0, 2/0), fissiamo la cifra eccetera; se appartiee all ultimo itervallio (9/0, ), fissiamo la cifra 9. Iterado il procedimeto, costruiamo u allieameto di cifre 0,, 2, 3,..., 9. Occorre però fare attezioe al caso i cui il umero c sia estremo comue di due itervallii cotigui. 0 I questo caso, sceglieremo l itervallo di destra, i modo da evitare il periodo 9. Ad esempio, scriveremo 0, aziché 0, Naturalmete, se il umero c è arbitrario (o ecessariamete compreso tra 0 e 9 Questo fatto si verifica quado c è ua frazioe il cui deomiatore è ua poteza di 2. I razioali che si scrivoo come m/2 k, m, k N si chiamao razioali diadici. 0 Questo accade quado c è ua frazioe il cui deoiatore è ua poteza di 0. I razioali il cui deomiatore è ua poteza di 0 si chiamao razioali decimali. Pag. 8

19 ), rappreseteremo c come la sua parte itera seguita (dopo la virgola) dalla sua parte decimale (che è u umero compresa tra 0 e ). I defiitiva: chiamiamo allieameto decimale proprio u allieameto decimale i cui le cifre o siao defiitivamete (cioè da u certo posto i poi) uguali a 9. Allora il procedimeto descritto sopra defiisce ua fuzioe ivertibile (cioè, iiettiva e suriettiva) da all isieme D di tutti gli allieameti decimali propri. f D (2.20) Dimostreremo più avati (si veda il teorema 3.4) che u umero reale è rappresetato da u allieameto decimale periodico (magari co periodo 0) se, e solo se, è razioale. Duque, i umeri irrazioali soo rappresetati dagli allieameti decimali o periodici. 2. L isieme dei umeri reali o è umerabile. (Secoda dimostrazioe). Presetiamo ua secoda dimostrazioe - dovuta a Georg Cator - del fatto che l isieme o è umerabile. Il metodo della dimostrazioe è chiamato procedimeto della diagoale, o argometo della diagoale. Teorema 2.5 (Georg Cator, 890.). L isieme dei umeri reali o è umerabile. Dimostrazioe. Suppoiamo, per assurdo, che l isieme sia umerabile, cioè che esista ua fuzioe f ivertibile N. La rappresetazioe decimale dei umeri reali defiisce ua fuzioe ivertibile g D, dove D è l isieme degli allieameti decimali propri (quelli seza periodo 9). Duque la fuzioe composta N g f D defiisce ua fuzioe ivertibile da N a D. Allora tutti gli allieameti decimali (propri) soo ordiati i ua successioe: a 0 = α 0 0, α 0 α 0 2α α 0... a = a 0, α α 2α 3...α... a 2 = a 2 0, α 2 α 2 2α α 2... a 3 = a 3 0, α 3 α 3 2α α a = a 0, α α 2 α 3...α (Qui i termii prima della virgola, cioè α 0 0, α 0, α 2 0,... eccetera, soo umeri iteri: rappresetao la parte itera del umero. Le cifre dopo la virgola rappresetao la parte decimale). Ora proviamo - co ua tecica dimostrativa dovuta a Georg Cator, detta argometo diagoale - che esiste u allieameto decimale proprio che o compare ella lista di sopra. L idea è di defiire u tale allieameto decimale i modo tale che differisca dal primo termie a 0 dell eleco per l itero α 0 0, che differisca dal termie a per la prima cifra α dopo la virgola e, i geearle, differisca da a per l eesima cifra decimale α. Per esempio, defiiamo l allieameto decimale b = β 0, β β 2 β 3..β... Pag. 9

20 el modo seguete. Sia β 0 u qualuque itero diverso da α0 0 e, per ogi, poiamo { 7 se α è ua delle cifre 0,, 2, 3, 4, β = 3 se α è ua delle cifre 5, 6, 7, 8, 9. L allieameto decimale b così defiito è proprio (cioè o ha periodo 9) ed è diverso da ogi termie della successioe a 0, a,..., a,... Ifatti, differisce dal primo termie a 0 perché β 0 α0 0 e, per ogi, differisce da a almeo per la -esima cifra decimale α. Quidi la fuzioe N D, a, o è suriettiva. Siamo arrivati a u assurdo, perché avevamo supposto che questa fuzioe fosse biuivoca. Cocludiamo allora che o è umerabile. Q.E.D. 2.2 Q è deso i L isieme Q dei umeri razioali è umerabile (teorema 2.3), metre l isieme dei umeri reali o lo è (teorema 2.5). Questi due fatti isieme implicao allora (la dimostrazioe o è difficile ) che l isieme \ Q dei umeri irrazioali (cioè, lisieme dei umeri reali che o soo razioali) o è umerabile. Duque, possiamo riassumere la situazioe, i modo u po iformale, dicedo che ci soo più umeri irrazioali che umeri razioali. Malgrado il fatto che i umeri razioali siao meo umerosi dei razioali, vale u importate proprietà, che si chiama proprietà di desità dei razioali ell isieme dei reali: Ogi umero reale può essere approssimato, co ogi desiderato grado di precisioe, per mezzo di umeri razioali. Co i prossimi due teoremi, euciamo i modo preciso la proprietà di desità di Q i i due modi diversi, ma tra loro quivaleti. Teorema 2.6 (Q è deso i. Prima formulazioe). Se a, b soo umeri reali e a < b, allora esiste u umero razioale g tale che a g b I geerale, u sottoisieme D di u isieme ordiato X si dice deso i X se per tutte le coppie x < y i X esiste u d D tale che x < d < y. Qui abbiamo D = Q e X =. Dimostrazioe. Primo caso. Se a < 0 < b, basta predere g = 0. Secodo caso. Suppoiamo 0 < a < b. Per la Proprietà di Archimede (teorema 2.2) (applicata alla coppia di umeri b a e ) esiste u umero aturale per il quale si ha (b a) >. Poiché b a = (b a) > (cioè i umeri a e b distao tra loro più di ) sicuramete tra a e b ci deve essere (almeo) u umero itero m: a < m < b (2.2) Ifatti, si dimostra che l uioe di due isiemi umerabili è umerabile. Duque, se, per assurdo, l isieme degli irrazioali fosse umerabile, ache (che è l uioe dei razioali e degli irrazioali) sarebbe umerabile, il che o è vero. Duque, si coclude che l isieme degli irraziali è o-umerabile. Pag. 20

21 Ma allora a < m < b (2.22) Duque abbiamo trovato u umero razioale g = m fra a e b. Terzo caso. Suppoiamo a < b < 0. Allora 0 < b < a e così ci siamo ricodotti al caso precedete. Sappiamo allora che esiste u umero razioale g tale che Passado agli opposti, abbiamo b < g < a a < g < b Ache i questo caso abbiamo trovato u umero razioale (il umero g) che soddisfa la codizioe richiesta. Q.E.D. Ovviamete dal teorema appea dimostrato segue che ogi itervallo (a, b) cotiee ifiiti puti razioali. Ifatti tra a e b ci deve essere almeo u puto razioale q ; tra a e r u secodo r 2 e così via. Teorema 2.7 (Q è deso i. Secoda formulazioe). Ogi umero reale è ite di ua successioe di razioali. Dimostrazioe. Si tratta di u ovvia rilettura del teorema precedete. Ifatti, sia α u umero reale qualsiasi. Tra α e α c è almeo u razioale, diciamo x. Tra α e α c è almeo u razioale, 2 diciamo x 2. I geerale, per ogi aturale, tra α e α c è u razioale x. Poiché α x <, la successioe x tede coverge ad α. (La dimostrazioe che abbiamo dato è puramete esisteziale, cioè o abbiamo dato ua defiizioe costruttiva della successioe x ). Q.E.D. U altra dimostrazioe, più diretta, del fatto che ogi umero reale α sia ite di ua successioe di razioali si ottiee pesado alla rappresetazioe di α come allieameto decimale proprio: α = a 0, a a 2 a 3... (2.23) Allora è evidete che la successioe di umeri razioali (più precisamete, decimali) y 0 = a 0. y = a 0. a, y 2 = a 0. a a 2,...y k = a 0. a a 2 a...a k,... tede a α, perché la distaza tra α e y k è maggiorata da 0 k : (e quidi tede a zero quado k + ). α y k 0 k Ad esempio, cosideriamo α = 2 = Allora x =, x 2 =.4, x 3 =.44, x 4 =.442,... è ua successioe di umeri razioali che coverge a 2. Si tratta i particolare di umeri decimali, cioè di umeri razioali del tipo m. Duque ache l isieme dei umeri decimali è deso i. I 0k altri termii, u qualuque umero reale si può approssimare co precisioe arbitraria co umeri decimali. Pag. 2

22 3 Complemeti. Serie umeriche, o somme ifiite. Questo argometo è u approfodimeto facoltativo; o è i programma. 3. Sigificato di ua somma ifiita Cerchiamo di dare u sigificato a ua somma di ifiiti umeri, come ad esempio: (3.) (3.2) (3.3) Per dare sigificato a ua somma ifiita, detta ache serie (umerica), del tipo + =0 a = a 0 + a + a a +... (3.4) procediamo come segue. Cosideriamo la successioe delle somme parziali S, dove, per ogi i N, S = a 0 + a + + a Se la successioe S coverge a u umero (fiito) S, si dice che S è la somma della serie scrive S = + a Se ivece la successioe S delle somme parziali diverge a + (o a ) si dice che la serie =0 + =0 a e si + a diverge a + (o a ). Se ifie la successioe delle somme parziali S o coverge e o diverge, o daremo alcu sigificato all espressioe 3.4. =0 Esempio. Cosideriamo la serie + = ( + ) = ( + ) (3.5) La successioe S delle somme parziali è data da S = ( + ) = ( 2 ) + ( 2 3 ) + ( 3 4 ) + + ( + ) = + Pag. 22

23 Poiché la serie 3.5 è covergete e ha per somma : S = + = ( + ) = Esempio 2. Si cosideri la somma ifiita (3.6) 4 i cui ogi termie è ripetuto volte. Poiché la somma di addedi uguali a è uguale a, le somme parziali S m divetao arbitrariamete gradi, pur di predere m sufficietemete grade. Ne segue che la somma ifiita 3.6 diverge a +. Si oti che il termie geerale della serie 3.6 è ifiitesimo (cioè tede a zero). Quidi questo esempio mostra che ua serie umerica può divergere a + ache el caso i cui il suo termie geerale a sia ifiitesimo. Detto altrimeti, il fatto che il termie geerale di ua serie sia ifiitesimo, o è sufficiete a garatire la covergeza della serie. I modo aalogo si dimostra che la serie armoica diverge a +. Teorema 3.. Se ua serie umerica + + = = (3.7) a coverge, allora a = 0. + Dimostrazioe. Suppoiamo che + = a = L. Questo sigifica che parziale S k = a a k. Ora si oti che a = S S. Quidi: S k = L, dove S k è la somma k + a = + (S S ) = + S + S = L L = 0 + Si oti che l esempio della serie armoica 3.7 mostra che a = 0 + o implica che la serie + = a sia covergete. (3.8) 3.2 La serie geometrica Ua serie geometrica è ua somma ifiita del tipo: + =0 q = + q + q 2 + q 3 + q q +... (3.9) Pag. 23

24 Il calcolo di ua serie geometrica si trova (i forma diversa da quella attuale) el lavoro di Archimede Sulla Quadratura della parabola. Figure : Serie geometrica: iterpretazioe geometrica. [Esercizio: Dimostrare, co u argometazioe geometrica, che la base del triagolo grade è q ]. Teorema 3.2 (Carattere della serie geometrica). La serie geometrica + =0 si comporta el modo seguete:. Se q <, coverge a 2. Se q, diverge a +. q. 3. Se q, è idetermiata. q = + q + q 2 + q 3 + q q +... (3.0) Dimostrazioe. La somma parziale S è data da: S = + q + q 2 + q 3 + q q = q+ q. Se q <, la successioe q tede a zero. Quidi S = q+ q = q 2. Se q, è ovvio che la successioe S tede a Se q, il termie q + tede a + i valore assoluto, ma ha alterativamete sego positivo e egativo. Quidi la successioe S o ha ite (oscilla). Q.E.D. Pag. 24

25 Esempio. La serie geometrica di ragioe q = 2 coverge, e si ha + =0 ( 2 ) = ( 2 ) + ( 3 2 ) + = 2 = 2 se q < (3.) Per iterpretare geometricamete il risultato, si divida l itervallo [0, 2] (la cui lughezza è 2) ei due itervalli [0, ] e [, 2]; si divida acora l itervallo di destra [, 2] i due parti uguali, e così di seguito. La lughezza dell itervallo [0, 2] si può allora scrivere come somma ifiita: 2 = Esempio 2. Achille e la tartaruga. Paradosso del filosofo greco Zeoe (V secolo a.c.). Achille isegue la tartaruga, che iizialmete ha u vataggio di u metro. La velocità di Achille è di 0 metri al secodo; quella della tartaruga di metro al secodo. Dopo u decimo di secodo, Achille raggiuge la posizioe iiziale della tartaruga, ma o raggiuge la tartaruga, che el frattempo si è spostata i avati di dieci cetimetri. Quado Achille avrà percorso ache questi dieci cetimetri, o avrà comuque raggiuto la tartaruga, che el frattempo, se pur di poco (u cetimetro) si sarà spostata avati. E così via. La tartaruga sarà sempre, se pur di poco, davati a Achille. Duque Achille o la raggiugerà mai. 3.3 Sigificato di u allieameto decimale. Desità di Q i. Il fatto che i umeri reali si possao approssimare, co precisioe arbitraria, mediate umeri razioali (desità di Q i ), si vede bee ricorredo alla scrittura dei umeri reali come allieameti decimali. Sappiamo che i umeri reali si rappresetao mediate allieameti decimali del tipo: a, α α 2 α 3 α 4 α 5... (3.2) dove a è u itero relativo e α, α 2, α 3,.. soo cifre comprese tra 0 e 9. U tale allieameto può essere itato (cioè co u umero fiito di cifre diverse da zero; esempio: 0, 5 = 0, ), oppure ilitato (esempio: 0, , periodo 3; oppure: 2 =, ). Gli allieameti periodici corrispodoo ai umeri razioali, quelli o periodici ai umeri irrazioali. Ad esempio: i umeri 0, 3 = 0, (periodo 3) o, 52 =, (periodo 0) soo razioali, metre l allieameto o periodico 2 =, rappreseta u umero irrazioale. I umeri razioali la cui rappresetazioe decimale è periodica co periodo 0, cioè i umeri del tipo a, α α 2...α k = aα α 2...α k 0 k (3.3) si dicoo umeri decimali. I modo equivalete, i umeri decimali soo i umeri del tipo m 0 k dove m è i Z e k i N. Ad esempio,, 7 = 7 43 e 0, 43 = soo umeri decimali Se a > 0, il umero reale rappresetato dall allieameto 3.2 è l estremo superiore dell isieme umerico a a, α a, α α 2 a, α α 2 α 3 eccetera (3.4) Pag. 25

26 costituito dalle approssimazioi per difetto. (Cosa succede ivece se a < 0?). Ad esempio, il umero 0, (periodo 3) è l estremo superiore dell isieme umerico 0 0, 3 0, 33 0, 333 eccetera e 2 =, è l estremo superiore dell isieme umerico, 4, 4, 44 eccetera Ora la 3.4 rappreseta ua successioe o decrescete (di umeri decimali). Quidi (per il teorema sulla covergeza delle successioi itate mootòe) l estremo superiore dell isieme dei suoi termii coicide co il suo ite. Vediamo allora che l allieameto decimale (magari ifiito) a, α α 2 α 3 α 4 α 5... (3.5) ha il seguete sigificato: esso è il ite (per k che tede a + ) della successioe di umeri decimali a a, α a, α α 2... a, α α 2...α k... Ora il sigificato dell allieameto decimale fiito (co a > 0) è ovviamete a, α α 2...α k (3.6) a, α α 2...α k = a + α 0 + α α k 0 k (3.7) Quidi, i base alla defiizioe di somma di ua serie, u allieameto decimale può essere visto come ua somma di ifiiti termii: a, α α 2 α 3 α 4 α 5... = a, α α 2...α k = a + α k 0 + α α k +... (3.8) 0k iassumedo: abbiamo visto che ogi umero irrazioale può essere approssimato, co ua approssimazioe piccola quato si vuole, da umeri razioali. I termii più precisi, ogi umero irrazioale è ite di ua successioe di umeri razioali. Duque abbiamo dato u altra dimostrazioe del fatto che l isieme Q dei razioali è deso ell isieme dei reali: Teorema 3.3. L isieme dei umeri razioali è deso ell isieme dei umeri reali. Le cosiderazioi svolte sopra mostrao che ache l isieme dei umeri decimali è deso ell isieme dei umeri reali. 3.4 Numeri razioali e allieameti decimali periodici I questa sezioe dimostriamo che i umeri razioali soo esattamete i reali che si rappresetao mediate allieameti periodici (evetualmete co periodo zero): Teorema 3.4. U umero reale è razioale se e solo se è rappresetato da u allieameto decimale periodico. A) Comiciamo a dimostrare che u qualuque allieameto periodico si può sempre scrivere sotto forma di frazioe (e quidi è u umero razioale). Per covicerci, vediamo u paio di esempi. Sarà chiaro però che il discorso è del tutto geerale, vale a dire si applica a qualuque allieameto periodico (ache evetualmete preceduto da u atiperiodo). Pag. 26

27 Esempio Si cosideri il umero periodico 0, = 0,. Il suo valore è dato dalla somma ifiita: accogliedo il fattore 0 e ricordado la somma di ua serie geometrica, si ottiee: 0 ( ) = 0 0 = 9 Esempio 2 Se il periodo è costituito da più di ua cifra, si procede i modo del tutto aalogo. Ad esempio, si cosideri il umero periodico, 34 =, Il suo valore è dato da: = ( ) = = = B) Dimostriamo ora che ogi umero razioale è periodico (evetualmete co periodo zero). Sia p u umero razioale. Per trovare l allieameto decimale che lo rappreseta, si ricorre q all algoritmo di divisioe di p per q. A ogi passo di tale algoritmo, si troverà u resto, compreso tra 0 e q. Se si trova il resto 0, il procedimeto fiisce (Il umero è decimale). Altrimeti il procedimeto va avati all ifiito, e ogi volta si trova u resto compreso tra e q. Ma allora, dopo al più dopo q passi, u certo resto r si preseterà per la secoda volta. Da quel puto i poi, tutti i resti segueti si ripeterao ello stesso ordie i cui si soo succeduti dopo la prima comparsa del resto r. Questo dimostra che l espressioe decimale del umero razioale p q è periodica. 3.5 Il umero e di Napier Teorema 3.5. I, la successioe u = ( + ) (3.9) è covergete, per +. Defiizioe 3.6. Si poe, per defiizioe, La costate e si chiama costate di Napier, o ache umero di Eulero. e = Le prime cifre decimali di e soo: e = ( + (3.20) + ) Dimostrazioe. Per dimostrare che la successioe (3.9) i è covergete, dimostriamo che è crescete e superiormete itata. Pag. 27

28 . La successioe (3.9) è crescete. Per la formula della poteza -esima del biomio, u = ( + ) = = + ( ) = + + 2! + ( ) k k k=0 ( ) ( ) ( ) ( ) + 3! ( ) ( 2 ) + +! ( ) ( 2 ) ( (3.2) A parte i primi due addedi (che soo uguali a ), i termii dello sviluppo (3.2) di u si scrivoo ( ) ( 2 ) ( k ) (3.22) k! dove k = 2,...,. Da questa espressioe, si deduce che si ha u < u +. Ifatti, ello sviluppo + ( ) + di u + = comparirao + 2 termii: a parte i primi due uguali a k ( + ) k k=0 (otteuti per k = 0, ), ci sarao gli termii che si ottegoo da (3.22) sostituedo + al posto di (co k = 2,..., ), e ifie il termie. Ora, per ogi fissato k = 2,...,, ( + ) + ciascuo dei fattori ( ) (, 2 ) (,, k ) (3.23) che figurao i (3.22) aumeta quado al posto di si sostituisce + : ( ) ( < ) (, 2 ) ( < 2 ) (,, ) < + + ( ) + Ioltre, ello sviluppo del termie u + compare i più alla fie il termie, che è ( + ) + positivo. Duque u < u +, cioè la successioe (u ) è strettamete crescete. 2. La successioe (3.9) è itata. Da (3.2), poiché ciascuo dei fattori ricava A questo puto osserviamo che la serie è covergete. Ifatti, si ha: ( ) (, 2 ) (,, k ) è miore di, si u < + + 2! + 3! + +! (3.24) + + 2! + 3! + +! + + (3.25) 2! = 2, 3! = 2 3 > 2 2, 4! = > 2 3, (3.26) ) Pag. 28

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