Sistemi di Numerazione Binaria

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1 Sistemi di Numerazione Binaria 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 1

2 Numeri e numerali Numero: entità astratta Numerale : stringa di caratteri che rappresenta un numero in un dato sistema di numerazione Lo stesso numero è rappresentato da numerali diversi in diversi sistemi ES 156 nel sistema decimale CLVI in numeri romani Il numero di caratteri nel numerale determina l intervallo di numeri rappresentabili ES interi a 3 cifre con segno in notazione decimale: [-999,+999] 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 2

3 Numeri a precisione finita Numero finito di cifre Si perdono alcune proprietà: chiusura operatori ( +, -, x ) prop. associativa, distributiva,.. ES 2 cifre decimali e segno [-99,+99] 78+36=114 (Chiusura) 60+(50-40) (60+50)-40 (Associatività) Errori di arrotondamento Buchi nella rappresentazione dei reali ES usando numerali decimali con due sole cifre frazionarie: 0? /02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 3

4 C1 Sistemi posizionali Il sistema di numerazione usuale e detto POSIZIONALE o polimoniale in quanto il numero rappresentato e dato dal valore di un polinomio i cui coefficienti ( detti pesi ) sono le potenze intere e positive di 10 ( base del sistema di numerazione ) e percio ogni cifra da al valore del polinomio un contributo dipendente dalla propria posizione e dal proprio valore: 133 : 1x x x10 0 Ovvero 1x x10 + 3x1 Il sistema romano, per esempio, e invece additivo CXXXIII 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 4

5 Diapositiva 4 GC1 GREGORIO; 29/11/2007

6 Sistemi posizionali Ciascuna cifra rappresenta il coefficiente di una potenza della base L esponente è dato dalla posizione della cifra a m a m-1... a 0. a -1 a a -k m N=Σ a i b i i=-k 0 <= a i <= b-1 b = base Se la base è b occorrono b simboli: b = 10 {0,9} b = 2 {0,1} b = 8 {0,1,... 7} b = 16 {0,1,... 9,A,B,C,D,E,F} 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 5

7 Sistema decimale-binario L adozione, quasi universale, della base dieci è stata indubbiamente imposta dall anatomia delle mani, perché sulle dieci dita l uomo ha imparato a contare. Quando si debba costruire un calcolatore in base dieci occorre naturalmente disporre di elementi fisici capaci di rappresentare le cifre da 0 a 9. Per esempio nei vecchi calcolatori da tavolo questo e realizzato con ruote che hanno dieci posizioni angolari stabili, ciascuna rappresentante una cifra. 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 6

8 Sistema decimale-binario Nei calcolatori elettronici e invece necessario fare uso di elementi a due soli stati dispositivi bistabili, componenti elettronici che funzionano in on/off, cioè con le condizioni di acceso/spento oppure di si/no - per questo motivo e conveniente adottare un sistema con base due anzichè dieci. Un numerale sarà perciò una successione di zeri e di uni, ciascuno affetto da un peso che sarà una potenza intera di due. La cifra binaria si chiama bit da binary digit appunto cifra binaria. Nella memoria di un calcolatore si fa riferimento non ad un bit ma ad un ottetto di bit, chiamato byte. 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 7

9 Conversione decimale-binario 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 8

10 Conversione decimale-binario Si effettuano divisioni ripetute per 2 Il restodelle divisioni fornisce le cifre del numerale binario (a partire dalla meno significativa) ES (26) 10 =(11010) cifra meno significativa cifra più significativa Altrimenti si determina ad occhio quali potenze di 2 sono contenute nel numero ES (26) 10 = /02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 9

11 Ordini di grandezza Il meccanismo è facilissimo, purchè si conoscano le potenze di due!!!!! Le potenze di 2 potenze di = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, = ~ K 2 20 = = ~ M 2 30 = = ~ G 2 40 =... = ~ T I prefissi Kilo,Mega, Giga, Tera, etc sono per convenzione associati a potenze di 10 ES 2 26 = = 64 M Il numero di bit di un indirizzo binario determina le dimensioni della memoria 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 10

12 Intervalli rappresentati Rappresentando gli interi positivi e lo zero in notazione binaria con n cifre (bit) si copre l intervallo [0, 2 n -1] Si sfruttano tutte le 2 n disposizioni ES n=3 [0,7] Usando solo tre digit posso rappresentare 2 3 interi decimali, da zero incluso a sette incluso NB Anche gli 0 non significativi devono essere rappresentati 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 11

13 Rappresentazione valori interi negativi Esistono diversi metodi di codifica Modulo e segno Complemento a uno (obsoleto) Complemento a due Eccesso 2 m-1 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 12

14 Interi positivi e negativi 1) Modulo e segno (il piu vecchio, semplice e intuitivo) un bit per il segno 0= + 1= - i rimanenti n-1 bit valore assoluto del numero - intervallo [-2 n-1 +1, +2 n-1-1] Esempio per n= = (1111) 2-15 = (11111) = (1111) = (01111) 2 NB intervallo simmetrico doppia rappresentazione dello zero (00000,10000) necessario trattare in maniera esplicita il segno, per esempio nel caso di somma algebrica di due operandi, quindi dispositivi di calcolo più complessi quindi poco usata a vantaggio del complemento a due 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 13

15 2) Complemento a 1 (Obsoleto) Per cambiare di segno si complementa il numerale bit a bit (realizzato con la funzione NOT) I numerali positivi iniziano per 0, i negativi per 1 ES n=4 bit (3+1 segno) intervallo [-7, +7] 5 = = 1010 Complementare = cambiare segno Doppia rappresentazione dello 0 ( +0 = 0000, -0 = 1111) 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 14

16 3) Complemento a 2 I positivi hanno la stessa rappresentazione che in complemento a 1 I negativi si ottengono sommando 1 alla loro rappresentazione in complemento a 1 Regola pratica per complementare: Partendo da destra nella rappresentazione binaria si lasciano invariati tutti i bit fino al primo 1 compreso, e poi si complementa bit a bit ES n=4 bit (3 + 1 segno) +5 = 0101 coincide con binaria -5 = /02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 15

17 Numeri negativi di otto bit nei quattro diversi sistemi 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 16

18 Esercizio La conversione del numero decimale 712 con 16 bit in complemento a due è: a) b) c) Motivare brevemente la risposta (massimo tre righe) 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 17

19 Soluzione Esercizio La conversione del numero decimale 712 con 16 bit in complemento a due è: a) b) c) Motivare brevemente la risposta (massimo tre righe) Da decimale a binario: Complemento a due e estendo il segno negativo: /02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 18

20 Esercizio Si determinino le rappresentazioni in modulo e segno e in complemento a 2 su 6 bit dei seguenti numeri decimali interi: /02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 19

21 Numerali e numeri Un numerale è solo una stringa di cifre Un numerale rappresenta un numero solo se si specifica un sistema di numerazione Lo stesso numerale rappresenta diversi numeri in diverse notazioni ES il numerale rappresenta: Centodiecimilacento in base 10 (+52) 10 in binario naturale (-11) 10 in complemento a 1 (-12) 10 in complemento a 2 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 20

22 Aritmetica Binaria Le regole che caratterizzano l aritmetica binaria sono analoghe alle regole ben conosciute che valgono nel sistema decimale, con il necessario adattamento derivante dall uso limitato ai due simboli 0 e 1. 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 21

23 Addizioni binarie Le addizioni fra numerali si effettuano cifra a cifra (come in decimale) portando il riporto alla cifra successiva; sono realizzate con la funzione XOR ES = = = = 0 con il riporto di = = 0101 Se il numero di cifre non permette di rappresentare il risultato si ha un trabocco nella propagazione del riporto 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 22

24 Addizioni binarie 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 23

25 Addizioni binarie = = = = 0 con il riporto di 1 Se il numero di cifre non permette di rappresentare il risultato si ha un trabocco nella propagazione del riporto Per la somma di due numeri positivi di lunghezza K possono essere necessari K+1 bit. Se sono disponibili solo K cifre si genera un errore di overflow (o trabocco). Esempio con K=5: A = =27 10 B = = = = /02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 24

26 Esercizio Addizioni binarie = = = = 0 con il riporto di 1 Effettuare la seguente operazione tra numeri binari, ipotizzando di lavorare con un elaboratore con lunghezza di parola (word) pari a un byte (8 bit): /02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 25

27 Soluzione Esercizio = = = = 0 con il riporto di 1 Effettuare le seguenti operazioni tra numeri binari, ipotizzando di lavorare con un elaboratore con lunghezza di parola (word) pari a un byte (8 bit): Soluzione = Svolgendo i calcoli, si trova: = = /02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 26

28 Esercizi Addizioni binarie = = = = 0 con il riporto di 1 Eseguire le seguenti somme nel sistema binario: = = = = 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 27

29 Rappresentazione valori interi positivi e negativi Perché usare la rappresentazione in complemento? Semplifica le operazioni aritmetiche La differenza X Y può essere calcolata mediante la somma dei complementi: C(x-y)=C(x)+C(-y) Semplificazione dei circuiti elettronici che eseguono le operazioni 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 28

30 La differenza X Y può essere calcolata mediante la somma dei complementi: C(x-y)=C(x)+C(-y) Fermiamoci per semplicità a quattro digit X Y = C(X) + C(-Y); X=5 Y=3 >>>>>X-Y = 2 C(5) = 0101 C(-3)= 1101 Sum = 0010 >>>>>>>>> 2 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 29

31 Rapresentazione di numeri reali Rappresentazione della retta reale I numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta numerica o retta reale. 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 30

32 Rapresentazione di numeri reali Con un numero finito di cifre è solo possibile rappresentare un numero razionale che approssima con un certo errore il numero reale dato Vengono usate due notazioni: A) Notazione in virgola fissa Dedica parte delle cifre alla parte intera e le altre alla parte frazionaria + XXX.YY -> + 25,33 B) Notazione in virgola mobile Dedica alcune cifre a rappresentare un esponente della base che indica l ordine di grandezza del numero rappresentato 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 31

33 Codice Regola che associa ai simboli o sequenze di simboli di un insieme A, simboli o sequenze di simboli di un nuovo insieme B. Un codice può essere rappresentato da una tabella, in cui ai caratteri di A (es. numeri, lettere e altri simboli) corrispondono sequenze di simboli in B (es. 0 e 1)( come nel codice ASCII ). Esistono dei codici in cui alcune corrispondenze non sono univoche tra i simboli dei due insiemi (rappresentazioni). Ad esempio nel codice con complemento a 1, ci sono due codifiche per lo zero. 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 32

34 Codice ASCII La sigla "ASCII" sta per: "American Standard Code for Information Interchange", cioe' "Standard americano per lo scambio di informazioni". È un codice che sfrutta 7 bit quindi vengono codificati 2 7 caratteri cioè 128 caratteri (la numerazione va quindi da 0 a 127). il codice ASCII e' la rappresentazione numerica di un carattere in quanto il computer puo' solo capire numeri e codici. Per esempio il carattere "@" e' rappresentato dal codice ASCII "64", "Y" dall'"89", "+" dal "43", ecc. Pero' un codice ASCII puo' anche rappresentare una specifica azione, come "vai a capo", codice ASCII "10", oppure "cancella", codice "127", ecc. 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 33

35 Codice ASCII Il codice ASCII fu inventato molti anni fa per le comunicazioni fra telescriventi (infatti ci sono dei codici di comandi specifici che sono quasi incomprensibili, ma al tempo avevano la loro funzione), poi man mano e' diventato uno standard mondiale. Parlando di un caso piu' pratico, quando qualcuno richiede un testo in formato ASCII, per esempio il vostro curriculum, oppure un articolo, ecc, significa che richiede un testo nel formato standard in modo che possa facilmente riutilizzarlo nei propri programmi. Infatti il formato ASCII e' universalmente riconosciuto da tutti i computer, cosa che non e' vera nel caso di testi "formattati", cioe' con sottolineature, stili, grassetti, ecc. Un file in formato ASCII puo' essere creato utilizzando il Blocco Note di Windows, oppure salvando in formato "solo testo" da un qualsiasi programma di videoscrittura, come Word o simili. 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 34

36 Codice ASCII 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 35

37 Codice ASCII I primi 32 caratteri non sono stampabili o visualizzabili e servono per il controllo della visualizzazione a video, della stampa, ecc.; 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 36

38 Codice ASCII I rimanenti caratteri sono visualizzabili e comprendono le cifre, i caratteri, la punteggiatura e i simboli particolari. 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 37

39 Codice UNICODE Il Codice ASCII è a 7 bit, poi esteso a 8 Codice UNICODE a 16 bit, nuova proposta di standard: code points Semplifica la scrittura del software 336 code points: alfabeti latini 112 accenti e simboli diacritici Greco, cirillico, ebraico, ecc ideogrammi cinesi sillabe coreane La versione 3.0 di UNICODE (Febbraio 2000) definisce caratteri. Un consorzio assegna quello che resta, ma durerà poco. 12/02/2011 Fondamenti di Informatica - Prof. Gregorio Cosentino 38