UNITÀ DIDATTICA IL CERCHIO DI APOLLONIO

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1 Università degli Studi di Palermo Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l Insegnamento Secondario Anno accademico 001/00 Laboratorio di Giochi Matematici Prof. G. E. Perez UNITÀ DIDATTICA IL CERCHIO DI APOLLONIO Specializzandi: Dott. Irene Michela Sammaritano Dott. Caterina Riccobono Dott. Cristina Mangano Dott. Maria Domingo Ing. Alberto Occhipinti

2 INTRODUZIONE Il nostro lavoro consiste nel proporre ad un 3 anno di Liceo Scientifico Sperimentale il cerchio di Apollonio. Tale scelta ci permette, con una notazione storica, di fare un collegamento interdisciplinare anche con la filosofia; inoltre, ben si presta per evidenziare che uno stesso problema può essere risolto con linguaggi matematici diversi, quali appunto quello della Geometria Analitica e quello della Trigonometria. Così facendo, ci proponiamo di raggiungere l obiettivo principe del nostro lavoro, cioè far capire ai discenti che le varie parti della Matematica non sono slegate fra loro. Inoltre, la nostra proposta di lavoro può servire come utile strumento di autoverifica per gli alunni. Articoliamo il nostro lavoro in due fasi; una prima fase consiste nel proporre il cerchio di Apollonio come luogo geometrico. Ciò sarà fatto a conclusione del Modulo Luoghi Geometrici come esercitazione in classe. Tale esercitazione sarà successivamente supportata da una verifica in laboratorio di informatica, utilizzando il software Cabri. Una seconda fase consiste in una esercitazione in classe, all interno del Modulo Funzioni goniometriche, nella quale il cerchio di Apollonio viene proposto come problema trigonometrico. Anche questa fase sarà supportata da una verifica in laboratorio d informatica. MODULO LUOGHI GEOMETRICI Tale modulo è ripartito nelle seguenti Unità Didattiche: 1) Luoghi geometrici ) Circonferenza 3) Parabola 4) Ellisse 5) Iperbole OBIETTIVI - comprensione del concetto di luogo geometrico - riconoscere la conica dall equazione del luogo trovato - sviluppare le capacità logico-deduttive CONSEGNA Trovare l equazione del luogo geometrico dei punti P del piano per i quali il rapporto delle distanze da due punti dati A e B è costante.

3 Posto AB=a, fissiamo sul piano come asse x la retta AB e come asse y la perpendicolare ad AB nel suo punto medio. Le coordinate di A e B sono rispettivamente (-a, o), (a, o). Perché un punto appartenga al luogo considerato occorre che soddisfi la condizione: PA (1) = k PB ove k è una costante non negativa. Essendo: = ( x + a) y, PB = ( x - a) + y PA + la (1) diventa: ( x a) + y = k ( x - a) + y +, ossia, dopo facili calcoli: () ( 1- k ) x ( 1 k ) y + a( 1+ k ) x + a ( 1 k ) = 0 che è l equazione del luogo geometrico. Per k=1, l equazione () diventa: x=0, che è l equazione dell asse del segmento AB. +,

4 Per k 1, l equazione () può scriversi sotto forma: 1+ k x + y + a x + a 1- k = che è l equazione di un circolo di centro e raggio, rispettivamente: 0 1+ k -a, 0 1 k C ak r =, 1- k, detto circolo di Apollonio. Una volta determinata l equazione del luogo geometrico, e osservato che si tratta di un cerchio, l insegnante fa un breve excursus storico sulla vita di Apollonio e sui suoi studi sulle coniche sottolineando il fatto che fu proprio Apollonio ad introdurre per primo i termini parabola, ellisse e iperbole. Il docente propone, quindi, la seguente risoluzione per via sintetica: Sia X un punto del luogo, si congiunga X con i due punti fissi A e B e si tracciano le bisettrici XM e XN dell angolo AX ˆ B e del suo adiacente; dette M ed N le intersezioni delle bisettrici con la retta AB, dalle relazioni AX:XB=AM:MB=AN:BN=k si deduce che i due punti M e N sono fissi, al variare di X, e dividono il segmento AB nello stesso rapporto. Segue che i quattro punti A, B, M, N formano un gruppo armonico e quindi che l angolo MX ˆ N è retto; perciò il luogo cercato è un cerchio di diametro MN. Seguendo questa risoluzione, i discenti potranno costruire il luogo geometrico in laboratorio di Informatica, con Cabri-géomètre. (vedi file allegato Apollonio_1.fig) Per 0 < k < 1 si ha:

5 Per k = 1 si ha: Per k > 1 si ha: Modulo Funzioni goniometriche Tale modulo è ripartito nelle seguenti Unità Didattiche: 1) Funzioni goniometriche ) Variazione delle funzioni goniometriche 3) Relazioni fondamentali della goniometria OBIETTIVI - uso consapevole delle funzioni e delle proprietà studiate - presa di coscienza dei legami esistenti tra concetti incontrati in ambiti diversi - sviluppare l interesse e la motivazione dei discenti attraverso applicazioni pratiche

6 Dopo aver introdotto le funzioni goniometriche elementari, si può mostrare agli allievi come si può costruire il cerchio di Apollonio sfruttando il concetto trigonometrico della tangente di un angolo acuto dato come rapporto tra due cateti di A'' un triangolo rettangolo. È necessario far notare in primo luogo che triangoli rettangoli simili mantengono il rapporto tra i cateti sempre uguale tra loro. Risulta quindi facile disegnare una serie di triangoli rettangoli tutti simili tra loro (v. figura) ed altrettanto facile identificare la tangente dell angolo α come: AB tgα = = CB A B A B = CB CB Posto CB=m, CB'=m' e CB''=m'', risulterà pertanto 1) C α l l l tgα = = = m m m A l m B m' B' m'' Risulta chiaro, quindi che i segmenti l ed m, l' e m', l'' e m'' rappresentano grandezze che stanno tutte nello stesso rapporto fra loro. Tutto il gioco consiste adesso nel collocare queste lunghezze nel seguente modo: si disegna una circonferenza di raggio m e centro C e dopo una circonferenza di raggio l e centro in B e se ne evidenziano i punti di intersezione P 1 e P. Successivamente si fa lo stesso con le distanze l' e m' (o l'' e m'') puntando sempre in C e B trovando un altro punto di intersezione P 3. Adesso si costruisce la circonferenza passante per P 1 P e P 3 (basta disegnare la circonferenza con centro il punto di intersezione degli assi dei segmenti P 1 P e P P 3 -O- e raggio OP 1. È semplice infine verificare che tutti i punti che si possono ottenere come si è fatto con i punti P 1 P e P 3 appartengono alla circonferenza cercata. Si può costruire il grafico appena descritto con Cabri-géomètre (vedi file allegato Apollonio_.fig) A' l' B'' l''