RIDUZIONE A FORMA CANONICA DELL EQUAZIONE DI UNA CONICA
|
|
- Diana Costantino
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 RIDUZIONE A FORMA CANONICA DELL EQUAZIONE DI UNA CONICA Appunti presi dalle lezioni del Prof. Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 3B) March 3, Le coniche dal punto di vista analitico 1.1 Introduzione Ricordiamo che in geometria analitica si chiama curva l insieme dei punti le cui coordinate soddisfano un equazione del tipo f(x, y) = 0. Se il primo membro di tale equazione è un polinomio (o si può ricondurre ad un polinomio) la curva è detta algebrica, altrimenti trascendente. Il grado del polinomio che individua una curva algebrica è detto ordine della curva. Il nostro scopo sarà quello di ridurre l equazione di una curva del secondo ordine ad una forma più semplice detta canonica (o normale). Intanto si ha: Definition 1 Chiamasi conica una curva algebrica del secondo ordine (a coefficienti reali) ovvero una curva di equazione: (1) f(x, y) = a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0 oppure, usando le notazione di molti testi, scritta nella forma () f(x, y) = ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0. Nel seguito ci occuperemo sempre di curve ottenute come luoghi dei punti le cui coordinate soddisfano un equazione del tipo f(x, y) = 0. Se C è una curva di questo tipo diremo, per brevità, che C è la curva di equazione f(x, y) = 0. Ellissi e circonferenze sono esempi di coniche. Remark 1 Abbiamo indicato con b, d e e i coefficienti di xy, x e y (invece di b, d ed e) per semplificare alcune formule che trattano le curve del secondo ordine dove tali coefficienti risultano divisi per. 1
2 LE CONICHE, March Rotazione e traslazione degli assi cartesiani Poiché in seguito ricorreremo spesso all uso delle rotazioni e delle traslazioni degli assi cartesiani, ricordiamo brevemente la loro espressione, iniziando dalle rotazioni Si tratta sostanzialmente di esprimere le coordinate di un punto P rispetto ad un dato sistema Oxy, per mezzo delle coordinate dello stesso punto riferite ad un nuovo sistema di assi O XY. Supponiamo che i due sistemi di assi abbiano la stessa origine e che il secondo sistema sia ottenuto dal primo mediante una rotazione di un certo angolo α, cioè sia: α = xx dove con xx indichiamo l angolo formato dai semiassi positivi delle x e delle y rispettivamente. Si ottengono le seguenti formule: { x = X cos α Y sin α y = X sin α + Y cos α Risolvendo questo sistema rispetto ad X,Y si ottengono le formule inverse: { X = x cos α + y sin α Y = x sin α + y cos α Queste formule, valgono in realtà per qualsiasi rotazione e qualsiasi punto del piano. A questo punto ricordiamo anche le formule della traslazione di assi: { x = X + x0 e le inverse y = Y + y 0 { X = x x0 Y = y y Invarianti Prima di procedere ad uno studio dettagliato delle coniche, andremo ad introdurre tre quantità importanti che intervengono nella classificazione delle coniche. Vediamo intanto come variano i coefficienti nell equazione quando operiamo traslazioni e rotazioni di assi. Se operiamo una traslazione generica definita da { x = X + x0 y = Y + y 0
3 LE CONICHE, March 008 otteniamo l equazione della conica nel nuovo sistema di riferimento: a(x +x 0 ) +b(x +x 0 )(Y +y 0 )+c(y +y 0 ) +d(x +x 0 )+e(y +y 0 )+f = 0. Da questa dopo aver effettuato i calcoli e ridotto i termini simili, si ottiene: ax +bxy +cy +(ax 0 +by 0 +d)x+(bx 0 +cy 0 +e)y +ax 0+bx 0 y 0 +cy0+ +dx 0 + ey 0 + f = 0. Quest ultima equazione si può scrivere anche nella forma AX + BXY + CY + DX + EY + F = 0, A = a B = b C = c avendo posto. D = ax 0 + by 0 + d E = bx 0 + cy 0 + e F = ax 0 + bx 0y 0 + cy0 + dx 0 + ey 0 + f Eseguendo invece operiamo una rotazione d assi definita da { x = X cos α Y sin α y = X sin α + Y cos α otteniamo l equazione della conica nel nuovo sistema di riferimento: a (X cos α Y sin α) +b (X cos α Y sin α) (X sin α+y cos α)+c(x sin α+ Y cos α) + d (X cos α Y sin α) + e(x sin α + Y cos α) + f = 0 e, svolti i calcoli e raccolto i termini simili, si ottiene: ( a cos α + b sin α cos α + c sin α ) X + + ( a sin α cos α + b cos α b sin α + c sin α cos α ) XY + + ( a sin α b sin α cos α + c cos α ) Y + + (d cos α + e sin α) X + ( d sin α + e cos α) Y + f = 0 che ancora una volta si può scrivere nella forma: AX + BXY + CY + DX + EY + F = 0, avendo posto: A = a cos α + b sin α cos α + c sin α B = a sin α cos α + b cos α b sin α + c sin α cos α = b cos α + (c a) sin α cos α b sin α C = a sin α b sin α cos α + c cos α D = d cos α + e sin α E = d sin α + e cos α F = f Con calcoli talvolta laboriosi si dimostra (vedi APPENDICE) che, sia nel caso in cui si esegua una traslazione che una rotazione, risulta: 3
4 LE CONICHE, March 008 a + c = A + C; ac b = AC B, cioè a b b c = A B a b d b c e d e f = A B D B C E D E F B C ; e le tre espressioni vengono indicate rispettivamente con I, δ e e sono dette invarianti ortogonali. Più precisamente: 1. INVARIANTE LINEARE I = a 11 + a = a + c.. INVARIANTE QUADRATICO [ ] a11 a δ = det 1 = a a 1 a 11 a a 1 = ac b. 3. INVARIANTE CUBICO a 11 a 1 a 13 a b d = det a 1 a a 3 = det b c e. a 31 a 3 a 33 d e f Si osservi che nella matrice di sinistra, detta matrice della conica, si ha a ij = a ji, cioè la matrice è simmetrica. Poichè in seguito ricorreremo spesso all uso dell invariante cubico, calcoliamone, come già fatto per I e δ, l espressione esplicita utilizzando i coefficienti letterali della (), coefficienti a cui d ora in poi, sempre o quasi sempre, ci riferiremo Otteniamo: = d(be cd) e(ae bd) + f(ac b ) = bde ae cd + acf b f. Ricordiamo ancora che I, δ e si dicono invarianti in quanto il loro valore resta invariato rispetto a traslazioni e rotazioni. 1.4 Teorema di Eulero Il teorema di Eulero (per la cui dimostrazione si rimanda a testi universitari) afferma che, scegliendo in modo opportuno il sistema di coordinate cartesiane ortogonali, ci si può sempre ridurre ad uno dei seguenti tipi di coniche: 4
5 LE CONICHE, March 008 a) CONICHE REALI NON DEGENERI 1 ) Ellisse X α + Y β 1 = 0 ) Parabola Y px = 0 3 ) Iperbole b) CONICHE REALI DEGENERI X α Y β 1 = 0 4 ) Un punto (tipo ellittico) α + Y β = 0 5 ) Coppia di rette reali distinte incidenti (tipo iperbolico) X α Y β = 0 6 ) Coppia di rette reali distinte parallele (tipo parabolico) X α = 0 7 ) Coppia di rette reali coincidenti (tipo parabolico) X = 0 c) CONICHE IMMAGINARIE 8 ) Ellisse immaginaria (tipo ellittico) α + Y β + 1 = 0 9 ) Coppia di rette immaginarie parallele (tipo parabolico) X + α = 0 Si hanno inoltre i seguenti i teoremi: Theorem 1 Una conica di equazione () f(x, y) = ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 è degenere se, e solo se, il suo invariante cubico è uguale a zero. Theorem Se la conica () è non degenere ( 0) allora essa è: un ellisse (reale o immaginaria) se δ > 0 un iperbole se δ < 0 una parabola se δ = 0. Si ricordi infatti che data l equazione dell ellisse: 1 si ha: δ = det a 0 1 = 1 0 a b b 1 a b X X X α + Y β 1 = 0 > 0; data l equazione dell iperbole: X α Y 1 = 0 si ha: δ = det = 1 β a < 0; infine data b [ ] 0 0 l equazione della parabola: Y px = 0 si ha: δ = det = Theorem 3 Un ellisse non degenere è reale se risulta I < 0, immaginaria se risulta I > 0. 5
6 LE CONICHE, March 008 Theorem 4 Un iperbole non degenere è equilatera se I = 0. Remark Si noti che la conica immaginaria n.8 (ellisse) è non degenere, mentre la conica immaginaria n.9 (parabola) è degenere. Riduzione a forma canonica dell equazione di una conica Data l equazione generale della conica: () f(x, y) = ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0, vogliamo semplificare questa equazione passando ad un altro sistema di riferimento e precisamente nel gruppo dei termini superiori (quelli cioè di secondo grado) deve sparire il termine rettangolare xy (che indica la rotazione della conica rispetto agli assi cartesiani) e il numero dei termini di primo grado (che indicano lo spostamento della conica dall origine degli assi) deve diminuire, o meglio sparire del tutto. Si ha intanto la seguente Definition Si chiama centro della conica il punto del piano, se esiste, rispetto al quale la conica è simmetrica; cioè l eventuale centro di simmetria della conica. Le coniche che hanno il centro si dicono coniche a centro. Sono allora coniche a centro l iperbole e l ellisse, mentre la parabola è conica non a centro..1 Il caso 0 e δ 0: coniche a centro Il nostro obiettivo adesso è quello di far vedere che, con opportune trasformazioni, l equazione () viene ricondotta ad una equazione del tipo a X + c Y + f = 0 o meglio AX + CY = 1 In particolare si tratterà di: un ellisse se A > 0 e C > 0; un iperbole se A > 0, C < 0 oppure A < 0, C > 0; una conica vuota se A < 0 e B < 0. 6
7 LE CONICHE, March 008 Sia dunque C una conica di equazione (). Se vogliamo { portarla con il x = X + x0 centro nell origine operiamo il seguente cambio di coordinate: y = Y + y 0 Abbiamo già visto che si ottiene: AX + BXY + CY + DX + EY + F = 0, avendo posto: A = a B = b C = c D = ax 0 + by 0 + d E = bx 0 + cy 0 + e F = ax 0 + bx 0y 0 + cy0 + dx 0 + ey 0 + f Affinché la conica sia a centro, cioè presenti un centro di simmetria, occorre che si abbia F (X, Y ) = F ( X, Y ) e quindi che si annullino i coefficienti dei termini lineari. Dovrà quindi aversi contemporaneamente D = E = 0 che equivale alla soluzione del sistema di primo grado in x 0, y 0 : { ax0 + by (*) 0 + d = 0 bx 0 + cy 0 + e = 0 che, risolto ad esempio con la regola di Cramer, porta alla soluzione: e eb dc x 0 = ac b db ae y 0 = ac b che sono le coordinate del { centro (di simmetria) della conica. x = X + x0 Mediante la traslazione, ove x y = Y + y 0 e y 0 sono i valori precedentemente trovati, si ottiene quindi la 0 forma: (3) AX + BXY + CY + F = 0, con F da determinare. Si ha, tenuto conto anche delle equazioni del sistema (*): F = ax 0 + bx 0y 0 + cy0 + dx 0 + ey 0 + f = ax 0 + bx 0y 0 + dx 0 + bx 0 y 0 + cy0 +ey 0+dx 0 +ey 0 +f = x 0 (ax 0 +by 0 +d)+y 0 (bx 0 +cy 0 +e)+dx 0 +ey 0 +f = = x y dx 0 + ey 0 + f = dx 0 + ey 0 + f. E quindi: F = d ( eb dc ac b ) +e ( db ae ac b ) +f ( ) ac b = d (eb dc) e (ae db) + f ( ac b ) ac b F =, ricordando le espressioni esplicite dei due invarianti. δ Consideriamo dunque l equazione (3) che riscriviamo nella forma ac b 7
8 LE CONICHE, March 008 (4) ax + bx y + cy + f = 0, (dove a, b e c sono quelli di partenza e f = ) ed osserviamo che se δ b = 0 (e chiaramente a 0 e c 0) abbiamo finito. Supponiamo dunque b 0. Operiamo il cambio di coordinate dato da una rotazione di assi di angolo α [0, π]: { x = X cos α Y sin α y = X sin α + Y cos α dove α verrà determinato in modo che l equazione finale sia del tipo o meglio (5) a X + c Y + f = 0 (6) AX + CY = 1. Con questo cambiamento di coordinate, l equazione (4) scritta nelle nuove coordinate diventa: a(x cos α Y sin α) + b(x cos α Y sin α)(x sin α + Y cos α) + c(x sin α + Y cos α) + f =... = (a cos α + b sin α + c sin α)x + (a sin α b sin α cos α + c cos α)y + +( a sin α cos α + b cos α b sin α + c sin α cos α)xy + f = 0 Imponendo ora che il coefficiente del termine XY sia nullo e dividendo per cos α, con facili passaggi otteniamo: (7) b tan α (c a) tan α b = 0. Si tratta di un equazione trigonometrica di secondo grado nell incognita tan α tan α = c a ± (c a) + 4b. b che risolta darà, in generale, due valori di α. Avremo quindi la forma (5) a X + c Y + f = 0 cercata. Osserviamo che le due soluzioni sono coincidenti solo se b = 0 e c = a, ovvero nel caso in cui la conica è una circonferenza. La scelta di uno dei due valori di tan α ottenuti dipenderà dal tipo di rotazione che vorremo effettuare, più precisamente dipenderà dalla posizione finale che vogliamo assegnare alla conica nel nostro sistema di riferimento 8
9 LE CONICHE, March 008 Osserviamo infine che i coefficienti dei termini X e Y non si possono annullare perché il loro prodotto è uguale a δ (ricordiamo che δ resta invariato dopo la traslazione e la rotazione che abbiamo fatto); ponendo dunque A = a cos α + b sin α cos α + c sin α f C = a sin α b sin α cos α + c cos α f otteniamo finalmente AX + CY = 1. ( Remark 3 Il prodotto AC coincide con δ δ = A 0 ) 0 C ; quindi se δ > 0 (A e C hanno lo stesso segno) C è un ellisse oppure è immaginaria; se invece δ < 0, (A e C hanno segno opposto) C è un iperbole. Esempio 1 Consideriamo la curva 5 8 x y + 3 xy 1 = 0. 4 Essa è chiaramente una curva del tipo (3), in particolare non è necessaria alcuna traslazione per portarla in forma canonica. Facciamo vedere che, con una opportuna rotazione degli assi cartesiani, tale curva diventa del tipo (5) o meglio del tipo (6). L angolo di rotazione α si ottiene risolvendo l equazione trigonometrica: tan α 1 = 0. Si trovano due soluzioni delle quali possiamo scegliere l una o l altra in maniera del tutto arbitraria; scegliamo dunque per comodità la soluzione tan α = 1 da cui α = π. La rotazione cercata è quindi: 4 x = X Y y = X + Y Abbiamo: ( ) ( 5 8 X Y + 5 ) ( 8 X + Y + 3 ) ( ) 4 X Y X + Y 1 = 0 da cui, con semplici calcoli, otteniamo: X 4 + Y = 1. 9
10 LE CONICHE, March 008 Remark 4 Tenuto conto che I e δ sono invarianti si ottiene una notevole relazione tra i coefficienti della () e della (5), che ci permetterà di semplificare notevolmente i calcoli. Si ha infatti: { a (**) c = ac b = δ a + c = a + c = I con la quale si possono ricavare facilmente i coefficienti a e c senza operare rotazioni e traslazioni (si noti che b = 0 e che δ 0 ci fa capire se la conica è a centro). Esempio Riportare in forma canonica l equazione: 5x + 4xy + 8y + 8x + 14y + 5 = 0 Calcoliamo intanto gli invarianti: I = a + c = 13; δ = 5 8 = 36; a b d = b c e d e f = = 81. Possiamo dedurre che la conica è non degenere ( 0), è un ellisse (δ > 0) e precisamente un ellisse reale (I = 13( 81) < 0). Troviamo il centro col procedimento illustrato risolvendo il sistema: { 5x0 + y = 0 x 0 = 1 x 0 + 8y = 0 y 0 = 3 4 x = X 1 A questo punto operiamo la traslazione di assi: y = Y 3 ; sostituendo nella conica assegnata si 4 ottiene: 5X + 4XY + 8Y 9 4 = 0. N.B. Non è superfluo osservare che quest ultima equazione poteva essere ricavata immediatamente da quella della conica assegnata in quanto abbiamo visto che a = A, b = B, c = C e f = δ. Operiamo adesso una rotazione di un angolo α, tale che: tan α 3 tan α = 0 tan α = ; tan α = 1. Prendendo uno dei due valori (l altro cambierebbe solamente il ruolo dell asse xcon quello dell asse y) ad es. tan α =, si ha: 10
11 LE CONICHE, March 008 sinα = tan α ± 1 + tan α = ± 5 e cosα = 1 ± 1 + tan α = ± 1 5. Prendendo i valori positivi di sin α e cos α, si ottengono le formule di rotazione di assi: { X = x cos α y X = sin α Y = x sin α + y cos α cioè x 5 y 5. Y = x + y 5 5 Con queste formule l equazione finale della conica diventa: 9x + 4y = 9 4 o meglio ancora: x 4 + y 9 = 1. In alternativa, ed in maniera assai più semplice, tenendo presenti le (**), si ottiene subito: { a c = ac b = 36 a + c = a + c = 13, che non è altro che un sistema simmetrico di equazione risolvente: t 13t + 36 = 0, che, risolta dà: { a = 9 c = 4 oppure { a = 4 c = 9. Inoltre è: f = δ = = 9 4. Si ha allora subito (scegliendo la prima coppia di valori): 9x + 4y = 9 4 che è l equazione prima trovata. Remark 5 Per coloro che hanno conoscenze adeguate su matrici e determinanti, si fa presente che per una conica espressa con la forma (1), cioè f(x, y) = a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0, si ha : = det a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 δ = det [ a11 a 1 a 1 a ] = A 33, 11
12 LE CONICHE, March 008 il centro della conica ha coordinate: x 0 = A 13 A 33 y 0 = A 3 A 33 ed infine la parabola (degenere) si spezza in una coppia di rette reali distinte se il rango della a 11 a 1 a 13 matrice della conica a 1 a a 3 è, mentre si spezza in una a 31 a 3 a 33 coppia di rette parallele coincidenti se il rango della matrice della conica è 1.. Il caso 0 e δ = 0: coniche non a centro Consideriamo ancora una volta una conica C di equazione (). Il nostro obiettivo in questo caso è quello di provare che, attraverso una opportuna rotazione degli assi cartesiani, tale equazione assume la forma oppure la forma (8) AX + DX + EY + F = 0 (9) CY + DX + EY + F = 0 Si vede immediatamente che la (8) è l equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse y, mentre la (9) è l equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse x. Osserviamo intanto che, se b = 0, poichè siamo nel caso δ = ac b = 0 si ha: ac = 0. Questo implica a = 0 oppure c = 0 (non possono essere entrambi nulli perché 0). Se a = 0 abbiamo la (9), se c = 0 abbiamo la (8); dunque se b = 0 abbiamo finito. Consideriamo allora il caso generale in cui b 0 e operiamo il seguente cambio di coordinate: { x = X cos β Y sin β y = X sin β + Y cos β dove β si ottiene risolvendo l equazione b tan β (c a) tan β b = 0 Questa coincide con l equazione (7) e come abbiamo visto ha, in generale due soluzioni reali, che in questo caso non possono coincidere perché b 0. 1
13 LE CONICHE, March 008 Si vede allora facilmente che la conica C diventa esattamente del tipo (8) oppure (9) a seconda della scelta di β. A questo punto la parabola può già essere rappresentata. Se vogliamo che il suo vertice vada a coincidere con l origine degli assi, basterà operare una traslazione d assi (quest ultima operazione non è particolarmente importante in quanto lo studente deve essere in grado di rappresentare una qualunque parabola con asse di simmetria parallelo all asse x o y). Esempio 3 Consideriamo la curva di equazione 3x + 3xy + y + x 3y + 4 = 0. Poichè risulta 0 e δ = 0 facciamo vedere che con un opportuna rotazione degli assi la curva diventa del tipo (8) oppure (9). L angolo di rotazione si ottiene risolvendo l equazione 3 tan α + tan α 3 = 0. 3 Scegliamo ad esempio la soluzione tan α = 3 da cui α = π. La rotazione 6 cercata è dunque: 3 x = X + 1 Y y = 1 3 X + Y Procedendo come nell esempio precedente, con semplici calcoli, otteniamo: Y = X Il caso = 0: coniche degeneri Come abbiamo visto una conica è degenere se, e solo se, il suo invariante cubico è uguale a zero. Esaminiamo dapprima il problema del riconoscimento di una conica degenere e della ricerca delle rette componenti; vogliamo cioè stabilire se il polinomio che individua la conica si può scomporre in fattori. Consideriamo ancora una conica di equazione () e supponiamo, come primo caso, che il coefficiente di almeno uno dei due termini quadratici sia diverso da zero, cioè a 0 oppure c 0. Proviamo a risolvere l equazione () rispetto alla variabile il cui coefficiente quadratico è diverso da zero, interpretandola come equazione di secondo grado in tale variabile. Ad esempio, supponendo che a sia diverso da zero, riscriviamo la () nella forma: ax + x(by + d) + cy + ey + f = 0 13
14 LE CONICHE, March 008 e risolviamo rispetto ad x. Otteniamo, in generale, due soluzioni, date da: x = (by + d) ± (by + d) a(cy + ey + f). a E facile intuire che la conica sarà degenere se il discriminante è un quadrato perfetto: questo permetterebbe infatti di esprimere una delle due variabili linearmente rispetto all altra. Si dimostra (tralasciamo la dimostrazione) che l espressione sotto radice vista come trinomio di secondo grado in y e riscritta nella forma: (b ac)y + y(bd ae) + d af ha discriminante nullo e quindi possiamo scrivere (b ac)y + y(bd ae) + d af = (Ay + B) :Si ottiene allora: (by + d) ± (Ay + B) x =. a Questo significa che C si compone delle due rette di equazione (by + d) + (Ay + B) x = a e (by + d) (Ay + B) x = ; a equivalentemente l equazione di C è [ax (A b)y B + d][ax + (A + b)y + B + d] = 0. Esempio 4 Sia data la conica di equazione: x xy y + 3x + 3y = 0 Ordinando l equazione, per esempio nella variabile y, si ottiene: e quindi: y + (x 3)y x 3x + = 0 y = (x 3) ± (x 3) 4 ( x 3x + ). Svolgendo i calcoli si trova che il discriminante vale: 9x + 6x + 1 = (3x + 1) cioè è un quadrato perfetto, quindi possiamo esprimere la variabile y linearmente rispetto alla x e pertanto la conica si spezza nelle due rette y = (x 3) (3x + 1) (x 3) + (3x + 1) = x+1 oppure y = = x+ 14
15 LE CONICHE, March 008 Esempio 5 Consideriamo la conica di equazione 1 4 x 3xy + 9y = 0. Si riconosce immediatamente che l espressione di sinistra è il quadrato perfetto ( 1 x 3y ) cioè la conica è costituita da due rette coincidenti. Esempio 6 Consideriamo la conica di equazione 9x 6xy + y + 1x 7y + 10 = 0. Ordinando nella variabile y, otteniamo y (6x + 7)y + 9x + 1x + 10 = 0. Si vede facilmente che il discriminante è 9, cioè è un quadrato perfetto e dunque la conica di partenza si spezza nelle due rette parallele y 3x = 0 e y 3x 5 = 0. Esempio 7 Consideriamo ora la conica di equazione x + 1 = 0. Si vede immediatamente che tale equazione non ammette alcuna soluzione reale, ovvero la conica risulta vuota o immaginaria. Remark 6 Se la conica degenere è un ellisse, quando andiamo a risolvere l equazione rispetto ad una delle due variabili x o y, il discriminante dell equazione sarà uguale all opposto del quadrato di un binomio, cioè l equazione presenta solo soluzioni immaginarie. In tale caso per trovare le coordinate del punto in cui degenera l ellisse, uguagliamo a zero il discriminante e ricaviamo una delle due coordinate; successivamente, per sostituzione, troveremo l altra coordinata; si osservi ancora come l ellisse degenere si possa sempre porre sotto forma della somma dei quadrati di due polinomi uguagliata a zero. Esempio 8 Consideriamo la conica di equazione: 5x 6xy + y x + = 0. Espressa nella forma 5x x(3y + 1) + y + = 0, si ha: 15
16 LE CONICHE, March 008 x = 3y + 1 ± 9y + 6y y 10 5 = 3y + 1 ± (y 3). 5 Posto allora y = 3 (il discriminante uguale a zero) ricaviamo successivamente x = = ; quindi l ellisse degenera nel punto (; 3) e può 5 essere scritta nella forma: (5x 3y 1) + (y 3) = 0 dove i due quadrati si ottengono rispettivamente dal discriminante = (y 3) e dal quadrato di x = 3y + 1 = (5x 3y 1). 5 Finora abbiamo analizzato casi di coniche degeneri in cui almeno una delle variabili è di secondo grado; se invece non sono presenti né il termine in x né quello in y, cioè a = c = 0, allora dovrà essere b 0 e dunque l unico termine di secondo grado che compare è bxy. Avremo perciò un equazione del tipo (10) bxy + dx + ey + f = 0 che, tenendo presente che l invariante cubico è nullo, risulta di facile scomposizione in fattori. Infatti poiché = bde ae cd + acf b f = 0 e inoltre a = c = 0 risulta bde b f = 0 f = de b. Sostituendo l espressione di f nell equazione (10) e raccogliendo a fattor parziale otteniamo infine: (bx + e)(by + d) = 0 cioè anche in questo caso, la conica è costituita dall unione di due rette. Riportiamo alcuni esempi che chiariranno meglio la parte teorica. Esempio 9 Si consideri la conica: xy = 0 Si ha facilmente x = 0 e y = 0 (tipo iperbolico). Esempio 10 Sia data la conica: xy + 3y = 0 Si ottiene: y(x + 3) = 0 e quindi le rette y = 0 e x + 3 = 0 (tipo iperbolico). Esempio 11 Sia data la conica: xy + x + y + 1 = 0 Si ha: x(y + 1) + (y + 1) = 0 (x + 1)(y + 1) = 0 (tipo iperbolico). 16
17 LE CONICHE, March 008 Esempio 1 Questi ultimi esempi sintetizzano, infine, quanto appreso sulle coniche degeneri: 1) Conica che si riduce ad un punto: 4x + 5y = 0 (tipo ellittico) ) Conica degenere in due rette reali distinte: x (x + y) = 0 (tipo iperbolico) (x )(x + ) = 0 (tipo parabolico) 3) Conica degenere in due rette reali coincidenti (x + y + 1)(x + y + 1) = 0 (tipo parabolico) 3 APPENDICE Dimostriamo che I, δ e sono INVARIANTI rispetto a rotazioni e traslazioni. a) Invarianza rispetto a traslazioni Poiché si è visto che: A = a B = b C = c D = ax 0 + by 0 + d E = bx 0 + cy 0 + e F = ax 0 + bx 0y 0 + cy0 + dx 0 + ey 0 + f ovviamente I = a + c e δ = ac b restano uguali poiché A = a, B = b, C = c. Per quanto riguarda invece, si avrà: = D(BE DC) E(AE BD) + F (AC B ) = = BDE AE CD + ACF B F b (ax 0 + by 0 + d) (bx 0 + cy 0 + e) a (bx 0 + cy 0 + e) c (ax 0 + by 0 + d) + ac ( ax 0 + bx 0y 0 + cy0 + dx 0 + ey 0 + f ) b ( ax 0 + bx 0y 0 + cy0 + dx 0 + ey 0 + f ) = = ab x 0 +abcx 0y 0 +b 3 x 0 y 0 +abex 0 +b dx 0 +b cy0 +b ey 0 +bcdy 0 + bde ab x 0 ac y0 ae abcx 0 y 0 abex 0 acey 0 a cx 0 b cy0 cd abcx 0 y 0 acdx 0 bcdy 0 + a cx 0 + abcx 0y 0 + acdx 0 + ac y0 + acey 0 + acf ab x 0 b3 x 0 y 0 b cy0 b dx 0 b ey 0 b f = = bde ae cd +acf b f = ; qu indi anche è invariante rispetto a traslazioni. b) Invarianza rispetto a rotazioni: Poiché si è visto che: A = a cos α + b sin α cos α + c sin α ( ) c a B = a sin α cos α + b cos α b sin α + c sin α cos α = sin α + b (cos α) C = a sin α b sin α cos α + c cos α D = d cos α + e sin α E = d sin α + e cos α F = f 17
18 LE CONICHE, March 008 Si ha: I = A + C = a cos α + b sin α cos α + c sin α + a sin α b sin α cos α + c cos α = a ( sin α + cos α ) + c ( sin α + cos α ) = = a + c = I Per quanto riguarda δ abbiamo: δ = AC B = ( a cos α + b sin α cos α + c sin α ) ( a sin α b sin α cos α + c cos α ) + ( a sin α cos α + b cos α b sin α + c sin α cos α ) = a sin α cos α ab sin α cos 3 α+ac cos 4 α+ab sin 3 α cos α 4b [( sin ) α cos α+ c a bc sin α cos 3 α+ac sin 4 α bc sin 3 α cos α+c sin α cos α sin α + b (cos α)] = a 4 sin α+ c [ (cos 4 sin α b sin α+ac α + sin α ) sin α cos α] ab sin α cos α ( cos α sin α ) +bc sin α cos α ( cos α sin α ) c 4 sin α a 4 sin α + ac sin α b cos α cb sin α cos α + ab sin α cos α = b ( sin α + cos α ) + ac ac sin α + ac sin α = = ac b = δ. Rimane da dimostrare che anche è invariante per rotazione di assi. Ricordiamo che = BDE AE CD + ACF B F = D(BE DC) E(AE BD) + F (AC B ). Per semplificare un po i laboriosi calcoli, poiché F (AC B ) = f ( ac b ), basterà verificare che: BDE AE CD = bde ae cd. Si ha allora, considerandoli separatamente: BDE = [( a sin α cos α + b cos α b sin α + c sin α cos α ) (d cos α + e sin α) ( d sin α + e cos α) ] = = ( a sin α cos α + b cos α b sin α + c sin α cos α ) ( d sin α cos α + ed cos α ed sin α + e sin α cos α ) = ad sin α cos α bd sin α cos 3 α + bd sin 3 α cos α cd sin α cos α+ aed sin α cos BDE = 3 α + bed cos 4 α bed sin α cos α + ced sin α cos 3 α+ aed sin 3 α cos α bed sin α cos α + bed sin 4 α ced sin 3 α cos α+ ae sin α cos α + be sin α cos 3 α be sin 3 α cos α + ce sin α cos α AE = ( a cos α + b sin α cos α + c sin α ) ( d sin α + e cos α) = = ( a cos α + b sin α cos α + c sin α ) ( d sin α + e cos α ed sin α cos α ) = ( ad sin α cos α + ae cos 4 α aed sin α cos 3 α ) AE = ( bd sin 3 α cos α + be sin α cos 3 α 4bed sin α cos α ) ( cd sin 4 α + ce cos α sin α ced sin 3 α cos α ) CD = 18
19 LE CONICHE, March 008 ( a sin α b sin α cos α + c cos α ) (d cos α + e sin α) = = ( a sin α b sin α cos α + c cos α ) ( d cos α + e sin +de cos α sin α ) = ( ad sin α cos α + ae sin 4 α + aed sin 3 α cos α ) CD = ( bd sin α cos 3 α be sin 3 α cos α 4bed sin α cos α ) ( cd cos 4 α + ce cos α sin α + ced sin α cos 3 α ) A questo punto raccogliendo i termini simili si ha: BDE AE CD = (bed ( cd ae ) sin 4 α+ bd + aed ecd e b bd + ecd ead + e b ) sin 3 α cos α+ (ad ( cd 4ebd ae +ce ad +4bed ce ad +4bed ce ) sin α cos α+ bd aed + ecd + e b + ead e b + bd ecd ) sin α cos 3 α+ (bed ae cd ) cos 4 α = = (bed cd ae ) sin 4 α+0 sin 3 α cos α+(4bed cd ae ) sin α cos α+ 0 sin α cos 3 α + (bed ae cd ) cos 4 α = = (bed ae cd ) ( sin 4 α + cos 4 α ) + (bed ae cd ) sin α cos α = = (bed ae cd ) ( sin 4 α + cos 4 α + sin α cos α ) = = (bed ae cd ) ( sin α + cos α ) = bed ae cd, che è quello che volevamo dimostrare. Qu indi è invariante anche rispetto a rotazioni. 4 ESERCIZI Esercizio 1. Verificare che le seguenti coniche sono a centro e determinarne le coordinate del rispettivo centro: (a) 3x + y + 5xy 8x 11y 7 = 0 (b) 5x + y + 4xy + 0x + 0y 18 = 0 (c) x 6xy + 5y + x 36y + 11 = 0 Esercizio. Ridurre a forma canonica le seguenti equazioni; indicare il tipo di conica e disegnarla: (a) x + y + xy + x + y 1 = 0 (b) y + 3xy 3x + y 5 = 0 (c) x + y xy y = 0 (d) 5x 6xy + 5y 3 = 0 (e) 5x xy + 5y 4x + 0y + 0 = 0 (f) 50x 8xy + 35y + 100x 8y + 67 = 0 (g) 4xy + 3y + 16x + 1y 36 = 0 19
20 LE CONICHE, March 008 (h) 9x 4xy + 16y 0x + 110y 50 = 0 (i) 9x + 4xy + 16y 18x + 6y + 09 = 0 (l) 4x 4xy + 11y + 64x + 4y + 51 = 0 Esercizio 3. Dopo aver dimostrato che le seguenti equazioni rappresentano coniche degeneri, individuare il tipo di degenericità: (a) x + y + 4xy = 0 (b) x + y + 4xy + 3x + 3y = 0 (c) 4x + 9y 1xy + 4x 6y + 1 = 0 Esercizio 4. Dire se le seguenti equazioni rappresentano coniche degeneri e, in caso affermativo, determinare le componenti: (a) x + xy y x + y = 0 (b) x 6xy + 9y 3x + 9y 4 = 0 (c) 5x 10xy + y + 10x y 15 = 0 (d) x 6xy + 9y + 4x + 1y + 4 = 0 (e) 4x + 4xy + y 13x 6y + 5 = 0 Esercizio 5. Con trasformazione delle coordinate, verificare che ciascuna delle seguenti equazioni rappresenta un ellisse degenere in un punto, e calcolarne le coordinate (a) 5x 6xy + y x + = 0 (b) x + xy + y + 6y + 9 = 0 Esercizio 6. Con trasformazione delle coordinate, verificare che ciascuna delle seguenti equazioni rappresenta un iperbole e calcolarne i valori dei rispettivi semiassi: (a) x 6xy 7y + 10x 30y + 3 = 0 (b) 4x + 4xy + 11y + 64x + 4y + 51 = 0 0
21 LE CONICHE, March 008 Indice 1 Le coniche dal punto di vista analitico Introduzione Rotazione e traslazione degli assi cartesiani Invarianti Teorema di Eulero Riduzione a forma canonica dell equazione di una conica 6.1 Il caso 0 e δ 0: coniche a centro Il caso 0 e δ = 0: coniche non a centro Il caso = 0: coniche degeneri APPENDICE 17 4 ESERCIZI 19 1
Parte 12b. Riduzione a forma canonica
Parte 2b. Riduzione a forma canonica A. Savo Appunti del Corso di Geometria 202-3 Indice delle sezioni. Coniche, 2. Esempio di riduzione, 4 3. Teoremi fondamentali, 6 4. Come determinare l equazione canonica,
DettagliLe coniche da un punto di vista geometrico
Le coniche da un punto di vista geometrico Chiamiamo "cono circolare retto" la superficie generata dalla rotazione di una retta r intorno ad un'altra retta a (asse di rotazione) incidente ad r. Il punto
DettagliCLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI
CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e
DettagliFissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u.
Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Definizione Una conica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee (x,
Dettagli1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee
1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di
DettagliGEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.
DettagliII Università degli Studi di Roma
Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado
DettagliAnalisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Coniche
DettagliLEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo
DettagliCenni sulle coniche 1.
1 Premessa Cenni sulle coniche 1. Corso di laurea in Ingegneria Civile ed Edile Università degli Studi di Palermo A.A. 2013/2014 prof.ssa Paola Staglianò (pstagliano@unime.it) Scopo della geometria analitica
DettagliGEOMETRIA ANALITICA 2
GEOMETRIA ANALITICA CONICHE Dopo le rette, che come abbiamo visto sono rappresentate da equazioni di primo grado nelle variabili x e y (e ogni equazione di primo grado rappresenta una retta), le curve
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle da un altra angolazione.. Determinare
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di
DettagliConiche - risposte 1.9
Coniche - risposte. CAMBI DI COORDINATE ) ) cosπ/) sinπ/). a. Rotazione di π/, la matrice di rotazione è = sinπ/) cosπ/) ) ) ) X = Y X = Quindi le formule sono: cioè: Y = X e inversamente Y = = Y X = b.
DettagliX = x + 1. X = x + 1
CONICHE. Esercizi Esercizio. Classificare, ridurre a forma canonica (completando i quadrati), e disegnare le seguenti coniche: γ : x y + x = 0; γ : x + 4x y + = 0; γ 3 : x + y + y + 0 = 0; γ 4 : x + y
DettagliCorso di Matematica II
Corso di Matematica II Università degli Studi della Basilicata Dipartimento di Scienze Corso di laurea in Chimica e in Scienze Geologiche A.A. 2014/15 dott.ssa Vita Leonessa Elementi di geometria analitica
DettagliRELAZIONI e CORRISPONDENZE
RELAZIONI e CORRISPONDENZE Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: X x Y = {(x,y): x X, y Y} L insieme costituito dai primi (secondi)
DettagliAppunti ed esercizi sulle coniche
1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliEllisse. Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica?
Ellisse Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica? Pianta due chiodi, detti fuochi, nel terreno ad una certa distanza. Lega le estremità della corda, la cui lunghezza supera la distanza
DettagliDidattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica
Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica anno acc. 2012/2013 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica
DettagliFasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente
1 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della
Dettagli2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.
Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 2 2 2 A = 2 2 2 Il DetA = 2 quindi
Dettagli4. Sia Γ la conica che ha fuoco F (1, 1) e direttrice d : x y = 0, e che passa per il punto P (2, 1).
Geometria Complementi ed esercizi sulle coniche 1 (a) Scrivere l equazione dell ellisse Γ che ha fuochi F 1 ( 1, 1), F (1, 1) e che passa per il punto P (1, 1) (b) Determinare il centro, gli assi e i vertici
DettagliCAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente.
CAPITOLO 4 Quadriche Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. Esercizio 4.. Stabilire il tipo di quadrica corrispondente alle seguenti equazioni. Se si
Dettagli(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo
GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
DettagliClassificazione delle coniche.
Classificazione delle coniche Ora si vogliono studiare i luoghi geometrici rappresentati da equazioni di secondo grado In generale, non è facile riconoscere a prima vista di che cosa si tratta, soprattutto
DettagliAppunti sulla circonferenza
1 Liceo Falchi Montopoli in Val d Arno - Classe 3 a I - Francesco Daddi - 16 aprile 010 Appunti sulla circonferenza In queste pagine sono trattati gli argomenti riguardanti la circonferenza nel piano cartesiano
Dettagli1 Geometria analitica nel piano
Lezioni di Geometria a.a. 2007-2008 cdl SIE prof. C. Franchetti 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 )
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliGeometria analitica piana
Geometria analitica piana 1. La geometria analitica Il metodo della geometria analitica consiste nell applicare gli strumenti dell algebra allo studio della geometria. Il legame tra enti algebrici ed enti
DettagliSPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE
SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio
DettagliCalcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
Calcolo letterale 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (b) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (XX) (c) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 49a bc
Dettagli1 Fattorizzazione di polinomi
1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente
DettagliEquazioni di 2 grado
Equazioni di grado Tipi di equazioni: Un equazione (ad una incognita) è di grado se può essere scritta nella forma generale (o forma tipica o ancora forma canonica): a b c con a, b e c numeri reali (però
DettagliGeometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone
Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due
Dettaglideterminare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si
PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad
DettagliCONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione
CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce
DettagliCOMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin
COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 0/03 Prof. Francesca Visentin CAPITOLO V ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Riprendiamo alcune nozioni già date nel Capitolo II.. Coordinate cartesiane
Dettagli1 Coniche. s (x, y, t ) (1) 1 (x, y, t )F r 2
1 Coniche Studieremo le curve nel piano euclideo, cioè nel piano con un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fissato, oppure nel completamento proiettivo di questo piano, ottenuto con l introduzione
DettagliLEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione
LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici
DettagliSISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI
SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,
DettagliNoi ci occuperemo esclusivamente dei casi n = 2 e n = 3. Se n = 2, la quadrica Q p sarà detta conica di equazione p, e indicata con C p.
Durante il corso abbiamo studiato insiemi (rette e piani) che possono essere descritti come luogo di zeri di equazioni (o sistemi) di primo grado. Adesso vedremo come applicare quanto visto per studiare
DettagliFissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u.
Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Definizione Una quadriche è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee
DettagliCapitolo 17 CONICHE Generalità
Capitolo 17 CONICHE 17.1 Generalità La parola conica sta classicamente a significare una curva sezione di un cono (inteso come figura illimitata ottenuta facendo ruotare una retta attorno ad un asse ad
DettagliUniversita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI R. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio
DettagliIngegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni
Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni I f(,, 0) = (h +,h+, ) f(,, ) = (h,h, h) f(0,, ) = (,h, h) con h parametro reale. ) Studiare
DettagliEsercitazioni di Geometria A: curve algebriche
Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche 24-25 maggio 2016 Esercizio 1 Sia P 2 il piano proiettivo complesso munito delle coordinate proiettive (x 0 : x 1 : x 2 ). Sia r la retta proiettiva di equazione
DettagliSimilitudine (ortogonale) e congruenza (ortogonale) di matrici.
Lezione del 4 giugno. Il riferimento principale di questa lezione e costituito da parti di: 2 Forme bilineari, quadratiche e matrici simmetriche associate, 3 Congruenza di matrici simmetriche, 5 Forme
DettagliGEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z
GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono
Dettagli22 Coniche proiettive
Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-giu-06 95 22 Coniche proiettive (22.1) Definizione. Sia K[x 0, x 1,..., x n ] l anello dei polinomi nelle indeterminate (variabili) x 0, x 1,..., x n. Un polinomio di
DettagliGeometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)
Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler) Equazione della retta in forma esplicita Sia data una retta r ax + by + c = 0 con b 0. Svolgendo questa equazione per y otteniamo e ponendo
DettagliIn un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.
L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze
Dettagli1 Cambiamenti di coordinate nel piano.
Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U
DettagliUn fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.
Piano proiettivo Conica: curva algebrica reale del II ordine. a 11 x 2 1 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + 2a 13 x 1 x 3 + 2a 23 x 2 x 3 + a 33 x 2 3 = 0 x T A x = 0 Classificazione proiettiva delle coniche:
DettagliDERIVATE E LORO APPLICAZIONE
DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x
DettagliLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere
DettagliCondizione di allineamento di tre punti
LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.
DettagliEsercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione
Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati
DettagliGeometria analitica: curve e superfici
Geometria analitica: curve e superfici Quadriche Quadriche in forma canonica Quadriche in generale Coni e cilindri Curve nello spazio Coniche nello spazio Coni e cilindri in forma canonica e parametrica
DettagliConiche metriche e affini
Coniche metriche e affini Carlo Petronio Dicembre 2007 Queste note riguardano le coniche non degeneri, le loro equazioni metriche e la loro classificazione affine. 1 Piano euclideo, isometrie e trasformazioni
Dettagli1. Proprietà focali delle coniche
1. Proprietà focali delle coniche Per questo argomento, vedere anche P. Maroscia, Introduzione alla geometria e all algebra lineare, Zanichelli, Appendice B. Ricordiamo che il fenomeno fisico della riflessione
DettagliGeometria analitica piana
Capitolo 4 Geometria analitica piana 4.1 Il riferimento cartesiano Un sistema di riferimento cartesiano del piano è costituito da una coppia di rette orientate, dette asse x o asse delle ascisse e asse
DettagliPer le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.
COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda
Dettagli= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ
Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti
Dettagli2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi)
2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) La circonferenza è la curva di 2^ grado che viene individuata univocamente da tre punti non allineati e possiede la seguente proprietà:
Dettagli2x 2 + 4x 2y + 1 = 2(x 2 + 2x + 1 1) 2y + 1 = 2(x + 1) 2 2(y ) = 0.
CONICHE E QUADRICHE. Esercizi Esercizio. Classificare, ridurre a forma canonica (completando i quadrati), e disegnare le seguenti coniche: γ : x y + x = 0; γ : x + 4x y + = 0; γ : x + y + y + 0 = 0; γ
DettagliNUMERI COMPLESSI Esercizi svolti. d) (1 i) 3. b) (1 + i)(1 i)(1 + 3 i) c) 1 i 1
Calcolare le seguenti potenze di i: NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti a) i b) i 7 c) i d) i e) i f) i 9 Semplificare le seguenti espressioni: a) i) i i) b) + i) i) + ) 0 i c) i) i) i) d) i) Verificare che
DettagliStudio generale di una conica
Studio generale di una conica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce conica C un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice simmetrica
DettagliNei capitolo precedenti sono state studiate le isometrie e le similitudini del piano; si è visto
CAPITOLO 7 LE AFFINITA 7. Richiami di teoria Nei capitolo precedenti sono state studiate le isometrie e le similitudini del piano; si è visto che questi due tipi di trasformazioni hanno alcune proprietà
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliAnalisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA FOGLIO DI ESERCIZI 1 GEOMETRIA 2009/10 Esercizio 1.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliIl concetto delle equazioni reciproche risale ad A. De Moivre ( ) ed il nome è dovuto a L. Euler ( ).
Il concetto delle equazioni reciproche risale ad A. De Moivre (1667-1754) ed il nome è dovuto a L. Euler (1707-1783). Girard nel 1629 enunciò, e Gauss poi dimostrò rigorosamente nel 1799, che un equazione
DettagliAnno 2. Equazioni di secondo grado
Anno Equazioni di secondo grado 1 Introduzione In questa lezione impareremo a utilizzare le equazioni di secondo grado. Al termine di questa lezione sarai in grado di: descrivere le equazioni di secondo
Dettagli1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche.
Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Quadriche Esercizi 1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. (a) x + y + z + xy xz yz 6x 4y + z
DettagliTeoria generale delle coniche 1 / 17
Teoria generale delle coniche 1 / 17 Introduzione 2 / 17 Una conica in R 2 è il luogo di punti γ definito da un equazione di secondo grado in x,y, cioè γ : a 11 x 2 + 2a 12 xy+a 22 y 2 + 2a 13 x+2a 23
DettagliI. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.
ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio
DettagliLezione 5 Geometria Analitica 1
Lezione 5 Geometria Analitica 1 Donato A Ciampa In questa lezione richiameremo alcune nozioni della geometria analitica, quali le trasformazioni del piano in se stesso e le varie equazioni relative alla
DettagliFormulario di Geometria Analitica a.a
Formulario di Geometria Analitica a.a. 2006-2007 Dott. Simone Zuccher 23 dicembre 2006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it).
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliPrecorso di Matematica
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliLimite. Se D non è limitato si può fare il limite di f(x) per x che tende
Appunti sul corso di Complementi di Matematica,mod.Analisi, prof. B.Bacchelli - a.a. 200/20. 05 - Limiti continuità: Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2.
DettagliLa circonferenza nel piano cartesiano
6 La circonferenza nel piano cartesiano onsideriamo la circonferenza in figura in cui il centro è ; e il raggio 5 r : se indichiamo con P ; un punto della circonferenza avremo, per definizione, che la
DettagliGeometria analitica del piano
Geometria analitica del piano dott.ssa Vita Leonessa Università degli Studi della Basilicata (27 marzo 2008) (Analisi) Matematica 2 CdL in Chimica, Biotecnologie, Scienze Geologiche Rette Fissato un sistema
DettagliGeometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone
Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone CAMBIAMENTI DI SISTEMA DI RIFERIMENTO Consideriamo il piano cartesiano R 2 con un sistema di riferimento (O,U). Se introduciamo in R 2 un secondo sistema
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliLa Retta Ogni funzione di primo grado rappresenta, graficamente, una retta. L equazione della retta può essere scritta in due modi
La Retta Ogni funzione di primo grado rappresenta, graficamente, una retta. L equazione della retta può essere scritta in due modi Forma implicita Forma esplicita a x b y c 0 y m x q a c y x b b Esempio
DettagliINTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti
INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti E data la funzione f( = (a Provare che la funzione F ( = + arcsin è una primitiva di f( sull intervallo (, (b Provare che la funzione G( = + arcsin π è
DettagliTRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Def. Una trasformazione geometrica T tra i punti di un piano è una corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano associa uno e un solo punto P' appartenente al piano
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
Dettagli[ RITORNA ALLE DOMANDE] 2) Definisci la parabola come luogo geometrico. 1) Che cos è una conica?
Matematica 1) Che cos è una conica? 2) Definisci la parabola come luogo geometrico. 3) Qual è l equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle y? 4) Qual è l equazione di una
Dettagli1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano:
QUESITI 1 PIANO CARTESIANO 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78 2.
DettagliRETTE E PIANI NELLO SPAZIO
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio
DettagliI numeri complessi. Andrea Corli 31 agosto Motivazione 1. 2 Definizioni 1. 3 Forma trigonometrica di un numero complesso 3
I numeri complessi Andrea Corli 3 agosto 009 Indice Motivazione Definizioni 3 Forma trigonometrica di un numero complesso 3 4 Radici di un numero complesso 4 5 Equazioni di secondo grado e il teorema fondamentale
Dettagli3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici
3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e
DettagliUn polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi.
1 I polinomi 1.1 Terminologia sui polinomi Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi. I termini di un polinomio sono i monomi che compaiono come addendi nel polinomio. Il termine
DettagliTest sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti
Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti ) Considerata nel piano cartesiano l ellisse Γ : + y = 8 valutare il valore di verità delle seguenti affermazioni. I fuochi si trovano sull asse delle ordinate
Dettagli