tan tan = angolo formato dalla normale p,q = lunghezze dei segmenti misurati a partire dall origine n = distanza della retta dall origine

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1 G. Di Mri Forulrio i geoetri nliti Forulrio i geoetri nliti G. Di Mri Rette For generle (ipliit) For riott (espliit) For norle 0 q For segentri os sin n 0 p q p,q = lunghezze ei segenti stti ll rett sugli ssi isurti prtire ll origine Angolo tr ue rette r,r : ' tn ' ' Conizione i prlleliso: = ngolo forto ll norle ell rett on l sse ' ' 0 Conizione i perpeniolrità: ' ' 0 n = istnz ell rett ll origine tn Equzione ell rett prllel r onott l punto (, ): 0 Equzione ell rett perpeniolre r onott l punto (, ): 0 Equzione ell rett iniviut i punti (, ) e (, ): Conizione i llineento i tre punti: ovvero et 0 Are i un tringolo iniviuto tre punti: A s et Coorinte el rientro i un tringolo:, G Doente i Mteti presso I.P.I.A. i Mino

2 G. Di Mri Forulrio i geoetri nliti Distnz i un punto un rett: q Distnz tr ue rette prllele: ' Distnz tr ue punti: Punto eio i un segento:, M Punto he ivie un segento in prti proporzionli i nueri e n: n n, n n P Asse i un segento: Bisettrii i ue rette:

3 G. Di Mri Forulrio i geoetri nliti Conihe Equzione generle: e f 0 Invrinti i un oni rispetto un isoetri pin. Invrinte linere: I : Invrinte qurtio: I : Invrinte uio: I : et e e f Conizione ffinhé l oni rppresenti un ellisse: I 0 I 0 Inoltre, l ellisse è rele solo se I è isore I. Conizione ffinhé l oni rppresenti un ironferenz: 0 Conizione ffinhé l oni rppresenti un iperole: I 0 I 0 Conizione ffinhé l oni rppresenti un iperole equilter: I 0 I 0 Conizione ffinhé l oni rppresenti un prol: I 0 I 0 Conizione ffinhé l oni si spezzi in ue rette: I 0 Inoltre: I 0 rette iginrie oniugte non prllele I 0 rette prllele o oinienti (reli o no) I 0 rette reli istinte inienti (perpeniolri sei 0) Equzione ell tngente nel punto (, ), (forul i soppiento) : e f 0 Dietro ell oni oniugto ll rett =: e 0 Dietro oniugto ll sse : 0 Dietro oniugto ll sse : e 0 Coorinte el entro i un oni: Sono te ll soluzione el siste linere: 0 e 0

4 G. Di Mri Forulrio i geoetri nliti 4 Definizioni geoetrihe per le onihe: Diesi ono inefinito ue fle l superfiie genert un rett r (genertrie) in un rotzione oplet intorno un rett t (sse) he l inontri non perpeniolrente in un punto V (vertie). L ngolo uto forto ll sse e ll genertrie iesi pertur el ono. Un oni è t ll sezione el ono on un pino non pssnte per il vertie. L sezione srà un ironferenz se il pino è perpeniolre ll sse. L sezione srà un ellisse, un prol o un iperole se l ngolo forto l pino on l sse è rispettivente ggiore, ugule o inore ell pertur. Diesi sse priniple i un oni l proiezione ell sse t sul pino sente. L sse priniple è sse i sietri per l oni. Si iono vertii prinipli i punti i inontro i un oni on l sse priniple. L ellisse e l iperole hnno ue vertii prinipli, l prol uno (l ltro si può onsierre il punto ll infinito el suo sse). Si ie fuoo i un oni il punto i onttto el pino sente on un sfer tngente esso e insritt o e-insritt l ono. L ellisse h ue fuohi interni ll sse priniple, l prol ne h uno solo interno, l iperole ne h ue esterni ll sse priniple. Nell ellisse e nell iperole i fuohi sono equiistnti i vertii.

5 G. Di Mri Forulrio i geoetri nliti 5 Cironferenz Luogo ei punti el pino equiistnti un punto etto entro. L istnz è il rggio ell ironferenz. C, e rggio r: Equzione ell ironferenz i entro r ovvero, in oo equivlente: r 0 Centro e rggio i un ironferenz i equzione t: n p 0 C r, n, p Qulor il rino fosse negtivo l ironferenz sree iginri. Tngente ll ironferenz nel punto P(, ) giente su i ess: n p 0 Asse rile tr ue ironferenze: ' n n' p p' 0 Se ue ironferenze si interseno in ue punti, l sse rile rppresent l rett pssnte per essi. Tuttvi l efinizione è senst nhe nel so le ironferenze sino tngenti o esterne. Potenz i un punto (, ) rispetto un ironferenz: n p Si h he il punto P è interno, giente, esterno ll ironferenz se l potenz è rispettivente negtiv, positiv o null. Polre i un punto P: n p 0 Qulor P gii sull ironferenz, l polre oinie on l tngente. Se P è esterno ll ironferenz, l polre rppresent l rett pssnte per i ue punti i onttto tr l ironferenz e le tngenti ess onotte P. Se P è interno ll ironferenz, l polre è un rett estern. Per ostruirl onsierre ue ore pssnti per P, onurre le tngenti nei punti i onttto i isun or, e onsierre i ue punti i intersezione. L polre è l rett pssnte per tli punti.

6 G. Di Mri Forulrio i geoetri nliti 6 Ellisse Luogo ei punti el pino in ui è ostnte l so elle istnze ue punti etti fuohi. Tle so è pri ll lunghezz el segento he interse l ellisse ol suo sse priniple, etto seisse ggiore. Il punto eio ei ue fuohi è il entro ell ellisse e il segento pssnte per il entro, perpeniolre ll sse priniple on estrei i punti i intersezione on l ellisse è etto seisse inore i lunghezz. Equzione ell ellisse in for noni: ove, rppresentno le lunghezze ei seissi. Supponio >. Seiistnz fole: Eentriità ell ellisse: e Tngente ll ellisse in un suo punto: Prol Luogo ei punti el pino equiistnti un punto fisso etto fuoo e un rett fiss ett irettrie. L rett perpeniolre ll irettrie e pssnte per il fuoo è l sse priniple ell prol, e il vertie ell prol gie sull sse in oo equiistnte tr fuoo e irettrie. L istnz p tr fuoo e irettrie si hi pretro ell prol. Equzione i un prol on sse prllelo ll sse : Se <0 l prol è onv (rivolt verso l lto), se >0 l prol è onvess (rivolt verso l lto). Ponio 4. Coorinte el vertie, el fuoo, e equzione ell irettrie: V, 4 F, 4 : 4 Tngente ll prol in un suo punto: Equzione i un prol riferit ll sse e ll tngente nel vertie: p p= pretro F p/,0 Direttrie: : p/ Fuoo:

7 G. Di Mri Forulrio i geoetri nliti 7 Iperole Luogo ei punti el pino in ui è ostnte l ifferenz elle istnze ue punti etti fuohi. Equzione ell ellisse in for noni: ove, rppresentno le lunghezze ei seissi, trsverso e non trsverso. Seiistnz fole: Eentriità ell iperole: e Asintoti ell iperole: Tngente ll iperole in un suo punto: Iperole equilter riferit i propri ssi: Lunghezz seissi: Seiistnz fole: Eentriità: e Asintoti: Tngenti in un punto: Iperole equilter riferit i propri sintoti: k Lunghezz seissi: k Seiistnz fole: k Eentriità: e Asintoti: 0, 0 Tngenti in un punto: k

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