Un fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Un fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte."

Transcript

1 Piano proiettivo Conica: curva algebrica reale del II ordine. a 11 x a 12 x 1 x 2 + a 22 x a 13 x 1 x 3 + 2a 23 x 2 x 3 + a 33 x 2 3 = 0 x T A x = 0 Classificazione proiettiva delle coniche: conica generale: non ci sono punti doppi, rango della matrice: 3; conica semplicemente degenere: uno e un solo punto doppio, rango della matrice: 2; conica doppiamente degenere: 1 punti doppi, rango della matrice: 1.

2 Esercizio 1. Stabilire quali delle seguenti coniche sono degeneri; di esse determinare le rette componenti. a) C 1 : 3x 2 + xy + 6x + 2y = 0 b) C 2 : x 2 + 2xy + y 2 1 = 0 c) C 3 : x 2 + 2y 2 1 = 0 d) C 4 : x 2 + 4y 2 + 2x + 4y + 7 = 0 e) C 5 : x 2 + 2xy + y 2 + 6x + 6y + 9 = 0

3 Fasci di coniche Definizione Siano C 1 : x T A 1 x = 0 e C 2 : x T A 2 x = 0 due coniche distinte in P 2 (C). Si dice fascio di coniche individuato da C 1 e C 2 la totalità delle coniche di P 2 (C) la cui equazione è combinazione lineare delle equazioni di C 1 e C 2 : F : λ( x T A 1 x) + µ( x T A 2 x) = 0, con (λ, µ) (0, 0). Le coniche C 1 e C 2 si dicono coniche base o generatrici del fascio. Un fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.

4 Fasci di coniche Definizione Siano C 1 : x T A 1 x = 0 e C 2 : x T A 2 x = 0 due coniche distinte in P 2 (C). Si dice fascio di coniche individuato da C 1 e C 2 la totalità delle coniche di P 2 (C) la cui equazione è combinazione lineare delle equazioni di C 1 e C 2 : F : λ( x T A 1 x) + µ( x T A 2 x) = 0, con (λ, µ) (0, 0). Le coniche C 1 e C 2 si dicono coniche base o generatrici del fascio. Un fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.

5 Fasci di coniche Definizione Siano C 1 : x T A 1 x = 0 e C 2 : x T A 2 x = 0 due coniche distinte in P 2 (C). Si dice fascio di coniche individuato da C 1 e C 2 la totalità delle coniche di P 2 (C) la cui equazione è combinazione lineare delle equazioni di C 1 e C 2 : F : λ( x T A 1 x) + µ( x T A 2 x) = 0, con (λ, µ) (0, 0). Le coniche C 1 e C 2 si dicono coniche base o generatrici del fascio. Un fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.

6 Fasci di coniche

7 Fasci di coniche

8 Fasci di coniche

9 Fasci di coniche

10 Fasci di coniche

11 Esercizio 2. a) Scrivere l equazione del fascio di coniche passanti per i punti A(1; 0), B(0; 2), C(1; 1) e D(0; 0). b) Scrivere l equazione della generica conica passante per A(0; 1), B(2; 0), C(1; 1) e tangente alla retta c : x y = 0. c) Scrivere le equazioni delle coniche tangenti in A(2; 0) all asse x e in B(0; 1) all asse y. d) Scrivere l equazione della conica tangente alla conica y = x 2 nei punti in cui essa interseca la retta y = 3, e passante per P(3; 0).

12 Esercizio 2. a) Scrivere l equazione del fascio di coniche passanti per i punti A(1; 0), B(0; 2), C(1; 1) e D(0; 0). b) Scrivere l equazione della generica conica passante per A(0; 1), B(2; 0), C(1; 1) e tangente alla retta c : x y = 0. c) Scrivere le equazioni delle coniche tangenti in A(2; 0) all asse x e in B(0; 1) all asse y. d) Scrivere l equazione della conica tangente alla conica y = x 2 nei punti in cui essa interseca la retta y = 3, e passante per P(3; 0).

13 Esercizio 2. a) Scrivere l equazione del fascio di coniche passanti per i punti A(1; 0), B(0; 2), C(1; 1) e D(0; 0). b) Scrivere l equazione della generica conica passante per A(0; 1), B(2; 0), C(1; 1) e tangente alla retta c : x y = 0. c) Scrivere le equazioni delle coniche tangenti in A(2; 0) all asse x e in B(0; 1) all asse y. d) Scrivere l equazione della conica tangente alla conica y = x 2 nei punti in cui essa interseca la retta y = 3, e passante per P(3; 0).

14 Esercizio 2. a) Scrivere l equazione del fascio di coniche passanti per i punti A(1; 0), B(0; 2), C(1; 1) e D(0; 0). b) Scrivere l equazione della generica conica passante per A(0; 1), B(2; 0), C(1; 1) e tangente alla retta c : x y = 0. c) Scrivere le equazioni delle coniche tangenti in A(2; 0) all asse x e in B(0; 1) all asse y. d) Scrivere l equazione della conica tangente alla conica y = x 2 nei punti in cui essa interseca la retta y = 3, e passante per P(3; 0).

15 Esercizio 3. a) Studiare il fascio di coniche di equazione: (1 + k)x 2 + y 2 2kx + k 1 = 0 (tipo di fascio, punti base, coniche degeneri). b) Studiare il fascio di coniche di equazione: (1 + k)x 2 + y 2 (2 + k)y = 0.

16 Esercizio 3. a) Studiare il fascio di coniche di equazione: (1 + k)x 2 + y 2 2kx + k 1 = 0 (tipo di fascio, punti base, coniche degeneri). b) Studiare il fascio di coniche di equazione: (1 + k)x 2 + y 2 (2 + k)y = 0.

17 Esercizio 4. Sia Γ la circonferenza passante per l origine e avente come centro C(1; 1). Dette A e B le ulteriori intersezioni di Γ con gli assi cartesiani, scrivere l equazione della conica passante per P(3; 3) e tangente a Γ in A e B.

18 Esercizio 5. (Polarità) a) Data la conica C : x 2 y 2 2x + 2y + 3 = 0, determinare, rispetto a C: la polare di A(1; 1); il polo della retta r : y = 1; le tangenti a C condotte da B(0; 3); le tangenti a C condotte da P(1; 2). b) Scrivere l equazione della conica che passa per i punti A(0; 0), B(0; 1), C(1; 0), D(1; 1) e rispetto cui sono coniugati i punti P(2; 3), Q(3; 4).

19 Esercizio 5. (Polarità) a) Data la conica C : x 2 y 2 2x + 2y + 3 = 0, determinare, rispetto a C: la polare di A(1; 1); il polo della retta r : y = 1; le tangenti a C condotte da B(0; 3); le tangenti a C condotte da P(1; 2). b) Scrivere l equazione della conica che passa per i punti A(0; 0), B(0; 1), C(1; 0), D(1; 1) e rispetto cui sono coniugati i punti P(2; 3), Q(3; 4).

20 Classificazione affine Le coniche si classificano a seconda di loro punti impropri. Per definizione le ellissi hanno i punti impropri immaginari e coniugati, le parabole hanno i punti impropri reali e coincidenti, le iperboli hanno i punti impropri reali e distinti. La natura dei punti impropri è legata al determinante del minore [ ] a11 a 12, a 12 a 22 perché esso è, a meno del segno, il discriminante dell equazione di secondo grado ottenuta dal sistema C r.

21 Esercizio 6. Classificare dal punto di vista proiettivo e affine le seguenti coniche. a) x 2 + 4y 2 16 = 0 b) (2x + y) 2 x = 0 c) 3x 2 3y 2 + 8xy 2x + 20 = 0 d) xy = 0 e) x 2 2xy + y 2 1 = 0

22 Studio di una conica Per studiare una conica si determinano (almeno) centro, asintoti e assi. Definizione Il centro è definito come il polo della retta impropria. Solo per ellissi e iperboli il centro è un punto proprio (sono dette coniche a centro). Le parabole, avendo punti impropri reali e coincidenti, sono tangenti alla retta impropria, quindi il centro si trova intersecando l equazione della parabola con x 3 = 0. Le coordinate del centro di ellissi e iperboli le otteniamo per intersezione delle polari di due punti impropri. Scegliendo come punti impropri [(1, 0, 0)] e [(0, 1, 0)], si ha { a11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = 0 a 12 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = 0.

23 Studio di una conica Definizione Un diametro è una retta passante per il centro. Un asse è un diametro ortogonale al proprio polo. Coniche a centro: hanno due assi ortogonali. Per determinarli scrivere le equazioni delle rette passanti per il centro con direzioni determinate come segue. Sia l(a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ) + m(a 12 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 ) = 0 l equazione del generico diametro, imponendo che il punto [( m, l, 0)] (direzione ortogonale a [(l, m, 0)]) la soddisfi, si ha a 12 l 2 + (a 22 a 11 )lm a 12 m 2 = 0, equazione che caratterizza la direzione degli assi. Parabola: ha un solo asse proprio. Per determinarlo si calcola la polare del punto improprio ortogonale a C (centro). Quindi, se il centro ha coordinate C = [(l, m, 0)], l equazione dell asse è [m l 0] A [x 1 x 2 x 3 ] T = 0.

24 Studio di una conica Definizione Un asintoto è una tangente alla conica in un suo punto improprio. La parabola ha due asintoti coincidenti: la retta impropria x 3 = 0. L ellisse ha due asintoti immaginari e coniugati e l iperbole reali e distinti. Le direzioni degli asintoti si calcolano imponendo al generico diametro di contenere il proprio polo e si ottiene a 11 l 2 + 2a 12 lm + a 22 m 2 = 0. Gli asintoti sono quindi le rette passanti per il centro e aventi le direzioni date dalla precedente equazione.

25 Studio di una conica

26 Esercizio 7. a) Studiare la conica di equazione 7x 2 8xy + y = 0. b) Studiare la conica di equazione x 2 4xy + 4y 2 + 4x 18y = 0. c) Studiare il fascio di coniche di equazione F k : (1+k)x 2 +(1+k)y 2 +2xy 2(1+k)x 2(1+3k)y +1+10k = 0. Compito: Posto k = 5, studiare la conica F 5

27 Esercizio 7. a) Studiare la conica di equazione 7x 2 8xy + y = 0. b) Studiare la conica di equazione x 2 4xy + 4y 2 + 4x 18y = 0. c) Studiare il fascio di coniche di equazione F k : (1+k)x 2 +(1+k)y 2 +2xy 2(1+k)x 2(1+3k)y +1+10k = 0. Compito: Posto k = 5, studiare la conica F 5

28 Esercizio 7. a) Studiare la conica di equazione 7x 2 8xy + y = 0. b) Studiare la conica di equazione x 2 4xy + 4y 2 + 4x 18y = 0. c) Studiare il fascio di coniche di equazione F k : (1+k)x 2 +(1+k)y 2 +2xy 2(1+k)x 2(1+3k)y +1+10k = 0. Compito: Posto k = 5, studiare la conica F 5

29 Esercizio 8. a) Scrivere l equazione dell iperbole che ha come asintoti le rette x + y = 0 e x 2y = 0 e passa per il punto A(1; 0). b) Scrivere l equazione della conica con centro in O(0; 0), passante per i punti B(1; 0) e A(1; 1) ed ivi tangente alla retta di coefficiente angolare 1 2. c) Sia F il fascio di iperboli che sono tangenti alla retta di equazione x + y = 0 nell origine e ammettono come asintoto la retta di equazione x + 2y 1 = 0. Compito. Siano O, P e Q le intersezione con gli assi coordinati della generica iperbole Γ del fascio F. Si scriva l equazione del luogo descritto dal centro della generica circonferenza passante per O, P e Q, al variare di Γ in F e si riconosca tale luogo.

30 Esercizio 8. a) Scrivere l equazione dell iperbole che ha come asintoti le rette x + y = 0 e x 2y = 0 e passa per il punto A(1; 0). b) Scrivere l equazione della conica con centro in O(0; 0), passante per i punti B(1; 0) e A(1; 1) ed ivi tangente alla retta di coefficiente angolare 1 2. c) Sia F il fascio di iperboli che sono tangenti alla retta di equazione x + y = 0 nell origine e ammettono come asintoto la retta di equazione x + 2y 1 = 0. Compito. Siano O, P e Q le intersezione con gli assi coordinati della generica iperbole Γ del fascio F. Si scriva l equazione del luogo descritto dal centro della generica circonferenza passante per O, P e Q, al variare di Γ in F e si riconosca tale luogo.

31 Esercizio 8. a) Scrivere l equazione dell iperbole che ha come asintoti le rette x + y = 0 e x 2y = 0 e passa per il punto A(1; 0). b) Scrivere l equazione della conica con centro in O(0; 0), passante per i punti B(1; 0) e A(1; 1) ed ivi tangente alla retta di coefficiente angolare 1 2. c) Sia F il fascio di iperboli che sono tangenti alla retta di equazione x + y = 0 nell origine e ammettono come asintoto la retta di equazione x + 2y 1 = 0. Compito. Siano O, P e Q le intersezione con gli assi coordinati della generica iperbole Γ del fascio F. Si scriva l equazione del luogo descritto dal centro della generica circonferenza passante per O, P e Q, al variare di Γ in F e si riconosca tale luogo.

32 Esercizio 8. d) Scrivere l equazione della parabola con asse parallelo all asse y e passante per i punti A(1; 0), B(3; 0), C(2; 1). e) Scrivere l equazione dell iperbole equilatera che ammette come asintoto x + y 1 = 0, ha centro in C(1; 0) e passa per l origine. f) Compito. Scrivere l equazione del fascio di iperboli aventi gli asintoti coincidenti con gli assi del riferimento. g) Scrivere l equazione della parabola che ha come asse la retta y = 2x, vertice in O(0; 0) e passa per A(1; 0).

33 Esercizio 8. d) Scrivere l equazione della parabola con asse parallelo all asse y e passante per i punti A(1; 0), B(3; 0), C(2; 1). e) Scrivere l equazione dell iperbole equilatera che ammette come asintoto x + y 1 = 0, ha centro in C(1; 0) e passa per l origine. f) Compito. Scrivere l equazione del fascio di iperboli aventi gli asintoti coincidenti con gli assi del riferimento. g) Scrivere l equazione della parabola che ha come asse la retta y = 2x, vertice in O(0; 0) e passa per A(1; 0).

34 Esercizio 8. d) Scrivere l equazione della parabola con asse parallelo all asse y e passante per i punti A(1; 0), B(3; 0), C(2; 1). e) Scrivere l equazione dell iperbole equilatera che ammette come asintoto x + y 1 = 0, ha centro in C(1; 0) e passa per l origine. f) Compito. Scrivere l equazione del fascio di iperboli aventi gli asintoti coincidenti con gli assi del riferimento. g) Scrivere l equazione della parabola che ha come asse la retta y = 2x, vertice in O(0; 0) e passa per A(1; 0).

35 Esercizio 8. d) Scrivere l equazione della parabola con asse parallelo all asse y e passante per i punti A(1; 0), B(3; 0), C(2; 1). e) Scrivere l equazione dell iperbole equilatera che ammette come asintoto x + y 1 = 0, ha centro in C(1; 0) e passa per l origine. f) Compito. Scrivere l equazione del fascio di iperboli aventi gli asintoti coincidenti con gli assi del riferimento. g) Scrivere l equazione della parabola che ha come asse la retta y = 2x, vertice in O(0; 0) e passa per A(1; 0).

36 Esercizio 9. Scrivere l equazione della conica avente la retta 2x y = 0 come diametro, la retta x y + 1 = 0 come asintoto e V (1; 0) come vertice. Successivamente determinare le tangenti alla conica nei punti in cui il diametro incontra la conica e la direzione coniugata a tale diametro.

37 Esercizio 10. (Fuoco) a) Determinare le coordinate del fuoco (reale e proprio) della conica x 2 2x y + 1 = 0 e un equazione cartesiana della direttrice. (Per trovare le coordinate del fuoco, mandare le tangenti alla conica dai punti ciclici e intersecarle). b) Determinare l equazione della conica avente un fuoco in O(0; 0) relativo alla direttrice x = 2 e passante per A(1; 1). Definizione Un fuoco è un punto tale che le tangenti alla conica da esso condotte passano per i punti ciclici [(1, ±i, 0)]. La direttrice è la retta polare di un fuoco.

38 Tema esame del 18 giugno 2008

39 Tema esame del 18 giugno 2008

40 Tema esame del 13 marzo 2002

Fasci di rette nel piano affine

Fasci di rette nel piano affine Fasci di rette nel piano affine Definizione Data una retta r 0 di equazione a 0 x + b 0 y + c 0 = 0, si chiama fascio improprio di sostegno r 0 la totalità delle rette parallele a r 0, inclusa r 0. F r0

Dettagli

Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u.

Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Definizione Una conica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee (x,

Dettagli

Studio generale di una conica

Studio generale di una conica Studio generale di una conica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce conica C un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice simmetrica

Dettagli

4. Sia Γ la conica che ha fuoco F (1, 1) e direttrice d : x y = 0, e che passa per il punto P (2, 1).

4. Sia Γ la conica che ha fuoco F (1, 1) e direttrice d : x y = 0, e che passa per il punto P (2, 1). Geometria Complementi ed esercizi sulle coniche 1 (a) Scrivere l equazione dell ellisse Γ che ha fuochi F 1 ( 1, 1), F (1, 1) e che passa per il punto P (1, 1) (b) Determinare il centro, gli assi e i vertici

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Trovare l equazione della conica irriducibile tangente all asse x nel punto A(2, 0), tangente all asse y e passante per i punti B(1, 1) e C(2, 2) Scrivere

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE Esercizio 1: Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Dettagli

Classificazione delle coniche.

Classificazione delle coniche. Classificazione delle coniche Ora si vogliono studiare i luoghi geometrici rappresentati da equazioni di secondo grado In generale, non è facile riconoscere a prima vista di che cosa si tratta, soprattutto

Dettagli

Cenni sulle coniche 1.

Cenni sulle coniche 1. 1 Premessa Cenni sulle coniche 1. Corso di laurea in Ingegneria Civile ed Edile Università degli Studi di Palermo A.A. 2013/2014 prof.ssa Paola Staglianò (pstagliano@unime.it) Scopo della geometria analitica

Dettagli

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico CONICHE in A ~ (C) Punti propri (x P,y P ) hanno coordinate omogenee [(x P,y P, )], Punti impropri hanno coordinate omogenee [(l,m, )]. L equazione di una conica in coordinate non omogenee (x,y) C: a,

Dettagli

22 Novembre Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non

22 Novembre Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non Primo esonero di GEOMETRIA 3 - C. L. Matematica 22 Novembre 2013 1. Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non singolare ( ) α 2. 1 0 (a) Si determini, al variare del

Dettagli

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e

Dettagli

Corso di Matematica II

Corso di Matematica II Corso di Matematica II Università degli Studi della Basilicata Dipartimento di Scienze Corso di laurea in Chimica e in Scienze Geologiche A.A. 2014/15 dott.ssa Vita Leonessa Elementi di geometria analitica

Dettagli

Coniche - risposte 1.9

Coniche - risposte 1.9 Coniche - risposte. CAMBI DI COORDINATE ) ) cosπ/) sinπ/). a. Rotazione di π/, la matrice di rotazione è = sinπ/) cosπ/) ) ) ) X = Y X = Quindi le formule sono: cioè: Y = X e inversamente Y = = Y X = b.

Dettagli

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono

Dettagli

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente 1 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della

Dettagli

f(x) = sin cos α = k2 2 k

f(x) = sin cos α = k2 2 k 28 Maggio 2015 Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell esposizione: chiarezza, ordine ed organicità. La sufficienza

Dettagli

Geometria analitica del piano

Geometria analitica del piano Geometria analitica del piano dott.ssa Vita Leonessa Università degli Studi della Basilicata (27 marzo 2008) (Analisi) Matematica 2 CdL in Chimica, Biotecnologie, Scienze Geologiche Rette Fissato un sistema

Dettagli

1 Coniche. s (x, y, t ) (1) 1 (x, y, t )F r 2

1 Coniche. s (x, y, t ) (1) 1 (x, y, t )F r 2 1 Coniche Studieremo le curve nel piano euclideo, cioè nel piano con un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fissato, oppure nel completamento proiettivo di questo piano, ottenuto con l introduzione

Dettagli

Note di geometria analitica nel piano

Note di geometria analitica nel piano Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................

Dettagli

Unità Didattica N 9 : La parabola

Unità Didattica N 9 : La parabola 0 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 9 La parabola Unità Didattica N 9 : La parabola ) La parabola ad asse verticale ) La parabola ad asse orizzontale 5) Intersezione di una parabola con una retta 6)

Dettagli

Problemi sull iperbole

Problemi sull iperbole 1 ricerca dell equazione dell iperbole Scrivere l equazione, riferita agli assi, dell iperbole che ha l asse delle ascisse come asse traverso, le rette xx yy = 0, xx + yy = 0 come asintoti e passa per

Dettagli

Vincenzo Aieta CONICHE, FASCI DI CONICHE

Vincenzo Aieta CONICHE, FASCI DI CONICHE Vincenzo Aieta CONICHE, FASCI DI CONICHE Le coniche 1 Teoria delle Coniche Il nome conica deriva dal semplice fatto che gli antichi Greci secando con un piano una conica a doppia falda ottenevano, a seconda

Dettagli

CORSO DI RECUPERO DI MATEMATICA PER ALUNNI CLASSI TERZE CON GIUDIZIO SOSPESO

CORSO DI RECUPERO DI MATEMATICA PER ALUNNI CLASSI TERZE CON GIUDIZIO SOSPESO CORSO DI RECUPERO DI MATEMATICA PER ALUNNI CLASSI TERZE CON GIUDIZIO SOSPESO ESERCIZI PROPOSTI 1. DATI I PUNTI A(3,-) E B(-5,): A. RAPPRESENTARLI SUL PIANO; B. CALCOLARE LA LORO DISTANZA; C. CALCOLARE

Dettagli

~ E 2 (R) si determini l equazione cartesiana del

~ E 2 (R) si determini l equazione cartesiana del In Esercizio 1 ~ E (R) si determini l equazione cartesiana del luogo dei punti equidistanti dal punto F=(1,) e dalla retta y=x. a) Si classifichi la conica così ottenuta; b) Si determini l asse e il vertice;

Dettagli

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee 1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale

CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale CdL in Ingegneria Gestionale e CdL in Ingegneria del Recupero Edilizio ed Ambientale della prova scritta di Algebra Lineare e Geometria- Compito A- 8 Aprile 8 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito

Dettagli

ESERCIZI DI RIPASSO, A.A

ESERCIZI DI RIPASSO, A.A ESERCIZI DI RIPASSO, A.A. 14-15 Per ogni risposta, segnare V se è vera, F se è falsa. Ogni test viene valutato 3 punti se vengono date tutte e sole le risposte corrette. Altrimenti, la valutazione è 0.

Dettagli

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi)

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) 2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) La circonferenza è la curva di 2^ grado che viene individuata univocamente da tre punti non allineati e possiede la seguente proprietà:

Dettagli

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB); VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.

Dettagli

REGISTRO DELLE ESERCITAZIONI

REGISTRO DELLE ESERCITAZIONI UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI REGISTRO DELLE ESERCITAZIONI del Corso UFFICIALE di GEOMETRIA A tenute dal prof. Domenico AREZZO nell anno accademico

Dettagli

2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.

2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3. Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 2 2 2 A = 2 2 2 Il DetA = 2 quindi

Dettagli

CORSO DI LAUREA in Ingegneria Informatica (Vecchio Ordinamento)

CORSO DI LAUREA in Ingegneria Informatica (Vecchio Ordinamento) CORSO D LAUREA in ngegneria nformatica (Vecchio Ordinamento) Prova scritta di Geometria assegnata il 19/3/2002 Sia f : R 3 R 4 l applicazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi canoniche

Dettagli

Studio generale di una quadrica

Studio generale di una quadrica Studio generale di una quadrica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce quadrica Q un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice

Dettagli

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche.

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Quadriche Esercizi 1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. (a) x + y + z + xy xz yz 6x 4y + z

Dettagli

CdL in Ingegneria Informatica (Orp-Z)

CdL in Ingegneria Informatica (Orp-Z) CdL in ngegneria nformatica (Orp-Z) Prova scritta di Algebra Lineare assegnata il 22 Novembre 2004 - A Usare solo carta fornita dal Dipartimento di Matematica e nformatica, riconsegnandola tutta. Sia f

Dettagli

X = x + 1. X = x + 1

X = x + 1. X = x + 1 CONICHE. Esercizi Esercizio. Classificare, ridurre a forma canonica (completando i quadrati), e disegnare le seguenti coniche: γ : x y + x = 0; γ : x + 4x y + = 0; γ 3 : x + y + y + 0 = 0; γ 4 : x + y

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

04 LA CIRCONFERENZA ESERCIZI. 1 Determina il luogo geometrico costituito dai punti del piano aventi distanza 2 dal punto C(1; 3).

04 LA CIRCONFERENZA ESERCIZI. 1 Determina il luogo geometrico costituito dai punti del piano aventi distanza 2 dal punto C(1; 3). 04 LA CIRCONFERENZA ESERCIZI 1. LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE 1 Determina il luogo geometrico costituito dai punti del piano aventi distanza dal punto C(1; 3). x + y x 6y + 6 = 0 Indica se le seguenti

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Coniche

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,

Dettagli

Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u.

Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Definizione Una quadriche è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee

Dettagli

CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica

CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE NINNI CASSARÀ SEDE DI VIA FATTORI CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica erasmo@galois.it DEFINIZIONI Definizione. Dicesi parabola il luogo

Dettagli

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

Complementi di Geometria

Complementi di Geometria 1 2 Rosa Anna Marinosci Complementi di Geometria (Coniche e Quadriche) Lezioni raccolte a cura della Dott.ssa Barbara De Leo Università del Salento Facoltà di Ingegneria a.a. 2009/2010 Indice 1 Ampliamenti

Dettagli

Complementi di Geometria

Complementi di Geometria Rosa Anna Marinosci Complementi di Geometria (Coniche e Quadriche) Lezioni raccolte a cura della Dott.ssa Barbara De Leo Università del Salento Facoltà di Ingegneria a.a. 2009/2010 Indice 1 Ampliamenti

Dettagli

Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI

Universita degli Studi di Roma - Tor Vergata - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI R. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio

Dettagli

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro. Geometria Analitica Le coniche Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di

Dettagli

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni I f(,, 0) = (h +,h+, ) f(,, ) = (h,h, h) f(0,, ) = (,h, h) con h parametro reale. ) Studiare

Dettagli

Appunti ed esercizi sulle coniche

Appunti ed esercizi sulle coniche 1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O

Dettagli

LE CONICHE. CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE Un po di storia. Con materiale liberamente scaricabile da Internet.

LE CONICHE. CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE Un po di storia. Con materiale liberamente scaricabile da Internet. LE CONICHE CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE Un po di storia Con materiale liberamente scaricabile da Internet www.domenicoperrone.net 1 Prima di iniziare lo studio delle coniche facciamo dei richiami

Dettagli

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica 1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata

Dettagli

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.

Dettagli

GEOMETRIA Nome... COGNOME...

GEOMETRIA Nome... COGNOME... GEOMETRIA Nome... COGNOME... 17 Gennaio 217 Ingegneria... Matricola... In caso di esito sufficiente, desidero sostenere la prova orale: [ ] in questo appello (con inizio oggi alle ore 15: in aula Magna

Dettagli

Ripasso Formule sulle parabole:

Ripasso Formule sulle parabole: Ripasso Formule sulle parabole: Equazione generica: Y = ax 2 + bx + c a Apertura della parabola: 1/2p c Punto d incontro con l asse delle Y p Distanza focale: Fuoco direttrice (2 FV) Radici: Risoluzione

Dettagli

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO DEFINIZIONE Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti

Dettagli

Iperbole. L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante.

Iperbole. L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante. Iperbole L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante. Vedi figura: Figura 1 Iperbole equilatera. Se i fuochi si trovano sull

Dettagli

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci. Fasci. N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario. Fasci di rette nel piano

Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci. Fasci. N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario. Fasci di rette nel piano Fasci N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario Fasci di rette nel piano 1 Fasci di piani nello spazio 2 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci Date due rette r ed r di equazione: : 0 :

Dettagli

Università degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica *

Università degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica * Università degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica *. Distanza tra due punti A ; ) e B ; ) del piano cartesiano: AB = ) + ) +. Punto medio M del segmento AB

Dettagli

PIANO CARTESIANO E RETTA

PIANO CARTESIANO E RETTA PIANO CATESIANO E ETTA Distanza tra due punti: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) Distanza tra due punti su una retta di coefficiente angolare m: d(a, B) = x A x B + m Punto medio di un segmento: M = (

Dettagli

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE J.C. MAXWELL Data Pag. di PROGRAMMA SVOLTO. Docente : Varano Franco Antonio.

ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE J.C. MAXWELL Data Pag. di PROGRAMMA SVOLTO. Docente : Varano Franco Antonio. Materia: Matematica. Docente : Varano Franco Antonio. Classe : 3 C Liceo Scientifico, opzione Scienze Applicate. ATTIVITA CONTENUTI PERIODO / DURATA LE ISOMETRIE. LE FUNZIONI. LA RETTA. Le isometrie, la

Dettagli

RECUPERO LA CIRCONFERENZA, L ELLISSE, L IPERBOLE

RECUPERO LA CIRCONFERENZA, L ELLISSE, L IPERBOLE RECUPERO LA CIRCONFERENZA, L ELLISSE, L IPERBOLE Il grafico di una circonferenza Rappresenta graficamente la circonferenza di equazione 0 dopo aver determinato le coordinate del centro e la misura del

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica Precorso di Matematica Lezione 3 Andrea Susa OPERATORE DI PRODOTTO Π 2 1 Operatore di prodotto Π Consideriamo un insieme numerico ={ =1, }. Definiamo prodotto degli elementi in, = Esempio: ={ =1, =2, =3,

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016 PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016 LE DISEQUAZIONI 1. Le disequazioni di primo e secondo grado 2. Le disequazioni di grado superiore al secondo e le disequazioni fratte

Dettagli

Geometria analitica piana

Geometria analitica piana Geometria analitica piana 1. La geometria analitica Il metodo della geometria analitica consiste nell applicare gli strumenti dell algebra allo studio della geometria. Il legame tra enti algebrici ed enti

Dettagli

Calcolo Algebrico. Primo grado. ax 2 + bx + c = 0. Secondo grado. (a 0) Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: ax + b = 0

Calcolo Algebrico. Primo grado. ax 2 + bx + c = 0. Secondo grado. (a 0) Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: ax + b = 0 Calcolo Algebrico Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: Primo grado ax + b = 0 (a 0) x = b a Secondo grado ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Si hanno due soluzioni che possono essere reali

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Esercizio 1. Si considerino la funzione: { R f : 3 R 3 (α, β, γ) ( 2β α γ, (k 1)β + (1 k)γ α, 3β + (k 2)γ ) dove k è un parametro reale, e il sottospazio U =

Dettagli

Programma svolto nell'a.s. 2014/2015. Disciplina: Matematica. Classe: 3D Docente: Prof. Ezio Pignatelli. Programma sintetico.

Programma svolto nell'a.s. 2014/2015. Disciplina: Matematica. Classe: 3D Docente: Prof. Ezio Pignatelli. Programma sintetico. Programma svolto nell'a.s. 2014/2015. Disciplina: Matematica. Classe: 3D Docente: Prof. Ezio Pignatelli Programma sintetico. 1. Equazioni e disequazioni a) Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado.

Dettagli

Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2016/2017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III

Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2016/2017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 016/017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III Gli esercizi vanno svolti e consegnati, anche su un quaderno, il giorno dell esame per il

Dettagli

Formulario di Geometria Analitica a.a

Formulario di Geometria Analitica a.a Formulario di Geometria Analitica a.a. 2006-2007 Dott. Simone Zuccher 23 dicembre 2006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it).

Dettagli

La circonferenza nel piano cartesiano

La circonferenza nel piano cartesiano La circonferenza nel piano cartesiano 1. Definizione ed equazione. Si chiama circonferenza C, di centro C( α, β ) e raggio r, l insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da C. L equazione

Dettagli

Parte 12b. Riduzione a forma canonica

Parte 12b. Riduzione a forma canonica Parte 2b. Riduzione a forma canonica A. Savo Appunti del Corso di Geometria 202-3 Indice delle sezioni. Coniche, 2. Esempio di riduzione, 4 3. Teoremi fondamentali, 6 4. Come determinare l equazione canonica,

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE. Matematica. Programma svolto. Testo di riferimento: M. Bergamini - G. Barozzi - A. Trifone

LICEO SCIENTIFICO STATALE. Matematica. Programma svolto. Testo di riferimento: M. Bergamini - G. Barozzi - A. Trifone A.S. 2016 2015 17 16 LICEO SCIENTIFICO STATALE " G. Pellecchia" - CASSINO (FR) Classe 3^C 1^C Matematica Programma svolto Docente: Bianchi Angelarita Testo di riferimento: M. Bergamini - G. Barozzi - A.

Dettagli

1 Geometria analitica nel piano

1 Geometria analitica nel piano Lezioni di Geometria a.a. 2007-2008 cdl SIE prof. C. Franchetti 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 )

Dettagli

1 Cambiamenti di coordinate nel piano.

1 Cambiamenti di coordinate nel piano. Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1 GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO + x 1 Punto medio d'un segmento, y + y 1 Distanza tra due punti ( - x 1 ) + (y - y 1 ) Condizione di appartenenza di un punto P (x p ;y p ) ad una curva di equazione f(x,y)

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA

GEOMETRIA ANALITICA GEOMETRIA ANALITICA matematica@blogscuola.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un

Dettagli

In questo capitolo si introducono in maniera non formale alcuni concetti che verranno poi formalizzati nei capitoli successivi.

In questo capitolo si introducono in maniera non formale alcuni concetti che verranno poi formalizzati nei capitoli successivi. Geometria proiettiva - Il piano proiettivo Introduzione In questo capitolo si introducono in maniera non formale alcuni concetti che verranno poi formalizzati nei capitoli successivi.. Retta proiettiva

Dettagli

QUADRICHE REALI (QUATTORDICESIMA LEZIONE)

QUADRICHE REALI (QUATTORDICESIMA LEZIONE) QUADRICHE REALI (QUATTORDICESIMA LEZIONE) Data una quadrica Q reale non riducibile e con punti reali, si dimostra che : se Q ha un punto reale semplice parabolico, allora: 1) ogni altro punto semplice

Dettagli

3 ) (5) Determinare la proiezione ortogonale del punto (2, 1, 2) sul piano x + 2y + 3z + 4 = 0.

3 ) (5) Determinare la proiezione ortogonale del punto (2, 1, 2) sul piano x + 2y + 3z + 4 = 0. 1 Calcolo vettoriale 1 Scrivere il vettore w =, 6 sotto forma di combinazione lineare dei vettori u = 1, e v = 3, 1 R w = v 4u Determinare la lunghezza o il modulo del vettore, 6, 3 R 7 3 Determinare la

Dettagli

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati

Dettagli

PROGRAMMA di MATEMATICA

PROGRAMMA di MATEMATICA Liceo Scientifico F. Lussana - Bergamo PROGRAMMA di MATEMATICA Classe 3^ F a.s. 2013/14 - Docente: Marcella Cotroneo Libro di testo : Leonardo Sasso "Nuova Matematica a colori 3" - Petrini Ore settimanali

Dettagli

Test su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze

Test su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze Test su geometria Domanda 1 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x; y) soddisfano l equazione x y = 1 è costituita da una circonferenza.

Dettagli

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 1 ottobre 011 Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Esercizio 1. La circonferenza ha centro in C 4 ), 7, 7 ) e raggio + 7 57

Dettagli

PROBLEMI DI GEOMETRIA

PROBLEMI DI GEOMETRIA PROBLEMI DI GEOMETRIA Lucio Guerra 1994 v. 1 2001 v. 2.7 Dipartimento di Matematica e Informatica - Università di Perugia Indice 1. EQUAZIONI LINEARI 1 2. SPAZI VETTORIALI 2 3. APPLICAZIONI LINEARI 4 4.

Dettagli

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione.

Dettagli

Formulario di Geometria Analitica

Formulario di Geometria Analitica Formulario di Geometria Analitica Indice degli argomenti Retta Circonferenza Paraola Ellisse Iperole 1 Retta Equazione della retta in forma implicita ax + y + c = 0 a = 0 x = 0 y Se retta parallela all'asse,

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI

Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI Anno scolastico: 014-015 Classe: 3 H Docente: Paola Zanolo Disciplina: Matematica Ripassare tutto il programma preparando un formulario per

Dettagli

II Università degli Studi di Roma

II Università degli Studi di Roma Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado

Dettagli

ESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE

ESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE ESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: Martedi 16-18 Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126 4 Dicembre 2012 L espressione

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE ALESSANDRO ANTONELLI

LICEO SCIENTIFICO STATALE ALESSANDRO ANTONELLI LICEO SCIENTIFICO STATALE ALESSANDRO ANTONELLI Via Toscana, 20 28100 NOVARA 0321 465480/458381 0321 465143 lsantone@liceoantonelli.novara.it http://www.liceoantonelli.novara.it C.F.80014880035 Cod.Mecc.

Dettagli

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara) Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle da un altra angolazione.. Determinare

Dettagli

7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza

7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza 7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza Il metodo della geometria analitica consiste nell applicare gli strumenti dell algebra allo studio della geometria. Il legame

Dettagli

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce

Dettagli