Un fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.
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- Marina Bernardini
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1 Piano proiettivo Conica: curva algebrica reale del II ordine. a 11 x a 12 x 1 x 2 + a 22 x a 13 x 1 x 3 + 2a 23 x 2 x 3 + a 33 x 2 3 = 0 x T A x = 0 Classificazione proiettiva delle coniche: conica generale: non ci sono punti doppi, rango della matrice: 3; conica semplicemente degenere: uno e un solo punto doppio, rango della matrice: 2; conica doppiamente degenere: 1 punti doppi, rango della matrice: 1.
2 Esercizio 1. Stabilire quali delle seguenti coniche sono degeneri; di esse determinare le rette componenti. a) C 1 : 3x 2 + xy + 6x + 2y = 0 b) C 2 : x 2 + 2xy + y 2 1 = 0 c) C 3 : x 2 + 2y 2 1 = 0 d) C 4 : x 2 + 4y 2 + 2x + 4y + 7 = 0 e) C 5 : x 2 + 2xy + y 2 + 6x + 6y + 9 = 0
3 Fasci di coniche Definizione Siano C 1 : x T A 1 x = 0 e C 2 : x T A 2 x = 0 due coniche distinte in P 2 (C). Si dice fascio di coniche individuato da C 1 e C 2 la totalità delle coniche di P 2 (C) la cui equazione è combinazione lineare delle equazioni di C 1 e C 2 : F : λ( x T A 1 x) + µ( x T A 2 x) = 0, con (λ, µ) (0, 0). Le coniche C 1 e C 2 si dicono coniche base o generatrici del fascio. Un fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.
4 Fasci di coniche Definizione Siano C 1 : x T A 1 x = 0 e C 2 : x T A 2 x = 0 due coniche distinte in P 2 (C). Si dice fascio di coniche individuato da C 1 e C 2 la totalità delle coniche di P 2 (C) la cui equazione è combinazione lineare delle equazioni di C 1 e C 2 : F : λ( x T A 1 x) + µ( x T A 2 x) = 0, con (λ, µ) (0, 0). Le coniche C 1 e C 2 si dicono coniche base o generatrici del fascio. Un fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.
5 Fasci di coniche Definizione Siano C 1 : x T A 1 x = 0 e C 2 : x T A 2 x = 0 due coniche distinte in P 2 (C). Si dice fascio di coniche individuato da C 1 e C 2 la totalità delle coniche di P 2 (C) la cui equazione è combinazione lineare delle equazioni di C 1 e C 2 : F : λ( x T A 1 x) + µ( x T A 2 x) = 0, con (λ, µ) (0, 0). Le coniche C 1 e C 2 si dicono coniche base o generatrici del fascio. Un fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.
6 Fasci di coniche
7 Fasci di coniche
8 Fasci di coniche
9 Fasci di coniche
10 Fasci di coniche
11 Esercizio 2. a) Scrivere l equazione del fascio di coniche passanti per i punti A(1; 0), B(0; 2), C(1; 1) e D(0; 0). b) Scrivere l equazione della generica conica passante per A(0; 1), B(2; 0), C(1; 1) e tangente alla retta c : x y = 0. c) Scrivere le equazioni delle coniche tangenti in A(2; 0) all asse x e in B(0; 1) all asse y. d) Scrivere l equazione della conica tangente alla conica y = x 2 nei punti in cui essa interseca la retta y = 3, e passante per P(3; 0).
12 Esercizio 2. a) Scrivere l equazione del fascio di coniche passanti per i punti A(1; 0), B(0; 2), C(1; 1) e D(0; 0). b) Scrivere l equazione della generica conica passante per A(0; 1), B(2; 0), C(1; 1) e tangente alla retta c : x y = 0. c) Scrivere le equazioni delle coniche tangenti in A(2; 0) all asse x e in B(0; 1) all asse y. d) Scrivere l equazione della conica tangente alla conica y = x 2 nei punti in cui essa interseca la retta y = 3, e passante per P(3; 0).
13 Esercizio 2. a) Scrivere l equazione del fascio di coniche passanti per i punti A(1; 0), B(0; 2), C(1; 1) e D(0; 0). b) Scrivere l equazione della generica conica passante per A(0; 1), B(2; 0), C(1; 1) e tangente alla retta c : x y = 0. c) Scrivere le equazioni delle coniche tangenti in A(2; 0) all asse x e in B(0; 1) all asse y. d) Scrivere l equazione della conica tangente alla conica y = x 2 nei punti in cui essa interseca la retta y = 3, e passante per P(3; 0).
14 Esercizio 2. a) Scrivere l equazione del fascio di coniche passanti per i punti A(1; 0), B(0; 2), C(1; 1) e D(0; 0). b) Scrivere l equazione della generica conica passante per A(0; 1), B(2; 0), C(1; 1) e tangente alla retta c : x y = 0. c) Scrivere le equazioni delle coniche tangenti in A(2; 0) all asse x e in B(0; 1) all asse y. d) Scrivere l equazione della conica tangente alla conica y = x 2 nei punti in cui essa interseca la retta y = 3, e passante per P(3; 0).
15 Esercizio 3. a) Studiare il fascio di coniche di equazione: (1 + k)x 2 + y 2 2kx + k 1 = 0 (tipo di fascio, punti base, coniche degeneri). b) Studiare il fascio di coniche di equazione: (1 + k)x 2 + y 2 (2 + k)y = 0.
16 Esercizio 3. a) Studiare il fascio di coniche di equazione: (1 + k)x 2 + y 2 2kx + k 1 = 0 (tipo di fascio, punti base, coniche degeneri). b) Studiare il fascio di coniche di equazione: (1 + k)x 2 + y 2 (2 + k)y = 0.
17 Esercizio 4. Sia Γ la circonferenza passante per l origine e avente come centro C(1; 1). Dette A e B le ulteriori intersezioni di Γ con gli assi cartesiani, scrivere l equazione della conica passante per P(3; 3) e tangente a Γ in A e B.
18 Esercizio 5. (Polarità) a) Data la conica C : x 2 y 2 2x + 2y + 3 = 0, determinare, rispetto a C: la polare di A(1; 1); il polo della retta r : y = 1; le tangenti a C condotte da B(0; 3); le tangenti a C condotte da P(1; 2). b) Scrivere l equazione della conica che passa per i punti A(0; 0), B(0; 1), C(1; 0), D(1; 1) e rispetto cui sono coniugati i punti P(2; 3), Q(3; 4).
19 Esercizio 5. (Polarità) a) Data la conica C : x 2 y 2 2x + 2y + 3 = 0, determinare, rispetto a C: la polare di A(1; 1); il polo della retta r : y = 1; le tangenti a C condotte da B(0; 3); le tangenti a C condotte da P(1; 2). b) Scrivere l equazione della conica che passa per i punti A(0; 0), B(0; 1), C(1; 0), D(1; 1) e rispetto cui sono coniugati i punti P(2; 3), Q(3; 4).
20 Classificazione affine Le coniche si classificano a seconda di loro punti impropri. Per definizione le ellissi hanno i punti impropri immaginari e coniugati, le parabole hanno i punti impropri reali e coincidenti, le iperboli hanno i punti impropri reali e distinti. La natura dei punti impropri è legata al determinante del minore [ ] a11 a 12, a 12 a 22 perché esso è, a meno del segno, il discriminante dell equazione di secondo grado ottenuta dal sistema C r.
21 Esercizio 6. Classificare dal punto di vista proiettivo e affine le seguenti coniche. a) x 2 + 4y 2 16 = 0 b) (2x + y) 2 x = 0 c) 3x 2 3y 2 + 8xy 2x + 20 = 0 d) xy = 0 e) x 2 2xy + y 2 1 = 0
22 Studio di una conica Per studiare una conica si determinano (almeno) centro, asintoti e assi. Definizione Il centro è definito come il polo della retta impropria. Solo per ellissi e iperboli il centro è un punto proprio (sono dette coniche a centro). Le parabole, avendo punti impropri reali e coincidenti, sono tangenti alla retta impropria, quindi il centro si trova intersecando l equazione della parabola con x 3 = 0. Le coordinate del centro di ellissi e iperboli le otteniamo per intersezione delle polari di due punti impropri. Scegliendo come punti impropri [(1, 0, 0)] e [(0, 1, 0)], si ha { a11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = 0 a 12 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = 0.
23 Studio di una conica Definizione Un diametro è una retta passante per il centro. Un asse è un diametro ortogonale al proprio polo. Coniche a centro: hanno due assi ortogonali. Per determinarli scrivere le equazioni delle rette passanti per il centro con direzioni determinate come segue. Sia l(a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ) + m(a 12 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 ) = 0 l equazione del generico diametro, imponendo che il punto [( m, l, 0)] (direzione ortogonale a [(l, m, 0)]) la soddisfi, si ha a 12 l 2 + (a 22 a 11 )lm a 12 m 2 = 0, equazione che caratterizza la direzione degli assi. Parabola: ha un solo asse proprio. Per determinarlo si calcola la polare del punto improprio ortogonale a C (centro). Quindi, se il centro ha coordinate C = [(l, m, 0)], l equazione dell asse è [m l 0] A [x 1 x 2 x 3 ] T = 0.
24 Studio di una conica Definizione Un asintoto è una tangente alla conica in un suo punto improprio. La parabola ha due asintoti coincidenti: la retta impropria x 3 = 0. L ellisse ha due asintoti immaginari e coniugati e l iperbole reali e distinti. Le direzioni degli asintoti si calcolano imponendo al generico diametro di contenere il proprio polo e si ottiene a 11 l 2 + 2a 12 lm + a 22 m 2 = 0. Gli asintoti sono quindi le rette passanti per il centro e aventi le direzioni date dalla precedente equazione.
25 Studio di una conica
26 Esercizio 7. a) Studiare la conica di equazione 7x 2 8xy + y = 0. b) Studiare la conica di equazione x 2 4xy + 4y 2 + 4x 18y = 0. c) Studiare il fascio di coniche di equazione F k : (1+k)x 2 +(1+k)y 2 +2xy 2(1+k)x 2(1+3k)y +1+10k = 0. Compito: Posto k = 5, studiare la conica F 5
27 Esercizio 7. a) Studiare la conica di equazione 7x 2 8xy + y = 0. b) Studiare la conica di equazione x 2 4xy + 4y 2 + 4x 18y = 0. c) Studiare il fascio di coniche di equazione F k : (1+k)x 2 +(1+k)y 2 +2xy 2(1+k)x 2(1+3k)y +1+10k = 0. Compito: Posto k = 5, studiare la conica F 5
28 Esercizio 7. a) Studiare la conica di equazione 7x 2 8xy + y = 0. b) Studiare la conica di equazione x 2 4xy + 4y 2 + 4x 18y = 0. c) Studiare il fascio di coniche di equazione F k : (1+k)x 2 +(1+k)y 2 +2xy 2(1+k)x 2(1+3k)y +1+10k = 0. Compito: Posto k = 5, studiare la conica F 5
29 Esercizio 8. a) Scrivere l equazione dell iperbole che ha come asintoti le rette x + y = 0 e x 2y = 0 e passa per il punto A(1; 0). b) Scrivere l equazione della conica con centro in O(0; 0), passante per i punti B(1; 0) e A(1; 1) ed ivi tangente alla retta di coefficiente angolare 1 2. c) Sia F il fascio di iperboli che sono tangenti alla retta di equazione x + y = 0 nell origine e ammettono come asintoto la retta di equazione x + 2y 1 = 0. Compito. Siano O, P e Q le intersezione con gli assi coordinati della generica iperbole Γ del fascio F. Si scriva l equazione del luogo descritto dal centro della generica circonferenza passante per O, P e Q, al variare di Γ in F e si riconosca tale luogo.
30 Esercizio 8. a) Scrivere l equazione dell iperbole che ha come asintoti le rette x + y = 0 e x 2y = 0 e passa per il punto A(1; 0). b) Scrivere l equazione della conica con centro in O(0; 0), passante per i punti B(1; 0) e A(1; 1) ed ivi tangente alla retta di coefficiente angolare 1 2. c) Sia F il fascio di iperboli che sono tangenti alla retta di equazione x + y = 0 nell origine e ammettono come asintoto la retta di equazione x + 2y 1 = 0. Compito. Siano O, P e Q le intersezione con gli assi coordinati della generica iperbole Γ del fascio F. Si scriva l equazione del luogo descritto dal centro della generica circonferenza passante per O, P e Q, al variare di Γ in F e si riconosca tale luogo.
31 Esercizio 8. a) Scrivere l equazione dell iperbole che ha come asintoti le rette x + y = 0 e x 2y = 0 e passa per il punto A(1; 0). b) Scrivere l equazione della conica con centro in O(0; 0), passante per i punti B(1; 0) e A(1; 1) ed ivi tangente alla retta di coefficiente angolare 1 2. c) Sia F il fascio di iperboli che sono tangenti alla retta di equazione x + y = 0 nell origine e ammettono come asintoto la retta di equazione x + 2y 1 = 0. Compito. Siano O, P e Q le intersezione con gli assi coordinati della generica iperbole Γ del fascio F. Si scriva l equazione del luogo descritto dal centro della generica circonferenza passante per O, P e Q, al variare di Γ in F e si riconosca tale luogo.
32 Esercizio 8. d) Scrivere l equazione della parabola con asse parallelo all asse y e passante per i punti A(1; 0), B(3; 0), C(2; 1). e) Scrivere l equazione dell iperbole equilatera che ammette come asintoto x + y 1 = 0, ha centro in C(1; 0) e passa per l origine. f) Compito. Scrivere l equazione del fascio di iperboli aventi gli asintoti coincidenti con gli assi del riferimento. g) Scrivere l equazione della parabola che ha come asse la retta y = 2x, vertice in O(0; 0) e passa per A(1; 0).
33 Esercizio 8. d) Scrivere l equazione della parabola con asse parallelo all asse y e passante per i punti A(1; 0), B(3; 0), C(2; 1). e) Scrivere l equazione dell iperbole equilatera che ammette come asintoto x + y 1 = 0, ha centro in C(1; 0) e passa per l origine. f) Compito. Scrivere l equazione del fascio di iperboli aventi gli asintoti coincidenti con gli assi del riferimento. g) Scrivere l equazione della parabola che ha come asse la retta y = 2x, vertice in O(0; 0) e passa per A(1; 0).
34 Esercizio 8. d) Scrivere l equazione della parabola con asse parallelo all asse y e passante per i punti A(1; 0), B(3; 0), C(2; 1). e) Scrivere l equazione dell iperbole equilatera che ammette come asintoto x + y 1 = 0, ha centro in C(1; 0) e passa per l origine. f) Compito. Scrivere l equazione del fascio di iperboli aventi gli asintoti coincidenti con gli assi del riferimento. g) Scrivere l equazione della parabola che ha come asse la retta y = 2x, vertice in O(0; 0) e passa per A(1; 0).
35 Esercizio 8. d) Scrivere l equazione della parabola con asse parallelo all asse y e passante per i punti A(1; 0), B(3; 0), C(2; 1). e) Scrivere l equazione dell iperbole equilatera che ammette come asintoto x + y 1 = 0, ha centro in C(1; 0) e passa per l origine. f) Compito. Scrivere l equazione del fascio di iperboli aventi gli asintoti coincidenti con gli assi del riferimento. g) Scrivere l equazione della parabola che ha come asse la retta y = 2x, vertice in O(0; 0) e passa per A(1; 0).
36 Esercizio 9. Scrivere l equazione della conica avente la retta 2x y = 0 come diametro, la retta x y + 1 = 0 come asintoto e V (1; 0) come vertice. Successivamente determinare le tangenti alla conica nei punti in cui il diametro incontra la conica e la direzione coniugata a tale diametro.
37 Esercizio 10. (Fuoco) a) Determinare le coordinate del fuoco (reale e proprio) della conica x 2 2x y + 1 = 0 e un equazione cartesiana della direttrice. (Per trovare le coordinate del fuoco, mandare le tangenti alla conica dai punti ciclici e intersecarle). b) Determinare l equazione della conica avente un fuoco in O(0; 0) relativo alla direttrice x = 2 e passante per A(1; 1). Definizione Un fuoco è un punto tale che le tangenti alla conica da esso condotte passano per i punti ciclici [(1, ±i, 0)]. La direttrice è la retta polare di un fuoco.
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39 Tema esame del 18 giugno 2008
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