5 Simulazione di prova d Esame di Stato

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1 5 Simulazione di prova d Esame di Stato Problema Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario Tra le parabole di equazione k, individuare la parabola γ tangente alla retta t di equazione 6 e calcolare le coordinate del punto P di tangenza. a. Determinare l equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta t nello stesso punto P. b. Tra le circonferenze del fascio suddetto determinare l equazione della circonferenza ϕ che ha il centro sull asse e verificare che essa incontra la parabola γ, oltre che nel punto doppio di tangenza P, in altri due punti, A di ascissa e B di ascissa +. c. Scritta l equazione della parabola β di vertice V di coordinate 0; ) passante per il punto P, inscrivere, nella regione individuata dalle due parabole γ e β, il triangolo di area massima tra quelli con un vertice in P e la base DE, dove D ed E sono i punti ottenuti intersecando le due parabole con una retta parallela all asse. d. Determinare il rapporto tra la superficie del triangolo di area massima del punto precedente e la superficie delimitata dalle due parabole γ e β in cui questo è inscritto. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO k; t: 6 m); 0;coordinate punto P di tangenza: P ; 0) Passaggio del fascio P : 0 9 k k. γ: a. Per scrivere l equazione del fascio di circonferenze tangenti alla t in P, vale: α) + β) R, dove α; β) sono le coordinate del centro e R il raggio; β α +, appartenendo alla retta r t per P : r: + α e R CP ) + α + ) α) + + α ) 5α 0α +5...) + α +α ) +6α 90fascio di circonferenze.

2 b. Centro su asse α 0 α circonferenza del fascio con centro su asse Sapendo che P ; 0) è un punto che appartiene volte) alle curve: ) + ) 0 da cui: ± ± A ; + ), B + ; ) P O LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO c. β: a + per la simmetria rispetto all asse e il vertice di ordinata uguale. Passaggio per P : 09a + a β: + + ± ± P ) punti di incontro delle parabole γ e β. { + k k k

3 { k k k ) D k; k + ; E k; k k ). Nell intervallo di k selezionato si può scrivere la base del triangolo DE come: DE k + k + k k + k + 9 β A γ D H E O B ϕ P t LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO altezza PH k) Sk) k) 5 6 k + k + 9 ) k 7 k k + 7 superficie triangolo DEP al variare di k nell intervallo scelto. S k) 5 k 7k 0per 5k k 0 k 7 ± S k) 0 per k 5 k S k) Sk) M

4 Si ha un massimo relativo in k, dove la superficie vale: 5 S t k ) 5 ) ) mentre per k 9 e k Sk) 0. Quindi si tratta di un massimo assoluto. 5 d. La superficie delimitata dalle parabole γ e β si ottiene calcolando: ) 9 S p + 5 d + ) d ) d 9 5 [ ] Per cui il rapporto delle due superfici risulta: S t 0 S p 75 : Problema È data la funzione: se e k se >0 con k parametro reale strettamente positivo. a. Studiarne e disegnarne il grafico in un sistema di assi cartesiani ortogonali. b. Determinare l equazione della retta tangente alla curva nel suo punto di flesso. c. Dire se esiste finita l area delimitata dalla curva e dall asse e, in caso affermativo, determinarla. d. Determinare per quale valore del parametro k l area sotto la curva, per >0, risulta uguale a. e. Determinare per quale valore del parametro k la funzione risulta ovunque derivabile, quindi, assumendo tale valore di k, determinare con un metodo approssimato a tua scelta, l ascissa del punto comune alla funzione e alla bisettrice del primo e terzo quadrante. 9 5 LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO a. se e k se >0 Studio separato delle funzioni.

5 La funzione Per 0 5 lim +5 è algebrica, razionale fratta, che esiste 0. non incontra mai l asse delle. 0asintoto orizzontale +5 La funzione ha segno sempre positivo. +5) 0 per Massimo relativo in ; ). + 5) + +9 ) +5) f ) f ) + 5) ) + + ) +5) 0 M 0 LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO per non accettabile) e per non accettabile perché > f ) + f ) Flesso a tangente obliqua: P ) ;. 8 lim f ) lim ) 5 f 5

6 Per >0 la funzione è, con k >0, una funzione trascendente esponenziale decrescente, qualunque sia il valore positivo di k. lim e k 5 e lim + 5 e k 0asintoto orizzontale k 5 e k < 0 >0 k 5 e k > 0 >0 lim 0 + lim 0 + k 5 e k k 5 5 O 5 e k P 0, O + 6 f ) LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO b. Per f ) m 8 + ) retta tangente nel punto di flesso P. 6 c. L area cercata si trova con d + e k d, 0 5 cioè due integrali impropri. 6

7 Troviamo le primitive: +5 d 5 0 e k d 5k +5 d +5 d d +5) +5 ke k d 5k e k + c 0 lim b b +5 d lim b +5 d ln +5 + c ln 5 + ln b b +5 [ lim b ln +5 ] 0 b ) l integrale diverge, quindi non esiste l area richiesta. + d. 0 5 e k d [ se lim ] b b + 5k e k 0 lim b + 5k e kb + ) lim ) e kb lim ) 5k b + 5k b + 5k e kb 5k se 5k k 5. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO e. Il punto critico per la derivabilità è quello di contatto 0) poiché lim f ) 0 5 e lim f ) lim k e k k 5 perché sia derivabile in 0 5 k 5 k 5 L equazione da risolvere si ottiene dal sistema: { 5 e 5 g) e , 5 e 5 O 0, 7

8 La soluzione 0 è unica, come si verifica facilmente per via grafica, e compresa tra 0 e 0, perché: g0) e g 5) g0,) e 5 0, per cui con il metodo di bisezione: 0, g0,) e , > 0 0, < 0 < 0, 0,5 g0,5) 0,6 > 0 0,5 < 0 < 0, 0,75 g0,75) 0,0 > 0 0,75 < 0 < 0,...) ecc. se ci si ferma a questo punto: 0 0,8 [valore cercato 0,795766]. Questionario Enunciare il teorema di Lagrange, quindi verificare se per la funzione se <0 f) + se 0 il teorema è applicabile nell intervallo [ ; ] e, in caso affermativo, determinare i valori di per cui è verificato. Teorema di Lagrange: f) continua in [a; b] e derivabile in a; b) LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO c a; b) f fb) fa) c) b a se <0 f) + in [ ; ] se 0 Il dominio di è R { }, ma la funzione è continua nell intervallo [ ; 0). + Il dominio di, equazione di una parabola, è D R. Continuità in 0: lim ; lim f0) f) è continua in 0, allora è continua in tutto l intervallo [ ; ]. Derivabilità: il punto da controllare è 0 +) <0 0 lim 0 +) ; lim

9 punto angoloso, la f) non è derivabile in 0, quindi il teorema non è applicabile nell intervallo [ ; ]. Mostrare che la funzione e + ammette due zeri reali, quindi calcolare, con un metodo numerico a scelta, il valore dello zero appartenente all asse delle ascisse positive. f) e + D R Risolvere l equazione e + 0per trovare gli zeri è equivalente a risolvere il sistema: { e + + intersezione tra e e una parabola di equazione + + di vertice V ; ) e che incontra l asse in: +,, Dal disegno si evince che ci sono punti di incontro tra le curve e quello di ascissa positiva è compreso tra 0 e. 0 ± + LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO e + + O Si può procedere con il metodo di bisezione dell intervallo: f0) ; f) e + e 6, f) e + e 0,8 < 0 < f,5) e,5 +,5),5), < 0 <,5 f,5) e,5 +,5),5) 0,80 < 0 <,5 f,5) e,5 +,5),5 0, < 0 <,5...) 9

10 procedendo analogamente si raggiunge la precisione voluta; se ci si ferma a questo punto, il risultato approssimato per 0 potrebbe essere formulato come 0,06. [soluzione vera: 0,079] Determinare per quale valore di a, numero reale maggiore di, la funzione a e la retta bisettrice del primo e terzo quadrante risultano tangenti. a e sono tangenti per quale valore di a? Tale valore di a esiste, infatti: ) non interseca, mentre ma anche ) interseca. Quindi la soluzione cercata è: <a< e >0. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO O Il coefficiente angolare della retta tangente a a è: m) da d a ln a m) per a ln a a ln a log a ln a log a ln a), ma ln a>0 poiché a >; il risultato è un numero minore di : 0 7 O ln 0

11 infatti <a< e ln 0,7, quindi log a ln a) < 0 e log a ln a) > 0 come ci si aspettava. Scriviamo l equazione della retta tangente a a nel punto ) P log a ln a; : ln a 0 m 0 ) ln a + log a ln a + log a ln a + ln a. Queste sono infinite rette parallele alla bisettrice fascio improprio di rette). Richiedo che il termine noto sia nullo ottengo la bisettrice del primo e terzo quadrante): log a ln a + ln a 0 ln a log a ln a +0 ln a log a ln a portando tutto in base a) ln a lnln a) ln a lnln a) ln a e e a e e, Dato il fascio di circonferenze di equazione + +k +k 6) +k 8) 0, spiegare di che tipo di fascio si tratta, individuarne i punti base, le circonferenze degenere e di raggio minimo, il luogo dei centri delle circonferenze. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO Fascio di circonferenze: + +k +k 6) +k 8) k + k 6) + k 8) 0 + +k + + ) è la circonferenza degenere del fascio raggio infinito) { + 0 ) + ) ) 0 0 ; Quindi A0; ) e B ; ) sono i punti base del fascio, che è quindi un fascio di circonferenze tutte passanti per A e B. La circonferenza di raggio minimo è quella che ha per diametro il segmento AB e centro il punto medio M di AB:

12 AB ) ++) r 5 M ; + ) ; ) +) + ) circonferenza di raggio minimo. Il luogo dei centri si ottiene calcolando le coordinate del centro di una generica circonferenza appartenente al fascio + + k + k 6) + k 8) 0 C k ; C k 6) ed eliminando k: k C C C)+ C + + retta luogo) dei centri oppure, scrivendo l equazione della retta per M perpendicolare alla retta : +) [ ] 5 Verificare che dn ) n d n ) n! n+ + ) n+. Dimostrazione per induzione. Verifichiamo che la formula è vera per n. d d ) d d ) ) [ ] )! + ) + + ) ). Supponiamo la formula vera per la derivata n )-esima: d n ) [ ] [ ] ) n n n )! ) n + ) n Calcoliamo la derivata n-esima dimostrando che si ottiene la formula data: d n) [ ] n d [ )] d n ) ) d n ) [ ] n n) n) ) n )! ) + n+ ) n+ [ ] ) n n )! n n+ + ) n+ [ ] ) n n! n+ + ) n+. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO

13 6 Costruita la funzione f) definita dal valore che assume il determinante della matrice A al variare del parametro reale f) det A det 0, verificare che essa incontra l asse delle ascisse in tre punti, quindi determinare la superficie delimitata dalla funzione e dall asse delle ascisse. Cosa si può dire del rango della matrice A per i tre valori di in cui la funzione incontra l asse delle ascisse? f) det ) + ) ). La funzione ha per dominio tutto R e si annulla per 0, e,che sono le ascisse dei punti in cui incontra l asse delle ascisse, come richiesto di verificare. f ) che si annulla per ± +6 ± 7 + 7, 7 0,55 LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO f ) f ) 7+ M 7+ m Si ha un masssimo relativo in 7 lim + ) ) ±, ± e un minimo relativo in + 7. quindi il grafico della funzione è sommariamente riassunto nella figura e la superficie richiesta è quella tratteggiata in grigio. Per calcolarla occorre tenere conto che l integrale deve essere separato, perché la parte compresa tra 0 e darebbe risultato negativo: S 0 )d 0 )d [ ] 0 [ ] 0 + ) 6 8 ) ) + 8 )

14 7 O Per 0, e, quando la funzione incontra l asse, il determinante della matrice A è nullo, per cui il suo rango è <. 0 ) 0 Per 0 A ha rango, infatti il minore ha det ) Per A 0 ha rango, infatti il minore ha 0 det 0. ) Per A 0 ha rango, infatti il minore ha det LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO Quindi la matrice A ha rango per 0, e ; in tutti gli altri casi gli altri valori di ) ha rango. 7 In un contenitore sono raccolte alcune matite colorate così ripartite per colore: matite blu, 9 matite marroni, matite nere, 5 matite verdi. Scegliere a caso tre matite e calcolare: a. la probabilità che tutte e tre siano dello stesso colore; b. la probabilità che almeno due matite siano dello stesso colore; c. la probabilità che le tre matite non siano di colore verde. a. La probabilità è la somma delle probabilità di averne blu P b ), marroni P m ), nere P n ), verdi P v ).

15 P a P b + P m + P n + P v colore matite blu marrone nero verde totale matite ) ,078 oppure: P a C, C 0, + C 9, C 0, + C, C 0, + C 5, C 0, 9! 9!! 0! 7!! numero matite ! 6!! 0! 7!! 9 + 8!!! 0! 7!! + 5!!! 0! 7!! b. La probabilità è la somma della probabilità del caso precedente, P a, con la probabilità di avere matite dello stesso colore e la terza di un colore diverso LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO P b P a + P b+ + P m+ + P n+ + P v ) 8...) ,657. c. Dividendo le matite in due gruppi: le 5 matite verdi e le 5 matite «non verdi», la probabilità di estrarre a caso matite che non siano di colore verde è: P C )5 0 0, Si ha a disposizione un foglio di cartone di forma rettangolare di dimensioni a e a con il quale si vuole costruire una scatola a base rettangolare aperta al di sopra, tagliando via dai vertici del foglio quattro quadrati uguali. Determinare qual è il lato dei quadrati eliminati che produce la scatola di volume massimo e calcolare tale volume. 5

16 Indicando con il lato del quadrato da eliminare, il cui valore può evidentemente variare tra zero e a al massimo, questo valore rappresenta anche l altezza della scatola, per cui il volume: V) a )a ) con 0 << a V) a a a + ) 6a +a ) V) 6a +a da cui, derivando: V ) a +a 0 per a 6a ± 6a a a 6a ± a a 6a ± a 6a+a a 6 + ) 0,79a 6a a a 6 ) 0,a a LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO e V ) 0 per a 6 ); a 6 + ). 0 a 6 ) a a 6 + ) V ) V) M La soluzione a 6 + ) cade al di fuori della limitazione geometrica. Si ha un massimo relativo per a 6 ), che è anche massimo assoluto perché V0) 0 e anche a ) V 0. Il volume cercato si ottiene calcolando V) per a 6 ): a V 6 ) ) a 6 ) 6a 6 ) +a a 6 )...) a. 6

17 9 Sono date le due trasformazioni: { { X + X T : e T : Y + Y + Riconoscerne la natura e trovarne i punti uniti. Determinare quindi la trasformazione ottenuta dalla composizione T T, verificando la proprietà per cui «la trasformazione composta ha come rapporto di affinità il prodotto dei rapporti di affinità delle trasformazioni componenti»; determinare quindi i punti e le rette che restano uniti per T T. { X + T : Y + { X T : Y + T è una similitudine? a + c +0; b + d +5. Non è una similitudine. Similitudine? { X a + b + p Y c + d + q, a + c b + d, ab + cd 0 T è una similitudine? a + c +5; b + d 0+. Non è una similitudine. Si tratta di affinità: ) T : det affinità diretta 0 ) 0 T : det affinità diretta. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO { + T : punti uniti: + { 0 { +0, non ci sono punti uniti. { { { T : punti uniti: + ; A; ) { { X + ) X + T T : Y + ) + +) Y { X + Y ); la proprietà è verificata. 7

18 Punti uniti: { { { ) B9; ), punto unito. Rette unite: a. Non parallele asse : Y mx + q +5 +m + ) + q +5 +m +m m + q m)+5 m)++m q 0 m ) 5 m + q m 5 m m m m 5m m 5 m q m q q m 5q mq 5 m q m +mq 0 m 5m +m 0 m m 0 m ± 9+8 ± 7 q m q) 0 ± ) 7 q ++ q) 0 6q ++± 7) q ± 7) 0. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO. 6q q q 7 0 0q q q5 7) 7 q 7 5 7) ) 7 + 5) 7 + 5) ) ) ,07. 8

19 . 6q q +q 7 0 0q +q q5 + 7) + 7 7) 0 q 7 7) 5 + 7) 5 7) 5 7) ) 5 7) 7) 7 ) 0,70. 6 Ci sono rette unite di : , ) 0 Calcolare l integrale definito ln )d, 5 7) 6 dove ln indica il logaritmo naturale in base e, quindi fornire, con un metodo approssimato a scelta, una stima dell area della superficie delimitata dalla funzione integranda, l asse delle ascisse e la retta, il cui valore esatto è espresso dal risultato del calcolo dell integrale. ln )d + ln d [ln ] d LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO [ln ] [] [ln ] ln ) ) ln + ln + ln ) + ln ) 0,5. 9

20 Dividendo l intervallo in parti utilizzando i trapezi: b a 8. ln O ln ln LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO [ S ln +ln + )] ln 58 ) 6 ln 0,07697 O 8 ln ) +ln5 8 S 6 S 6 S 6 S tot 0,57... [ ln 5 ] 8 +ln6 0, [ ln 6 ] 8 +ln7 0,066 8 [ ln 7 ] 8 +ln8 0,

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