ELIO CABIB. Esami di Analisi 2

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1 ELIO CABIB Esami di Analisi

2 ELIO CABIB professore di Analisi Matematica Università di Udine Esami di Analisi

3 Indice Appelli // // // /6/ /7/ /9/ Appelli // // // /6/ /7/ /9/ // Appelli - 5 9// /4/ /7/ /7/ /9/ /9/ // /3/ Appelli - 3 8/6/ /7/ /7/ /9/ /9/ // /3/ Appelli /6/ /7/ /7/ /9/ /9/ //

4 ii Indice 7/3/ Appelli /6/ /6/ /7/ /9/ // /4/ Appelli /6/ /7/ /9/ // Appelli /7/ /7/ /9/ /9/ // /3/ Appelli /6/ /7/ /9/ /9/ // // Appelli /6/ /7/ /9/ /9/ // // // Appelli /6/ /7/ /9/ /9/ // // // Appelli /6/ /6/ /9/ /9/ // //

5 Indice Appelli // // /6/ /7/ Risoluzioni appelli 83 3// // // /6/ /7/ /9/ // // // /6/ /7/ /9/ // // /4/ /6/ /9/ /7/ /7/ /7/

6 Appelli Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 3//998 A. Dimostrare che il sottoinsieme più ampio di R dove la successione di funzioni f n : R R definita da f n (x) = x + e(n+)x e nx, n N, converge puntualmente è l intervallo [, + [. Calcolare il limite puntuale f e studiare, su tale intervallo, la convergenza uniforme. Infine dimostrare che lim n + f n (x) f(x) dx =. B. Siano α e β parametri reali non negativi. Verificare che la funzione f : R {} R definita da f(x, y) = x α y β x + y ammette limite finito (uguale a ) per (x, y) (, ) se e soltanto se α + β >.. Data l equazione differenziale y (4) + 4y + αy = cos x, (a) trovare l integrale generale nel caso α = 4, (b) per quali valori di α l equazione differenziale ha tutte le sue soluzioni limitate su R? (c) per α = risolvere il problema di Cauchy con i dati y() =, y () = y () = y () =. 3. I punti A = (, 4), B = ( 3, ), C = ( 3, ) sono i vertici di un triangolo equilatero T R. Calcolare i massimi e i minimi relativi ed assoluti della funzione f : T R definita da f(x, y) = (x + y )e x y. Calcolare infine i punti stazionari di f su T. 4. Calcolare l area della regione piana delimitata dalla retta di equazione y = e dall arco di cicloide { x = Rϑ R sen ϑ y = R R cos ϑ ϑ [, π].

7 6//998 3 Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 6//998 A. Data la successione di funzioni f n (x) = n α x e nx3, n N, x R, studiare, al variare del parametro α R la convergenza puntuale, la convergenza uniforme e la convergenza della successione degli integrali sull intervallo [, + [. B. Stabilire per quali valori di α R la funzione f : R R definita da x 5 + y 4 f(x, y) = (x + y ) α + x y 4 se (x, y) (, ) se (x, y) = (, ) (a) è continua; (b) ammette derivate parziali in (, ); (c) è differenziabile in (, ). Data l equazione differenziale y = y xy, x R, (a) (b) (c) dire se vi sono dati iniziali y(x ) = y per cui non esistono soluzioni e trovare le soluzioni costanti; risolvere i problemi di Cauchy col dato iniziale y() = e col dato iniziale y() = 4; per quali valori di a la soluzione del problema di Cauchy col dato iniziale y() = a è definita su tutto R? 3. Determinare i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = xye x y sulla regione piana delimitata dalle curve x y = 3 e xy = Calcolare l area della superficie Γ di equazione z = y delimitata dal paraboloide di equazione z = x + y.

8 4 3//998 Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 3//998 A. Data la successione di funzioni f n : [, + [ R definita da ( ) exp f n (x) = n(x n) se (x n) < n altrove al variare di n N, studiarne (a) la convergenza puntuale; (b) la convergenza uniforme; (c) la convergenza degli integrali su [, + [. B. Data la funzione f : {(x, y) R y } R definita da f(x, y) = (y ) + sia Ω = {(x, y) R < y <, f(x, y) > }. x y, (a) Calcolare il limite di f per (x, y) (, ) e il prolungamento continuo f di f su Ω; (b) stabilire se f ammette le derivate parziali nel punto (, ); (c) stabilire se f è differenziabile nel punto (, ).. Dimostrare che la funzione f dell esercizio precedente è integrabile secondo Riemann su Ω e calcolarne l integrale su tale insieme. 3. Risolvere l equazione differenziale lineare y + ( + x)y + xy = e x, x R, con le condizioni y () + y() = / e y() =. (Suggerimento: togliere le parentesi) 4. Siano Ω = {(x, y) R x + y } e f : Ω R la funzione Dimostrare che f(x, y) = x + xy + y. (a) f è limitata inferiormente su Ω ma non ha il minimo; (b) f ha il massimo; (c) Calcolare max f e inf f. Ω Ω

9 9/6/998 5 Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 9/6/998 A. Sia f n : [, + [ R la funzione {( x ) n, } f n (x) = min e n nx, n n N, x [, + [. Studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della successione (f n ) sull intervallo [, + [ e sugli intervalli della forma [, a] con a R. Calcolare infine il lim n + f n (x) dx. B. Data la funzione f : R R definita da 4y x f(x, y) = x + 4y arctg(y x + y ) se (x, y) (, ) se (x, y) = (, ), stabilire se (a) f è continua in (, ) ; (b) f ammette le derivate parziali in (, ) ; (c) f è differenziabile in (, ).. Stabilire se la funzione f : R R definita da f(x, y) = y arctg(xe y ), ammette massimo e minimo sull insieme A = {(x, y) R max{ x, y } }. In caso affermativo trovare i punti estremali e i valori estremi di f. 3. Disegnare nel piano il luogo geometrico Γ = {(x, y) R x 3 x y =, y } e stabilire se si tratta di una curva regolare. Calcolare poi il volume del solido generato dalla (a) (b) rotazione attorno all asse x di un angolo pari a π della regione piana compresa tra Γ e l asse x; rotazione attorno all asse y, di un angolo pari a π, della regione piana compresa tra Γ e l asse y. 4. Dato il problema di Cauchy su R { xy = y y() = a, a R, (a) (b) determinarne la soluzione locale; determinare i valori del parametro a per i quali il problema di Cauchy ammette soluzioni definite su tutto R.

10 6 4/7/998 Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 4/7/998 A. Consideriamo, per ogni n N, la funzione f n :], + [ R definita da { x α se n < x < n f n (x) = altrove, dove α R. Determinare per quali valori di α la successione (f n ) (a) converge puntualmente; (b) converge uniformemente; (c) rende convergente la successione degli integrali su ], + [. B. Data la funzione f : R R definita da f(x, y) = y (e xy ), stabilire in quali punti f è differenziabile.. Studiare gli eventuali massimi e minimi, relativi e assoluti, e calcolare gli estremi inferiore e superiore della funzione f(x, y) = (x y + )e y x sull insieme Ω = {(x, y) R y x}. 3. Calcolare l integrale improprio Ω x dxdy, dove Ω = {(x, y) R x + y, x + 4y 4, x y}. 4. Data l equazione differenziale (a) u + x(u x) + u = x +, trovare la soluzione del problema di Cauchy con u() = e u () = specificando il massimo intervallo su cui è definita; (b) verificare che ogni soluzione che soddisfa u () = è definita su tutto R; (c) trovare tutte le soluzioni definite su tutto R.

11 /9/998 7 Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del /9/998 A. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni x n log n x, x >, n! n= e dimostrare che x x ( ) n dx = (n + ) n+. n= B. Siano A = {(x, y) R x, y } e f : A R la funzione f(x, y) = arctg(xe / y ) x, (x, y) A. (a) Verificare che è prolungabile con continuità ad una funzione F : R R; (b) studiare l esistenza delle derivate parziali di F ; (c) studiare la differenziabilità di F.. Calcolare il volume dell ellissoide x a + y b + z =, a, b, c, c e determinare quello di minimo volume fra tutti quelli che passano per il punto (,, ). 3. Calcolare l integrale sulla curva γ, data in forma parametrica dalle equazioni x(t) = cos t + t y(t) = sen t + t z(t) = t, t [, 4π], della forma differenziale ω(x, y, z) = e x y z [(x + x + yz) dx + (z x yz) dy + (y x yz) dz]. 4. Dopo aver trattato l esistenza e l unicità della soluzione per il problema di Cauchy { u = x u u() = a risolverlo al variare di a R.

12 Appelli 999- Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del // A. Sia F : R R definita dalla relazione F (x, y) = x + y + sen(xy). Stabilire quali linee di livello {(x, y) F (x, y) = C}, C R, definiscono, nell intorno del punto x =, il grafico di una e una sola funzione y = f C (x). Determinare quindi quali, fra le funzioni f C (x), hanno un estremo nel punto x = e precisare la natura di tale estremo. B. Calcolare l integrale della forma differenziale lungo la curva ω(x, y) = γ(t) = (cos t, sen t), dx dy + x + y xy t [ π, π ].. Mediante opportuna sostituzione, risolvere il problema di Cauchy { xx = t + x t x() = a al variare di a R. 3. Sia Γ l insieme dei punti (x, y, z) R 3 tali che x + 5y 4 = 9, xy + 3z =. (a) Dimostrare che Γ è compatto; (b) determinare gli estremi della funzione y + z su Γ. 4. Calcolare l integrale Ω x y dxdy essendo Ω il complementare del cerchio unitario di centro rispetto all ellisse, riferita agli assi, di centro e semiassi (lungo x) e (lungo y).

13 // 9 Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del // A. Sia F : R R definita dalla relazione F (x, y) = x x (y + ) + 4(e x +y ). Verificare che l equazione F (x, y) = definisce, nell intorno del punto (, ), il grafico di un unica funzione y = f(x) di classe C. Dire inoltre se x = è un punto estremante per f e, in caso affermativo, determinare la natura di tale estremo. B. Data la forma differenziale ω(x, y) = y cos x y + sen x dx sen x y + sen x dy, dire se ω è localmente esatta e se è esatta sul dominio D = {(x, y) R x ] π, π[, y R} {(, )}.. Integrare l equazione differenziale u u + u = xe x, x R. 3. Determinare gli estremi della funzione sull insieme f(x, y, z) = x + y + z Γ = {(x, y, z) R 3 x >, y >, z >, xyz = 8}. 4. Sia Ω R 3 la porzione di spazio ottenuta mediante la rotazione di un angolo giro attorno all asse x della regione piana A = {(x, y) R x >, < xy < }. Calcolare Ω (x + y + z ) dxdydz.

14 5// Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 5// A. Sia F : R R definita dalla relazione F (x, y) = x + y arctg(x y). L equazione F (x, y) = definisce il grafico di un unica funzione f : R R di classe C (R). Trovare i punti di massimo e minimo relativi di f in R. B. Calcolare l integrale della forma differenziale ω(x, y) = sen(x + y ) (x + y ) dx cos(x + y ) (x + y ) lungo la curva chiusa { x(t) = R cos t y(t) = R sen t, t [, π], R >. Dire inoltre se ω è chiusa e se è esatta su R {(, )}. dy. Risolvere il problema di Cauchy { x y + xy y = 3x (Sugg.: aggiungere e togliere xy ). y() =, y () =. 3. Dimostrare che la funzione f : R R definita da { (x y ) log(x + y ) se (x, y) (, ) f(x, y) = se (x, y) = (, ) è continua. Dimostrare che f ammette massimo e minimo sulla regione e calcolarli. D = {(x, y) R x + y, x y } 4. Disegnare nel piano la curva di equazione ρ = ϑ, π ϑ π, dove ρ e ϑ sono le coordinate polari, e verificare che si tratta di una curva semplice e chiusa. Calcolare l area della regione che essa delimita e la sua lunghezza.

15 6/6/ Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 6/6/ A. Sia F : R R la funzione definita da F (x, y) = e x y + x y e(x + ) +. Verificare che l equazione F (x, y) = definisce il grafico di un unica funzione y = f(x), definita su R, di classe C (R). Dimostrare che x = è punto stazionario per f e stabilirne la natura. B. Calcolare l integrale della forma differenziale ω(x, y) = x(x + y ) + y x (x + y ) dx + y(x + y ) xy (x + y ) dy lungo la curva Γ di equazioni parametriche { x(t) = cos t y(t) = 3 sen t, t [, π].. Determinare tutte le soluzioni dell equazione differenziale y sen x + y cos x = sull intervallo I = [, π]. Discutere la loro prolungabilità al di fuori di I. 3. Calcolare la minima e la massima distanza del punto (,, ) dai punti della curva di R 3 definita dalle equazioni { x + y + z = x + y = x. 4. Disegnare nel piano la cardioide di equazione ρ = + sen ϑ, ϑ [, π], dove ρ e ϑ sono le coordinate polari, e verificare che si tratta di una curva semplice e chiusa. Calcolare, sulla regione che essa delimita, l integrale della funzione che associa ad ogni punto il quadrato della sua distanza da (, ) (momento d inerzia ripetto all asse z).

16 3/7/ Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 3/7/ A. Sia F : R R la funzione definita da F (x, y) = x + y + ye x y. Verificare che l equazione F (x, y) = definisce il grafico di un unica funzione y = f(x) definita su tutto R, di classe C (R) e tale che f(x) per ogni x R. Infine verificare che x = è punto stazionario per f e stabilirne la natura. B. Verificare che la forma differenziale ω(x, y) = ( x (x + y ) ) dx + ( y (x + y ) ) dy (x, y) R {(, )} è esatta e trovarne la famiglia delle primitive. Calcolarne infine l integrale lungo la curva ρ = ϑ +, ϑ [, π], dove ρ e ϑ sono le coordinate polari.. Risolvere il problema di Cauchy xy + y + ( + x )y 3 = y( e) = e Trovarne l intervallo massimale e studiarne il comportamento asintotico agli estremi di tale intervallo. 3. Stabilire se l insieme Ω = {(x, y) R x y } è compatto. Calcolare poi i massimi e i minimi, relativi e assoluti, della funzione su Ω. f(x, y) = xy + x y 4. Calcolare l integrale Ω ( z) x( y + ( z) ) dxdydz dove Ω è la porzione di spazio che si ottiene proiettando la regione piana D = {(x, y) R y, y x ( y )} dal punto A = (,, ). (Suggerimento: descrivere Ω in forma parametrica).

17 /9/ 3 Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del /9/ A. Sia F : {(x, y) R x > } R la funzione definita da F (x, y) = y log x x cos y. Verificare che il luogo di zeri F (x, y) = definisce, in un intorno del punto (, π/), una curva regolare che è grafico sia di una funzione y = f(x) che di una funzione x = g(y) (ovviamente g = f ), entrambe di classe C. Calcolare, in tale punto, lo sviluppo di Taylor di f o di g fino al II ordine. B. Calcolare l integrale della forma differenziale ω(x, y) = (x y ) dx log(x + ) dy x + lungo l arco di iperbole x y = di estremi (, ) e (3, ).. Integrare l equazione differenziale x + tx + x =, t R. (Sugg.: considerare insieme il II e il III termine). 3. Dopo aver verificato che Ω = {(x, y) R xy > } è un aperto e che K = {(x, y) R xy, x + y 6} è un compatto, determinare gli estremi superiore e inferiore e gli eventuali massimi e minimi della funzione x + y f(x, y) = log xy sui due insiemi Ω e K. 4. Disegnare nel piano la lemniscata di Bernoulli (x + y ) = x y (si consiglia di scriverla anche in coordinate polari). Indicata con Ω la regione piana che essa delimita, calcolare l integrale ( + x + y ) dxdy. Ω

18 4 4// Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 4//. Sia F c : R R la funzione F c (x, y) = ye x y + cx + x, c R. (a) (b) Verificare che l equazione F c (x, y) = definisce una ed una sola funzione y = f c (x) derivabile due volte in un intorno di x = ; scrivere la formula di Taylor della funzione f c con centro in x = arrestata al secondo ordine con resto di Peano; stabilire per quali valori di c la funzione f c ammette come punto stazionario e precisarne la natura.. Data la forma differenziale ω(x, y, z) = (y cos x + z 3 ) dx + (y sen x 4) dy + (3xz + ) dz, (a) dire se è esatta su R 3 ; (b) calcolare la primitiva F di ω che si annulla nel punto (,, ); (c) scrivere l equazione del piano tangente alla superficie F (x, y, z) = nel punto (,, ). 3. Verificare che l insieme Γ = {(x, y, z) R 3 x xy + y z =, x + y = } è un vincolo doppio regolare. Trovare i punti di Γ che hanno la massima e la minima distanza da (,, ). La curva Γ è compatta? 4. Integrare l equazione differenziale y + y + y = e x log x sull intervallo ], + [ e verificare che ogni soluzione è prolungabile, insieme alla sua derivata, a tutto l intervallo [, + [. Trovare la famiglia delle soluzioni (prolungate) che soddisfano le condizioni { y() + y () = y(x) x. 5. Sia Ω il complementare del cerchio di centro (, ) e raggio rispetto al cerchio di centro (3, ) e raggio 3. Calcolare l integrale (arctg x + arctg y ) dxdy. Ω

19 Appelli - Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 9//. Calcolare l integrale (e x sen y + 3y) dx + (e x cos y + x y) dy γ dove γ è la curva chiusa 4x + y = 4 percorsa in senso orario.. Risolvere l equazione differenziale y + 4y = e x sen x. 3. Calcolare i massimi e i minimi assoluti e relativi della funzione sul quadrato [, ] [, ]. f(x, y) = xy x 3 y 4. Calcolare l integrale (x ) dxdy, Ω essendo Ω = {(x, y) R x + y, sup{ x, y } }. 5. Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x) = x = x e + x e + x 3 e 3 attraverso la frontiera dell insieme {(x, x, x 3 ) R 3 x + x r, h z h}.

20 6 3/4/ Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 3/4/. Stabilire se la forma differenziale su R definita da ω(x, y) = (xy x + ) dx (x + ) dy (x + ) è chiusa e, nel caso affermativo, se è esatta. Dopo aver dimostrato che l equazione x + y 4 + xy = definisce il sostegno di una curva regolare e chiusa in R, calcolare l integrale di ω su tale curva.. Data l equazione differenziale (a) (b) trovare le soluzioni costanti; y = y y, trovare tutte le soluzioni individuando per ciascuna il più grande intervallo di definizione; (c) trovare la soluzione del problema di Cauchy col dato iniziale y() =. 3. Calcolare i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = x + xy sull insieme Ω = {(x, y) R y x 3}. 4. Calcolare l integrale Ωh e z x + y + z dxdydz, dove Ω h è la parte di spazio compresa tra i due coni z = x + y, z = x + y e il piano z = h. Calcolare poi il limite di tale integrale quando h +.

21 3/7/ 7 Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 3/7/. Trovare i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = (x y)e y x sul cerchio di equazione (x ) + y.. Integrare l equazione differenziale (( + x )y ) + y =, x R. 3. Calcolare il volume del toro, cioè del solido generato dalla rotazione completa di un cerchio di raggio r attorno alla retta ad esso complanare e posta a distanza costante, pari a R > r, dal suo centro. 4. Calcolare la lunghezza della curva x(t) = t(cos t sen t) y(t) = t(sen t + cos t), t 7 4 π, e l area della regione piana che essa racchiude insieme al segmento di equazione y =, x 7π. 4

22 8 9/7/ Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 9/7/. Data la funzione F : R R F (x, y) = x + log( + y + x ), dimostrare che il luogo di zeri di F non è vuoto ed è il grafico di una funzione y = f(x), con x R, di classe C (R). Trovare i punti stazionari di f e stabilirne la natura.. Risolvere l equazione differenziale (x + y)y + y = x, x R, e specificare quali soluzioni sono definite su tutto R. (Sugg.: Togliere le parentesi e raggruppare i termini in un altro modo, oppure effettuare un opportuna sostituzione.) 3. Trovare i punti di massimo e di minimo relativo e assoluto della funzione f(x, y, z) = x y + z + e x z sull intersezione delle due superfici x = y( y) e z = y dove y e z. 4. Calcolare l integrale improprio Ω e x +y (x + y ) dxdy, dove Ω è, delle due regioni piane saparate dalla curva ρ = / ϑ, ϑ π, quella contenente il punto (, ).

23 /9/ 9 Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del /9/. Data la funzione F : R R definita da F (x, y) = x e y + ye x, verificare che il luogo di zeri γ di F è non vuoto e che è il grafico di una funzione f : R R regolare quanto F. Rappresentare la curva γ con un disegno.. Risolvere il sistema di equazioni differenziali x = y z y = z x z = x y. 3. Mostrare che la funzione f(x, y, z) = x( z) y, y, non ha limite per (x, y, z) A = (,, ). Sia Γ la superficie che si ottiene proiettando dal punto A la curva γ di equazione y = + x, x. Mostrare che su Γ il limite precedente esiste e calcolarlo. Indicando ancora con f il prolungamento continuo al punto A della funzione data, calcolare i massimi e i minimi di f su Γ. 4. Calcolare l integrale dove Ω x x + y 3 dxdy Ω = {(x, y) R x >, αx < y < βx }, essendo α e β due numeri reali assegnati tali che < α < β.

24 5/9/ Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del 5/9/. Data la funzione F : R R definita da F (x, y) = y 3 + x y x, verificare che il luogo di zeri γ di F è non vuoto e che è il grafico di una funzione dispari f : R R regolare quanto F eccetto che in dove non è derivabile. Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo di f. Rappresentare la curva γ con un disegno.. Calcolare l integrale della forma differenziale ω(x, y) = ( y x y ) dx + (x x x + y y ) dy x + y lungo la curva y = + x, con x. 3. Stabilire se la funzione f(x, y) = x y + xy, (x, y) R, ammette massimo e minimo sull insieme x + y. Calcolare gli eventuali estremi assoluti e relativi di f su tale insieme. 4. Calcolare il volume del solido generato dalla rivoluzione completa attorno all asse y della curva z = ye y, con y.

25 // Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del //. Risolvere l equazione differenziale y + 9y = (x + )e 3x, x R.. Calcolare l integrale della funzione sul dominio dove a >. f(x, y) = x x + y Ω = {(x, y) R x a, x y x} a 3. Calcolare la lunghezza della curva x(t) = e t cos t y(t) = e t sen t z(t) = e t, t, e l integrale su tale curva della forma differenziale ω(x, y, z) = yz dx + xz dy + xy dz. 4. Dire se esistono, ed eventualmente calcolarli, i massimi e i minimi relativi ed assoluti della funzione f(x, y) = xy x + y in R {}.

26 /3/ Esame di Analisi C. L. Ing. Civile e Meccanica Prova scritta del /3/. Risolvere il problema di Cauchy y + xy = e x y() = y () =.. Trovare, se esistono, i massimi e i minimi della funzione f(x, y) = x 4 y 3x sul dominio A = {(x, y) R x, y, xy }. 3. Calcolare l integrale xe y dxdy Ω dove Ω è la regione limitata del piano compresa tra le curve y = + log x, y = + log x, y = log x e y = 4 log x. 4. Stabilire se la forma differenziale ω(x, y) = x dx + y dy x + y è esatta e, nel caso affermativo, calcolarne la famiglia delle primitive.

27 Appelli - Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 8/6/. Risolvere il problema di Cauchy { xy + y = 3 x y( ) = y ( ) =.. Calcolare, se esistono, i massimi e i minimi della funzione f(x, y) = (x y)e x y sull insieme D = {(x, y) R x y, y }. 3. Calcolare l integrale D x + y + z dxdydz dove D è la regione dello spazio ottenuta ruotando di un angolo giro attorno all asse y la curva z = y, y. 4. Siano Γ il bordo regolare a tratti di un aperto limitato Ω e ω(x, y) = a(x, y) dx+ b(x, y) dy una forma differenziale di classe C (R ) tale che a y = b x. Dimostrare che ω =. 5. Verificare che l insieme γ {(x, y) R x + y 4 + xy 7 = è non vuoto e soddisfa le ipotesi del teorema del Dini nel punto A = (, ). Scrivere l equazione della retta tangente in A. 6. Date le funzioni f : Ω R, essendo Ω un sottoinsieme aperto di R 3, e ϕ, ψ : I Ω, dove I è un intervallo, ricavare la formula per la derivata della funzione composta t f(ϕ(t), ψ(t), t) t I giustificando la risposta.

28 4 3/7/ Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 3/7/. Dopo aver integrato l equazione differenziale x y + 4xy + y = cos x, x >, si determini la soluzione che ammette limite finito per x.. Dimostrare che la funzione f(x, y) = x + y x + y +, (x, y) R, è limitata fornendo una stima di f(x, y). Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo di f sull insieme x + y R. 3. Calcolare il momento d inerzia rispetto all asse y della regione delimitata dalla cardioide ρ = + sen ϑ, ϑ π. 4. Dimostrare che se u C (Ω) C ( Ω) (essendo Ω un aperto di R n con frontiera regolare a tratti) è una funzione armonica allora Du dx = u n dσ, Ω essendo n il versore normale a Ω diretto verso l esterno. Ω 5. Una lamina piana ha una distribuzione di temperatura T (x, y) = x + y e una particella, posta inizialmente nella posizione (, ), cerca calore muovendosi nella direzione di massimo calore. Quale traiettoria percorre? 6. Usando il teorema di inversione locale, calcolare il gradiente di ρ(x, y) e di ϑ(x, y) essendo { x = ρ cos ϑ y = ρ sen ϑ.

29 /7/ 5 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del /7/. Integrare l equazione differenziale y = (x + y ) e determinare tutte le soluzioni i cui intervalli di definizione contengono il punto x = 7.. Calcolare l integrale (z + x + y ) dxdydz, Ω dove Ω = {(x, y, z) R 3 x + y z + x + y }. 3. Calcolare i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione f(x, y, z) = x x + y + y(x + z ) sul vincolo { x + y = x + y + z =. 4. Data una funzione f : D R, dove D = {(u, v) R u 4, v }, e la funzione g : R R definita da g(x, y) = (x + y, xy), determinare il dominio della funzione composta F (x, y) = f(g(x, y)) e calcolare DF (, ) sapendo che Df(, 4 ) = (, ). 5. Determinare una funzione f C (R), f(x) per ogni x R, tale che la forma differenziale ω(x, y) = xf(x)y dx y log f(x) dy sia esatta in R e calcolare la funzione potenziale che si annulla in (, ). Calcolare poi l integrale di ω su una curva γ di estremi (, ) e (, ). 6. Dimostrare che se una funzione f : Ω R è differenziabile in x Ω allora è continua in x e ammette in x la derivata rispetto ad ogni direzione. Calcolarne l espressione in termini delle derivate parziali.

30 6 5/9/ Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 5/9/. Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale y = yy.. Calcolare l integrale dove Ω = {(x, y) R Ω x y exy dxdy, x y x, x y 3x }. 3. Calcolare i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = x + y x y sul quadrato Q = {(x, y) R x, y }. 4. Dimostrare che se Ω è un aperto di R n con frontiera Ω regolare a tratti e u, v C (Ω) C (Ω) allora vale la formula di Green (u v v u) dx = (u v n v u n )dσ, Ω dove n è la normale esterna a Ω e u = divdu. Ω 5. Consideriamo la funzione f(x, y) = (e x cos y, e x sen y) sulla striscia < y < π. Dimostrare che f è iniettiva, appartiene a C, è localmente invertibile e infine calcolarne l immagine. 6. Dimostrare che se una funzione f : R n R soddisfa f(x) x allora è differenziabile in.

31 9/9/ 7 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 9/9/. Risolvere il problema di Cauchy u = u x 3 u ( u ) =.. Dopo averne stabilito l esistenza, trovare i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = y x y y 3 sull insieme definito dalle relazioni y x. 3. Sia Ω R 3 l intersezione tra il semispazio z e il cilindro x + y. Calcolare l integrale x + y + z dxdydz. Ω 4. Calcolare la lunghezza dell elica cilindrica x = R cos ϑ y = R sen ϑ z = kϑ dove ϑ ]a, b[ e R e k sono due costanti positive date. 5. Consideriamo la funzione F (x, y) = ye x xe y x. Dire se l equazione F (x, y) = definisce implicitamente una funzione y = f(x) in un intorno del punto x = giustificando la risposta. In caso affermativo, calcolare f (). 6. Dare la definizione di forma differenziale esatta e trattare qualche proprietà importante al riguardo. Stabilire se la forma ω(x, y) = ( + 3x y ) dx + x 3 y dy è esatta e, in caso affermativo, calcolarne le primitive.

32 8 3// Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 3//. Risolvere il problema di Cauchy y = x y + y x y( ) =.. Calcolare l integrale dove D dxdy (x + y ) D = {(x, y) R x, x y 3 x 3}. 3. Calcolare l integrale y dx + x dy dove γ è la curva x = cos 3 t, y = sen 3 t, con t π. γ 4. Trovare i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione sul quadrato Q = [, π]. f(x, y) = sen x sen y sen(x + y)

33 5/3/3 9 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 5/3/3. Risolvere il problema di Cauchy { u = u x 3 u u( /) =.. Dopo averne stabilito l esistenza, trovare i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = y x y y 3 sull insieme definito dalle relazioni y x. 3. Sia Ω R 3 l intersezione tra il semispazio z e il cilindro x + y. Calcolare l integrale x + y + z dxdydz. Ω 4. Calcolare la lunghezza dell elica cilindrica x = R cos ϑ y = R sen ϑ z = kϑ dove ϑ ]a, b[ e R e k sono due costanti positive date. 5. Consideriamo la funzione F (x, y) = ye x xe y x. Dire se l equazione F (x, y) = definisce implicitamente una funzione y = f(x) in un intorno del punto x = giustificando la risposta. In caso affermativo, calcolare f (). 6. Dare la definizione di forma differenziale esatta. Stabilire se la forma ω(x, y) = ( + 3x y ) dx + x 3 y dy è esatta e, in caso affermativo, calcolarne le primitive.

34 Appelli -3 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 5/6/3. Studiare la continuità, l esistenza delle derivate parziali e la differenziabilità della funzione della funzione (x y)xy se (x, y) (, ) f(x, y) = x + y se (x, y) = (, ).. Data la funzione f(x, y) = x + y x + y +, (x, y) R, (a) calcolare inf f e sup f; (b) determinare, se esistono, i punti di minimo e di massimo assoluti e relativi di f; (c) dire se esiste il limite lim f(x, y). x +y + 3. Calcolare l integrale Ω xy (x + y ) dxdy dove Ω = {(x, y) R < x < y, x < x + y < x}. 4. Disegnare, se esiste, il luogo di zeri della funzione 5. La forma differenziale F (x, y) = xy + log(xy) (x, y) R. ω(x, y) = x y x + y x dx + + y x + y dy (a) è chiusa? (b) è esatta? (c) calcolare l integrale di ω lungo l ellisse centrata in e di semiassi e 3. ( 6. Scrivere l equazione del piano tangente nel punto, 5 ), alla superficie 4 ottenuta dall arco di parabola z = y, z, con una rivoluzione completa attorno all asse y.

35 4/7/3 3 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 4/7/3. Data la funzione F : R R definita da F (x, y) = x e y + ye x, dimostrare che il suo luogo di zeri è non vuoto e che è il grafico di una funzione y = f(x), f C (R),. Verificare che x = è un punto stazionario per f e stabilirne la natura. Vi sono altri punti stazionari per f?. Calcolare l integrale xy dxdy Ω dove Ω è la regione delimitata dalla cicloide { x = ϑ sen ϑ y = cos ϑ, ϑ π. 3. Calcolare i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = x + y nella regione delimitata dalla curva ρ = cos ϑ con ϑ π. 4. Data la forma differenziale ω(x, y, z) = x dy y dx x + y + dz z, z >, (x, y) (, ), stabilire se è chiusa e se è esatta. Determinarne le primitive per x >. 5. Calcolare la lunghezza della curva ρ = cos ϑ, ϑ π. 6. Verificare che l insieme Γ = {(x, y, z) R 3 z + x + y =, z > } è il grafico di una funzione z = f(x, y) di classe C (R ). Trovare la f e scrivere l equazione del piano tangente a Γ nel punto (,, 6).

36 3 7/7/3 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 7/7/3. Data la funzione F : R R definita da F (x, y) = x e y + ye x, dimostrare che il suo luogo di zeri è non vuoto e che è il grafico di una funzione y = f(x), f C (R). Verificare che x = è un punto stazionario per f e stabilirne la natura. Vi sono altri punti stazionari per f?. Calcolare l integrale xy dxdy Ω dove Ω è la regione delimitata dalla cicloide { x = ϑ sen ϑ y = cos ϑ, ϑ π. 3. Calcolare i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = x + y nella regione delimitata dalla curva ρ = cos ϑ con ϑ π. 4. Data la forma differenziale ω(x, y, z) = x dy y dx x + y + dz z, z >, (x, y) (, ), stabilire se è chiusa e se è esatta. Determinarne le primitive per x >. 5. Calcolare la lunghezza della curva ρ = cos ϑ, ϑ π. 6. Verificare che l insieme Γ = {(x, y, z) R 3 z + x + y =, z > } è il grafico di una funzione z = f(x, y) di classe C (R ). Trovare la f e scrivere l equazione del piano tangente a Γ nel punto (,, 6).

37 4/9/3 33 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 4/9/3. Data la funzione F (x, y) = y 3 + log x + log y + xy, x >, y >, dimostrare che il suo luogo di zeri è non vuoto ed è grafico di due funzioni di classe C del tipo y = f(x) e x = g(y) (ovviamente g = f ). Dimostrare che esistono i limiti lim f(x) e lim f(x) x + x e calcolarli.. Calcolare l integrale y(x y )( + x) sen(x + y ) dxdy Ω dove Ω = {(x, y) R 4 x + y 6, y x y +, y > }. 3. Calcolare i massimi e i minimi, relativi ed assoluti, della funzione f(x, y) = x 4 y 4 + (y x ) sull insieme A = {(x, y) R y x, x }. 4. Stabilire se la forma differenziale ω(x, y) = y dx + x dy x y è esatta sul suo dominio naturale e, in caso affermativo, calcolarne la famiglia delle primitive. 5. Calcolare l area della superficie elicoidale x = ρ cos ϑ y = ρ sen ϑ z = ϑ dove ρ [, ] e ϑ [, π]. 6. Calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale F (x, y, z) = (z y, x z, y x ) attraverso la superficie Γ = {(x, y, z) R 3 z = x + y, z }.

38 34 8/9/3 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 8/9/3. Dopo aver verificato che il luogo di zeri della funzione F (x, y) = e x y+ + x y 3 è non vuoto, dimostrare che esso è il grafico di una funzione y = f(x) strettamente crescente definita su tutto R. Trovarne i punti di incontro con gli assi e, se esistono, calcolarne i limiti per x + e per x.. Calcolare l integrale e xy dxdy Ω dove Ω = {(x, y) R y > x >, xy > }. 3. Calcolare i massimi e i minimi, relativi ed assoluti, della funzione f(x, y) = log( + x + y ) 3xy sul disco chiuso di centro (, ) e raggio R. 4. Stabilire se la forma differenziale ω(x, y, z) = (xy sen z) dx + ( ) ( x ey e y ) dy + z z x cos z dz è esatta sul semispazio z >. In caso affermativo calcolarne la famiglia delle primitive. 5. Calcolare l area della superficie generata da una rotazione completa (rivoluzione) attorno all asse z della curva x = z 3, z [, ]. 6. Esprimere in funzione di x sull intervallo ], + [ l ascissa curvilinea e la curvatura della curva di equazione y = log x.

39 6//3 35 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 6//3. Il punto P = (, ) appartiene al luogo di zeri Γ della funzione F (x, y) = y 3 xy + log( + x y) definita sul semipiano y < x +. Verificare che Γ, in un intorno di P, è il grafico di una funzione y = f(x) di classe C che ammette x = come punto stazionario. Stabilire la natura di tale punto.. Stabilire se la funzione f(x, y, z) = e x +y z, (x, y, z) R 3, ammette massimo e minimo sull insieme } A = {(x, y, z) R 3 x 4 + y + 3z ed eventualmente trovarli. 3. Calcolare l integrale A z dxdydz dove A = {(x, y, z) R 3 x + y < z } x y. x 4. Siano γ la curva di equazione x = y, y, e Γ la superficie che si ottiene proiettando γ dal punto A = (,, ). Calcolare l integrale ydσ. Γ 5. Calcolare l area dell insieme delimitato dalla cardioide { x = ( + cos t) cos t y = ( + cos t) sen t, t < π. 6. Dimostrare che la forma differenziale ( ) x ω(x, y) = (x + y ) ( dx + ) y (x + y ) dy è esatta sull aperto R {}. Trovarne la famiglia delle primitive.

40 36 7/3/4 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 7/3/4. Il luogo di zeri Γ della funzione F (x, y) = e x y x + y, (x, y) R, contiene il punto O = (, ). Verificare che Γ è, nell intorno di O, il grafico di una funzione y = f(x) che ammette x = come punto stazionario. Stabilire la natura di tale punto per f.. Stabilire se la funzione f(x, y) = x y, (x, y) R 3, ammette massimo e minimo sull insieme A = {(x, y) R x + y } ed eventualmente trovarli. 3. Calcolare l integrale A x y x + y dxdy dove A = {(x, y) R y < x, < x < }. 4. Calcolare l area del grafico della funzione f(x, y) = xy, x + y <. 5. Riconoscere la curva di equazione ρ = kϑ, ϑ π, essendo ρ e ϑ le coordinate polari. Calcolare l area della regione che essa delimita insieme al segmento dell asse x di estremi (, ) e (4π k). 6. Dimostrare che la forma differenziale ω(x, y) = x dx + sen y cos y dy x + sen y è esatta sull aperto R {}. Trovarne la famiglia delle primitive.

41 Appelli 3-4 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 8/6/4. Dopo aver dimostrato che l equazione xy + y + sen xy + a(e x ) =, (x, y) R, definisce implicitamente, per ogni a R, una funzione y = f(x) di classe C in un intorno U di tale che f() =, si calcoli f(x) + ax lim x x.. Stabilire se la funzione f(x, y) = ammette massimo e minimo sull insieme ed eventualmente trovarli. x y ( + x + y), (x, y) R, A = {(x, y) R x, y } 3. Calcolare l integrale xy dxdy A dove A è la regione piana delimitata dalla curva (x + y ) 3 = 4x y x y. 4. Determinare a R in modo che la forma differenziale ω(x, y) = xy dx (x + a) dy + y + x + x 4, (x, y) R, sia esatta e calcolarne le primitive.

42 38 3/6/4 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 3/6/4. Mostrare che l equazione F (x, y, z) = x + y + z + e z =, (x, y, z) R 3, definisce implicitamente un unica funzione z = f(x, y) su R. sviluppo di Taylor di f in O = (, ) fino al secondo ordine. Calcolare lo. Mostrare che l intersezione delle due superfici z = 4 x y e x + 4y = 4 è il sostegno di una curva γ regolare e chiusa. Di tale curva trovare i punti di massima e di minima distanza da O = (,, ). 3. Calcolare l integrale e x y dxdy A dove A = {(x, y) R x y x, x }. 4. Calcolare i valori delle costanti a, b R per cui la forma differenziale ( x ω(x, y, z) = ax log z dx + by z dy + z + y3) dz, z >, è esatta. Calcolarne poi l integrale lungo la curva γ(t) = (cos t, sen t, t), π t π.

43 4/7/4 39 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 4/7/4. Dimostrare che il luogo di zeri della funzione F (x, y) = e xy + x arctg y, (x, y) R, è non vuoto ed è il grafico di un unica funzione y = f(x) di classe C definita su R {}. Dimostrare che f è una funzione pari e che ammette i limiti per x e per x ±, calcolare tali limiti e tracciarne il grafico.. Trovare, se esistono, i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione sul rettangolo [, ] [, ]. f(x, y) = xe y xy 3. Calcolare l area della regione piana delimitata dalla curva ( x 4 + y 9 ) = x 4 y Stabilire se la forma differenziale ω(x, y, z) = xz dx x + y + yz dy x + y + x + y dz è esatta sul suo dominio naturale ed eventualmente calcolarne le primitive.

44 4 9/9/4 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 9/9/4. Stabilire il grado di regolarità della funzione { (y x ) log(x + y ) se (x, y) R {(, )} f(x, y) = se (x, y) = (, ). Determinare gli eventuali massimi e minimi relativi e assoluti di f sul dominio Ω = {(x, y) R x + y, y x }.. Calcolare l area della regione piana delimitata dall ipocicloide { x(ϑ) = Rϑ r sen ϑ y(ϑ) = R r cos ϑ, ϑ π, r < R, dall asse x e dalle rette x = e x = πr. Ogni punto di un disco che rotola senza strisciare su una guida rettilinea percorre una curva che si chiama ipocicloide. 3. Calcolare l integrale Ω y + z x dxdydz, dove Ω è la regione dello spazio, contenuta nel semispazio x, che ha per frontiera la superficie di rivoluzione generata dalla rotazione attorno all asse x della curva y = xe x con x. 4. Dimostrare che la forma differenziale x dx + y dy ω(x, y) = x + y, (x, y) R {(, )}, 3 è esatta e calcolarne le primitive. Verificare poi che essa (cioè ciascuno dei suoi coefficienti) ammette prolungamento continuo, ma non derivabile, a tutto R.

45 5//4 4 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 5//4. Determinare gli estremi inferiore e superiore e gli eventuali massimi e minimi della funzione f(x, y) = (x ) + y sulla regione piana di equazione ( + x ) y.. Calcolare l integrale xy dxdy Ω dove Ω = {(x, y) R < y < x < y, < xy < }. 3. Stabilire se la forma differenziale 6xy ω(x, y) = (3x + y ) dx + 3x y (3x + y ) dy è esatta e in caso affermativo calcolarne le primitive. 4. Calcolare la lunghezza, la curvatura e la torsione della curva t ( cos t, sen t, t + ), π t π.

46 4 6/4/5 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 6/4/5. Trovare, se esistono, i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = ye x xy sul rettangolo definito dalle relazioni x e y.. La curva che in coordinate polari è definita da ρ = + cos ϑ, ϑ [, π], è chiusa o aperta? è rettificabile? se possibile calcolarne la lunghezza, l ascissa curvilinea in funzione di ϑ, la curvatura e, se chiusa, l area della regione piana che essa delimita. 3. Stabilire se la forma differenziale ω(x, y, z) = y dx x dy x + y + log z dz, x + y > e z >, è chiusa o esatta e a seconda dei casi calcolarne le primitive localmente o globalmente. 4. Verificare che l insieme Γ = {(x, y, z) R 3 + x + y z =, z > } è il grafico di una funzione z = f(x, y) di classe C (R ). Trovare la f e scrivere l equazione del piano tangente a Γ nel punto (,, ).

47 Appelli 4-5 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 9/6/5. Data la funzione F : R R definita da F (x, y) = x y + arctg(x + y), dimostrare che il luogo di zeri di F è il grafico di una funzione y = f(x), x R, che ammette x = come punto stazionario. Stabilire il carattere di tale punto.. Mostrare che l intersezione Γ delle due superfici Γ = {(x, y, z) R 3 xyz =, x, y, z > }, Γ = {(x, y, z) R 3 (x ) + (y 4) = } è una curva regolare chiusa dello spazio. Determinare, se esistono, i massimi e i minimi su Γ della funzione f(x, y, z) = x + y +, x, y, z >. z 3. Stabilire se la forma differenziale ω(x, y) = (xy + y ) dx (xy + x ) dy (x + y ) 3/, x + y >, è esatta e nel caso affermativo calcolarne le primitive. 4. Calcolare l integrale dove Ω = {(x, y) R y > x > }. Ω ( x + y exp (x + y ) arctg y ) dxdy x

48 44 3/7/5 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 3/7/5. Dopo aver determinato il dominio naturale della funzione di due variabili ( F (x, y) = ey + log y + ) + x, dimostrare che il suo luogo di zeri è non vuoto ed è il grafico di una funzione y = f(x), x R. Trovare i punti stazionari di f e determinarne il carattere, valutarne il comportamento asintotico per x ± e tracciarne un grafico approssimativo.. Stabilire se la funzione f : R R definita da f(x, y) = (x + y )(x + y ) ammette massimo e minimo sul cerchio x +y. Nel caso affermativo trovarli e determinarne anche gli eventuali massimi e minimi relativi. 3. Stabilire se la forma differenziale ω(x, y, z) = x dx + y dy z x + y x + y z dz, z >, è esatta sul suo dominio naturale e nel caso affermativo calcolarne le primitive. 4. Calcolare l integrale della funzione f(x, y, z) = z( + x + y ), z, sulla superficie Γ che è il grafico della funzione ϕ(x, y) = cosh(x + y) sul primo quadrante x e y.

49 /9/5 45 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del /9/5. Data la funzione F : Ω R, con Ω =], + [ R definita da F (x, y) = e x y y + log x (x, y) Ω, dimostrare che il luogo di zeri di F è una curva Γ riconoscibile come grafico di un unica funzione y = f(x) tale che f C ], + [ e log x < f(x) < x per ogni x >. Verificare inoltre che f è monotona e quindi calcolarne i limiti per x e per x +. Se possibile stimare anche l andamento asintotico di f.. Calcolare gli eventuali massimi e minimi relativi e assoluti della funzione sul cerchio x + y. f(x, y) = x + y e x y 3. Calcolare l integrale della forma differenziale ω(x, y) = y dx x dy x + y sul grafico della funzione cos x, con π x π, orientato nel verso delle x crescenti. 4. Calcolare l integrale doppio x e xy dxdy y dove D = {(x, y) R xy, x y 3x }. D

50 46 4//5 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 4//5. Data la funzione F : Ω R, con Ω = {(x, y) R x + y > }, definita da F (x, y) = x y + log(x + y) (x, y) Ω, dimostrare che il luogo di zeri di F è non vuoto ed è il grafico di un unica funzione pari f : R R. Verificare inoltre che f è limitata, ammette massimo assoluto isolato, stabilirne il valore e trovare dove viene raggiunto.. Data la funzione f(x, y) = x y + y x definita sul suo dominio naturale, stabilire se esiste il limite lim f(x, y) (x,y) (,) e trovare gli eventuali massimi e minimi relativi e assoluti di f. 3. Stabilire se la forma differenziale ω(x, y) = y x + y 4 dx xy x + y 4 dy è esatta nel suo dominio naturale e in caso affermativo calcolarne le primitive. 4. Calcolare l integrale doppio D cos ( x y ) dxdy x + y dove D = {(x, y) R x, y, x + y }.

51 Appelli 6-7 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 5/7/7. Date la funzione f(x, y) = x + y su R e la curva piana γ di equazione, in coordinate polari, ρ = e ϑ, con ϑ, calcolare la lunghezza della curva in R 3 di equazione z = f(γ(ϑ)), cioè della curva (γ(ϑ), f(γ(ϑ))).. Integrare l equazione differenziale y + xy + x = x, x >, studiare il comportamento delle soluzioni per x e per x + e dimostrare che per a R sufficientemente grande la soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale y() = a ha massimo. 3. Trovare i massimi e i minimi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = x + y + y sul cerchio C = {(x, y) R x + y 9}. 4. Calcolare l integrale D e x + y dxdy dove D = {(x, y) R x, y e x }.

52 48 3/7/7 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 3/7/7. Integrare l equazione differenziale y + (x )y log y =, x R, risolvere il problema di Cauchy y() = y e disegnare i grafici delle soluzioni con y <, y = e y >. Quali nuove soluzioni si ottengono sostituendo alla funzione f(y) = y log y il suo prolungamento continuo nel punto y =?. Disegnare il sostegno della curva piana data, in coordinate polari, come soluzione del problema di Cauchy { ρ = e ρ ρ() = e calcolare l area che il sostegno della sua restrizione all intervallo [, π] forma col semiasse positivo delle x. 3. Trovare i punti di massimo e minimo, relativi e assoluti, e i corrispondenti valori massimi e minimi del prodotto scalare f(p ) = AP BP, essendo A = (, ) e B = (, ), con P che varia nel disco chiuso di centro O = (, ) e raggio R. 4. Calcolare l integrale doppio D x y x + y dxdy dove D = {(x, y) R x + y 4, y max{ x, }}.

53 4/9/7 49 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 4/9/7. Calcolare la lunghezza della curva intersezione del cilindro x + y = 4 con il grafico della funzione z = log y, contenuta nel semispazio y.. Integrare l equazione differenziale u = + u sen x + u cos x, x R, con le condizioni di Cauchy u() = a e u () = b e calcolare, se esiste, il limite lim u(x). x + 3. Calcolare, se esistono, i massimi e i minimi assoluti e relativi della funzione x f(x, y) = arctg y x + y sull insieme D = {(x, y) R {} x y, x + y }. 4. Calcolare il volume del solido Ω = {(x, y, z) R 3 x, y, x + y, z xy}.

54 5 8/9/7 Esame di Matematica C. L. Ing. Civile e Ambientale Prova scritta del 8/9/7. Calcolare l integrale curvilineo zds dove γ(t) = (cos t, sen t, t ), con π < t < π. γ. Integrare il sistema di equazioni differenziali { x 5y = 4y x 3x 4y = x y e stabilire per quali dati iniziali le relative soluzioni soddisfano e disegnarle. lim (x(t), y(t)) = (, ) t + 3. Dimostrare che la funzione soddisfa la disuguaglianza f(x, y) = x 4 + y 4 (x y), (x, y) R, f(x, y) x + y (x, y) R e dedurre che ammette minimo (assoluto). Studiare la natura dei punti stazionari di f e trovarne gli eventuali massimi e minimi relativi. 4. Calcolare l integrale doppio D sen(x y ) dxdy dove D = {(x, y) R x 3 y, x }.