Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler"

Transcript

1 Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler

2 Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte è pri ll unico elemento dell mtrice: A 11 det( A) Per mtrici qudrte di ordine superiore il determinnte si definisce in mnier induttiv, prtendo dll definizione dt nel cso dell mtrice di ordine 1

3 Determinnte A second dell su posizione nell mtrice A, un elemento ik di un mtrice può essere: di clsse pri se i + k è pri di clsse dispri se i + k è dispri A ciscun elemento ik viene ssocit un mtrice qudrt, che si ottiene dll mtrice A eliminndo l i-esim rig e l k-esim colonn il determinnte di tle mtrice, M ik, si chim minore complementre dell elemento ik

4 Determinnte si chim complemento lgebrico C ik dell elemento ik il minore complementre M ik moltiplicto per +1 o 1 second che ik si di clsse pri o dispri: nn nk n n in ik i i in k n k A

5 Determinnte Il determinnte di un mtrice qudrt è definito come somm dei prodotti degli elementi di un line (rig o colonn) per i corrispondenti complementi lgebrici (sviluppo di Lplce) det( A) det( A) n i1 n k 1 ik ik C C rbitrrio) Il vlore del determinnte non dipende dll line scelt ( k Un mtrice con determinnte nullo è dett singolre ik ik ( i rbitrrio)

6 Determinnte di un mtrice 22 Clcolimo il determinnte di un mtrice 22: A Sviluppndo il determinnte lungo l prim rig si h: det A C C Il determinnte dell mtrice 22 si clcol come il prodotto degli elementi dell digonle principle meno il prodotto degli elementi dell digonle secondri.

7 Esempio Clcolre il determinnte dell mtrice Soluzione: Clcolre il determinnte dell mtrice Soluzione: A ) 4( ) det( A A ) 1)( ( 2) 3( ) det( A

8 Determinnte di un mtrice 33 Clcolimo il determinnte di un mtrice 33: A det A = 11 C C C 13 =

9 Determinnte di un mtrice 33 = = ( ) =

10 Esempio Clcolre il determinnte dell seguente mtrice A = Sceglimo l prim rig o l prim colonn (contenendo uno zero i clcoli sono più fcili) det A = 11 C C C 13 = ( 1) = = 23.

11 C è un metodo lterntivo per clcolre il determinnte di un mtrice 3 3 (regol di Srrus). Per pplicre il metodo lterntivo ricopimo l mtrice dt, ggiungendo ll fine le prime due colonne: Il determinte è dto come somm del prodotto dell digonle principle e delle digonli prllele meno il prodotto dell digonle secondri e delle sue prllele det( A) = = = 23.

12 Alcune proprietà dei determinnti 1) Il determinnte dell mtrice trspost è ugule l determinnte dell mtrice di prtenz: det A T = det(a). 2) Se tutti gli elementi di un rig (o di un colonn) sono nulli, il determinnte è nullo 3) Scmbindo tr loro due righe (o due colonne) il determinnte cmbi segno 4) Se due righe (o due colonne) sono proporzionli, il determinnte è nullo

13 Alcune proprietà dei determinnti 5) Se gli elementi di un rig (o di un colonn) vengono moltiplicti per un numero λ, il determinnte viene nch esso moltiplicto per λ. 5b) Si A i = A i + A i, llor det A 1 A i + A i A n = det A 1 A i A n + det A 1 A i A n Un proprietà nlog vle per le colonne. 5) e 5b) ci dicono che il determinnte è linere rispetto lle colonne (righe)

14 6) Il vlore del determinnte non cmbi sommndo un rig (colonn) il multiplo di un ltr rig (colonn). det A 1 A i + λa j A n = det A 1 A i A n, i j, λ R. 7) Dte due mtrici qudrte A e B, se C = AB, llor det AB = det(a)det(b). Osservzione: Dlle proprietà 5) e 6) segue che il determinnte di un mtrice formt d righe (colonne) linermente dipendenti è nullo.

15 Si A i combinzione linere delle ltre det A 1 A i A n = det A 1 n j=1,j i λ j A n A j n = j=1,j i λ j det A 1 A j A n = 0.

16 Def. Si V uno spzio vettorile e sino v 1,, v n vettori di V. Ogni somm del tipo α 1 v α n v n = n i=1 α i v i, α i R, si dice combinzione linere di v 1,, v n. I vettori v 1,, v n si dicono linermente indipendenti, se l equzione c 1 v 1 + c 2 v c n v n = 0, c 1,, c n R h come soluzione solo quell bnle c 1 = c 2 = = c n = 0. Nel cso contrrio si chimno linermente dipendenti.

17 Significto geometrico dei determinnti Si A un mtrice n n, llor il vlore ssoluto det A = volume del prllelepipedo formto dlle colonne (o righe) di A. Se A 1, A 2,, A n sono linermente indipendenti, det A 0. Inoltre, in questo cso il segno di det A indic l orientmento dell bse A 1, A 2,, A n. Per esempio in R 3 det i, j, k = 1, mentre det j, i, k = 1.

18 L re e volume dei «prllelepipedi» in ℝ2 e ℝ3

19 Mtrici digonli Il determinnte di un mtrice digonle è pri l prodotto degli elementi dell digonle principle: n i nn ii A ) det( nn A

20 Il rngo (crtteristic) di un mtrice (definizione lterntiv) Dt un mtrice A di ordine m n, si definisce minore di ordine r dell mtrice A un qulunque mtrice di dimensione r r i cui elementi sono dti dll intersezione di r righe e r colonne dell mtrice A. Esempio: dt l mtrice A =

21 Un minore di ordine 3 dell mtrice è ottenuto intersecndo le righe A 1, A 2, A 3 con le colonne ca 1, ca 3, ca 4. Un minore di ordine 2 dell mtrice è ottenuto intersecndo le righe A 2, A 3 con le colonne ca 1, ca 3.

22 Il rngo (crtteristic) di un mtrice in termini di determinnti Dt un mtrice A di ordine m n. Il rngo dell mtrice A è ugule p se esiste un minore di ordine p con determinnte diverso d zero e tutti i minori di A di ordine mggiore di p hnno determinnte ugule 0. rn A min m, n. Esempio: A = rn A min 3,2 = 2.

23 det = 3 0 rn A = 2. Esempio: A = Dto che rn A min 4,3 = 3, vedimo prim i minori di ordine = 0, = 0, = 0, = 0.

24 Poi i minori di ordine = 12 0 rn A = 2.

25 Prodotto vettorile Def. Sino v =, b, c = i + bj + ck, w =, b, c = i + b j + c k due vettori di R 3. Il prodotto vettorile di v e w è il vettore v w = bc b c i + c c j + b b k = (bc b c, c c, b b). Il prodotto vettorile può essere memorizzto usndo il seguente determinnte (formle), sviluppndo secondo l prim rig v w = i j k b c b c

26 Esempio. Sino v = 2,31, w = 4,1, 2. v w = i j k = ( 6 1)i + (4 + 4)j + (2 12)k = 7i + 8j 10k. Esempio. Abbimo i j = k, j k = i, k i = j. i j = i j k = k, j k = i j k = i, k i = i j k = j.

27 Per vettori di R 2 possimo usre l precedente definizione, introducendo l identificzione R 2 v v R 3, b (, b, 0). Sino v =, b, w =, b v w = i j k b 0 b 0 = b b k.

28 Alcune proprietà del prodotto vettorile V1) v w = w v; V2) v w + u = v w + v u; V3) hv w = v hw = h v w, h R ; V4) v v w = 0, w v w = 0; V5) hv v = 0, h R ; V6) se v w = 0, llor esiste un h R, tle che w = hv, oppure v = hw. V1) vuol dire che è nticommuttivo. V2) e V3) dicono che è linere. Le proprietà V4) stbiliscono che il vettore v w è perpendicolre si v, si w. Secondo l proprietà V5) il prodotto di due vettori prlleli è il vettore nullo e V6) fferm che vle nche il vicevers.

29 Norm del prodotto vettorile L norm si clcol come segue v w 2 = bc b c 2 + c c 2 + b b 2 = 2 + b 2 + c b 2 + c 2 + bb + cc 2 = v 2 w 2 v w 2 V7) Si θ l ngolo convesso fr i vettori v e w. Sppimo che per cui v w = cos θ v w v w 2 = v 2 w 2 v 2 w 2 cos 2 θ

30 = v 2 w 2 (1 cos 2 θ ) = v 2 w 2 sin 2 θ v w = v w sin θ V8) w sin θ = BH v w = v w sin θ = OA BH.

31 Quindi l norm del prodotto vettorile corrisponde ll re del prllelogrmm OACB individuto di vettori v e w. Adesso possimo verificre l proprietà V6) di sopr. Se v w = 0 v w = 0 l re del prllelogrmm è zero v e w sono prlleli. Esempio. Si dto nello spzio un prllelogrmm ACDB di vertici A = 1,2,4, B = 3,4,7, C = 0,3,1, D = 2,5,4. Trovre l re del prllelogrmm. Dobbimo clcolre AC AB

32 AC = 1,1, 3, AB = 2,2,3 AC AB = i j k = 9i 3j 4k AC AB = (9, 3, 4) = = 106. L re del prllelogrmm ACDB è 106.

33 Prodotto misto Sino dti tre vettori v = i + bj + ck w = 1 i + b 1 j + c 1 k u = 2 i + b 2 j + c 2 k Def. Si chim prodotto misto il numero v w u. Si h v w u = i + bj + ck ( b 1 c 2 b 2 c 1 i + 2 c 1 1 c 2 j + 1 b 2 2 b 1 k)

34 perciò = b 1 c 1 b 2 c 2 b 1 c 1 2 c 2 + c 1 b 1 2 b 2 v w u = b c 1 b 1 c 1 2 b 2 c 2. Dlle proprietà dei determinnti segue che M) v w u = w u v = u v w (permutzione ciclic) Si h che v w u = 0 i tre vettori v, w, u sono complnri. Qui si us il ftto che un determinnte è zero se e solo se le colonne (righe) sono linermente dipendenti.

35 Vedimo ll fine il significto geometrico del prodotto misto v w u = v w u cos(θ) dove θ è l ngolo fr i vettori v e w u. Sppimo che w u è l re del prllelogrmm individuto di vettori w e u. D ltr prte v cos(θ) corrisponde ll ltezz reltiv l prllelogrmm dell bse del prllelepipedo. Quindi v w u corrisponde l volume del prllelepipedo individuto di vettori v, w, u.

36 Esercizi 1. Clcolre i seguenti determinnti: , , 3/5 1/3 4 1 [0, 16, 11/15] 3/5 1/3 4 1 = = = =

37 2. Clcolre i seguenti determinnti: , Clcolre i seguenti determinnti:, 4/ / /3 [98, -250, -1157/9] , , [0, 0, -18]

38 4. Clcolre i seguenti determinnti x x x x x x x b x x c b x, dove x,, b, c, sono delle incognite.

39 A 3 +2A = = = A 1 +4A = = = 250.

40 4/ / /3 (regol di Srrus) = 4/ / /3 4/ /2 7 3 = = = = =

41 A 2 + A = 0, perché A 2 = A = 0, visto che A 3 = 2A = = = 18.

42 A 3 3A = A 2 +2A (sviluppo lungo l prim colonn) = = = = 340.

ESERCITAZIONE N.3 DETERMINANTI. il determinante di una matrice 1x1 è l elemento stesso det (a) = a. il determinante di una matrice 2x2 è :

ESERCITAZIONE N.3 DETERMINANTI. il determinante di una matrice 1x1 è l elemento stesso det (a) = a. il determinante di una matrice 2x2 è : DETERMINANTI ESERCITAZIONE N 5 mrzo Ad ogni mtrice qudrt coefficienti in R ( o C o un qulsisi K cmpo) è ssocito un numero rele che or definimo,detto det(a),(d(a)) determinnte di A il determinnte di un

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

Elementi di Calcolo Matriciale

Elementi di Calcolo Matriciale Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione 7 Ottobre Elementi di Clcolo Mtricile F. Cliò Mtrici: Definizioni e Simbologi Lezione 7 Ottobre Elementi di Clcolo Mtricile

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione

Dettagli

Determinanti. Prodotto vettoriale. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Determinanti. Prodotto vettoriale. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milno Corso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it I erminnti. Il prodotto vettorile. 11 Gennio 2016 Indice 1 Determinnti di mtrici 2 2 2 1.1 Clcolo del erminnte.

Dettagli

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez. Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

Nello studio della meccanica si incontrano due principali categorie di grandezze: scalari e vettori. Cosa distingue queste quantita?

Nello studio della meccanica si incontrano due principali categorie di grandezze: scalari e vettori. Cosa distingue queste quantita? Vettori e sclri Nello studio dell meccnic si incontrno due principli ctegorie di grndezze: sclri e vettori. Cos distingue queste quntit? Domenic sono ndto in iciclett per due ore L informzione sul tempo

Dettagli

Sistemi principali di normali ad una varietà giacenti nel suo o 2. Nota di

Sistemi principali di normali ad una varietà giacenti nel suo o 2. Nota di Sistemi principli di normli d un vrietà gicenti nel suo o 2. Not di Giuseppe Vitli Pdov. In un mio recente lvoro *) ho considerto, per ogni superficie il cui j si di 2 k dimensioni (k 2, 3), un sistem

Dettagli

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei. 8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso

Dettagli

MATRICI DETERMINANTI SISTEMI LINEARI TEORIA ED ESERCIZI

MATRICI DETERMINANTI SISTEMI LINEARI TEORIA ED ESERCIZI I PRTE LGEBR LINERE TEORI ED ESERCIZI DIPRTIMENTO DI GRRI FCOLT DI INGEGNERI DEI SISTEMI LOGISTICI E GRO- LIMENTRI LEZIONI DI GEOMETRI E LGEBR DISPENS MTRICI DETERMINNTI SISTEMI LINERI TEORI ED ESERCIZI

Dettagli

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre

Dettagli

Definiamo ora alcuni vettori particolarmente importanti detti versori.

Definiamo ora alcuni vettori particolarmente importanti detti versori. Prof. A. Di Mro I versori Definimo or lcni vettori prticolrmente importnti detti versori. Un versore è semplicemente n vettore di modlo nitrio. Normlmente gli ssi, e z vengono ssociti i versori i ˆ, ˆj,

Dettagli

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI

ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 1. Richimi di teori Con Z indichimo l insieme dei numeri reltivi. Comincimo con il ricordre l definizione di quoziente e resto dell divisione di due numeri in Z. Definizione

Dettagli

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti:

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti: Minori di un mtrice Si A K m,n, si definisce minore di ordine p con p N, p

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione LEZIONE 20 20.1. Prodotti sclri. Definizione 20.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2

Dettagli

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, } Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri

Dettagli

Vettori - Definizione

Vettori - Definizione Vettori - Definizione z Verso Origine Modulo Direzione V y Form geometri x Form nliti Un vettore è un ente geometrio definito d: - Direzione: rett sull qule gie il vettore, he ne indi l orientmento nello

Dettagli

Operazioni sulle Matrici

Operazioni sulle Matrici Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici F. Cliò Addizione e Sottrzione Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin Addizione

Dettagli

LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLASSI 3 S.M. DA CONSEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI SPORTELLO

LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLASSI 3 S.M. DA CONSEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI SPORTELLO LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLAI.M. DA CONEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI PORTELLO DEVI RIOLVERE PRIMA DI TUTTO I PROBLEMI E GLI EERCIZI QUI ELENCATI. TERMINATI QUETI, RIOLVI ALCUNI

Dettagli

FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE

FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE ALGEBRA LINEARE Operzioni tr mtrici Sino A = { ij } e B = {b ij } venti l stess imensione. L loro somm è l mtrice C i cui elementi sono {c ij

Dettagli

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz

Dettagli

Richiami sui vettori. A.1 Segmenti orientati e vettori

Richiami sui vettori. A.1 Segmenti orientati e vettori A Richimi sui vettori Richimimo lcune definizioni e proprietà dei vettori, senz ssolutmente pretendere di drne un trttzione mtemticmente complet. Lvoreremo sempre in uno spzio crtesino (euclideo) tre dimensioni,

Dettagli

Sistemi lineari Sistemi lineari quadrati

Sistemi lineari Sistemi lineari quadrati Sistemi lineri Sistemi lineri qudrti Definizione e crtteristiche di sistem qudrto (/) Dti un mtrice qudrt A(n n) ed un vettore (colonn) b d n componenti; Determinimo in modo tle che: A b Quest relzione

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni

{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto

Dettagli

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo Lure triennle in Scienze dell Ntur.. 2009/200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle

Dettagli

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino

Dettagli

Consideriamo la seguente tabella di numeri presi da un estrazione del lotto:

Consideriamo la seguente tabella di numeri presi da un estrazione del lotto: MAICI E DEEMINANI. LE MAICI Considerimo l seguente tbell di numeri presi d un estrzione del lotto: 7 8 > 8 7 H. 8 8 9 I numeri presenti sono disposti su righe e colonne. Essi costituiscono un insieme ordinto

Dettagli

Minimi quadrati e problemi di distanza minima

Minimi quadrati e problemi di distanza minima Minimi qudrti e problemi di distnz minim Considerimo un mtrice rettngolre B, con elementi b ij, i 1,..., n, j 1,..., m, con m < n (quindi, più righe che colonne. Voglimo risolvere il sistem linere (1 Bx

Dettagli

Calcolo Vettoriale. Fisica I - Lezione 01. Cristiano Guidorzi Dipartimento di Fisica Universitá di Ferrara

Calcolo Vettoriale. Fisica I - Lezione 01. Cristiano Guidorzi Dipartimento di Fisica Universitá di Ferrara Fisic I - Leione 01 Cristino Guidori Diprtimento di Fisic Universitá di Ferrr guidori@fe.infn.it http://www.fe.infn.it/ guidori/ 21 Novembre 2002 Fisic I - A.A. 2002-2003 Leione 01 Definiioni e Notioni

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

MATEMATICA Classe Prima

MATEMATICA Classe Prima Liceo Clssico di Treiscce Esercizi per le vcnze estive 0 MATEMATICA Clsse Prim Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Per gli llievi promossi

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali.

I radicali. Cos è un radicale? ESERCIZIO 2.1. Determina le C.E. dei seguenti radicali e delle seguenti espressioni contenenti radicali. I rdicli Cos è un rdicle? Il simbolo si chim rdicle e si legge rdice ennesim di. - n si chim indice dell rdice e deve essere un numero nturle mggiore di zero. Qundo l indice si sottintende e il rdicle

Dettagli

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA

Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA Liceo Scientifico G. Slvemini Corso di preprzione per l gr provincile delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA PROPRIETA DELLE POTENZE PRODOTTI NOTEVOLI QUESITO SUGGERIMENTO y è un espressione non

Dettagli

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE perché il sottoinsieme W di V sia sottospazio di V è che sia:

CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE perché il sottoinsieme W di V sia sottospazio di V è che sia: SPAZI VETTORIALI CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE perché il sottoinsieme W di V si sottospzio di V è che si: (λ w + µ u) V per ogni u, w V e ogni λ, µ R CONDIZIONE NECESSARIA (m NON SUFFICIENTE) perché

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi

Equazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi Equzioni di grdo Definizioni Equzioni incomplete Equzione complet Relzioni tr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Un equzione è: Un uguglinz

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

Cap. 4 - Algebra vettoriale

Cap. 4 - Algebra vettoriale Mssimo Bnfi Cp. 4 - Algebr vettorile Cpitolo 4 Algebr vettorile 4.1. Grndezze sclri Si definiscono sclri quelle grndezze fisiche che sono descritte in modo completo d un numero con l reltiv unità di misur.

Dettagli

U.D. N 15 Funzioni e loro rappresentazione grafica

U.D. N 15 Funzioni e loro rappresentazione grafica 54 Unità Didttic N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic U.D. N 5 Funzioni e loro rppresentzione grfic ) Le coordinte crtesine ) L distnz tr due punti 3) Coordinte del punto medio di un segmento 4) Le

Dettagli

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione

Dettagli

24 y. 6. ( 5 A. 1 B. 5 4 C D. 50 Applicando le proprietà delle potenze

24 y. 6. ( 5 A. 1 B. 5 4 C D. 50 Applicando le proprietà delle potenze Alunno/.. Alunno/ Pgin Esercitzione in preprzione ll PROVA d ESAME Buon Lvoro Prof.ss Elen Sper. Il piccolo fermcrte dell figur è relizzto nel seguente modo. Si prende un cubo di lto cm e su un fcci si

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14) . Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y

Dettagli

Il calcolo letterale

Il calcolo letterale Progetto Mtemtic in Rete Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici (espressioni numeriche). Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere

Dettagli

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_2 a (ultima modifica 08/03/2010)

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_2 a (ultima modifica 08/03/2010) Ingegneri dei Sistemi Elettrici_2 (ultim modific 08/03/2010) Prim di definire le grndee di bse e le costnti universli del modello elettromgnetico per poter sviluppre i vri temi dell elettromgnetismo, si

Dettagli

8. Matrice inversa 21 Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo della matrice inversa, 24

8. Matrice inversa 21 Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo della matrice inversa, 24 Indice Mtrici e sistemi lineri. Mtrici Trspost di un mtrice, Mtrice digonle e mtrice unità, Mtrici tringolri,. Operzioni con le mtrici Addizioni di mtrici, Moltipliczione per un numero, Prodotto tr mtrici,

Dettagli

Problemi e rappresentazione di problemi di geometria dello spazio - Claudio Cereda febbraio 2001 pag. 1

Problemi e rappresentazione di problemi di geometria dello spazio - Claudio Cereda febbraio 2001 pag. 1 Prolemi e rppresentzione di prolemi di geometri dello spzio - ludio ered ferio 00 pg. onvenzioni di disegno e di rppresentzione Nel corso dell trttzione si dotternno le seguenti convenzioni simoliche:

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE

TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE uthor: Ing, Giulio De Meo GEOMETRIA TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE L somm degli ngoli interni di un poligono di n lti è (n - ) 180. L somm degli ngoli esterni di un qulsisi poligono vle 360.

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo

Dettagli

Radicali. Definizioni Variazioni di radicali Operazioni Razionalizzazione Radicali doppi Potenze con esponente razionale Esercizi

Radicali. Definizioni Variazioni di radicali Operazioni Razionalizzazione Radicali doppi Potenze con esponente razionale Esercizi Rdicli Definizioni Vrizioni di rdicli Operzioni Rzionlizzzione Rdicli doppi Potenze con esponente rzionle Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni n L espressione è comunemente dett rdice

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO RECUPERO ESTIVO PER LE CLASSI ^D- E SCIENTIFICO Argomenti d rivedere: I QUADRIMESTRE: ) Equzioni di secondo grdo e relzioni tr coefficienti e rdici

Dettagli

4.7 RETICOLO RECIPROCO

4.7 RETICOLO RECIPROCO 4.7 RETICOLO RECIPROCO L teori clssic dell elettromgnetismo mostr che qundo un ond elettromgnetic (e.m.) di un dt lunghezz d ond λ incontr un ostcolo di dimensioni confrontbili con λ si verific il fenomeno

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

Quadriche in E 3 (C) L equazione cartesiana di una quadrica in coordinate non omogenee (x,y,z)

Quadriche in E 3 (C) L equazione cartesiana di una quadrica in coordinate non omogenee (x,y,z) Qudriche in E (C) L equione crtesin di un qudric in coordinte non omogenee (,,) Q:, +, +, +, +, +, +,4 + +,4 +,4 + 4,4. in coordinte omogenee (,,, 4 ) Q:, +, +, +, +, +, + +,4 4 + +,4 4 +,4 4 + 4,4 4.

Dettagli

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

Matrici: Definizioni e Proprietà

Matrici: Definizioni e Proprietà Mtrici: Definizioni e Proprietà Alcune figure di questi ppunti riportno nei commenti esempi in linguggio MATLAB In tli esempi i crtteri di peso normle sono prodotti dl computer mentre i crtteri in grssetto

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti

Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti Unità 3 Metodi prticolri per il clcolo di reti 1 Cos c è nell unità Metodi prticolri per il clcolo di reti con un solo genertore Prtitore di tensione Prtitore di corrente Metodi di clcolo di reti con più

Dettagli

PROGETTO SIRIO PRECORSO di MATEMATICA Teoria

PROGETTO SIRIO PRECORSO di MATEMATICA Teoria Vi Aldo Mo ro, 1097-300 15 Chioggi (VE) t el. 0414 965 81 1 - fx 0 414 96 54 3 - ww w. itisri ghi.com POTENZA i N... DIVISIBILITÀ e NUMERI PRIMI...3 MASSIMO COMUN DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO...3

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche 1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici

Dettagli

Le equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni di grado superiore al secondo Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

Vettori Geometrici. Corso di Metodi Numerici per il Design. 30 Settembre 2002 Vettori Geometrici. Corso di Laurea in Disegno Industriale

Vettori Geometrici. Corso di Metodi Numerici per il Design. 30 Settembre 2002 Vettori Geometrici. Corso di Laurea in Disegno Industriale Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerici per il Design 0 Settemre 00 Vettori Geometrici 1 Vettori Geometrici Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 1 1 Segmento orientto P P 1 Direione:

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

1 COORDINATE CARTESIANE

1 COORDINATE CARTESIANE 1 COORDINATE CARTESIANE In un sistem di ssi crtesini (,) un punto P è identificto dll su sciss e dll su ordint : Asciss : distnz di P dll sse delle ordinte Ordint :distnz di P dll sse delle scisse P(-4,4)

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

Introduzione e strumenti

Introduzione e strumenti Controlli utomtici Introduzione e strumenti Convenzioni generli ed elementi di bse Dll equzione ll rppresentzione grfic L lgebr dei blocchi Clcolo di funzioni di trsferimento di schemi interconnessi 2

Dettagli

Ellisse riferita al centro degli assi

Ellisse riferita al centro degli assi Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm

Dettagli

Facoltà di Ingegneria

Facoltà di Ingegneria UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CAGLIARI Fcoltà di Ingegneri Corso di Lure Specilistic in Ingegneri per l Ambiente e il Territorio TESINA DI CALCOLO NUMERICO Anlisi dell errore nei metodi di risoluzione dei

Dettagli

Teoremi di geometria piana

Teoremi di geometria piana l congruenz teoremi sugli ngoli γ teorem sugli ngoli complementri Se due ngoli sono complementri di uno stesso ngolo α β In generle: Se due ngoli sono complementri di due ngoli congruenti α γ β teorem

Dettagli

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si

Dettagli

acuradi Luca Cabibbo e Walter Didimo Esercizi di Informatica teorica - Luca Cabibbo e Walter Didimo 1

acuradi Luca Cabibbo e Walter Didimo Esercizi di Informatica teorica - Luca Cabibbo e Walter Didimo 1 curdi Luc Cio e Wlter Didimo Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 1 pumping lemm proprietà di chiusur dei linguggio regolri notzioni sul livello degli esercizi:(*)fcile, (**) non difficile

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con

Dettagli

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013

Risoluzione verifica di matematica 3C del 17/12/2013 Problem 1 Risoluzione verific di mtemtic C del 17/1/01 Si clcolno le intersezioni tr le rette generiche del fscio proprio y x y 1, risolvendo il sistem: x y 1 y mx Si ottengono i punti di coordinte espresse

Dettagli

Lezione 1 Insiemi e numeri

Lezione 1 Insiemi e numeri Lezione Insiemi e numeri. Nozione di insieme, sottoinsieme, pprtenenz Con l prol insieme intendimo un collezione di oggetti detti suoi elementi. Ogni insieme è denotto con lettere miuscole e i suoi elementi

Dettagli

Alcune mosse che utilizzano le proprietà delle operazioni in N

Alcune mosse che utilizzano le proprietà delle operazioni in N Operzioni in N Proprietà commuttiv dell ddizione + b b +,b N Proprietà ssocitiv dell ddizione ( + b) + c + (b + c) + b + c,b,c N Proprietà invrintiv dell sottrzione b ( + c) (b + c) b ( c) (b c),b,c N,b,c

Dettagli

Teoria di Jourawski. 1. Sezione ad T. Lê2 L Lê2. à Soluzione

Teoria di Jourawski. 1. Sezione ad T. Lê2 L Lê2. à Soluzione eori di Jourwski ü [A.. 0-03 : ultim revisione 4 gennio 03] Si pplic l teori di Jourwski l fine di clcolre l distribuzione di tensioni tngenzili su lcune sezioni soggette sforzo di tglio.. Sezione d ê

Dettagli

Proiettività della Retta e del Piano.

Proiettività della Retta e del Piano. Introduzione. In queste note proponimo l clssificzione delle proiettività per l rett proiettiv ed il pino proiettivo su un corpo lgebricmente chiuso. Nel cso dell rett studieremo nche il cso del corpo

Dettagli

Controlli Automatici. Trasformate L e Z e schemi a blocchi. Esercizi sulle trasformate L e Z

Controlli Automatici. Trasformate L e Z e schemi a blocchi. Esercizi sulle trasformate L e Z Controlli Automtici Trsformte L e Z e schemi blocchi Esercizi sulle trsformte L e Z Esercizi sulle trsformte L e Z Proposte di esercizi e soluzioni in tempo rele trsformt L di y(t) dt trsformt Z di y(i)

Dettagli

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ

Dettagli

MATEMATIKA OLASZ NYELVEN

MATEMATIKA OLASZ NYELVEN Mtemtik olsz nyelven középszint 061 É RETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA OLASZ NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Indiczioni

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

operazioni con vettori

operazioni con vettori omposizione e somposizione + = operzioni on vettori = + = + Se un vettore può essere dto dll omposizione di due o più vettori, questi vettori omponenti possono essere selti lungo direzioni ortogonli fr

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

COGNOME..NOME CLASSE.DATA

COGNOME..NOME CLASSE.DATA COGNOME..NOME CLASSE.DATA FUNZIONE ESPONENZIALE - VERIFICA OBIETTIVI Sper definire un funzione esponenzile. Sper rppresentre un funzione esponenzile. Sper individure le crtteristiche del grfico di un funzione

Dettagli

Meccanica dei Solidi. Vettori

Meccanica dei Solidi. Vettori Meccnic dei Solidi Prof. Ing. Stefno Avers Università di Npoli Prthenope.. 2005-06 Lezione 2 Vettori Definizione: Un grndezz vettorile (o un vettore) è un grndezz fisic crtterizzt oltre che d un numero

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare. Mappe Lineari. 10 maggio 2013

Appunti di Algebra Lineare. Mappe Lineari. 10 maggio 2013 Appunti di Algebr Linere Mppe Lineri 0 mggio 203 Indie Ripsso di Teori 2. Cos è un mpp linere.................................. 2.2 Aluni ftti importnti................................... 3 2 Eserizi 4

Dettagli

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.

Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche. Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,

Dettagli

m kg M. 2.5 kg

m kg M. 2.5 kg 4.1 Due blocchi di mss m = 720 g e M = 2.5 kg sono posti uno sull'ltro e sono in moto sopr un pino orizzontle, scbro. L mssim forz che può essere pplict sul blocco superiore ffinchè i blocchi si muovno

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE Dt un ppliczione f: V W con V e W spzi vettorili si dice che f è un ppliczione linere o omomorfismo f(v + v 2 ) = f(v ) + f(v 2 ) v, v 2 V f(αv) = α f(v) v V e

Dettagli