Equivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Equivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se"

Transcript

1 Lezioni di Algebra Lineare. Versione novembre 2008 VI. Il determinante Il determinante det A di una matrice A, reale e quadrata, è un numero reale associato ad A. Dunque det è una funzione dall insieme delle matrici reali quadrate a R. Se distinguiamo la misura delle matrici, allora per ogni n intero positivo otteniamo una funzione det n : M n (R) R, restringendo il determinante alle matrici n n. Per semplificare la notazione omettiamo l indice n, che nei casi concreti sarà chiaro dal contesto, e scriviamo solo det. Le proprietà elencate qui sotto rendono subito chiara l importanza del determinante. Proprietà fondamentali del determinante. Sia A una matrice n n. A ha rango n se e solo se det A 0. Equivalentemente, le righe di A sono linearmente indipendenti se e solo se det A 0. Equivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se det A 0. Equivalentemente, A è invertibile se e solo se det A 0. Un applicazione diretta di queste proprietà è la seguente: Supponiamo che v 1,..., v n siano n vettori in R n. Allora {v 1,..., v n } è una base di R n se e solo se det (v 1 v n ) 0. Un altra applicazione importante del determinante sarà la formula per il calcolo dell inversa di una matrice invertibile che abbiamo preannunciato nelle lezioni precedenti. La funzione determinante viene definita attraverso le tre proprietà che stiamo per descrivere. Possiamo vedere det A come una funzione delle righe della matrice 1

2 2 A. Questo vuol dire vedere det A come una funzione di n variabili, ciascuna in R n (visto come insieme di vettori riga): det A = det (A 1,..., A n ) (dove A 1,..., A n sono le righe di A). Tutto quello che diciamo vale ugualmente se sostituiamo ovunque righe (o riga) con colonne (o colonna), perché vale il fatto seguente, di cui non daremo una dimostrazione. Proposizione 1. Per ogni matrice A, det A = det t A. Proprietà che definiscono il determinante. (1) det è una funzione multilineare delle righe di A; (2) det è una funzione alternante delle righe di A; (3) det I n = 1 (dove I n è la matrice identità n n). Spieghiamo il significato delle prime due proprietà. (1) Per ogni i compreso tra 1 e n, se fissiamo le righe diverse dalla i-esima e facciamo variare solo la riga A i, otteniamo una funzione da R n a R. multilinearità vuol dire che ognuna di queste funzioni è lineare, cioè: det (... A i + A i... ) = det (... A i... ) + det (... A i... ) La proprietà di per ogni A i e A i in Rn e det (... λa i... ) = λ det (... A i... ), per ogni A i in R n e λ R, dove tutto quello che compare al posto dei puntini resta fisso a ogni passaggio. (2) La proprietà di alternanza vuol dire questo: se due righe della matrice A sono uguali, allora il determinante di A è nullo, cioè, se esistono i, j {1,..., n} tali che i j e A i = A j, allora det (A 1,..., A n ) = 0. Notazione. Indicheremo talvolta det A con A. Se A è data esplicitamente come tabella (a ij ), scriveremo semplicemente a ij, omettendo le parentesi tonde.

3 3 Esempi. 1. Consideriamo la matrice La sua prima riga è uguale a (1 0 0) + 2 (0 1 0) + 3 (0 0 1), quindi utilizzando la linearità rispetto alla prima riga abbiamo che = Sia A = , B = , C = A e B hanno le prime due righe uguali, mentre la terza riga di B è uguale a 3 per la terza riga di A, quindi det B = 3det A. Invece C = 2A, ovvero ogni riga di C è uguale alla anologa riga di A mltiplicata per 2. Dalla proprietà di omogeneità, applicata a ciascuna riga, si ottiene quindi detc = 2 3 det A. 3. Sia A = Allora per la proprietà di alternanza det A = Le tre proprietà scritte sopra definiscono il determinante nel senso chiarito dal seguente Teorema. Teorema 1. Esiste un unica funzione da M n (R) in R che soddisfa le proprietà (1) (2) e (3) scritte sopra. Quest unica funzione è il determinante. Anche di questo teorema non daremo una dimostrazione completa. Elenchiamo alcune proprietà che sono conseguenze dirette delle proprietà (1), (2) e (3).

4 4 (4) Sia A una matrice n n e sia A la matrice ottenuta da A sostituendo la riga A i con A i + λa j, dove i j, 1 i, j n, e λ R. Allora det A = det A. Dimostriamo come questa proprietà segua da (1) e (2). Possiamo supporre i < j senza perdita di generalità. Allora: det A = det (... A i + λa j... A j... ) = det (... A i... A j... ) + det (... λa j... A j... ) = det A + λ det (... A j... A j... ) = det A (la seconda e terza uguaglianza seguono dalla linearità rispetto all i-esimo argomento, la quarta segue dall alternanza.) (5) Sia A una matrice n n e sia A la matrice ottenuta da A scambiando A i con A j, dove i j e 1 i, j n. Allora det A = det A. Per dimostrare questa proprietà, consideriamo la matrice ottenuta da A sostituendo sia A i, sia A j con A i + A j. Questa ha determinante nullo per l alternanza e otteniamo: 0 = det (... A i + A j... A i + A j... ) = (a) det (... A i... A i + A j... ) + det (... A j... A i + A j... ) = (b) det (... A i... A i... )+det (... A i... A j... )+ +det (... A j... A i... ) + det (... A j... A j... ) = (c) det A + det A, quindi det A = det A. (Per le uguaglianze (a) e (b) abbiamo usato la linearità; per la (c) abbiamo usato l alternanza, ottenendo che il primo e il quarto determinante sono nulli, e la definizione di A.)

5 Dalla proprietà (4) e dalla multilinearità otteniamo invece facilmente il risultato seguente. 5 Proposizione 2. Se una riga di A è combinazione delle altre (in particolare se A ha una riga nulla), allora det A = 0. Dimostrazione. Supponiamo che, per un certo i (1 i n), A i sia combinazione delle altre righe di A: A i = λ j A j. Sottraendo alla i-esima riga λ j A j per ogni j i j i, trasformiamo A in una matrice A che ha la i-esima riga nulla e le altre righe uguali a quelle di A. Per la proprietà (4) det A = det A. Ma, per la proprietà di omogeneità rispetto alla i-esima riga, dal fatto che la i-esima riga di A è nulla, segue che det A = 0, quindi che det A = 0. A questo punto diamo una formula generale per il calcolo del determinante. Sviluppi di Laplace. Precisiamo le notazioni. Sia A = (a ij ), 1 i, j n. Per ogni coppia (i, j) indichiamo inoltre con A ij la matrice (n 1) (n 1) ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna. Infine, per brevità, per ogni matrice B denotiamo det B con B. Parliamo di sviluppi di Laplace, al plurale, perché in realtà abbiamo 2n formule equivalenti, una per ogni riga e una per ogni colonna. Le formule sono di tipo ricorsivo: Se A è una matrice 1 1, allora A è uguale all unico elemento di A. Se A è una matrice n n con n > 1, uno sviluppo di Laplace riduce il calcolo di A al calcolo di n determinanti (n 1) (n 1). Ricorsivamente, ogni determinante è ridotto al calcolo di determinanti 1 1, che sono noti. Sviluppo di Laplace rispetto alla i-esima riga. n A = ( 1) i+j a ij A ij. j=1 Nella formula i è fisso; al variare di j gli a ij percorrono la i-esima riga; i segni ( 1) i+j, al variare di j, sono + e alternati: si parte con + se i è dispari, con se i è pari.

6 6 Sviluppo di Laplace rispetto alla j-esima colonna. A = n ( 1) i+j a ij A ij. i=1 Qui è j che è fisso; al variare di i gli a ij percorrono la j-esima colonna; la regola dei segni è analoga al caso precedente. Esempi. 5. Calcolo di un determinante 2 2. Scriviamo cosa è il determinante di una generica matrice 2 2. Utilizziamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga. (Ovviamente utilizzando gli altri sviluppi possibili dobbiamo ottenere lo stesso risultato.) a c b d = ( 1)1+1 ad + ( 1) 1+2 bc = ad bc. Quindi il determinante di una matrice 2 2 è la differenza dei prodotti incrociati. 6. Per il calcolo seguente utilizziamo ancora lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga = ( 1) ( 1) ( 1) = 2(3 4) 3(3 2) + 4(2 1) = = 3 7. Per il calcolo seguente utilizziamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda colonna: questa scelta è la più conveniente perché la seconda colonna ha solo due elementi non nulli (gli elementi nulli della colonna danno un contributo nullo alla sommatoria) = ( 1) ( 1) = [il primo dei due determinanti 3 3 scritti sopra è nullo per la Proposizione 3, perché la seconda riga e la terza sono proporzionali] ( = = 2 ( 1) ( 1) ) 1 2 =

7 7 = 2(5(1 2) + 0) = 10 [per il determinante 3 3 abbiamo usato lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza colonna.] Il calcolo del determinante è particolarmente semplice in alcui casi speciali. Ricordiamo che la diagonale (principale) di una matrice quadrata n n è costituita per definizione dai termini di posto (i, i), per i = 1,..., n. Definizione. Una matrice n n, D = (d ij ), si dice diagonale se tutti gli elementi che non stanno sulla diagonale principale sono nulli, cioè se d ij = 0 per tutti gli i e j in {1,..., n} tali che i j. (I termini diagonali possono essere nulli o non nulli.) Definizione. Una matrice n n, T = (t ij ), si dice triangolare superiore se tutti i suoi elementi posti sotto la diagonale principale sono nulli (cioè se t ij = 0 per tutti gli i e j tali che 1 j < i n). T si dice strettamente triangolare superiore se è triangolare superiore e in più anche i termini diagonali sono tutti nulli (cioè t ij = 0 per tutti gli i e j tali che 1 j i n). Analogamente, T si dice triangolare inferiore se tutti i termini posti sopra la diagonale principale sono nulli e strettamente triangolare inferiore se in più anche la diagonale è nulla. Dalla multilinearità del determinante otteniamo subito che il determinante di una matrice diagonale è il prodotto dei termini diagonali, infatti, utilizzando l omogeneità rispetto a ciascuna riga, otteniamo subito che d = d 1 d n = d.. 1 d n d n In realtà anche il determinante di una matrice triangolare è il prodotto dei termini diagonali. Mostriamolo ad esempio per una matrice triangolare superiore. Per n = 1 il risultato è ovvio; dimostriamolo per n > 1, per induzione, supponendolo

8 8 vero per n 1. Usando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna otteniamo: t 11 t 1n t t 2n = t = t 11 t 22 t nn t nn 0 0 t nn Dalle proprietà (4) e (5) otteniamo direttamente che la riduzione a scala di una matrice mediante l eliminazione di Gauss cambia al più il segno del determinante, precisamente, se teniamo conto degli scambi di riga fatti, possiamo ridurre il calcolo di qualunque determinante al calcolo per una matrice a scala. Ora osserviamo che una matrice quadrata a scala non è altro che una matrice triangolare superiore. Quindi otteniamo il risultato seguente. Proposizione 3. Se la matrice T è ottenuta dalla matrice A mediante eliminazione di Gauss, allora det A = det T (qui le barre laterali indicano il valore assoluto). Si ha det A = det T se il numero totale di scambi di righe fatti durante l algoritmo è pari; mentre det A = det T se il numero di scambi di righe è dispari. Esempio 8. (a) = = = 1 (b) = = = 6 Dal fatto che il determinante di una matrice triangolare è il prodotto dei termini diagonali otteniamo che qesto è non nullo se e solo se tutti i suoi termini diagonali della matrice triangolare sono diversi da 0. Questo ci permette di provare molto facilmente quelle che abbiamo chiamato le proprietà fondamentali del determinante. Per questo è sufficiente provareil risultato seguente.

9 9 Teorema 2. Sia A una matrice n n. Allora det A 0 se e solo se rk A = n. Chiaramente da questo enunciato seguono direttamente anche tutti gli altri risultati enunciati tra le proprietà fondamentali, nella prima pagina. Dimostrazione. A può essere ridotta ad una matrice a scala T mediante eliminazione di Gauss. T è triangolare e ha rango n se e solo se ha tutti i termini diagonali non nulli (deve avere n pivot), quindi se e solo se det T 0. Poiché rk A = rk T e det A = det T, otteniamo la tesi. Nel pratica, per fare i calcoli a mano, spesso conviene semplificare la matrice iniziale, senza cambiare il determinante, con le operazioni della proprietà (4), e poi usare degli sviluppi di Laplace. Esempio 9. Per il calcolo seguente (è lo stesso determinante dell esempio 7) sottraiamo alla terza riga la quarta moltiplicata per 2, e poi usiamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga: = = ( 1) = [nella matrice 3 3 sottraiamo alla seconda colonna la prima moltiplicata per 2, quindi usiamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga] = = 2( 1)3+2 ( 1)( ) = 10

10 10 Formula per l inversa di una matrice. Diamo finalmente la formula per calcolare l inversa di una matrice A con det A 0. Conserviamo le notazioni introdotte per gli sviluppi di Laplace e definiamo A come la matrice che ha come elemento di posizione (i, j) ( 1) i+j A ij e Allora A = t A. AA = (deta)i n, quindi, se det A 0, A 1 = 1 det A A. Infatti, dalle formule di Laplace, si vede facilmente che l elemento di posizione (i, i) di AA è il determinante di A sviluppato rispetto alla i-esima riga, mentre, per i j, l elemento di posizione (i, j) di AA è il determinante della matrice ottenuta da A sostituendo la riga A j con la riga A i, quindi è nullo. Esempi. 10. ( Inversa ) di una matrice 2 2. Consideriamo una ( generica ) matrice 2 2, a b d c A =. Allora dalle definizioni otteniamo A c d = e b a ( ) A d b =. c a quindi, se det A 0, ( A 1 d/ A b/ A = c/ A a/ A ( dove A = ad bc. Ad esempio, se A = quindi A è invertibile e ), ), allora det A = = 3, A 1 = 1 ( ) ( ) = /3 1/3 11. Calcoliamo l inversa della matrice A = Con lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda riga otteniamo det A = 1 (4 2) = 2, quindi A è invertibile. Nelle notazioni precedenti abbiamo

11 11 A 11 = = 4, A 12 = = 0, A 13 = = 1, A 21 = 1 4 = 2, A 22 = 1 4 = 2, A 23 = = 0, A 31 = 1 0 = 2, A 32 = 0 0 = 0, A 33 = = 1. Aggiungendo i segni e trasponendo otteniamo: A = e, dividendo per det A, A 1 = /2 0 1/2

12 12 Applicazione: sistemi lineari di n equazioni in n incognite. Consideriamo un sistema lineare di n equazioni in n incognite Mx = b. La matrice dei coefficienti M è una matrice n n. Dalla teoria dei sistemi lineari sappiamo che il sistema è risolubile se e solo se rk M = rk (M b) e inoltre che, in questo caso, la soluzione è unica se e solo se il rango coincide con il numero delle incognite. Questa seconda condizione equivale a rk M = n e quest ultima implica necessariamente che anche rk (M b) = n. Infatti rk (M b) rk M = n, ma si ha anche rk (M b) n, perché il rango non può superare il numero delle righe. Otteniamo quindi il risultato seguente. Proposizione 4. Il sistema Mx = b ha soluzione unica se e solo se det M 0. Inoltre, in questo caso l unica soluzione del sistema è uguale al vettore M 1 b. Se det M = 0 allora il sistema ha nessuna o infinite soluzioni. In particolare, il sistema omogeneo Mx = 0 ha soluzioni diverse da 0 se e solo se det M = 0. Dimostrazione. La prima affermazione segue direttamente dalla discussione precedente e dalla Proposizione 4. Per provare la seconda affermazione basta osservare che se det M 0 allora M ha inversa e quindi moltiplicando l equazione Mx = b per M 1 si ottiene x = M 1 b. Infine, se det M = 0 allora rk M < n e quindi il sistema omogeneo Mx = 0 ha infinite soluzioni, in particolare ha soluzioni non nulle. Quindi anche Mx = b, se è risolubile, ha infinite soluzioni (ovviamente in questo caso, se b 0, Mx = b può non essere risolubile).

13 Il teorema di Binet. Il teorema che segue, noto come teorema di Binet, asserisce che il determinante del prodotto di due matrici quadrate è il prodotto dei determinanti delle due matrici. Teorema. Siano A e B due matrici n n. Allora 13 det (AB) = det A det B. Omettiamo la dimostrazione. È chiaro che l enunciato si generalizza al prodotto di un numero finito qualunque di matrici. L applicazione più importante del teorema è il corollario seguente. Corollario. Sia A una matrice quadrata invertibile. Allora det (A 1 ) = 1 det A. Dimostrazione. Per il teorema precedente abbiamo che det (A 1 ) det A = det (A 1 A) = det (I) = 1, che equivale alla tesi.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

LeLing12: Ancora sui determinanti.

LeLing12: Ancora sui determinanti. LeLing2: Ancora sui determinanti. Ārgomenti svolti: Sviluppi di Laplace. Prodotto vettoriale e generalizzazioni. Rango e determinante: i minori. Il polinomio caratteristico. Ēsercizi consigliati: Geoling

Dettagli

Definizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im

Definizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im APPUNTI ed ESERCIZI su matrici, rango e metodo di eliminazione di Gauss Corso di Laurea in Chimica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 23 Aprile 2010 Matrici, rango e metodo

Dettagli

Geometria BIAR Esercizi 2

Geometria BIAR Esercizi 2 Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si

Dettagli

LEZIONE i i 3

LEZIONE i i 3 LEZIONE 5 51 Determinanti In questo lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di determinante, descrivendone le proprietà ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli

Dettagli

Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016.

Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016. Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016 Di seguito si riporta il riassunto degli argomenti svolti; i riferimenti sono a parti del Cap8 Elementi di geometria e algebra lineare Par5

Dettagli

Giuseppe Accascina. Note del corso di Geometria e Algebra

Giuseppe Accascina. Note del corso di Geometria e Algebra Giuseppe Accascina Note del corso di Geometria e Algebra Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Anno Accademico 26-27 ii Istruzioni per l uso Faremo spesso riferimento a ciò che è stato

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)

Dettagli

LEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g

LEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g LEZIONE 3 3.. Matrici fortemente ridotte per righe. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa lezione ci poniamo il problema di descrivere

Dettagli

LEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.

LEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati. LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b

Dettagli

Sui determinanti e l indipendenza lineare di vettori

Sui determinanti e l indipendenza lineare di vettori Sui determinanti e l indipendenza lineare di vettori 1 Si dice che m vettori v 1, v 2,,v m di R n sono linearmente indipendenti, se una loro combinazione lineare può dare il vettore nullo solo se i coefficienti

Dettagli

Operazioni tra matrici e n-uple

Operazioni tra matrici e n-uple CAPITOLO Operazioni tra matrici e n-uple Esercizio.. Date le matrici 0 4 e dati λ = 5, µ =, si calcoli AB, BA, A+B, B A, λa+µb. Esercizio.. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ,

Dettagli

Sistemi II. Sistemi II. Elisabetta Colombo

Sistemi II. Sistemi II. Elisabetta Colombo Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 2011-2012, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html 1 2 3 con R.C.+ o 1.10 Rango massimo e determinante con R.C.+

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare. II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss. versione ottobre 2008

Lezioni di Algebra Lineare. II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss. versione ottobre 2008 versione ottobre 2008 Lezioni di Algebra Lineare II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss Contenuto. 1. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare 2. Prodotto di matrici righe

Dettagli

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione

Dettagli

Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori

Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo

Dettagli

Il determinante. Calcolo del determinante di matrici particolari. matrici di ordine 2: sia. a11 a A = allora

Il determinante. Calcolo del determinante di matrici particolari. matrici di ordine 2: sia. a11 a A = allora Calcolo del determinante di matrici particolari matrici di ordine 2: sia allora Esempio. [ ] a11 a A = 12, a 21 a 22 det A = a 11 a 22 a 21 a 12. Calcolare il determinante di [ ] 1 2 A =. 3 4 matrici di

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3 SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni

Dettagli

Applicazioni eliminazione di Gauss

Applicazioni eliminazione di Gauss Applicazioni eliminazione di Gauss. Premessa Nel seguito supporremo sempre di applicare il metodo di eliminazione di Gauss allo scopo di trasformare la matrice del sistema Ax = b in una matrice triangolare

Dettagli

Determinanti. Definizione ed esempi. Definizione ed esempi. Proprietà dei determinanti Rango di matrici

Determinanti. Definizione ed esempi. Definizione ed esempi. Proprietà dei determinanti Rango di matrici Introduzione S S S Rango di matrici Si dice sottomatrice d'una matrice data la matrice ottenuta selezionando un certo numero di righe e di colonne della matrice iniziale. Lezione 24.wpd 08/01/2011 XXIV

Dettagli

Esercitazione 6 - Soluzione

Esercitazione 6 - Soluzione Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione

Dettagli

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3 LEZIONE 4 4.. Operazioni elementari di riga. Abbiamo visto, nella precedente lezione, quanto sia semplice risolvere sistemi di equazioni lineari aventi matrice incompleta fortemente ridotta per righe.

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari

Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017 Elementi di Algebra Lineare

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo Corso di 7 - CALCOLO NUMERICO CON MATRICI Richiami teorici Operazioni fondamentali Siano A = {a ij } e B = {b ij }, i = 1,..., m, j = 1,..., n due

Dettagli

0.1 Condizione sufficiente di diagonalizzabilità

0.1 Condizione sufficiente di diagonalizzabilità 0.1. CONDIZIONE SUFFICIENTE DI DIAGONALIZZABILITÀ 1 0.1 Condizione sufficiente di diagonalizzabilità È naturale porsi il problema di sapere se ogni matrice sia o meno diagonalizzabile. Abbiamo due potenziali

Dettagli

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani

Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa

Dettagli

ESERCIZI SULLE MATRICI

ESERCIZI SULLE MATRICI ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m di m equazioni in n incognite che ha a, a,n A = a m, a

Dettagli

0.1. MATRICI SIMILI 1

0.1. MATRICI SIMILI 1 0.1. MATRICI SIMILI 1 0.1 Matrici simili Definizione 0.1.1. Due matrici A, B di ordine n si dicono simili se esiste una matrice invertibile P con la proprietà che P 1 AP = B. Con questa terminologia dunque

Dettagli

( ) TEORIA DELLE MATRICI. A. Scimone a.s pag 1

( ) TEORIA DELLE MATRICI. A. Scimone a.s pag 1 . Scimone a.s 1997 98 pag 1 TEORI DELLE MTRICI Dato un campo K, definiamo matrice ad elementi in K di tipo (m, n) un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne in una tabella rettangolare del tipo

Dettagli

2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A =

2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A = Esercizio 1. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z = x 2y + z =5 x 4y +6z =10 (1) Soluz. La matrice dei coefficienti è 1 4 6, calcoliamone il rango. Il determinante di A è (applico la regola di Sarrus):

Dettagli

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza. Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari

Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza. Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari Capitolo Sistemi di equazioni lineari.8 Il Teorema di Cramer Si consideri un generico sistema

Dettagli

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala

Dettagli

Matematica II,

Matematica II, Matematica II,.05.04 Diamo qui la nozione di determinante di una matrice quadrata, le sue prime proprieta, e ne deriviamo una caratterizzazione delle matrici non singolari e una formula per l inversa di

Dettagli

I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita

I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare

Dettagli

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,

Dettagli

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Esercizi svolti 1. Matrici e operazioni fra matrici 1.1 Date le matrici 1 2 1 6 A = B = 5 2 9 15 6 risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Osservazione iniziale: qualunque

Dettagli

Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico

Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico Trasformazioni elementari sulle matrici Data una matrice A K m,n definiamo su A le seguenti tre trasformazioni elementari: T : scambiare tra loro due righe (o due colonne) di A; T : sommare ad una riga

Dettagli

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 (15.9) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A A 2 (K) è un punto e r una retta che non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non interseca

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI 1 Rappresentazione di dati strutturati MATRICI E SISTEMI LINEARI Gli elementi di una matrice, detti coefficienti, possono essere qualsiasi e non devono necessariamente essere omogenei tra loro; di solito

Dettagli

Esercizi svolti. delle matrici

Esercizi svolti. delle matrici Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa

Dettagli

DETERMINANTI (PRIMA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE

DETERMINANTI (PRIMA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE DETERMINANTI (PRIMA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2010-11 MARCO MANETTI: 10 DICEMBRE 2010 1. Una formula per il determinante Iniziamo con il definire, per ogni n 0 e per ogni matrice A M n,n (K) un scalare

Dettagli

Punti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali

Punti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali Punti di massimo o di minimo per funzioni di n variabili reali Dati f : A R n R ed X 0 A, X 0 si dice : punto di minimo assoluto se X A, f ( x ) f ( X 0 ) punto di massimo assoluto se X A, f ( x ) f (

Dettagli

Lezione 8: Determinante e Inversa

Lezione 8: Determinante e Inversa Lezione 8: Determinante e Inversa In questa lezione vogliamo descrivere due concetti fondamentali, il determinante, che è un numero associato ad ogni matrice quadrata, e l inversa di una matrice. L importanza

Dettagli

Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari

Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari In questa lezione ci dedicheremo a studiare a fondo quali proprietà della matrice dei coefficienti di un sistema (e della

Dettagli

MATRICI. 1. Esercizi

MATRICI. 1. Esercizi MATICI Esercizio Siano A = 0, B = Esercizi 2, C = 0 2 2 Calcolare: a2a B; b3a + 2B 4C; c 2A + B + 2C 2B; d3b + 2(2A C (A + B + 2C isolvere, se possibile: ( 3X + 2(A X + B + 2(C + 2X = 0; (2 4A + 2(B +

Dettagli

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo.

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo. Capitolo 3 Il campo Z n 31 Introduzione Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo 32 Le classi resto Definizione

Dettagli

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,

Dettagli

Spazi vettoriali euclidei.

Spazi vettoriali euclidei. Spazi vettoriali euclidei Prodotto scalare, lunghezza e ortogonalità in R n Consideriamo lo spazio vettoriale R n = { =,,, n R}, n con la somma fra vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare definiti

Dettagli

Risoluzione di sistemi lineari

Risoluzione di sistemi lineari Risoluzione di sistemi lineari Teorema (Rouché-Capelli) Dato il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b, con A M at(m, n) b R n x R n [A b] si ha che: matrice dei coefficienti, vettore dei termini

Dettagli

Parte 7. Autovettori e autovalori

Parte 7. Autovettori e autovalori Parte 7. Autovettori e autovalori A. Savo Appunti del Corso di Geometria 23-4 Indice delle sezioni Endomorfismi, 2 Cambiamento di base, 3 3 Matrici simili, 6 4 Endomorfismi diagonalizzabili, 7 5 Autovettori

Dettagli

Operazioni elementari e riduzione

Operazioni elementari e riduzione Matrici e sistemi Operazioni elementari Riduzioni di matrici L algoritmo di riduzione 2 2006 Politecnico di Torino 1 Operazioni elementari per righe Sia A M m,n. Introduciamo tre tipi di operazioni che

Dettagli

Matematica II,

Matematica II, Matematica II 181111 1 Matrici a scala Data una riga R = [a 1 a 2 a n ] di numeri reali non tutti nulli il primo elemento non nullo di R si dice pivot di R Cosi il pivot di R compare come j mo elemento

Dettagli

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante

Dettagli

LEZIONE 5. AX = 0 m,1.

LEZIONE 5. AX = 0 m,1. LEZIONE 5 5 isoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per quanto visto nella precedente lezione, sappiamo di poter trasformare,

Dettagli

Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli

Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli In questa lezione vogliamo rivisitare i sistemi lineari e dare alcuni risultati che ci permettono di determinare dato un sistema lineare se ammette soluzioni e da

Dettagli

LEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X),

LEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X), LEZIONE 1 1.1. Matrice di un applicazione lineare. Verifichiamo ora che ogni applicazione lineare f: R n R m è della forma µ A per un unica A R m,n. Definizione 1.1.1. Per ogni j 1,..., n indichiamo con

Dettagli

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala.

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Esercizio.1 Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, risolvere i seguenti sistemi lineari: 1. 3. x 1 x + 3x 3 = 1 x 1 x x 3 = x 1 + x + 3x 3 = 5 x 1

Dettagli

Inversa di una matrice

Inversa di una matrice Geometria Lingotto. LeLing: La matrice inversa. Ārgomenti svolti: Inversa di una matrice. Unicita e calcolo della inversa. La inversa di una matrice. Il gruppo delle matrici invertibili. Ēsercizi consigliati:

Dettagli

1 se k = r i. 0 altrimenti. = E ij (c)

1 se k = r i. 0 altrimenti. = E ij (c) Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare A, G.Parmeggiani LEZIONE 5 Matrici elementari e loro inverse Si fissi m un numero naturale. Per ogni i, j m con i j siano E ij (c) (ove c è uno scalare )

Dettagli

Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale

Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale A. Savo Appunti del Corso di Geometria 3-4 Indice delle sezioni Prodotto scalare in R n, Basi ortonormali, 4 3 Algoritmo di Gram-Schmidt, 7 4 Matrici ortogonali,

Dettagli

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Dati i vettori di R (i) Calcolare il prodotto scalare v w, (ii) Stabilire se v e w sono ortogonali, (ii) Stabilire

Dettagli

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione

Dettagli

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti)

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) April 14, 2011 (alcune note non complete sugli argomenti trattati: eventuali completamenti saranno aggiunti)

Dettagli

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX LEZIONE 3 3 Risoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per la Proposizione 236 sappiamo di poter trasformare, con operazioni

Dettagli

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta

Dettagli

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.

Dettagli

Il teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli Luciano Battaia Questi appunti (1), ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia, campus di Treviso, contengono un

Dettagli

Note sui sistemi lineari

Note sui sistemi lineari Note sui sistemi lineari Sia K un campo e siano m e n due numeri interi positivi. Sia A M(m n, K) e sia b K m. Consideriamo il sistema lineare Ax = b nell incognita x K n (o, se preferite, nelle incognite

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

RIDUZIONE E RANGO , C = 2 5 1

RIDUZIONE E RANGO , C = 2 5 1 MATRICI E SISTEMI RIDUZIONE E RANGO Riduzione di matrici (definizioni, trasformazioni elementari). Calcolo del rango e dell inversa (metodo di Gauss, metodo di Gauss-Jordan). 3 4 Esercizio Ridurre per

Dettagli

Parte 5. Sottospazi. A. Savo Appunti del Corso di Geometria

Parte 5. Sottospazi. A. Savo Appunti del Corso di Geometria Parte 5. Sottospazi A. Savo Appunti del Corso di Geometria 03-4 Indice delle sezioni Sottospazi di R n, Equazioni di un sottospazio di R n, 3 3 Sottospazio intersezione, 6 4 Sottospazio somma, 8 5 Formula

Dettagli

Def. 1. Si chiamano operazioni elementari sulle righe di A le tre seguenti operazioni:

Def. 1. Si chiamano operazioni elementari sulle righe di A le tre seguenti operazioni: Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, G.Parmeggiani LEZIONE 5 Operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A una matrice m n. Def. 1. Si chiamano operazioni elementari sulle righe

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo Corso di 8 - METODI ITERATIVI PER I SISTEMI LINEARI Norme Una norma in R n è una funzione. : R n R tale che x 0 x R n ; x = 0 x = 0; αx = α x ; x

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari

Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra Lineare 1 / 50 index Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5. SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga

Dettagli

4 Autovettori e autovalori

4 Autovettori e autovalori 4 Autovettori e autovalori 41 Cambiamenti di base Sia V uno spazio vettoriale tale che dim V n Si è visto in sezione 12 che uno spazio vettoriale ammette basi distinte, ma tutte con la medesima cardinalità

Dettagli

1. Un sistema di m equazioni lineari in n incognite x 1,... x n aventi tutte termine noto nullo A =...

1. Un sistema di m equazioni lineari in n incognite x 1,... x n aventi tutte termine noto nullo A =... Algebra/ Algebra Lineare, 230207 1 Un sistema di m equazioni lineari in n incognite x 1, x n aventi tutte termine noto nullo a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = 0, i = 1,, m si dice omogeneo; ponendo x

Dettagli

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x 4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto

Dettagli

LeLing9: Prodotto tra matrici.

LeLing9: Prodotto tra matrici. Geometria Lingotto LeLing9: Prodotto tra matrici Ārgomenti svolti: Prodotto tra matrici Dimostrazione del teorema del rango L algebra delle matrici quadrate: Il prodotto tra matrici non e commutativo Rotazioni

Dettagli

Richiami di algebra delle matrici a valori reali

Richiami di algebra delle matrici a valori reali Richiami di algebra delle matrici a valori reali Vettore v n = v 1 v 2. v n Vettore trasposto v n = (v 1, v 2,..., v n ) v n = (v 1, v 2,..., v n ) A. Pollice - Statistica Multivariata Vettore nullo o

Dettagli

Parte 1. Sistemi lineari, algoritmo di Gauss, matrici

Parte 1. Sistemi lineari, algoritmo di Gauss, matrici Parte 1. Sistemi lineari, algoritmo di Gauss, matrici A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Brevi richiami sugli insiemi, 1 Insiemi numerici, 3 3 L insieme R n, 4 4 Equazioni

Dettagli

Risoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni

Risoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni Risoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni Un sistema lineare Ax = b con A R n n, b R n, è sparso quando il numero di elementi della matrice A diversi da zero è αn, con n α. Una caratteristica

Dettagli

Per esempio, una matrice 4 4 triangolare alta ha la forma. 0 a. mentre una matrice di ordine 4 triangolare bassa è del tipo

Per esempio, una matrice 4 4 triangolare alta ha la forma. 0 a. mentre una matrice di ordine 4 triangolare bassa è del tipo Matrici triangolari Prima di esporre il metodo LU per la risoluzione di sistemi lineari, introduciamo la nozione di matrice triangolare Ci limiteremo al caso di matrici quadrate anche se l estensione a

Dettagli

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0. Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari I sistemi di equazioni si incontrano in natura in molti problemi di vita reale. Per esempio, prendiamo in considerazione una bevanda a base di uova, latte e succo d arancia.

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da

Dettagli

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite 3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE Vincenzo Di Gennaro Sono raccolti, in ordine cronologico, gli esercizi di Algebra Lineare proposti nelle prove scritte per i vari corsi di Geometria che ho tenuto presso la

Dettagli

Il determinante. Area(P (v, w)) se si passa da v a w ruotando in senso orario.

Il determinante. Area(P (v, w)) se si passa da v a w ruotando in senso orario. Il determinante Queste note, basate sugli appunti delle lezioni, riepilogano rapidamente la definizione e le proprietà del determinante Vengono inoltre illustrati i metodi di calcolo e alcune dimostrazioni

Dettagli

Esercitazione di Calcolo Numerico 1 22 Aprile Determinare la fattorizzazione LU della matrice a 1 1 A = 3a 2 a 2a a a 2 A =

Esercitazione di Calcolo Numerico 1 22 Aprile Determinare la fattorizzazione LU della matrice a 1 1 A = 3a 2 a 2a a a 2 A = Esercitazione di Calcolo Numerico 22 Aprile 29. Determinare la fattorizzazione LU della matrice a A = 3a 2 a 2a a a 2 ed utilizzarla per calcolare il det(a). 2. Calcolare il determinante della matrice

Dettagli

MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE

MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE DIAGONALIZZAZIONE 1 MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE Matrici ortogonali e loro proprietà. Autovalori ed autospazi di matrici simmetriche reali. Diagonalizzazione mediante matrici

Dettagli

A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5.

A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. Esercizio 5.1. Determinare le ultime tre cifre di n = 13 1625. (Suggerimento. Sfruttare il Teorema di Eulero-Fermat)

Dettagli

Anno 4 Matrice inversa

Anno 4 Matrice inversa Anno 4 Matrice inversa 1 Introduzione In questa lezione parleremo della matrice inversa di una matrice quadrata: definizione metodo per individuarla Al termine della lezione sarai in grado di: descrivere

Dettagli