Serie di Fourier 1. Serie di Fourier. f(t + T )=f(t) t R.

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1 Serie di Fourier 1 Serie di Fourier In questo capitolo introduciamo le funzioni periodiche, la serie di Fourier in forma trigonometrica per le funzioni di periodo π, e ne identifichiamo i coefficienti. Affrontiamo quindi la relazione tra la funzione e la sua serie di Fourier, e formuliamo un teorema di convergenza. Esaminiamo anche come alcune proprietà della funzione (parità, realtà, ecc.) si traducono in termini dei suoi coefficienti di Fourier. Introduciamo poi la rappresentazione esponenziale delle serie di Fourier, ed estendiamo la trattazione a funzioni di periodo qualsiasi. Infine assumiamo il punto di vista dell Analisi Funzionale, e trattiamo la convergenza delle serie di Fourier in L. 1 Funzioni Periodiche Fissata una costante T>0, si dice che una funzione f : R C è periodica di periodo T (o più brevemente T -periodica) 1 se f(t + T )=f(t) t R. Ovviamente, una funzione periodica di periodo T è pure periodica di periodo kt per ogni intero k>1. Ogni funzione periodica continua non costante ha un periodo minimo, detto periodo fondamentale; ogni altro periodo è multiplo intero di quello fondamentale. Ad esempio le funzioni seno, coseno, esponenziale immaginario (ovvero t e it ) sono periodiche di periodo fondamentale π; la funzione tangente è pure periodica di periodo π, ma ha periodo fondamentale π. Siano a R e T>0; una qualsiasi funzione f :[a, a+t [ C può essere estesa in uno ed un solo modo ad una funzione T -periodica f : R C, detta appunto estensione T -periodica di f. Poiché ogni numero reale può essere rappresentato nella forma t+nt per t [a, a+t [en Z opportuni, basta porre f(t + nt ):=f(t) per ogni t ed n. E quindi equivalente studiare una funzione T -periodica f su tutto R o su un qualsiasi intervallo di lunghezza T ; inoltre l integrale a+t f(t) dt è indipendente da a R, se tale integrale esiste per almeno un valore di a. [Es] a Spesso si identifica una funzione periodica con la sua restrizione ad un intervallo di lunghezza pari al suo periodo. Questa rappresentazione presenta alcuni vantaggi; ad esempio, la funzione nulla è l unica funzione periodica di L (R), mentre L (a, a + T ) contiene una gran quantità di funzioni. 3 Si noti comunque che per ogni funzione T -periodica f f C 0 (R) f C 0 ([a, a + T [) e lim f(t) =f(a). (1.1) t (a+t ) Si dice che una funzione f :[a, b[ C è continua a tratti se è continua in tutti i punti salvo al più in un numero finito, nei quali comunque esistono finiti sia il limite sinistro che quello 1 Si definiscono anche la frequenza ν := 1/T elapulsazione ω := πν. La frequenza è misurata in cicli nell unita di tempo, la pulsazione in radianti nell unita di tempo. Anche se nel seguito intenderemo sempre che l estensione è effettuata con periodo T, sarebbe opportuno precisare sempre il periodo. Infatti vi sono infinite altre estensioni periodiche: si potrebbe estendere arbitrariamente la funzione ad un intervallo di lunghezza T >T, e poi prolungarla con periodo T. 3 Estendendo per T -periodicità le funzioni di L (a, a + T ) si ottengono esattamente le funzioni T -periodiche dello spazio L loc (R). Queste funzioni sono anche dette di potenza media finita, poiché 1 T f(t) dt < +; T 0 questa quantità tipicamente rappresenta la potenza dissipata in un ciclo.

2 Metodi Matematici per TLC a.a A. Visintin destro; si chiede anche che esistano il limite destro in a e quello sinistro in b. Si dice che una funzione f : R C è continua a tratti se lo è in ogni intervallo. Si noti che una funzione continua a tratti è limitata, quindi integrabile, in ogni intervallo. Ad esempio, l estensione π-periodica della funzione f :[0, 1[ R : t t è continua a tratti, mentre la funzione tangente non lo è. Analogamente si dice che una funzione f :]a, b[ C è monotòna a tratti se esiste un insieme finito di punti t 0 = a<t 1 <... < t N = b tali che f è o non crescente o non decrescente in ogni intervallo ]t n,t n+1 [(n =0,..., N 1) (questo comportamento può variare da intervallo a intervallo). Si dice anche che una funzione f : R C è monotona a tratti se lo è in ogni intervallo. Ad esempio, le funzioni seno e coseno sono monotone a tratti su ], π[ ed anche su tutto R; la funzione f : t t sin(1/t) è monotona a tratti su ogni intervallo [a, π[ con a>0, ma non su tutto ] π, π[ (e tanto meno su tutto R). Si noti che le funzioni periodiche di un certo periodo costituiscono uno spazio lineare, e che lo stesso vale sia per le funzioni continue a tratti che per quelle monotone a tratti. Rappresentazione Trigonometrica delle Serie di Fourier ed Identificazione dei Coefficienti In questo paragrafo assumiamo che f : R R sia una funzione π-periodica, e la identifichiamo con la sua restrizione ad un qualsiasi intervallo di lunghezza π, ad esempio all intervallo [, π]. Lo sviluppo in serie di Fourier si applica a funzioni periodiche. Qui assumiamo che il periodo sia uguale a π per semplificare certi conti; poi estenderemo facilmente la trattazione a funzioni di periodo qualsiasi. Studiamo allora la possibilità di approssimare f mediante una successione di funzioni della forma S n (t) := a 0 n (a k cos kt + b k sin kt) t R, n N, dette polinomi trigonometrici (di ordine n). Poniamo poi S(t) := a 0 (a k cos kt + b k sin kt) t R, (.1) detta serie di Fourier formale in forma trigonometrica. Parliamo di serie formale poiché tale scrittura non presuppone la convergenza della serie stessa. Con terminologia tratta dall acustica, il termine a 0 /è detto componente continua del segnale; 4 a 1 cos t + b 1 sin t è detto armonica fondamentale; gli addendi corrispondenti agli altri k sono detti armoniche superiori. Ci chiediamo se S = f in R per un opportuna scelta dei coefficienti di Fourier {a 0,a 1,a,...} e {b 1,b,...}. 5 A questo proposito si pongono diversi problemi: (i) Quali funzioni (π-periodiche su tutto R o definite solo su [, π]) ammettono una rappresentazione in serie di Fourier? In tal caso S(t) sarà detta una serie di Fourier vera e propria. 4 Questa denominazione non è delle più felici, poiché anche gli altri addendi sono continui. 5 La scrittura S = f presuppone la convergenza della serie stessa, in un senso ancora da specificare.

3 Serie di Fourier 3 (ii) In che senso è da intendersi la convergenza della serie: puntuale, uniforme, in L (, π), o altro? (iii) Supposto S = f, i coefficienti di Fourier {a k } e {b k } sono individuati da f? (iv) In caso affermativo, come si possono esprimere i coefficienti in termini di f? Le prime due questioni riguardano la regolarità dif (ovvero un elemento qualitativo), le altre due coinvolgono invece degli aspetti quantitativi. Incominciamo proprio da queste ultime due questioni, che sono più vicine alle esigenze applicative. Mostreremo che i coefficienti di Fourier sono individuati da f, e per calcolarli useremo le seguenti identità. Lemma.1 (di Ortogonalità) 0 se k l cos kt cos lt dt = π se k = l 0 π se k = l =0 0 se k l sin kt sin lt dt = π se k = l 0 0 se k = l =0 Dimostrazione. Grazie alla formula di Eulero, k, l N, (.) k, l N, (.3) cos kt sin lt dt =0 k, l N. (.4) cos kt cos lt dt = e ikt + e ikt e ilt + e ilt dt = 1 (e i(k+l)t + e i(k l)t + e i(l k)t + e i(k+l)t ) dt 4 k, l N; grazie all identità fondamentale { π se m =0 e imt dt = 0 se m 0 m N, (.5) consegue allora la (.). La dimostrazione delle (.3) e (.4) è analoga. Secondo l impostazione dell analisi funzionale introdotta nel capitolo dell integrazione, le (.) (.4) esprimono l ortogonalità nel senso del prodotto scalare di L (, π) di ogni coppia di funzioni dell insieme {sin kt, cos kt : k N} = {0, 1, sin t, cos t,..., sin kt, cos kt,...}. (Torneremo su questo aspetto più avanti.) Queste funzioni sono anche continue. Esse appartengono a L p (, π) per ogni p [1, +], tuttavia solo per p = disponiamo di un prodotto scalare. Siamo ora in grado di esprimere i coefficienti {a k } e {b k } in termini della corrispondente funzione f. 6 6 In teoria dei segnali le successioni {a k } e {b k } sono dette lo spettro del segnale f.

4 4 Metodi Matematici per TLC a.a A. Visintin Teorema. Sia f : R R una funzione π-periodica continua. Se la serie (.1) converge uniformemente a S = f, allora a k = 1 π b k = 1 π f(t) cos kt dt (=: a k (f)) per k =0, 1,,... f(t) sin kt dt (=: b k (f)) per k =1,,... (.6) Dimostrazione. In seguito all ipotesi di convergenza uniforme, possiamo scambiare le operazioni di serie e di integrazione. Grazie al lemma di ortogonalità abbiamo f(t) cos lt dt = a 0 cos lt dt + ( ) (a k cos kt + b k sin kt) cos lt dt = a 0 cos lt dt + a k cos kt cos lt dt + b k sin kt cos lt dt (.7) = a l π per l =0, 1,,... (Si noti che questa formula vale anche per l =0: è proprio per ottenere questo che abbiamo scritto il termine costante della serie di Fourier nella forma a 0 /.) Analogamente si ottiene f(t) sin lt dt = b l π per l =1,,... In quest ultimo teorema abbiamo richiesto che la funzione f fosse continua, poiché la dimostrazione si basa sulla convergenza uniforme; tuttavia le formule (.6) hanno senso anche per f L 1 (, π) Questo lascia sperare di poter trattare le serie di Fourier anche per funzioni meno regolari, ad esempio continue a tratti, o soltanto L p per un qualche p (si ricordi che L p (, π) L 1 (, π) per ogni p [1, +]). Nel seguito denoteremo con S f la serie di Fourier formale corrispondente ai coefficienti di Fourier {a k (f)} e {b k (f)}, per una generica funzione f L 1 (, π). Si noti che i coefficienti di Fourier dipendono linearmente dalla funzione f. Ovvero, per ogni coppia di funzioni π-periodiche e continue a tratti f 1,f si ha a k (λ 1 f 1 + λ f )=λ 1 a k (f 1 )+λ a k (f ) λ 1,λ R, k, ed analogamente per i b k. 3 Convergenza della Serie di Fourier In questo paragrafo forniamo delle condizioni sufficienti (non necessarie) per la convergenza della serie formale (.1), e discutiamo l uguaglianza S f = f. Teorema 3.1 (di Convergenza di Dirichlet) Sia f : R R π-periodica, continua a tratti e tale che f sia continua a tratti oppure f sia monotona a tratti. Si ponga f(t) := 1 ( ) lim f(y) + lim f(y) t R. (3.1) y t + y t

5 Serie di Fourier 5 Allora la serie di Fourier di f converge puntualmente alla funzione f; ovvero, definendo a k = a k (f) e b k = b k (f) per ogni k come nella (.6), f(t) = a 0 (a k cos kt + b k sin kt) (=: S f (t)) t R. (3.) Se f è anche continua in un intervallo [a, b] R, allora la sua serie di Fourier converge uniformemente a f = f in [a, b]. 7 Essendo f = f in ogni punto in cui f è continua, la (3.) implica S f = f in ogni punto in cui f è continua, quindi quasi ovunque in ] π, π[ per ogni funzione continua a tratti. * Osservazioni. (i) Mediante la serie di Fourier si può approssimare qualsiasi funzione periodica ad esempio di classe C 1 (quindi soddisfacente le ipotesi del Teorema 3.1) con una serie di funzioni di classe C. Questo può apparire sorprendente, poiché per ogni k una somma finita di funzioni di classe C k è essa pure di classe C k. Tuttavia quest ultima affermazione in generale non vale per le serie, ovvero per le somme infinite; infatti la derivata di una serie di funzioni è uguale alla serie delle derivate solo sotto opportune ipotesi. Ad esempio se f è di classe C 1, allora in seguito al Teorema 3.1 la serie di Fourier di f converge uniformemente a f, ma non è detto che la serie di Fourier di f (che è solo di classe C 0 a priori) converga a f. (ii) Per le (.6), ciascun coefficiente di Fourier dipende da f attraverso un integrazione, e quindi non risente del comportamento di f in specifici punti; pertanto, se si modifica f solo in un punto t (o più in generale in un sottoinsieme di R di misura nulla), S f ( t) non può cambiare. Il Teorema di convergenza 3.1 ci dice che f = S f nei punti in cui f è continua. I motivi per cui questo avvenga non sono ovvi: per rendersene conto occorrerebbe esaminare la dimostrazione. Tuttavia è chiaro che per quei punti non si può ripetere il ragionamento appena esposto, perchè modificando la f in un punto ivi verrebbe meno la continuità. (iii) Ciascun coefficiente di Fourier dipende dal comportamento globale di f, per via della (.6); tuttavia, contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, in seguito al Teorema 3.1 per ogni t ], π[ il valore della somma S f ( t) dipende solo dal comportamento di f in prossimità di t. Più precisamente si ha il seguente risultato. Corollario 3. * (Principio di Localizzazione di Riemann) Siano f 1,f : R R π-periodiche e continue a tratti, e si ponga per j =1, S n (j) (t) := a 0(f j ) + Se f 1 = f in un intervallo ]a, b[ R, allora n [a k (f j ) cos kt + b k (f j ) sin kt] t ] π, π[, n N. S (1) n (t) S () n (t) 0 t ]a, b[. 7 Può sembrare abbastanza naturale che, se la serie di Fourier converge in un punto in cui il limite sinistro l s e quello destro l d della funzione esistono finiti, il limite della serie coincida con il valore intermedio (l s + l d )/. Naturale o meno che sia, anche questa affermazione vale solo in quanto dimostrata. Indicandola come teorema, intendiamo che è stata dimostrata, anche se non ne riportiamo la dimostrazione. Comunque in matematica non mancano affermazioni apparentemente altrettanto naturali, ma clamorosamente smentite da controesempi (e quindi non dimostrabili).

6 6 Metodi Matematici per TLC a.a A. Visintin Ovvero, se una funzione periodica è tale che si può scrivere il suo sviluppo di Fourier, allora il comportamento della serie di Fourier in un punto (essenzialmente il fatto che converga a omeno) dipende solo dal comportamento della funzione in un intorno arbitrariamente piccolo di quel punto. Questo risultato non è banale, poiché i coefficienti di Fourier dipendono dal comportamento globale della funzione. Esso comunque è meno sorprendente se si considera la funzione h = f 1 f, e si osserva che per ipotesi h 0 nell intervallo ]a, b[. (iv) Nei pressi dei punti di discontinuità dif, per ogni intero n 1 la somma parziale a n 0 (a k cos kt + b k sin kt) presenta delle oscillazioni attorno al valore limite. Per n queste oscillazioni diventano sempre più piccole, in modo da consentire la convergenza uniforme della serie di Fourier in ogni intervallo in cui f è continua, coerentemente col Teorema 3.1. In prossimità dei punti di discontinuità dif esse comunque non si smorzano. Si consideri ad esempio la funzione segno nell intervallo ] π, π[: f(t) := 1 se π<t<0, f(0) := 0, f(t) :=1 se0<t<π. allora S f,n f puntualmente in ] π, π[, e la convergenza è uniforme in ogni sotto-intervallo chiuso che non contiene lo 0. Tuttavia si può dimostrare che per ogni n t n ]0,π[: S f,n (t n ) (3.3) t n ] π, 0[: S f,n (t n) ; per quanto osservato, sia t n che t n convergono a 0 per n. Questo è noto come il fenomeno di Gibbs, e si presenta nei pressi di ogni punto di discontinuità. 4 Funzioni Pari e Dispari In questo paragrafo trattiamo degli aspetti essenzialmente algoritmici; supponiamo quindi che f : R R sia una funzione così regolare da garantire che f = S f. Ad esempio in base al teorema di convergenza questo vale ee f è una funzione π-periodica di classe C 1. Si dice che f è pari f( t) =f(t) t R, (4.1) f è dispari f( t) = f(t) t R. (Queste definizioni valgono anche se f è definita solo in un sottoinsieme di R simmetrico rispetto all origine.) È immediato verificare che il prodotto di due funzioni pari o di due funzioni dispari è pari, mentre il prodotto di una funzioni pari ed una dispari è dispari (il che può forse spiegare questa terminologia). Si noti anche che la funzione potenza t t n è pari se n è pari, mentre è dispari se n è dispari. Il coseno è pari, seno e tangente sono dispari; lo stesso vale per le corrispondenti funzioni iperboliche. Ogni funzione f : R R può essere decomposta nella somma di una funzione pari ed una dispari: f p (t) := f(t)+f( t) (pari) f d (t) := f(t) f( t) (dispari) f(t) =f p (t)+f d (t) t R. (4.)

7 Serie di Fourier 7 Si noti che f è pari (dispari, risp.) f d 0(f p 0, risp.). 8 Poiché il coseno è pari ed il seno è dispari, è facile verificare che f p (t) = a 0 a k cos kt, f d (t) = b k sin kt t R (ricordiamo che stiamo supponendo che f = S f ); queste sono dette rispettivamente serie di coseni e serie di seni. Quindi Inoltre f pari f(t) =f p (t) = a 0 a k cos kt t R, f dispari f(t) =f d (t) = b k sin kt t R. f pari a k = π 0 f(t) cos kt dt, b k =0 k, f dispari a k =0, b k = f(t) sin kt dt k. π 0 Per verificare queste ultime due affermazioni basta notare che i rispettivi integrandi sono pari, e quindi i corrispondenti integrali estesi a [0,π] sono uguali alla metà degli integrali su [, π]. Esempio 1. Si consideri la funzione [, π[ R : t t, e sia f la sua estensione π-periodica a tutto R. La funzione f è dispari, quindi può essere rappresentata come serie di soli seni: essendo b k = t sin kt dt = π 0 k cos kπ =( 1)k+1 per k =1,,..., k per la serie di Fourier formale si ottiene S f (t) = ( 1) k+1 k sin kt = sin t sin t + sin 3t t ] π, π[. Per applicare il Teorema 3.1 di convergenza occorre ora valutare la regolarità della funzione: si verifica facilmente che sia f che f sono continue a tratti, ed f ha dei salti solo in kπ con k Z. Quindi f(t) =S f (t) t R \{kπ : k Z}, f(t) =0 t {kπ : k Z}. La funzione f è continua in ogni intervallo [a, b] ] π, π[, ma non in tutto [, π]; pertanto la serie di Fourier S f converge uniformemente a f in ogni intervallo [a, b] ] π, π[, ma non in tutto [, π]. Esempio. Sia g l estensione π-periodica della funzione [, π[ R : t t. Questa funzione è pari, quindi può essere rappresentata mediante una serie di soli coseni: essendo a k = per k =0 π t cos kt dt =... = 0 per k = pari 0 π 0 4/(πk ) per k = dispari, 8 g 0 significa che g è identicamente nulla, ovvero g(t) = 0 per ogni t. (4.3) (4.4)

8 8 Metodi Matematici per TLC a.a A. Visintin si perviene a S g (t) = π 4 π = π 4 π 1 cos(k +1)t (k +1) ( cos t 1 3 cos 3t cos 5t +...) t ] π, π[. (4.5) Si verifica facilmente che f è continua su tutto R e f è continua a tratti. Per il Teorema 3.1 quindi f(t) =S f (t) per ogni t R, es f converge uniformemente in tutto R. Tra l altro per t = π si ottiene una rappresentazione di π : π = π + 4 π 1 (k +1), ovvero π 8 = 1 (k +1) = Esempio 3. Sia h(t) := tan t per ogni t π/+kπ con k Z. Questa funzione non è continua a tratti, quindi non possiamo applicare il Teorema 3.1. * Osservazione. Le funzioni f e g dei due esempi precedenti coincidono in [0,π[, ed in questo intervallo si possono rappresentare sia come serie di seni che come serie di coseni. Questo non contraddice la (4.3), poiché questa doppia rappresentazione vale solo su una parte dell insieme di definizione delle funzioni f e g. D altra parte i coefficienti della serie di Fourier, in quanto integrali, dipendono dal comportamento della funzione in tutto l intervallo [, π[. È quindi naturale che due funzioni che coincidono solo in parte dell insieme di definizione abbiano due diverse rappresentazioni in serie di Fourier. Sia ora f : R R π-periodica e continua, si definiscano gli a k eib k come in (.6), si ponga ρ 0 := a 0 /eθ 0 = 0. Per ogni k N siano ρ k 0eθ k [0, π[ tali che ρ k := a k + b k e, se ρ k > 0, cos θ k = a k ρ k, sin θ k = b k ρ k k N \{0}; (4.6) si noti che i θ k sono univocamente determinati se ρ k > 0. Se invece ρ k = 0 si scelga un qualsiasi valore per θ k.sipuò allora riscrivere la serie (.1) nella forma equivalente S f = a 0 (a k cos kt + b k sin kt) = ρ k cos(kt + θ k ) t R; (4.7) In teoria dei segnali i numeri ρ k e θ k sono rispettivamente detti ampiezza e fase della frequenza k-esima del segnale f; le corrispondenti successioni {ρ k } e {θ k } sono rispettivamente dette spettro di ampiezza e spettro di fase. Poiché cos α = sin(α + π/) per ogni α R, ponendo θ k := θ k + π/ la (4.7) è anche equivalente a S f = ρ k sin(kt + θ k ) t R. (4.8)

9 Serie di Fourier 9 5 Rappresentazione Esponenziale delle Serie di Fourier Abbiamo esaminato le serie di Fourier in forma trigonometrica per funzioni a valori reali; nulla impedisce di estendere quegli sviluppi a funzioni a valori complessi, dal momento che grazie alla linearità la trasformazione f ({a k (f)}, {b k (f)}) può essere applicata sia alla parte reale che quella immaginaria. In tal modo si ottiene una rappresentazione della forma (.1), ma con spettro complesso, esso pure dato dalle formule (.6). In questo paragrafo studieremo una diversa rappresentazione che si applica alle funzioni a valori complessi periodiche (anche qui assumendo che il periodo sia π per comodità). Una serie di Fourier formale S(t) := a 0 (a k cos kt + b k sin kt) t R (5.1) può essere espressa equivalentemente mediante esponenziali complessi, poiché grazie alle formule di Eulero cos kt = eikt + e ikt, sin kt = eikt e ikt t R. i Ponendo c 0 := a 0, c k := a k ib k, c k := a k + ib k k N \{0}, (5.) la (5.1) fornisce S(t) = c k e ikt. (5.3) Quest ultima è detta serie di Fourier formale in forma esponenziale. In questo caso le relazioni di ortogonalità (.), (.3) e (.4) assumono una forma particolarmente semplice: { 0 se k l e ikt e ilt dt = π se k = l k, l Z; (5.4) grazie a queste relazioni, il procedimento di calcolo utilizzato per ricavare le(.6) fornisce c k := 1 f(t)e ikt dt π k Z. (5.5) Le formule (5.) sono ovviamente equivalenti a a k = c k + c k per k =0, 1,,... b k = i(c k c k ) per k =1,,... (5.6) Valore Principale. Resta da definire la somma della serie doppia c k e ikt, scrittura questa che è da intendersi come equivalente a k= c k e ikt. Occorre scegliere tra due alternative: oppure n + c k e ikt = n lim c k e ikt + n lim c k e ikt t R, (5.7) n c k e ikt = n lim c k e ikt t R. (5.8) k= n

10 10 Metodi Matematici per TLC a.a A. Visintin In questo caso quest ultima è la definizione corretta: è detta somma della serie doppia nel senso del valore principale, ed è anche indicata con V.P. c k e ikt. Si noti che la convergenza di due serie numeriche corrispondente serie doppia nel senso del valore principale: V.P. α k := lim n n k= n α k = + + α k α k + e + + α k α k, implica quella della ma non sempre vale il viceversa. Un semplice controesempio è ottenuto ponendo α k := k per ogni k Z; infatti in questo caso l espressione V.P. α k =0, mentre + α k + + α k + k =+, + ( k) = ; non ha senso, poiché corrisponde alla forma indeterminata (+)+( ). 9 Nel seguito trattando di serie doppie le intenderemo sempre nel senso del valore principale, ed ometteremo di scrivere V.P.. 10 Mediante le formula di trasformazione (5.) e (5.6), è facile verificare che intendere la serie di Fourier c k e ikt nel senso del valore principale equivale a scrivere la serie di Fourier in forma reale come a 0 (a k cos kt + b k sin kt) piuttosto che a 0 a k cos kt + b k sin kt. (Ovviamente è più restrittivo richiedere la convergenza di entrambe queste due ultime serie piuttosto che quella della serie della somma.) Funzioni Pari e Dispari. Denotando con c la funzione Z C : k c k e con ir l insieme dei numeri immaginari, si verifica facilmente che f pari c k = c k k Z, f dispari c k = c k k Z, f(t) R t c k = c k k Z, f(t) ir t c k = c k k Z; [Es] (5.9) 9 Per le serie a termini positivi le due nozioni di convergenza sono equivalenti. (Non lo dimostriamo, però è chiaro che in tal caso sono escluse compensazioni come nel controesempio). Lo stesso vale per le serie assolutamente convergenti. 10 Una definizione analoga può essere introdotta a proposito degli integrali di funzioni limitate su insiemi + +1 illimitati o di funzioni illimitate su insiemi limitati. Ad esempio gli integrali tdte 1/t dt non esistono, 1 né come integrali di Riemann generalizzati né come integrali di Lebesgue. Tuttavia si possono definire gli integrali nel senso del valor principale: + m V.P. tdt:= lim tdt(= 0), m + m ( ε V.P. dt := lim 1 t ε t dt + ε ) 1 t dt (= 0). Ancora una volta incontriamo una stretta analogia tra integrali e serie (l analogia tra somme continue e somme discrete...).

11 Serie di Fourier 11 ovvero, denotando con c la successione doppia Z C : k c k, f pari c è pari, f dispari c è dispari, f(t) R t Re(c) è pari, Im(c) è dispari, f(t) ir t Re(c) è dispari, Im(c) è pari. [Es] (5.10) Il passaggio dalla funzione f alle successioni dei coefficienti di Fourier {(a k,b k )} o {c k } è interpretato come un processo di analisi; l operazione inversa che porta dai coefficienti di Fourier alla funzione f è interpretato come sintesi. In teoria dei segnali la successione doppia {c k } è denominata lo spettro del segnale f. (analogamente a quanto si vedrà per la trasformazione di Fourier). 11 Rappresentazione Esponenziale Alternativa. In analogia con la (4.7), si noti che per ogni k Z, c k = r k e iϕ k,perrk 0eϕ k R opportuni. Pertanto S f (t) = c k e ikt = r k e i(kt+ϕ k) t R. (5.11) Osservazione. Disponiamo quindi di quattro rappresentazioni S (1) f,..., S(4) f serie di Fourier formale di una funzione π-periodica: (i) due rappresentazioni in forma trigonometrica per f : R R: per lo sviluppo in S (1) f (t) :=a 0 (a k cos kt + b k sin kt) (a k,b k R), (5.1) S () f (t) := ρ k cos(kt + θ k ) (ρ k,θ k R); (5.13) (ii) due rappresentazioni in forma esponenziale per f : R C: S (3) f (t) := c k e ikt (c k C), (5.14) S (4) f (t) := r k e i(kt+ϕ k) r k R +,ϕ k R. (5.15) Si noti che Re(S (4) f (t)) = r 0 cos ϕ 0 + r k [e i(kt+ϕk) + e i(kt+ϕk) ] = r 0 cos ϕ 0 + r k cos(kt + ϕ k ) r k R +,ϕ k R, (5.16) che è della forma (5.13). La rappresentazione esponenziale è più semplice di quella trigonometrica ed il suo uso conduce a dei conti più agevoli. Nel caso di funzioni a valori reali la rappresentazione trigonometrica comunque consente di sviluppare la trattazione in ambito reale. 11 A volte si dice che le successioni {a k }, {b k } costituiscono lo spettro reale, mentre la {c k } èlospettro complesso. Questa terminologia è un po fuorviante, poiché nulla vieta di usare la rappresentazione trigonometrica anche per le funzioni a valori complessi, ottenendo quindi coefficienti {a k } e {b k } complessi.

12 1 Metodi Matematici per TLC a.a A. Visintin Come abbiamo visto, questi sviluppi in serie sono equivalenti: si passa da uno all altro mediante semplici formule di trasformazione lineari dei coefficienti di Fourier (siano essi reali o complessi). I coefficienti a k,b k,c k degli sviluppi di Fourier (5.1) e (5.14) dipendono linearmente dalla funzione f; questo invece non vale per i coefficienti ρ k,θ k,r k,ϕ k delle rappresentazioni (5.13) e (5.15), che sono ricavati dagli a k,b k,c k mediante trasformazioni non lineari. 5.1 Funzioni con Periodo Diverso da π Se f è periodica di periodo T π, allora f(τ) :=f(tτ/π) è una funzione π-periodica. Partendo dallo sviluppo in serie di Fourier formale S f(τ) = a 0 (a k cos kτ + b k sin kτ) τ R, mediante la trasformazione di variabile τ t := Tτ/(π) siha con S f (t) =S f a k = 1 π ( π T t ) = a 0 + f(τ) cos kτ dτ = T ( a k cos kπ T t + b k sin kπ ) T t T/ T/ T/ t R, f(t) cos kπ tdt per k =0, 1,,... T b k = 1 f(τ) sin kτ dτ = f(t) sin kπ tdt per k =1,,... π T T/ T Pertanto tutti i risultati precedenti si estendono facilmente a S f. Analogamente ( ) π S f (t) =S f T t = c k e πikt/t t R, con c k = 1 π f(τ)e ikτ dτ = 1 T T/ T/ f(t)e πikt/t dt k Z. (5.17) 6 Il Punto di Vista dell Analisi Funzionale Sappiamo che lo spazio di funzioni L (, π) e lo spazio di successioni l sono entrambi dotati di prodotto scalare: (f,g) L (,π) := 1 f(t)[g(t) ] dt π ({c k }, {d k }) l := c k [d k] {c k }, {d k } l. f,g L (, π), (6.1) Per queste funzioni ha senso scrivere le formule dei coefficienti di Fourier, poiché L (, π) L 1 (, π). Vedremo ora che l operazione che trasforma una funzione di L (, π) nei suoi coefficienti di Fourier stabilisce una corrispondenza particolarmente interessante tra gli spazi L (, π) el.

13 Serie di Fourier 13 Teorema 6.1 Ogni funzione f L (, π) è sviluppabile in serie di Fourier. Più precisamente, definiti i coefficienti {a k }, {b k }, {c k } come in (.6) e (5.5), f(t) = a 0 k cos kt + b k sin kt) = (a c k e ikt q t R. (6.) Queste serie convergono in L (, π), ovvero per n + f(t) a 0 n (a k cos kt + b k sin kt) L 0, f(t) k=n k= n c k e ikt L 0. (6.3) (Grazie al risultato di Carleson del 1966 queste serie convergono anche quasi per ogni R.) Formule analoghe valgono per le rappresentazioni (5.13) e (5.15). Teorema 6. (di Parseval) Siano f, f L (, π), e siano S f (t) := a 0 k cos kt + b k sin kt) = (a c k e ikt q t R (6.4) S f(t) :=ã0 k cos kt + (ã b k sin kt) = c k e ikt i rispettivi sviluppi in serie di Fourier. Allora f(t) f(t) dt = π a 0ã 0 + π k ã (a k + b k b k )=π c k c k ; (6.5) f(t) dt = π a 0 + π k ( a + b k )=π c k (< +). (6.6) Dimostrazione. Per verificare la prima uguaglianza di (6.5), basta scrivere f(t) f(t) in termini dei coefficienti di Fourier {a k } e {b k }, sviluppare il prodotto, quindi integrare ed usare le proprietà di ortogonalità (.) (.4). [Es] Analogamente grazie alla (5.4) f(t) f(t) ( dt = c k e ikt)( ) c le ilt dt l Z = c k c l l Z e i(k l)t dt =π c k c k =π c k. (Ancora una volta abbiamo scambiato le operazioni di serie e di integrale; questo risulta lecito in L (, π)...) Infine ponendo f = f nella (6.5) si ottiene la (6.6). Quindi il passaggio da f ai suoi coefficienti di Fourier {c k } trasforma linearmente funzioni di L (, π) in successioni di l, e conserva norma e prodotto scalare (a meno di un fattore costante). E reciprocamente per il passaggio dai coefficienti alla serie di Fourier. La (6.6) esprime l uguaglianza tra l energia del segnale periodico f e la somma delle energie delle sue componenti armoniche.

14 14 Metodi Matematici per TLC a.a A. Visintin Proposizione 6.3 Sia f L (, π) e sia (6.) il suo sviluppo in serie di Fourier. Se f L (, π) allora f (t) = k( a k sin kt + b k cos kt) = ikc k e ikt q t R. (6.7) f (t) dt = π k ( a k + b k )=π k c k (< +). (6.8) Analogamente, per ogni intero n 1, sef,..., f (n) L (, π) allora 1 f (n) (t) =... = (ik) n c k e ikt q t R, (6.9) k n f (n) (t) dt = π k n ( a k + b k )=π k n c k (< +). (6.10) k=n k n 1 Omettiamo la formula della derivata n-esima della serie di Fourier in forma trigonometrica S f (t) = a 0 /+ (a k cos kt + b k sin kt) perché richiederebbe una distinzione dei diversi valori di n, in quanto la derivazione trasforma seni in coseni e viceversa. È invece molto agevole derivare la serie di Fourier in forma esponenziale, poiché la derivata di un esponenziale è un esponenziale: questo è uno dei vari vantaggi offerti da tale rappresentazione.

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