Appendice 1 Elementi di elettrotecnica

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1 Appendice Elementi di elettrtecnica ntrduzine Questa appendice ha l scp di richiamare alcuni cncetti fndamentali di elettrtecnica, necessari per un adeguat sstegn al crs di elettrnica. prerequisiti indispensabili per affrntare gli argmenti prpsti sn cstituiti dalla cnscenza di alcune nzini essenziali sull argment elettricità (che dvrebber essere già state acquisite dall studente in crsi prpedeutici), quali crrente elettrica, ptenziale e caduta di tensine, frza elettrmtrice, resistenze, cllegamenti in serie e in parallel. A. Definizini generali Per circuit elettric si intende un insieme di elementi cllegati tra lr tramite linee cnduttrici in md tale che la ptenza ergata dai generatri venga trasferita agli utilizzatri. n questa appendice ci limiterem a cnsiderare i circuiti elettrici alimentati cn una tensine cntinua. Generatre di tensine Definiam innanzitutt il generatre ideale e il generatre reale di tensine. Si definisce generatre ideale di tensine quel generatre che frnisce ai sui mrsetti una d.d.p. (differenza di ptenziale) cstante qualunque sia la crrente ergata al caric. n altri termini, il generatre ideale di tensine ha una resistenza interna nulla. l su simbl e la sua caratteristica tensine/crrente (/) sn riprtati in Figura A..

2 Si definisce generatre reale di tensine quel generatre che genera ai sui mrsetti una d.d.p. funzine della crrente ergata al caric. l generatre reale di tensine è caratterizzat da una resistenza interna che causa una c.d.t. (caduta di tensine) prprzinale alla crrente ergata; in Figura A. sn riprtati il su simbl e la caratteristica /. Un generatre reale di tensine può essere schematizzat cme un generatre ideale in serie a una resistenza che rappresenta la sua c.d.t. interna. Caratteristica del generatre reale di tensine Definiam il cmprtament del generatre reale di tensine nei due casi limite di funzinament. n assenza di caric la crrente ergata dal generatre è nulla, pertant la tensine ai mrsetti aperti A e B è prpri e rappresenta la tensine a vut (Figura A.). L altr cas limite si verifica quand i mrsetti A e B sn crtcircuitati: l elevata crrente che ne cnsegue è definita di crtcircuit ed è legata alla tensine a vut dalla relazine:. Per pter tracciare nel pian / la caratteristica statica del generatre è sufficiente scrivere, servendsi della legge di Ohm (si veda il Paragraf A.), l espressine di AB : AB - esempi A. Un generatre presenta una tensine a vut 50 e una 0Ω. Se la resistenza di caric L è di KΩ (Figura A.3), determiniam: )la crrente di crtcircuit;

3 )l errre percentuale della tensine AB se si trascura la c.d.t. interna del generatre. La crrente di crtcircuit vale: / 5A mentre la crrente di caric è: 49, 5 + L ma La tensine AB, cnsiderand ideale il generatre, ammnta a AB 50, mentre cn la c.d.t. interna si ha AB L 49,5. L errre percentuale cmmess è dunque e % AB AB ' AB 00 % Cn il caric assegnat l errre cmmess nel cnsiderare il generatre ideale è accettabile. l cmprtament di un generatre reale di tensine è accettabile quand, nel passaggi dal funzinament a vut a quell stt caric, la tensine ai sui mrsetti subisce una variazine trascurabile. Generatre di crrente Un generatre ideale di crrente è un generatre che erga una crrente cstante anche se, variand il caric, varia la tensine frnita ai mrsetti.

4 l generatre ideale di crrente è caratterizzat da una resistenza interna infinita. È in definitiva il duale del generatre ideale di tensine. l simbl e la caratteristica / sn riprtati in Figura A.4. n pratica, una parte della crrente ergata viene assrbita dalla sua resistenza interna, che ha un valre finit. Un generatre reale di crrente è schematizzabile cme un generatre ideale cn in parallel una resistenza finita (Figura A.5). l generatre reale di crrente è quel generatre che erga una crrente variabile in funzine del caric.

5 Caratteristica del generatre reale di crrente Definiam il cmprtament del generatre reale di crrente nei due casi limiti di funzinament. La cndizine di lavr più gravsa per il generatre è cstituita dal funzinament a vut, piché tutta la crrente ergata circla nella sua resistenza interna. Sul grafic di Figura A.5 questa situazine è rappresentata dal punt di ascissa 0 e rdinata. Se i mrsetti A e B sn cllegati in crtcircuit la crrente circla nel ram AB senza interessare la resistenza interna. n quest cas il punt di funzinament si trva sull asse delle ascisse e ha crdinate ( ;0). Quand il generatre alimenta un caric qualsiasi il punt di lavr è intermedi tra i due casi limite esaminati. La crrente ergata si divide in parte nel caric () e per la parte restante nella resistenza interna ( ). esempi A. Pnend in crtcircuit i mrsetti di un generatre reale è stata misurata una crrente di A cn una resistenza interna di 80KΩ. Calcliam il range di valri che può assumere la resistenza di caric affinché la variazine relativa massima della crrente da crtcircuit a caric sia del 0%. La crrente di crtcircuit misurata di deve avere una variazine relativa massima del 0%, pertant la crrente nel caric L nn deve scendere stt il valre di 0,9A. Sapend che L / ( + L ), si ricava cn facili passaggi: Sstituend i valri risulta: L KΩ. L L L

6 A. Legge di Ohm Ai capi di una resistenza percrsa da una crrente si stabilisce una caduta di tensine direttamente prprzinale alla crrente stessa. La relazine matematica che lega la c.d.t. e la crrente è dunque. Piché la crrente si spsta da un punt a ptenziale maggire vers un punt a ptenziale minre, indicherem cn il segn psitiv il mrsett di entrata della crrente nella resistenza e cn il segn negativ quell di uscita. Per cnvenzine la c.d.t. ai capi della resistenza ha vers cntrari a quell della crrente (Figura A.7). Prendiam in cnsiderazine il circuit chius di Figura A.8 e applichiam a ess la legge di Ohm.

7 Fissiam un vers cnvenzinale per la circlazine della crrente, precisand che qualra il vers effettiv sia cntrari a quell fissat, le nstre cnclusini resterann cmunque valide. Per quant stabilit precedentemente le c.d.t. ai capi di gni resistenza sn nte e vengn indicate in figura. Nel circuit chius di Figura A.8 la smma algebrica delle due frze elettrmtrici (f.e.m.) deve essere equilibrata dalla smma di tutte le c.d.t. sulle resistenze. Matematicamente ciò si esprime cn la seguente frmula: ΣEΣ. Dunque: E E + + ( + + ) l valre della crrente è dat da: E E + + A.3 Partitre hmic di tensine Applichiam la legge di Ohm al circuit di Figura A.9, cstituit da un generatre ideale di tensine e da due resistenze in serie. La c.d.t. della è data da, da cui deriva /. Analgamente per :, da cui deriva /. Dat che le due crrenti sn uguali pssiam scrivere: ppure

8 Si può trarre la seguente cnsiderazine generale: Le c.d.t. ai capi delle resistenze sn direttamente prprzinali alle resistenze stesse. Tenend presente che la smma delle due tensini e è pari alla f.e.m. del generatre E: + + ; E + ; E + Analgamente per : E + La f.e.m. del generatre si suddivide nelle due tensini e : il cllegament di due resistenze in serie prende perciò il nme di partitre hmic di tensine. A.4 Derivatre hmic di crrente Nel circuit di Figura A.0 due resistenze cllegate in parallel frman un derivatre hmic di crrente. Applichiam la legge di Ohm: ;.

9 Essend uguale la tensine ai capi delle due resistenze si può scrivere: da cui si ricava: n un derivatre hmic la crrente che circla in una resistenza è inversamente prprzinale alla resistenza stessa. La crrente ttale è data dalla smma delle due crrenti e : +. Pssiam perciò scrivere: + + ; + ; + Analgamente per : + A.5 Principi di Kirchhff Nn sempre i circuiti elettrici si presentan cn una struttura semplice cme quelli esaminati nei paragrafi precedenti: spess sn cstituiti da vari elementi cllegati tra lr in serie e in parallel in md tale che è pssibile individuare diversi percrsi itinerari per la crrente elettrica. Si parla in quest cas di rete elettrica cstituita da rami, ndi e maglie. ndi sn i punti in cui cnvergn ( da cui divergn) più lati del circuit. rami ( lati ) sn tratti di circuit cmpresi tra due ndi. Si definisce maglia un insieme di rami che frman percrsi chiusi. principi di Kirchhff rappresentan un metd per la risluzine ttale di una rete elettrica, nel sens che cnsentn di determinare tutte le incgnite del prblema (nrmalmente le crrenti piché di slit le tensini dei generatri e le resistenze sn nte). Prim principi di Kirchhff Cnsideriam un nd al quale fann cap alcuni rami del circuit (Figura A.). Assumiam la cnvenzine di cnsiderare psitive le crrenti entranti e negative le crrenti uscenti dal nd.

10 l prim principi di Kirchhff afferma che: Per gni nd la smma algebrica delle crrenti è uguale a zer. La precedente relazine, esprimibile in frma matematica cn equazine ai ndi Σ0, può essere scritta anche nella frma: Σ entranti Σ uscenti, ssia: la smma delle crrenti entranti è uguale alla smma delle crrenti uscenti. Per il nd di Figura A., per esempi, l equazine ai ndi si scrive: Se in un circuit vi sn n ndi, il prim principi di Kirchhff si applica sl ai ndi indipendenti, che sn n-. L n-sim nd è definit dipendente perché applicand a ess il prim trinci di Kirchhff. Si ricava un infrmazine già nta. La scelta dei ndi indipendenti è del tutt arbitraria. Secnd principi di Kirchhff n un circuit, avente n ndi e l lati, vi sn l-n+ maglie indipendenti. l secnd principi di Kirchhff precisa che: n gni maglia la smma algebrica delle f.e.m. dei generatri è uguale alla smma algebrica delle c.d.t. sulle resistenze: ΣEΣ. l sistema di equazini csì ttenute (l-n+) equazini alle maglie e n- equazini ai ndi) rende determinat il prblema, ssia permette di calclare le crrenti che circlan nei lati del circuit.

11 esempi A.3 Servendsi dei principi di Kirchhff rislviam il circuit di Figura A.. l circuit è cstituit da due ndi (A e B) e da tre lati. Scegliam cme nd indipendente il punt A e cme maglie indipendenti ABEFA e BCDEB. Per applicare il secnd principi di Kirchhff a una maglia è necessari scegliere un vers psitiv per le tensini (per esempi quell rari) e di cnseguenza attribuire a esse un segn. Scegliam inltre un vers arbitrari alle crrenti che circlan in gni ram; se dai calcli tterrem dei valri negativi dedurrem che i versi scelti sn cntrari a quelli effettivi. Nd A: + 3 Maglia ABEFA: E + E Maglia BCDEB: E Sstituend i valri e rislvend il sistema si ttengn i seguenti risultati: +,4A; -0,A; 3 +,6A. A.6 Principi di svrappsizine degli effetti l principi di svrappsizine degli effetti è un metd ttale di studi e si applica ai circuiti lineari (ssia quei circuiti cstituiti da dispsitivi per i quali esiste una relazine di prprzinalità tra la tensine e la crrente). Ess afferma che:

12 La crrente circlante in gni ram, prdtta da più generatri agenti cntempraneamente nel circuit, è la smma delle crrenti circlanti in quell stess ram ed ergate dai singli generatri agenti singlarmente. n pratica, si devn studiare tanti circuiti quanti sn i generatri, supprre ciè che i generatri agiscan un alla vlta, calclare le crrenti circlanti e infine smmarle algebricamente. Quand si suppne che nel circuit agisca un generatre tutti gli altri vann spenti, vver crtcircuitati se sn di tensine e aperti se sn di crrente. esempi A.4 islviam il circuit dell esempi A.3 cn il principi di svrappsizine degli effetti. Nella rete elettrica dell esempi A.3 sn presenti due generatri di tensine, pertant suppnend che agisca un generatre alla vlta è necessari rislvere separatamente due circuiti e infine smmare gli effetti. Calcliam le crrenti ergate dal generatre E i cui versi sn indicati in Figura A.3. esistenza serie: s Ω esistenza del grupp in parallel [il calcl di due più resistenze in parallel viene indicat cn la simblgia p s // s, intendend cn ciò che il valre è dat dalla frmula: p s s /( s + s )]: p 6 // ( ) 6,67Ω esistenza ttale: tt + p + 5 6,67Ω

13 Crrente ttale: E ' tt 0,6A C.d.t. ai capi del parallel: BE p 4 Crrente nel ram BE: ' BE 3 0, 4A 6 Crrente nel ram BCDE: ' BE 0, s A icaviam anche per il secnd circuit i valri delle intensità di crrente. esistenza serie: esistenza serie: s + 5 0Ω s Ω esistenza parallela: p s // s 6,67Ω esistenza ttale: tt 6 + p 6,67Ω Crrente ttale: 3 E / tt,a

14 C.d.t. ai capi del parallel: BE p 3 8 Crrente nel ram BAFE: BE / s 0,8A Crrente nel ram BCDE: BE / s 0,4A Svrappniam gli effetti:. le crrenti e sn cncrdi e perciò si smman prducend una +,4A;. 3 e 3 sn anch esse cncrdi, quindi nel ram circla una ,6A; 3. e sn discrdi quindi si sttraggn, la crrente risultante ha un vers effettiv cncrde cn e del valre di 0,A. A.7 Principi di Thevenin l principi di Thevenin è un metd parziale per la risluzine di un circuit che cnsente il calcl della crrente circlante in un sl ram; l si può enunciare cme segue: Un circuit cmunque cmpless cnsiderat tra due mrsetti può essere sstituit da un generatre reale di tensine avente cme f.e.m. equivalente E eq la tensine misurata tra i due mrsetti e cme resistenza interna equivalente eq la resistenza misurata tra gli stessi mrsetti. Per calclare la crrente che circla in un qualsiasi ram della rete elettrica è necessari staccare il suddett ram e sstituire tutt il restante circuit cn un generatre reale di tensine. La resistenza equivalente va misurata ai capi dei mrsetti dai quali è stat staccat il ram, crtcircuitand i generatri di tensine e aprend quelli di crrente. esempi A.5 Calcliam, applicand il principi di Thevenin, la crrente che circla nel ram BE del circuit dell esempi B.3. Dp aver staccat il ram BE il circuit da studiare è quell di Figura A.5.

15 Calcliam la E eq. esistenza ttale: tt Ω Crrente: E / tt 0,33A F.e.m. equivalente: E eq ( ) 6,6 Per determinare eq sarebbe pprtun inserire tra i due mrsetti un generatre di prva (Figura A.6).

16 esistenza equivalente: eq ( ) // ( + 5 ) 6,6Ω l circuit è stat csì semplificat cme in Figura A.7. applicand la legge di Ohm si ttiene: 3 (E eq + E ) / ( eq + 6 ),6A. A.8 Principi di Nrtn l principi di Nrtn è duale di Thevenin, piché il circuit viene rappresentat cn una resistenza e un generatre reale di crrente. Un circuit cmunque cmpless cnsiderat tra due mrsetti può essere sstituit da un generatre ideale di crrente (la cui intensità eq è calclata pnend in crtcircuit i due mrsetti) avente in parallel una resistenza eq misurata tra i mrsetti. Anche il principi di Nrtn è un metd parziale, che si applica quand si desidera cnscere l intensità di crrente che circla in un sl ram della rete elettrica. esempi A.6 Calcliam, applicand il principi di Nrtn, la crrente che circla nella resistenza 3 del circuit dell esempi A.3. Dp aver staccat il ram cntenente la resistenza 3 si pngn in crtcircuit i mrsetti (C e D), quindi si prcede al calcl della crrente che vi scrre (Figura A.8).

17 Piché nel circuit sn presenti due generatri pssiam applicare il principi di svrappsizine degli effetti. Suppniam che nel circuit agisca il sl generatre E (Figura A.9). esistenza ttale: esistenza grupp parallel: tt + p + 5 5Ω p ( + 4 ) // 6 5Ω Crrente ttale: E / tt 0,67A

18 Crrente nel ram CD: " p CD 0, 33 + Studiam il circuit alimentat dal generatre E (Figura A.0). 4 A esistenza grupp parallel: esistenza ttale: p ( + 5 ) // ( + 4 ) 5Ω tt p + 6 5Ω Crrente ttale: E / tt,33a " " p Crrente nel ram CD: CD 0, 67A + 4 La crrente del generatre equivalente si ricava svrappnend gli effetti, le due crrenti CD e CD sn discrdi e quindi si sttraggn: eq CD CD 0,34A l calcl della resistenza equivalente da prre in parallel al generatre si effettua cme segue: si crtcircuitan i generatri di tensine e si pne un generatre di prva ai capi del ram staccat (Figura A.).

19 Si calcla facilmente che eq +[( + 5 )// 6 ]+ 4 5Ω. l circuit assegnat si semplifica cme riprtat in Figura A.. l vers del generatre eq è rivlt vers il bass perché la crrente nel ram circla da D vers C. È facile ra ricavare la crrente che scrre nella resistenza 3 :

20 eq 3 eq 0, A + eq 3 A.9 Ptenza elettrica Una resistenza attraversata da un intensità di crrente dissipa una ptenza elettrica che si misura in Watt (W) e il cui valre è dat dalla frmula: P / L espressine della ptenza dissipata dalla resistenza ha in realtà un significat più ampi, piché il prdtt tensine-crrente è idne a esprimere anche una ptenza ergata da un generatre. Per il principi di cnservazine dell energia, in un circuit elettric la ptenza assrbita dagli utilizzatri deve essere bilanciata dalla ptenza ergata dai generatri. esempi A.7 Calcliam la ptenza ergata dai generatri e assrbita dalle resistenze del circuit di Figura A.. La ptenza di una srgente è data dal prdtt della f.e.m. per la crrente ergata dal generatre stess, ssia la crrente che percrre il ram del generatre. Ptenza ergata dal generatre E : Ptenza ergata dal generatre E : P G E 4W P G E 3 3W Ptenza ergata cmplessivamente dai generatri: P G P G + P G 46W Ptenza assrbita da : P 9,8W Ptenza assrbita da : P 0,W Ptenza assrbita da 3 : P 3 3 0,4W Ptenza assrbita da 4 : P 4 4 0,W Ptenza assrbita da 5 : P 5 5 9,8W Ptenza assrbita da 6 : P ,6W

21 Cmplessivamente le resistenze assrbn una ptenza pari a: P P + P + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 46W La ptenza frnita dai generatri è bilanciata da quella assrbita dalle resistenze. Appendice Terema di Miller n questa breve appendice viene presentat un terema che risulta di grande utilità nella risluzine dei quadripli, argment affrntat nel mdul F. Sia dat il quadripl di Figura A.3, caratterizzat da un impedenza psta tra i ndi A e B e da un mrsett in cmune tra la prta d ingress e quella d uscita. Si vule dimstrare che il quadripl assegnat è equivalente a quell di Figura A.4, in cui la è sstituita cn le seguenti due impedenze: e A A B A A ndichiam cn il numer cmpless A il rapprt tra le due tensini / i e calcliam la crrente A :

22 ) ( i i i A Quindi A i i A A ) ( dve A / ( A). Pertant la A può essere interpretata cme una crrente che scrre attravers l impedenza A. Analgamente per la crrente B : B i i B A ) ( ) ( dve A A A i B