Statistica Descrittiva Soluzioni 6. Indici di variabilità, asimmetria e curtosi

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1 ISTITUZIONI DI STATISTICA A A 2007/2008 Marco Minozzo e Annamaria Guolo Laurea in Economia del Commercio Internazionale Laurea in Economia e Amministrazione delle Imprese Università degli Studi di Verona (sede di Vicenza) Statistica Descrittiva Soluzioni 6 Indici di variabilità, asimmetria e curtosi Introduzione Dato un carattere X, la sua variabilità rappresenta l attitudine ad assumere modalità diverse Prenderemo in considerazione solamente i caratteri quantitativi Per i caratteri qualitativi, la variabilità si traduce in mutabilità Esistono diversi tipi di indici di variabilità In ogni caso, un indice di variabilità deve a) annullarsi nel caso in cui tutti i termini siano uguali e b) aumentare di valore al crescere della diversità tra modalità Distinguiamo tre gruppi di indici di variabilità Intervalli di variazione Sono indici basati sul confronto di alcuni termini della successione ordinata di termini della distribuzione Campo di variazione (o range): R x max x min, dove x max e x min indicano rispettivamente il massimo ed il minimo valore osservato di X Scarto interquartilico: D Q 3 Q 1, ottenuto come differenza tra il terzo ed il primo quartile della distribuzione di X Scostamenti da un valore medio Sono indici che sintetizzano gli scarti tra i termini della distribuzione di X ed un valore centrale Scostamento semplice medio dalla media aritmetica: ms 1 i x i m f i i f i Scostamento semplice medio dalla mediana: mes 1 Si noti che me S 1 è sempre minore di m S 1 i x i me f i i f i Scarto quadratico medio È la misura di variabilità più diffusa ms 2 Tale misura si indica solitamente con σ i(x i m) 2 f i i f i 1

2 M Minozzo e A Guolo Statistica Descrittiva: Soluzioni 6 2 Varianza È data dal quadrato dello scarto quadratico medio: V (X) σ 2 i(x i m) 2 f i i f i La varianza si può calcolare sia applicando la formula sopra indicata (metodo diretto) sia attraverso al seguente formula (metodo indiretto): V (X) i x 2 i f i i f i m 2, vale a dire come media dei quadrati dei valori di X meno la media aritmetica di X elevata al quadrato Proprietà pitagorica della varianza: i(x i m) 2 f i i f i dove A è un valore arbitrario Varianza di una trasformazione lineare: con a e b valori reali arbitrari i(x i A) 2 f i i f i + (A m) 2 σ 2 + (A m) 2, V (a + b X) b 2 V (X), Standardizzazione Dato un carattere X di media m e varianza σ 2, il carattere U (X m)/σ ha media nulla e varianza pari a 1 Differenze medie Sono indici basati sul confronto tra tutti i termini della distribuzione Differenze medie assolute semplici Nj1 Ni1,i j x i x j e con ripetizione Nj1 Ni1 x i x j R N 2 Differenze medie quadratiche semplici Nj1 Ni1,i j (x i x j ) 2 2 e con ripetizione 2 R Nj1 Ni1 (x i x j ) 2 N 2 Indici relativi di variabilità Gli indici di variabilità esaminati sono assoluti, nel senso che mantengono la dipendenza dalle unità di misura in cui sono osservati i valori di X Si possono modificare al fine di eliminare tale dipendenza e permettere quindi il confronto tra distribuzioni di fenomeni diversi Si ottengono allora gli indici relativi seguenti Range relativo: R m x max x min m

3 M Minozzo e A Guolo Statistica Descrittiva: Soluzioni 6 3 Differenza interquartilica relativa: Scostamento semplice medio relativo D m Q 3 Q 1 m ms 1 m Coefficiente di variazione Cv σ m Asimmetria Dato un carattere X, si valuta il grado di lontananza della distribuzione del carattere da una situazione di simmetria tramite i seguenti indici: coefficiente di skewness di Pearson, per distribuzioni unimodali, indice β 1 di Pearson indice γ 1 di Fisher s k m m 0 ; σ β 1 ( mµ 3 ) 2 (σ 2 ) 3 { i(x i m) 3 f i / i f i } 2 (σ 2 ) 3 ; γ 1 m µ 3 σ 3 i(x i m) 3 f i / i f i σ 3 Curtosi Dato un carattere X, si valuta il grado di aderenza della sua distribuzione a quello di una distribuzione normale, con particolare attenzione alle code della distribuzione stessa, tramite i seguenti indici: indice β 2 di Pearson indice γ 2 di Fisher β 2 m µ 4 σ 4 γ 2 m µ 4 σ 4 3 i(x i m) 4 f i / i f i σ 4 ; i(x i m) 4 f i / i f i σ 4 3 Esercizio A Ponendo le nove osservazioni in ordine crescente, si ricava che la mediana ed il primo e terzo quartile sono pari, rispettivamente,a me 173, Q 1 167, Q Inoltre, la media aritmetica delle osservazioni è pari a m 170, 8 Si ricava quindi quanto richiesto, come segue a) Range R x max x min Scarto interquartilico D Q 3 Q

4 M Minozzo e A Guolo Statistica Descrittiva: Soluzioni 6 4 b) Scostamento medo semplice dalla media: ms 1 i1 x i m Scostamento medio semplice dalla mediana: , , 8 6, 123 mes 1 i1 x i me , 88 Come noto dalla teoria, lo scostamento medio semplice dalla mediana è minore della scostamento medio semplice dalla media c) Varianza: V (X) σ 2 i1 (x i m) 2 ( , 8)2 + + ( , 8) 2 51, 654 d) La varianza di 1 + 0, X è pari a 0, 2 V (X) 41, 840 Esercizio B a) La seguente tabella contiene le informazioni necessarie al calcolo dello scostamento semplice medio dalla mediana me S 1 e dello scarto quadratico medio dalla media artimetica σ si indica con x i il valore centrale della calsse di età, con d i l ampiezza della classe, con p i la frequenza relativa e con P i la frequenza relativa cumulata Senza titolo Scuola media inf Classe di età x i d i p i P i p i P i [15 20) 17,5 5 0,01 0,01 0,04 0,04 [20 25) 22,5 5 0,02 0,03 0,0 0,13 [25 30) 27,5 5 0,03 0,06 0,15 0,28 [30 40) ,10 0,16 0,33 0,62 [40 50) ,2 0,44 0,24 0,86 [50 60) ,38 0,83 0,11 0,7 [60 65) 62,5 5 0,12 0,5 0,02 0, [65 70) 67,5 5 0,05 1 0,01 1 Utilizzando le informazioni contenute nella tabella, risulta che: Titolo di Studio m σ m e me S 1 Senza titolo 4,88 10,6 51,435 8,623 Scuola media inf 37,43 10, 36,440 8,70 b) Dai risultati in tabella si nota che la seconda distribuzione presenta una maggiore variabilità, sia che essa venga misurata tramite lo scostamento medio semplice dalla mediana che tramite lo scarto quadratico medio Esercizio C a) La media delle 5 osservazioni risulta essere pari a m 3574, 2 La varianza calcolata secondo il metodo diretto è pari a 5i1 σ 2 (x i 3574, 2)

5 M Minozzo e A Guolo Statistica Descrittiva: Soluzioni 6 5 In base al metodo indiretto si ha 5i1 x 2 i V (X) m 2 5 Essendo la media dei valori di X elevati al quadrato pari a ( )/ , si ha V (X) , , che, come ci si attende, coincide col valore ottenuto tramite il calcolo diretto Esercizio D a) Per trovare la differenza semplice media del numero di abitanti calcoliamo le differenze: x i x j x x x x x x x x da cui si ricava, ponendo N 4, che 1 N N x i x j , 50 i1 j1 b) I calcoli per trovare la differenza quadratica del numero di morti sono i seguenti: (x i x j ) 2 x x x x x x x x da cui si ricava che 1 N N 2 (x i x j ) 2701, 10 i1 j1 Esercizio E a) Si consideri la regione Veneto Fissando l altezza minima e massima rispettivamente pari a 150 cm e 1 cm, si ha Statura [14,5 15,5) [15,5 164,5) [164,5 16,5) [16,5 17,5) [17,5 184,5) [184,5 18,5) [18,5 1,5) p i 0,008 0,036 0,127 0,550 0,187 0,071 0,021 x i 154, , ,5 x 2 i p i 10,62 44, , ,64 614, ,7 74,4353 Quindi, essendo m 175, 65, lo scarto quadratico medio dalla media aritmetica si può ottenere tramite il metodo indiretto, come segue: n σ 2 x 2 i p i m , 71 (175, 65) 2 43, 7875, i1 e si ha σ 6, 6172 Per la regione Sicilia, avendo m 171, 81, si ottiene σ 6, 6003

6 M Minozzo e A Guolo Statistica Descrittiva: Soluzioni 6 6 b) Per la regione Veneto, non conoscendo le stature di ogni singolo individuo, con una leggera forzatura il campo di variazione si può calcolare come c n c 0 1, 5 14, 5 50, mentre l intervallo interquartile è pari a Q 3 Q 1 180, , 364, 33 Esercizio F a) Una ponderazione naturale è data dalla popolazione residente (in milioni) dei singoli Paesi Indicando con w i la popolazione dei singoli Paesi, con w la loro somma e con m (1/w) 4 i1 x i w i la media ponderata del quoziente di natalità, la varianza del quoziente di natalità dei quattro Paesi è data da σ x 2 i w i m 2 155, 1836 (12, 4376) 2 0, 487 w e quindi σ 0, 68 Esercizio G i1 a) Assegnando il valore di anni compiuti all estremo superiore dell ultima classe si ha x i f i p i P i x i p i (x i m) 2 p i (x i m) 3 p i (x i m) 4 p i 0, ,0082 0,0082 0, , , ,185 3, ,0325 0,0407 0,075 56, , ,151 7, ,0433 0,0840 0,3248 5, , ,872 12, ,044 0,128 0, , , ,287 20, ,1171 0,2460 2, , , ,361 35, ,208 0, , ,45-266, ,00 55, ,2547 0,715 14, ,30 276, ,404 82, ,2085 1, , , , , , , , , ,30 da cui si ricava che ( 3 γ 1 m µ 3 /(σ) , 265/ 602, 745) 0, 1815 Inoltre Q 1 25, 2751, m e 42, 461 e Q 3 61, 7413 da cui (Q 3 m e ) (m e Q 1 ) (Q 3 m e ) + (m e Q 1 ) 0, 0387; gli indici segnalano un livello di asimmetria molto basso b) L indice di curtosi è pari a γ 2 m µ 4 /(σ) , 30/( 602, 745) 4 3 0, 762 Esercizio H a) L indice di asimmetria basato sui quartili fornisce il valore 0,44 Per il calcolo dell indice γ 1, essendo disponibile la distribuzione di quantità, si possono utilizzare le medie parziali al posto dei valori centrali di classe ottenendo γ 1 m µ 3 /(σ) 3 44, 6/(58, 87) 3 2, 42