STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 6

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Giulia Monti
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1 STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 6 Dott. Giuseppe Pandolfo 5 Novembre 013 CONCENTRAZIONE Osservando l ammontare di un carattere quantitativo trasferibile su un collettivo statistico può essere interessante sapere come questo ammontare sia ripartito fra le unità statistiche del collettivo. Equidistribuzione Ognuna delle n unità possiede 1/n dell ammontare complessivo A n i1 x i. Se non c è equidistribuzione allora c è un certo grado di concentrazione della variabile che può essere misurato attraverso indici opportuni. La massima concentrazione si ha quando l intero ammontare A è posseduto da una sola unità del collettivo: x 1 x x 0 e x n A Le unità del carattere quantitativo trasferibile devono essere ordinate in senso non decrescente. Indichiamo con A i x 1 x x i l ammontare posseduto dalle prime i unità e con q i A i A la frazione di ammontare di un carattere posseduto dalle prime i unità sull ammontare complessivo. p i indica la frazione teorica delle prime i unità. Proprietà 1) p i q i quando i n oppure per ogni i se x 1 x x i x n ) Per ogni i si ha che p i q i Le differenze p i q i saranno tutte uguali a zero in caso di equidistribuzione, tutte uguali a p i in caso di massima concentrazione e tutte non negative nei casi intermedi di concentrazione. Rapporto di concentrazione di Gini R i1 i1 p i p i q i p i i1 i1 i1 q i p i i1 q i i1 p i

2 Esercizio 1 Consideriamo il numero di telespettatori serali di sei emittenti televisive. I dati sono i seguenti: Emittente 1: Emittente 5: Emittente 4: Emittente 3: Emittente : milioni 9 milioni 4 milioni 3 milioni 3 milioni Calcolare il rapporto di concentrazione di Gini. Ordiniamo le osservazioni e calcoliamo p i e q i. Emittente Spettatori p i A i q i 1 1/5 0, /1 0,095 3 /5 0,4 5 5/1 0, /5 0,6 8 8/1 o, /5 0,8 1 1/1 0, / /1 1 Totale 1 Il numero di unità è pari a 5. Calcoliamo anche le differenze p i q i Emittente Spettatori p i A i q i p i q i 1 1/5 0, /1 0,095 0,105 3 /5 0,4 5 5/1 0,38 0, /5 0,6 8 8/1 0,380 0, 4 4 4/5 0,8 1 1/1 0,571 0, / /1 1 0 Totale 1 R i1 i1 p i p i q i 0,105 0,16 0, 0,9 0, 0,4 0,6 0,8 0,706 0,358 La concentrazione è discreta.

3 q LA CURVA DI LORENZ Attraverso le coppie di valori p i, q i è possibile realizzare un grafico in cui l asse delle ascisse rappresenta i valori di p i e l asse delle ordinate i valori di q i. Ogni coppia di valori è rappresentata da un punto sul piano. I punti limitrofi sono congiunti con segmenti per formare una curva detta spezzata di concentrazione o curva di Lorenz. 1.0 Lorenz curve p Il segmento che congiunge il punto 0,0 e il punto 1,1 rappresenta la linea di equidistribuzione, ogni punto su questo segmento ha coordinate uguali, ovvero q i p i per ogni i. Se l ammontare fosse equidistribuito tra le unità i punti sarebbero tutti sulla linea di equidistribuzione. L area compresa tra la curva di Lorenz e la linea di equidistribuzione è chiamata area di concentrazione, calcolabile con la seguente formula: R 1 k 1 i0 p i1 p i q i1 q i

4 Esercizio Per le seguenti classi di investimento calcolare in rapporto di concentrazione di Gini utilizzando il metodo dei trapezi Classi di investimento Imprese Totale 50 Per poter calcolare il rapporto di concentrazione utilizzeremo i dati riportati in tabella. Classi di n i x i x i n i N i i p i q i p i1 p i q i1 q i p i1 p i q i1 q i investimento j1 x j n j ,4 0,66 0,8 0,86 1 0,065 0,391 0,570 0, ,4 0,4 0,14 0,06 0,14 0,065 0,36 0,179 0,108 0,3 0,016 0,137 0,05 0,006 0,045 Totale ,856 0,9 k 1 R 1 p i1 p i q i1 q i 1 0,9 0,77086 i0 MISURA DELLA FORMA PER VARIABILI NUMERICHE Per descrivere la forma di una distribuzione è possibile semplicemente confrontare la media con la mediana. Distribuzione simmetrica Media Mediana Distribuzione asimmetrica negativa (o obliqua a sinistra) Media < Mediana Distribuzione asimmetrica positiva (o obliqua a destra) Media > Mediana

5 Distribuzione simmetrica Distribuzione asimmetrica negativa Distribuzione asimmetrica positiva Indice di asimmetria di Pearson δ μ Me σ δ è positivo in caso di asimmetria positiva, negativo in caso di asimmetria negativa. Lo scarto dalla media è utilizzato per non far dipendere l indice dall unità di misura del carattere. Esercizio 3 Calcolare l indice di Pearson della seguente distribuzione: Numero di libri n i Tot 44 μ 4,47 Me 5

6 σ n i1 x i μ n i n 1 4,47 4, ,47 4 4, , , ,98 44,38 1,54 δ μ Me σ 4,47 5 1,54 0,34 L indice di Pearson rivela un asimmetria di tipo negativo. N.B. L indice di Pearson non può essere calcolato se la distribuzione è multimodale. Esercizio 4 Calcolare l indice di Yule-Bowley della distribuzione presentata nell esercizio 3. Yule Bowley Q 3 Me Me Q 1 Q 3 Q 1 0 Simmetria > 0 Simmetria negativa < 0 Simmetria positiva Numero di libri n i N i Tot 44 Me 5 Q 1 4 Q 3 6 Yule Bowley

7 L indice di Yule-Bowley indica simmetria. Esercizio 5 Rappresentiamo graficamente attraverso un box-plot la distribuzione presentata seguente tabella. X n i N i Tot 68 Me 9 Q 1 8 Q 3 13 Min 3 Max 18 L indice di Pearson e quello di Yule-Bowley non sono molto sensibili alle deviazioni dalla situazione di simmetria; assumono valori apprezzabili solamente quando la distribuzione è già abbastanza asimmetrica.

8 Un indice più sensibile si basa sugli scarti dalla media. Momento di ordine r 3 dalla media aritmetica: μ 3 1 n n i1 x i μ 3 Tali scostamenti riflettono il tipo di asimmetria della distribuzione. Indice β di Fisher β μ 3 σ 3 dove σ 3 è il cubo dello scostamento quadratico medio. Esercizio 6 Data la seguente distribuzione: X n i Totale 100 Calcolare l indice di Fisher. μ (5 1) 8,8 100 μ [ 0, ,8 3 1, , ,8 3 8 (5,8) 3 1] 1 15,7 1,5 100

9 σ ,8 1,8,8 3,8 4,8 (5,8) 1 10,16,10 1, σ 3 1,45 3 3,05 β 1,5 0,41 Asimmetria positiva 3,05 INDIPENDENZA ASSOLUTA TRA VARIABILI Dipendenza logica: tra due o più caratteri sono note a priori relazioni di causa ed effetto. Indipendenza logica: si suppone che tra due o più caratteri non possa esistere alcuna relazione di causa ed effetto. Indipendenza statistica: la conoscenza della modalità di uno dei due caratteri non migliora la previsione della modalità dell altro. Dunque la variabile X è indipendente da Y se per qualsiasi modalità assunta da Y, la distribuzione relativa condizionata di X non varia. Indice chi-quadrato χ i j n ij n ij n ij Indice di contingenza quadratica media φ χ n Indice V di Cramér V χ min H 1, K 1 n i per una tabelle con H righe e K colonne.

10 Esercizio 7 Calcolare l indice di associazione chi-quadrato per le variabili riportate in tabella. Reddito familiare Rendimento Alto Medio Basso Totale Ottimo Sufficiente Basso Totale Calcoliamo le frequenze teoriche n ij n i. n.j N : Reddito familiare Rendimento Alto Medio Basso Totale Ottimo 13,4 9, 6 65 Sufficiente 5, , 9 Basso 17, 9,6 39, 86 Totale χ ,4,4 30 9,6 9,6 6 5,8 5, , 13, 18 17, 17, 8 9,6 9, , 0, ,006 0,1 0,109 39, 0,037 0,087 0,016 0,453 Il valore del chi-quadrato è tanto maggiore quanto è maggiore la distanza tra frequenze osservate e frequenze teoriche, è zero nel caso di indipendenza perfetta. L indice indica che le frequenze teoriche sono molto simili, vicine alle frequenze osservate (tanto più è alto il valore tanto più è improbabile che la differenza sia casuale). Calcoliamo anche l indice di contingenza quadratica e l indice di Cramér. φ 0, ,00

11 Indice di Cramér. V 0, ,03

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