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1 versioe La seguete Lezioe 4 riguarda pricipalmete la legge dei gradi umeri ed il teorema cetrale del limite. Iclude ache la geeralizzazioe del cocetto di idipedeza completa per successioi di variabili aleatorie, ed il calcolo della somma di due variabili aleatorie idipedeti co distribuzioe di Poisso. Idice Variabili aleatorie i casi più geerali: idipedeza, Legge dei Gradi Numeri e Teorema Cetrale del Limite. 38. Famiglie di variabili aleatorie idipedeti Legge dei Gradi Numeri Approfodimeti sull utilizzo della disuguagliaza di Chebyshev Formulazioe della Legge dei Gradi Numeri Teorema cetrale del limite Esempi di calcolo della somma di variabili aleatorie idipedeti Approssimazioe della distribuzioe della somma di variabili aleatorie idipedeti Altre cosegueze del Teorema Cetrale del Limite e relazioi co la legge dei gradi umeri

2 versioe Variabili aleatorie i casi più geerali: idipedeza, Legge dei Gradi Numeri e Teorema Cetrale del Limite.. Famiglie di variabili aleatorie idipedeti Molte delle defiizioi e delle proprietà delle variabili aleatorie i spazi fiiti valgoo ache per le variabili aleatorie geerali. Ad esempio si ha acora che il valore atteso della somma di variabili aleatorie è la somma dei valori attesi e la regola per il calcolo della variaza della somma rimae idetica. I questo paragrafo ci chiediamo come si deve defiire l idipedeza per due variabili aleatorie X ed Y, el caso geerale, e daremo ache u ulteriore defiizioe di idipedeza completa (o globale) per più di due variabili aleatorie. Tra le varie caratterizzazioi di idipedeza, sicuramete o possiamo geeralizzare quella per cui P (X = x, Y = y) = P (X = x)p (Y = y), i quato, ad esempio, per le variabili aleatorie co fuzioe di distribuzioe cotiua, la precedete relazioe sarebbe solo ua baalità: ifatti si ridurrebbe alla relazioe 2 0 = 0. Possiamo ivece geeralizzare quella data i Proposizioe della Lezioe 8, el seguete modo. Defiizioe. (idipedeza di due variabili aleatorie). Due variabili aleatorie X ed Y si dicoo idipedeti se e solo se comuque scelti due itervalli I e J, limitati o illimitati, P (X I, Y J) = P (X I) P (Y J). Come el caso discreto, ache el caso geerale vale il risultato che l idipedeza di due variabili aleatorie implica 3 la o correlazioe, metre o è vero il viceversa. Strettamete collegata alla precedete defiizioe, c è la seguete Defiizioe.2 (idipedeza a due a due di variabili aleatorie). Siao X, X 2,..., X variabili aleatorie defiite tutte sullo stesso spazio di probabilità (Ω, F, P ). Esse si dicoo idipedeti a due a due se comuque scelti i j, co i, j {, 2,..., }, le due variabili aleatorie X i ed X j soo idipedeti, ovvero comuque scelti i j, e comuque scelti I e J, itervalli (limitati o illimitati) di R, si ha: P (X i I, X j J) = P (X i I) P (X j J). Ua codizioe più forte dell idipedeza a due a due è l idipedeza globale U caso particolarmete iteressate è quello i cui le variabili aleatorie X i, per i =,...,, soo completamete (o globalmete) idipedeti tra loro, ovvero Defiizioe.3 (idipedeza di variabili aleatorie). Siao X, X 2,..., X variabili aleatorie defiite tutte sullo stesso spazio di probabilità (Ω, F, P ). Esse si dicoo 4 completamete (o globalmete) idipedeti tra loro se comuque scelti J, J 2,..., J, itervalli (limitati o illimitati) di R, si ha: P (X J, X 2 J 2,..., X J ) = P (X J ) P (X 2 J 2 )... P (X J ) Tuttavia el caso delle variabili aleatorie discrete questa caratterizzazioe rimae valida, ifatti le dimostrazioi della equivaleza delle caratterizzazioi rimagoo sostazialmete ivariate, pur di sostituire a somme fiite somme ifiite, per cui ad esempio due variabili aleatorie X ed Y co X(Ω) = {x, x 2,...} ed Y (Ω) = {y, y 2,...} soo idipedeti se e solo se P (X = x h, Y = y k ) = P (X = x k )P (Y = y h ) per ogi h e k. 2 Se P (X = x) = 0 per ogi x R, allora ache P (X = x, Y = y) = 0, i quato {X = x, Y = y} {X = x}. 3 Ovviamete è ecessario che le variabili aleatorie ammettao valore atteso fiito. 4 A volte il termie completamete può essere trascurato, e si può parlare semplicemete di variabili aleatorie idipedeti tra loro.

3 versioe La precedete defiizioe implica l idipedeza a due a due. Proposizioe Se le variabili aleatorie X, X 2,..., X soo completamete (o globalmete) idipedeti fra loro, allora lo soo ache a due a due. Dimostrazioe Per semplicità di otazioe mostriamo solamete che X ed X 2 soo idipedeti, ma la dimostrazioe è essezialmete la stessa el caso geerale di X i ed X j. Il puto esseziale da osservare è che R è u itervallo, e che gli eveti del tipo {X k R} coicidoo co l eveto certo, di cosegueza e quidi {X J, X 2 J 2 } = {X J, X 2 J 2, X 3 R,..., X R} P (X J, X 2 J 2 ) = P (X J, X 2 J 2, X 3 R..., X R) = P (X J ) P (X 2 J 2 ) P (X 3 R)... P (X R) = P (X J ) P (X 2 J 2 ). Osservazioe Come già detto, quato visto per le variabili aleatorie discrete vale ache per le variabili aleatorie i geerale: i particolare se le variabili aleatorie soo idipedeti a due a due, allora la variaza della somma è la somma delle variaze. Alla luce della precedete Proposizioe, lo stesso vale el caso i cui le variabili aleatorie soo completamete (o globalmete) idipedeti tra loro. Defiizioe.4 (idipedeza di ua successioe di variabili aleatorie). Sia {X i ; =, 2,...} ua successioe di variabili aleatorie, tutte defiite sullo stesso spazio di probabilità (Ω, F, P ). Si dice che soo ua successioe di variabili aleatorie idipedeti se comuque scelto u umero fiito di esse, queste risultao completamete idipedeti tra loro..2 Legge dei Gradi Numeri Il risultato più importate di questa Lezioe è oto come la Legge debole dei gradi umeri. Tale risultato è euciato alla fie di questo paragrafo (Proposizioe 2 ) e riguarda le successioi di variabili aleatorie idipedeti a due a due. Prima di arrivare ad euciare e dimostrare la legge debole dei gradi umeri, riprediamo quato visto utilizzado la diseguagliaza di Chebyshev ella Proposizioe 9 della Lezioe 0, ma allargado u poco la prospettiva. Prima di tutto va detto che la diseguagliaza di Chebyshev cotiua a valere ache el caso di variabili aleatorie geerali, co l uica accortezza che el caso geerale bisoga ipotizzare che esistao fiiti valore atteso e variaza 5 della variabile aleatoria X. Per cui, idicado come al solito µ = E(X) e σ 2 = V ar(x) si ha P ({ X µ > ε}) σ2 ε 2. Ache la Proposizioe 9 cotiua a valere, pur di assumere che esistao fiiti valore atteso E(X i ) e variaza V ar(x i ), che come al solito poiamo uguali rispettivamete a µ e σ 2. 5 Sappiamo che possoo esistere variabili aleatorie per le quali valore atteso e/o variaza o esistoo, o valgoo ifiito. Questo problema o si poe el caso fiito i quato i quel caso il calcolo del valore atteso e della variaza si riduce ad ua somma fiita e o preseta quidi essu tipo di problema.

4 versioe Proposizioe 9 (versioe geerale) Se X, X 2,..., X soo variabili aleatorie idipedeti a due a due, e co la stessa distribuzioe, e se esistao fiiti valore atteso E(X i ) = µ e variaza V ar(x i ) = σ 2 allora P ({ Y µ > ε}) σ 2 ε 2, dove Y è la media aritmetica Y = (X + X X )..2. Approfodimeti sull utilizzo della disuguagliaza di Chebyshev Se X, X 2,..., X soo variabili aleatorie idipedeti a due a due, e co la stessa distribuzioe, ell Osservazioe 6 della Lezioe 0 abbiamo visto come trovare il umero di prove per cui la probabilità dell eveto il valore atteso µ e la media aritmetica Y = (X + X X ) differiscoo meo di ua quatità prefissata ε sia almeo δ, e ell Esempio 0.6 ciò è stato applicato al caso di variabili biarie. allora I questi casi sappiamo che se σ2 δ ε 2 () P ({ Y µ > ε}) σ 2 ε 2 δ P ({ ε Y µ ε}) σ 2 ε 2 δ. Nel caso particolare i cui le variabili X i siao variabili biarie, co P (X i = ) = θ e P (X i = 0) = θ, allora µ = θ, σ 2 = θ( θ) e basta predere θ( θ) δ ε 2 per otteere che la probabilità del eveto la frequeza relativa dei successi 6 Y differisce dalla probabilità di successo θ meo di ε sia maggiore di δ. Ovvero θ( θ) δ ε 2 P ({ ε Y θ ε}) δ. (2) Nelle applicazioi si usa la frequeza relativa per stimare la probabilità θ: ovvero possiamo cosiderare il caso i cui possiamo osservare gli esiti di diversi esperimeti di uo stesso feomeo, gli esperimeti soo codotti elle stesse codizioi, per cui la probabilità di successo dell esperimeto è la stessa i tutte le prove, e ifie si assume che le prove siao stocasticamete idipedeti tra loro, tuttavia o si assume che sia oto esattamete il valore della probabilità di successo θ. I questo cotesto la misura di probabilità dipede dal parametro θ ed è quidi più opportuo idicarla co P θ, ivece che co P. 6 Successo all i-esima prova sigifica X i =.

5 versioe Riprededo quato detto ell Osservazioe 6 della Lezioe 0 i questo cotesto possiamo riscrivere P θ ({θ ε Y θ + ε}) θ( θ) ε 2, ma ache P θ ({Y ε θ Y + ε}) θ( θ) ε 2. Questa secodo modo di scrivere è più iteressate, i quato, i questo cotesto, metre possiamo osservare Y, ivece o coosciamo affatto θ. L idea è che vorremmo poter valutare la probabilità θ co Y, co u errore al più di ε. Ovviamete i essu caso, facedo degli esperimeti, avremo la garazia che la frequeza relativa Y e la probabilità di successo θ differiscao meo di ε, tuttavia la disuguagliaza di Chebyshev ci permette di affermare che ciò accade co probabilità elevata, e permette ache di trovare delle limitazioi iferiori a tale probabilità. A prima vista però sorge ua difficoltà: sembra che per adoperare la disuguagliaza di Chebyshev sia ecessario cooscere θ. Ma a questo problema si può ovviare osservado che la fuzioe h(x) = x( x) vale al massimo 7 4 e quidi si ha P θ ({ Y θ > ε}) θ( θ) ε 2 4 ε 2, P θ ({Y ε θ Y + ε}) θ( θ) ε 2 4 ε 2. Ciò permette di affermare che, qualuque sia la probabilità di successo θ, la probabilità che θ e la frequeza relativa Y differiscao meo di ε vale almeo 4 ε 2. Più iteressate acora, dal puto di vista operativo, è tuttavia il fatto che siamo i grado di rispodere alla domada: Quate prove si devoo effettuare, ovvero quato si deve predere grade, affiché, co probabilità almeo δ, la frequeza relativa differisca dalla probabilità di successo meo di ε? La risposta alla precedete domada è molto semplice: è sufficiete predere 8 i altre parole 4 δ ε 2, (4) 7 La fuzioe h(x) = x( x) ha il suo puto di massimo i x = 2 come si vede subito, e quidi h(x) h( 2 ) = 4. 8 Si deve predere (ε, δ) (3) dove (ε, δ) :=, 4 ε 2 δ cioè la parte itera superiore di. Si ricordi che la parte itera superiore di u umero reale a è l itero k tale 4 ε 2 δ che k < a k, ed è idicata apputo co a.

6 versioe δ ε 2 P ({ ε Y θ ε}) δ. (5) Ifatti i tale caso (4) è equivalete a δ 4 ε 2 e quidi, qualuque sia θ P θ ( Y θ > ε}) θ( θ) ε 2 4 ε 2 δ, P θ ({Y ε θ Y + ε}) θ( θ) ε 2 4 ε 2 δ. Esempio.. Sia Y la frequeza relativa dei successi i uo schema di Beroulli di parametro θ. Si determii u i modo che, qualuque sia il valore di θ, l errore assoluto tra Y e θ sia miore di 0., co probabilita almeo Soluzioe. Siamo el caso precedete co ε = 0. = 0 e co δ = 0.99, ovvero δ = 00. Quidi se 4 ( ) 2 = 0000 = 2500, allora P ( ε Y θ ε) 0.99 E quidi, qualuque sia il valore di θ, è sufficiete predere = Esempio.2. Calcolare il miimo valore di per il quale, i uo schema di Beroulli di co probabilità θ, i base alla disuguagliaza di Chebyshev, si possa scrivere ({ S P θ > }) 30 0, qualuque sia il valore di θ. Soluzioe Si può procedere cosiderado che ({ S P θ > }) θ( θ) 30 ( ) = oppure direttamete utilizzado la formula (5) 4 ( 30 = 2250, ) 2 = , 4 ε 2 δ = 4 ( ) = = = Osservazioe 2. Si suggerisce di cofrotare il risultato co quello dell Esempio 0.6 i cui

7 versioe ivece il valore di θ era calcolabile, e quidi si era otteuto, sempre utilizzado la disuguagliaza di Chebyshev 9, che bastava predere = Osservazioe 3 Si faccia attezioe al fatto che queste limitazioi iferiori soo date i base alla disuguagliaza di Chebyshev. I valori otteuti per soo sicuramete validi, ma soo eccessivamete gradi ed i geere piu elevati del ecessario. I realtà bastao valori di più piccoli (daremo u idea del motivo per cui i valori trovati soo eccessivi ella Lezioe sul Teorema cetrale del limite). Osservazioe 4 (Errore relativo) Va ache sottolieato che fiora abbiamo valutato solo l errore assoluto, tra Y e θ, metre avrebbe più iteresse l errore relativo, ovvero Y θ θ : ifatti se θ fosse dell ordie di u cetesimo, stimare θ co u errore assoluto dell ordie di u decimo o sarebbe molto ragioevole 0. I questo caso la maggiorazioe della disuguagliaza di Chebyshev permette di affermare che, per ogi θ ( ) Y θ P θ θ > ε} = P θ ( Y θ > εθ}) θ( θ) (θε) 2 = θ θ ε 2 δ, per cui θ θ δ ε 2 P θ ( ) Y θ θ > ε} δ Purtroppo, se θ o è oto, questa limitazioe iferiore o è molto utile i quato la fuzioe h (x) = x x = x coverge ad ifiito per x 0+, ed è quidi impossibile trovare u valore di che sia valido qualuque sia θ..2.2 Formulazioe della Legge dei Gradi Numeri Nel formulare la domada co la richiesta di scegliere, c è u puto che abbiamo volutamete trascurato fi qui. La possibilita di scegliere presuppoe di avere a disposizioe u umero di eveti, (o di variabili aleatorie) completamete idipedeti potezialmete grade a piacere 2. Dal puto di vista matematico è più comodo poter affermare direttamete di avere a disposizioe ua successioe di eveti completamete idipedeti e tutti co la stessa probabilità θ, o ua successioe di variabili aleatorie completamete idipedeti. Ciò presuppoe uo spazio di probabilità Ω ifiito, e quidi solo dopo aver itrodotto gli spazi di probabilità geerali e la ozioe di successioi di variabili aleatorie, riformuliamo la Proposizioe 9 della Lezioe 0 per successioi di variabili aleatorie. Tale formulazioe è ota co il ome di Legge Debole dei Gradi Numeri. 9 I realtà ell Esempio citato si è utilizzata la (2). 0 Se el misurare la distaza fra due città si commette u errore dell ordie di u metro, ci possiamo dichiarare completamete soddisfatti, metre certamete o lo saremmo se l errore dell ordie di u metro riguardasse la misura di u tavolo da mettere i cucia!!! Diverso è il caso i cui, pur o cooscedo esattamete θ si sappia che θ θ 0 co θ 0 > 0: allora basterà predere θ 0 θ 0 δ ε 2. 2 Si potrebbe ovviare al problema suppoedo di avere ua successioe di spazi di probabilità (Ω, P(Ω ), P () ) e su ciascuo spazio eveti E (), E () 2,..., E () che formao uo schema di Beroulli co probabilità θ () = θ per ogi.

8 versioe Proposizioe 2 (Legge Debole dei Gradi Numeri) Sia {X i, i } ua successioe di v.a. idipedeti a due a due ed ideticamete distribuite 3, per le quali esistao fiiti valore atteso e variaza. Posto E(X i ) = µ e V ar(x i ) = σ 2, S = i= X i e Y = S, si ha, qualuque sia ε > 0 ( ) lim P S µ > ε = lim P ( Y µ > ε) = 0 Dimostrazioe. Basta osservare che 0 P ( Y µ > ε) madare all ifiito ed usare il Teorema del cofroto per le successioi umeriche: σ 2 ε 2, 0 lim P ( Y σ 2 µ > ε) lim ε 2 = 0. Osservazioe 5 Dalla Proposizioe appare immediato che se {X i, i } è ua successioe di variabili aleatorie completamete idipedeti, allora la Legge Debole dei Gradi Numeri cotiua a valere. Sotto questa ulteriore ipotesi vale ache il così detto Teorema cetrale del limite che è oggetto del prossimo paragrafo. Nel prossimo paragrafo vedremo ache alcue relazioi tra questi due importatissimi risultati..3 Teorema cetrale del limite Come abbiamo detto la disuguagliaza di Chebyshev permette di trovare delle limitazioi iferiori alle probabilità del tipo ( ) S P µ ε che a loro volta permettoo di dedurre la legge dei gradi umeri. Tuttavia se si cooscesse la fuzioe di distribuzioe F S (x) della variabile aleatoria S, tale probabilità si potrebbe calcolare esattamete come ( ) S P µ ε ( = P ((µ ε) S (µ + ε)) = F S ((µ ε)) F S ((µ ε)) ) = F S ((µ ε)) F S ( (µ ε)) + P ( {S = (µ ε)} ) Appare quidi chiaro che calcolare la distribuzioe della somma di variabili aleatorie S = X + X X sia u problema iteressate è, oltre che di per sé, ache per le coessioi co la legge dei gradi umeri e delle relazioi tra media aritmetica e valore atteso..3. Esempi di calcolo della somma di variabili aleatorie idipedeti Sappiamo calcolare esattamete la distribuzioe della somma di variabili aleatorie i alcui casi specifici. Ad esempio quado le X i soo le idicatrici di eveti E i che formao uo schema di Beroulli di parametro θ, sappiamo che la distribuzioe della somma è la distribuzioe biomiale b(; θ). 3 Poiché le variabili aleatorie X hao tutte la stessa distribuzioe, si ha che se esistoo fiiti valore atteso e variaza di X, allora esistoo fiiti valore atteso e variaza di X i e coicidoo co quelli di X.

9 versioe Esempio.3. Acora sappiamo che se due variabili aleatorie X ed X 2 soo idipedeti e hao distribuzioe biomiale di parametri i e θ (attezioe può essere diverso da 2, ma θ è lo stesso per i =, 2), allora la somma X + X 2 ha distribuzioe biomiale di parametri + 2 e θ (cofrotare lo svolgimeto dell Esercizio 8.4). Questo risultato si estede ache al caso di variabili aleatorie completamete (o globalmete) idipedeti tra loro: i particolare se le variabili aleatorie X i hao tutte la stessa distribuzioe bi(m; θ) allora S ha distribuzioe bi( m; θ). Esempio.4. Siao X ed X 2 variabili aleatorie di Poisso di parametro λ (> 0) e λ 2 (> 0) rispettivamete, ovvero P (X i = k) = λk i k! e λ, k = 0,, 2,... Si assuma che le variabili siao idipedeti, ovvero che P (X = h, X 2 = k) = P (X = h)p (X 2 = k), per ogi h, k {0,...} Si vede facilmete che la variabile aleatoria X + X 2 ha distribuzioe di Poisso di parametro λ + λ 2, ovvero che P (X + X 2 = m) = (λ + λ 2 ) m e (λ +λ 2 ), m = 0,, 2,... (6) m! Ifatti, per m = 0,,... l eveto {X + X 2 = m} = {X = k, X 2 = m k} = k=0 m {X = k, X 2 = m k}, k=0 i quato {X 2 = m k} = per k = m +, m + 2,.... Per cui P (X + X 2 = m) = = m P (X = k, X 2 = m k) = k=0 m λ k λ (m k) k! e λ 2 (m k)! e λ 2 k=0 = m! m m! k! k=0 m P (X = k)p (X 2 = m k) k=0 (m k)! λk λ (m k) 2 e (λ +λ 2 ) dalla formula della poteza del biomio si ottiee la tesi, i quato m! m ( ) m λ k λ (m k) 2 = (λ + λ 2 ) m, m = 0,, 2,... k m! k=0 da cui si ottiee immediatamete la (6) Ache questo risultato si estede ache al caso di variabili aleatorie completamete (o globalmete) idipedeti tra loro: i particolare se le variabili aleatorie X i hao tutte la stessa distribuzioe P oiss(λ) allora S ha distribuzioe P oiss( λ).

10 versioe Approssimazioe della distribuzioe della somma di variabili aleatorie idipedeti Più complesso risulta il calcolo della fuzioe di distribuzioe della somma per altre variabili aleatorie 4, tuttavia si può iazi tutto osservare come calcolare la fuzioe di distribuzioe di S sia equivalete a calcolare la distribuzioe di ua sua trasformata affie 5 ovvero: se a e b soo umeri reali, co b > 0, allora 6 { S a {S x} = b x a } b Ua scelta aturale per a e per b è quella che trasforma S i ua variabile aleatoria stadard, ovvero quella di predere a = E(S ) e b = V ar(s ). I questo modo ifatti, per la disuguagliaza di Chebyshev, sappiamo che, qualuque siao ed α > 0 P ( α S E(S ) V ar(s ) α) α. Alla luce della seguete Proposizioe 4, ota come Teorema Cetrale del Limite (o ache Teorema del Limite Cetrale), si può dimostrare il seguete risultato. Proposizioe 3 (approssimazioe ormale) Se le variabili aleatorie X i, per i =,, 2..., soo (globalmete o completamete) idipedeti, hao la stessa distribuzioe, ammettoo valore atteso fiito µ, variaza fiita σ 2 e o ulla, allora E(S ) = µ, V ar(s ) = σ 2 > 0, e F S (x) = P (S x) = P ( S µ σ 2 x µ σ 2 ) Φ ( x µ σ 2 ), (7) dove Φ(x) è la fuzioe di distribuzioe di ua variabile aleatoria gaussiaa stadard N(0, ). La dimostrazioe della precedete affermazioe si basa sul seguete risultato basilare e che svolge u ruolo cetrale el Calcolo delle Probabilità. Proposizioe 4 (Teorema Cetrale del Limite) Sia {X i, i } ua successioe di v.a. idipedeti ed ideticamete distribuite, per le quali esistao fiiti valore atteso e variaza. Posto E(X i ) = µ e V ar(x i ) = σ 2, si assuma che σ 2 > 0. Allora idicado co S variabile aleatoria stadardizzata di S, si ha S = S E(S ) V ar(s ) = S µ σ 2, (8) 4 Questo argometo viee svolto el caso geerale ei successivi corsi di Calcolo delle Probabilità, e richiede ozioi di Aalisi, come ad esempio gli itegrali di fuzioi di più variabili. 5 Più i geerale, data la fuzioe di distribuzioe di ua variabile aleatoria X, è sempre possibile otteere la distribuzioe della variabile aleatoria Y = α + X, il caso successivo è u caso particolare di questo, co X = S, α = e = b. A questo proposito si veda l appedice Trasformazioi affii di variabili aleatorie. 6 Ifatti ω {S x} S (ω) x S(ω) a b x a b S a ω b x a b

11 versioe e, idicado co F S (x) la fuzioe di distribuzioe di S, si ha lim F S (x) = lim P (S x) = Φ(x), (9) dove Φ è la fuzioe di distribuzioe di ua variabile aleatoria Gaussiaa stadard: i altre parole ( ) lim P S µ x x = e y2 2 dy. (0) σ 2 2 π Ioltre il limite è uiforme per x R, ovvero ( ) lim P S µ x σ 2 sup x R x 2 π e y2 2 dy = 0. () No diamo la dimostrazioe di questo risultato, ma otiamo solo che la (8) si dimostra teedo coto che E(S ) = i= E(X i) = µ e che per la completa idipedeza dalle variabili aleatorie X i, si ha 7 V ar(s) = V ar( X i ) = V ar(x i ) = σ 2. i= La precedete relazioe sarebbe valida ache el caso i cui le variabili aleatorie fossero solo idipedeti a due a due(o addirittura solo o correlate), ma sottolieiamo il fatto che, metre la Legge Debole dei Gradi Numeri, vale sotto l ipotesi di idipedeza a due a due, e o è ecessario supporre σ 2 > 0, ivece per il Teorema Cetrale del Limite, serve la codizioe di completa idipedeza e ovviamete è ecessario supporre σ 2 > 0, altrimeti o si potrebbe emmeo formulare la tesi. i= Dimostrazioe della Proposizioe 3 Fodametale per dimostrare l approssimazioe (7) della fuzioe di distribuzioe della somma S è il fatto che la covergeza sia uiforme 8 : ifatti, posto E (x) = F S (x) Φ(x), e x = x µ, si ha σ 2 ( S µ F S (x) = P (S x) = P x µ ) = F S σ 2 σ 2 (x ) = Φ (x ) + E (x ), per cui F S (x) Φ (x ) = E (x ) sup x R E (x). 7 Come già osservato ell Osservazioe 8 Si osservi che i geerale le codizioi che lim f (x) = f(x) lim x = x o implicao che lim f (x ) = f(x). Basta pesare al seguete cotroesempio: ( ( f (x) = 0 x <, f(x) = 0 x 0, f (x) = x f(x) = x > 0 Chiaramete se x 0 allora f (x) = 0 e quidi lim f (x) = f(x) = 0, aalogamete, se x > 0, allora per > x si ha f (x) =, e quidi lim f (x) = f(x) =. Ioltre, posto x =, si ha lim x = 0, tuttavia ovviamete f (x ) = f ( ) = che o coverge ad f(x) = f(0) = 0.

12 versioe Basta solo osservare che (0) garatisce che sup x R E (x) coverge a zero 9 per che tede all ifiito..3.3 Altre cosegueze del Teorema Cetrale del Limite e relazioi co la legge dei gradi umeri Si osservi che il Teorema Cetrale del Limite implica che lim P (a < S µ b) = Φ(b) Φ(a), σ 2 come si vede subito applicado la proprietà che per ogi variabile aleatoria X, co fuzioe di distribuzioe F (x), si ha P (a < X b) = F (b) F (a). Il Teorema Cetrale del Limite implica ache che lim P ( a S µ b σ 2 ) = Φ(b) Φ(a), ifatti, come si vede facilmete 20, ( ) lim P S µ = a = 0. σ 2 Dopo questa osservazioe possiamo torare idietro alle relazioi tra Legge dei Gradi Numeri e Teorema Cetrale del Limite. Idicado, come al solito, co Y la media aritmetica S, si ha e quidi { Y µ ε} = Y µ = S µ, S µ σ 2 = S µ σ 2 { ε S } { µ ε = σ 2 ε S } µ σ 2 σ 2 ε. 9 Pur essedo assolutamete al di fuori dell ambito di u corso elemetare di probabilità, vale la pea di ricordare che esistoo delle maggiorazioi per sup x R E (x), el caso i cui si suppoga che il valore atteso E( X 3 ) esista e sia fiito. I particolare è stato dimostrato che sup x R E (x) C E( X 3 ) σ 3, co C costate. Il valore di C o è oto esattamete ma è oto che C , i particolare quidi vale sup x R E (x) E( X 3 ), σ 3 I primi a forire maggiorazioi i questa direzioe soo stati Berry ed Eesse all iizio degli ai 40 dello scorso XX secolo. 20 Si osservi che P S µ σ 2 = a P a S µ a = Φ(a) Φ(a σ 2 ) 0

13 versioe Di cosegueza P ({ Y µ ε}) = P ) ( ε = P σ 2 ε S ) µ σ 2 σ 2 ε ) ( ) ( ) ( ) σ σ 2 ε Φ σ 2 ε + E 2 ε E σ 2 ε ) ( ) ( ) Φ σ 2 ε = 2Φ σ 2 ε. ( ε S µ ( = Φ Φ ( σ 2 ε Si ottiee di uovo la stessa tesi della Proposizioe 2, ma sotto l ipotesi più restrittiva che le variabili aleatorie siao completamete idipedeti. Ifatti madado all ifiito ella precedete relazioe si ottiee lim P ({ Y µ ε}) ( ) ( ) ( ) = lim 2Φ σ 2 ε + E ( σ 2 ε E σ 2 ε = =. Esempio.5. Sia X ua variabile aleatoria che può assumere i valori 0, 2,, 3 2 e co p X (0) = P (X = 0) = 0, p X ( 2 ) = P (X = 2 ) = 0, p X () = P (X = ) = 4 0, p X ( 3 2 ) = P (X = 3 2 ) = 4 0. Si poga il valore atteso di X uguale a µ e la sua variaza uguale a σ 2. Siao X, X 2, X 3,..., X 00 delle variabili aleatorie co la stessa Pdistribuzioe di X e 00 j= completamete (o globalmete) idipedeti tra loro e si poga Y 00 X j 00. Utilizzado il Teorema Cetrale del Limite, approssimare la probabilità ({ P µ 0 Y 00 µ + }). 0 Soluzioe Iazi tutto come si trova facilmete si ha µ = 2 20 e σ2 = Quidi la probabilita cercata è approssimata co ) ( ) 00 P = 2Φ ({ µ 0 Y 00 µ + }) ( 2Φ 0 σ 2 ε ( 400 = 2Φ 89 ) = 2Φ( ) 2Φ(2, 99) =, 9652 = Suppoiamo ora di voler rispodere i modo approssimato alla domada: sia fissato, per quale valore di ε = ε(, δ) posso affermare che P ({ Y µ ε}) δ?

14 versioe Il seguete procedimeto o è del tutto rigoroso, perché trascura l errore di approssimazioe E tra F S e Φ. Tuttavia permette di dare ua buoa valutazioe del tipo di comportameto di ε: (trascurado E ) adiamo a mostrare che ε = ε(, δ) è u ifiitesimo dell ordie di. Prima di tutto ivece di valutare cosiderado che, per sufficietemete grade, P ({ Y µ ε}) δ P ({ Y µ ε}) 2Φ ( ) σ 2 ε cerchiamo ivece ( ) 2Φ( σ 2 ε) = δ Φ σ 2 ε = 2 δ 2 = δ 2 Sicuramete esiste u valore x δ/2 per cui Φ ( x δ/2 ) = δ 2 ; Ioltre possiamo trovare u valore approssimato di x δ/2 utilizzado le tavole della gaussiaa. A questo puto basta porre σ σ 2 ε = x 2 δ/2 ε = ε(, δ) = x δ/2 = x δ/2 σ, per otteere il risultato desiderato. Suppoiamo ora di voler rispodere i modo approssimato alla domada: per quali posso affermare che P ({ Y µ ε}) δ? Ache il seguete procedimeto o è del tutto rigoroso, perché trascura l errore di approssimazioe E tra F S e Φ. Tuttavia permette di dare ua buoa valutazioe del tipo di richiesta vada fatta su per otteere la limitazioe iferiore richiesta. Ache i questo problema, ivece di cercare ua limitazioe iferiore esatta P ({ Y µ ε}) δ sempre cosiderado che, per sufficietemete grade, ( ) P ({ Y µ ε}) 2Φ σ 2 ε cerchiamo ivece ua limitazioe iferiore ( ) 2Φ( σ 2 ε) δ Φ σ 2 ε 2 δ 2 Come el caso precedete possiamo trovare u valore x δ/2 per cui Φ ( x δ/2 ) = δ 2. = δ 2

15 versioe Si osservi che, essedo Φ ua fuzioe o decrescete 2, A questo puto basta imporre che Φ (x) Φ ( x δ/2 ) = δ 2, per ogi x x δ/2, σ 2 ε x δ/2 x δ/2 σ 2 ε per otteere il risultato desiderato. T CL (ε, δ) := x2 δ/2 σ2 ε 2 (2) Osservazioe 6 Si cofrotio tra loro () e (2): come si vede () e (2) soo molto simili, la secoda si ottiee sostituedo al posto di δ, il valore x2 δ/2. Quidi a parità di valori di ε e σ 2 si ottiee che la limitazioe iferiore co la disuguagliaza di Chebyshev, pur essedo esatta, chiede Ch (ε, δ) = x2 δ/2 T CL (ε, δ) δ Per capire quidi la differeza si osservi che se δ = 0, 0, allora δ = 00, metre, essedo x δ/2 = x 0,005 = x 0,995 = 2, 576 (come si può trovare dalle tavole) si ha che x 2 δ/2 = 6, I questo caso Ch (ε, δ) = δ x 2 T CL (ε, δ) = δ/2 6 0, 0 6, T CL(ε, δ) 5, 0698 T CL (ε, δ). Se ivece δ = 0.00, allora δ = 000, metre, essedo x δ/2 = x 0,0005 = x 0,9995 = 3, 29 (come si può trovare dalle tavole) si ha che x 2 δ/2 = 0, I questo caso Ch (ε, δ) = x2 δ/2 T CL (ε, δ) = δ 0, 00 0, T CL(ε, δ) 92, 3302 T CL (ε, δ). e quidi il valore di Ch (ε, δ) è circa 92 volte più grade di T CL (ε, δ), che è calcolato co il Teorema Cetrale del Limite. 2 I realtà basta trovare sulla tavola della gaussiaa stadard u valore x δ/2 tale che Φ x δ/2 δ 2. Il ragioameto fatto co x δ/2 si può ripetere mettedo x δ/2 al posto di x δ/2.

16 versioe Appedice: Trasformazioi affii di variabili aleatorie Sia X ua variabile aleatoria e siao α e due umeri reali. trasformazioe affie di X Y = α + X. Si idichi co Y la seguete Il primo problema che ci poiamo i questo paragrafo è il seguete: data F X, la fuzioe di distribuzioe di X, calcolare F Y, la fuzioe di distribuzioe di Y. Successivamete ci occuperemo del secodo problema: se X è ua variabile aleatoria che ammette desità di probabilità f X, la variabili aleatoria Y ammette desità di probabilità f Y? e se (come effettivamete è) la risposta è sì, come si calcola f Y? Cosidereremo solo il caso i cui 0, i quato il caso = 0 corrispode al caso baale i cui Y = α, cioè Y è ua variabile aleatoria degeere 22. Soluzioe del primo problema. Comiciamo co l osservare che F Y (y) = P (Y y) = P (α + X y). A questo puto dobbiamo distiguere tra i due casi > 0 o < 0 caso > 0 I questo caso 23 { } {α + X y} = X y α e quidi ({ }) F Y (y) = P (Y y) = P (α + X y) = P X y α ( ) = F y α X. caso < 0 I questo caso 24 { } {α + X y} = X y α e quidi ({ }) F Y (y) = P (Y y) = P (α + X y) = P X y α ({ }) ( ( = P X < y α = F y α ) ) X ( ) ( ) = F y α X + P X = y α. 22 I questo caso la F Y (y) = 0 per y < α, ed F Y (y) = per y α. I questo caso, ovviamete, la variabile aleatoria Y o ammette desità, qualuque sia la distribuzioe di X. 23 Ifatti Y (ω) y α + X(ω) y X(ω) y α e quidi o {ω : Y (ω) y} = ω Ω : X(ω) y α 24 Ifatti e quidi Y (ω) y α + X(ω) y X(ω) y α {ω : Y (ω) y} = ω Ω : X(ω) y α o

17 versioe Soluzioe del secodo problema. Comiciamo co l osservare che per ipotesi F X (x) = x f X (t) dt e quidi f X (x) = d dx F X(x). caso > 0 I questo caso, come visto i precedeza, F Y (y) = F X ( y α da cui F Y (y) è derivabile i ogi y, per il quale accade che F X è derivabile i x = y α. Ioltre si ha, utilizzado la regola della derivazioe della fuzioe composta 25 d dy F Y (y) = d dy F X ( ) y α = d dx F X(x) ), y α x= caso < 0 I questo caso, essedo F X ua fuzioe cotiua, F Y (y) = F X ( ( y α d dy y α ) ) = F X ( y α ( ) = f y α X ), da cui procededo i modo simile al caso precedete d dy F Y (y) = d ( ( )) F y α X dy = d dx F X(x) y α x= d dy y α ( ) = f y α X Si osservi che, i questo caso ( < 0) si ottiee il sego egativo, come del resto doveva essere: ifatti così si ottiee che 26 d dy F Y (y) 0, come deve essere, i quato F Y è ua fuzioe crescete i seso lato (o o decrescete). Si osservi acora che possiamo esprimere il risultato otteuto i etrambi i casi el seguete modo: d ( ) dy F Y (y) = f y α X Uificado così i due casi. I coti effettuati mostrao come, se Y ammette desità, ( ) allora l uica fuzioe cadidata ad essere la fuzioe di desità di probabilità f Y (y) sia f y α X. No diamo qui la dimostrazioe geerale che questo è effettivamete il caso e rimadiamo ad esempio al testo di Baldi per la dimostrazioe. Facciamo solo otare che, i geerale, se Z è ua variabile aleatoria, co fuzioe di distribuzioe F Z (x), allora può accadere che F Z ammetta derivata i ogi x, esclusi u umero fiito di puti, ma che la variabile aleatoria o ammetta desità, o i altre parole, che la derivata o possa essere la fuzioe di desità di Z. Come esempio si cosideri il caso di ua variabile aleatoria discreta 25 Si ricordi che, se h( ) è derivabile i t, e ϕ( ) derivabile i h(t), allora d dt ϕ (h(t)) = 26 Si cosideri che f y α X 0 e che 0. d dx ϕ(x) x=h(t) d dt h(t).

18 versioe fiita, Z (Ω) {z =, z 2 = 0, z 2 = }, co P (Z = ) = P (Z = 0) = P (Z = ) = 3. Si ha allora 0 per x < F Z (x) = 3 per x < per 0 x < per x Chiaramete F Z (x) ammette derivata i ogi x / {, 0, }, e la derivata vale zero i tutti questi puti. Tuttavia è chiaro che Z o ammette desità e che la derivata trovata o può essere ua desità di probabilità, visto che l itegrale su tutto R, vale 0 e o Figura : Grafico di F Z (x) Esempio.6. Ua trasformazioe affie di X co distribuzioe Uiforme i (0, ) è acora uiforme. Iazi tutto ricordiamo che Z R(a, b), ovvero che Z ha distribuzioe uiforme ell itervallo (a, b) sigifica che la sua fuzioe di distribuzioe F Z (z) vale 0 per z < a F Z (z) = z a b a per a z < b per z b o equivaletemete che la sua desità di probabilità f Z (z) vale 0 per z < a f Z (z) = b a per a < z < b 0 per z > b I particolare quidi, per X R(0, ), si ha 0 per x < 0 F X (x) = x per 0 x < per x 0 per x < 0 e f X (x) = per 0 < x < 0 per x >

19 versioe a b Figura 2: Grafico di F Z (x), per Z uiforme i (a, b) b a 0 a b Figura 3: Grafico di f Z (x), per Z uiforme i (a, b) Sia ora Y = α + X. Iazi tutto otiamo che Y assume valori tra α e α+, se > 0, metre assume i valori tra α+ e α, se < 0. Quidi possiamo immediatamete capire che Y (Ω) = ( mi(α, α+), max(α, α+) ). Ciò ci fa subito sospettare che Y sia apputo uiforme i tale itervallo. Ciò si può dimostrare immediatamete otado che la sua desità di probabilità f Y (y) vale ( ) f Y (y) = f y α X = 0 per y α < 0 per 0 < y α < 0 per y α >

20 versioe ovvero, distiguedo a secoda del sego di, e riscrivedo le codizioi su y i modo più esplicito se > 0 se < 0 0 per y < α 0 per y > α f Y (y) = per α < y < α + f Y (y) = per α + < y < α 0 per y > α + 0 per y < α + Aalogamete si può procedere co la fuzioe di distribuzioe. Cosideriamo prima il caso > 0, ( ) 0 per y α < 0 F Y (y) = F y α X = e poi il caso < 0, y α per 0 y α < per y α ( ( F Y (y) = F y α ) ) per y α < 0 X = y α = α+ y = y (α+) per 0 y α < 0 per y α Ovvero, riscrivedo le codizioi su y i modo più esplicito, se > 0 se < 0 0 per y < α per y > α y α y (α+) F Y (y) = per α < y < α + F Y (y) = per α + < y < α per y > α + 0 per y < α + Esempio.7. Ua trasformazioe affie di X co distribuzioe gaussiaa stadard N(0, ) è acora gaussiaa: se X N(0, ) ed Y = µ + σx allora ovvero Ifatti, basta ricordare che f Y (y) = Y N(µ, σ 2 ), 2π σ 2 exp{ 2 ( y µ ) 2}, σ y R. f X (x) = 2π exp{ 2 x2 }, x R, i modo che, dalla formula geerale, co α = µ e = σ ( da cui = σ 2 ) si ha ( f Y (y) = f y µ ) X σ. σ 2 È importate sottolieare il sigificato dei parametri: ricordado che E(X) = 0 e che V ar(x) = E(X 2 ) = si ha che il parametro µ rappreseta il valore atteso di Y E(Y ) = E(µ + σx) = µ + σe(x) = µ + σ 0 = µ,

21 versioe metre il parametro σ 2 rappreseta la variaza di Y V ar(y ) = E(Y µ) = E(σ 2 X 2 ) = σ 2 V ar(x 2 ) = σ 2. Ifie può essere utile otare che, per σ > 0, si ha F Y (y) = Φ ( y µ ) σ, metre per σ < 0, si ha F Y (y) = Φ ( y µ σ ) ( = Φ y µ ) σ, (3) e quidi ache la fuzioe di distribuzioe di ua gaussiaa di parametri µ e σ 2, può essere calcolata attraverso l uso delle tavole. Esempio.8. Ua trasformazioe lieare (cioè co α = 0) di X co distribuzioe espoeziale di parametro λ è acora espoeziale, purché > 0, di parametro λ. Iazitutto otiamo che se Y = X, co X Exp(λ) e se è positivo, allora Y (Ω) = R +. Allora ( ) F Y (y) = F y 0 per y X = < 0 e λ y per y 0 o meglio, che dimostra l asserto. 0 per y < 0 F Y (y) = e λ y per y 0

22 versioe Tavola della fuzioe di distribuzioe gaussiaa stadard Φ(x) = x 2 π e y2 2 dy x

23 versioe Spiegazioe dell uso della tavola della gaussiaa stadard: Per iiziare si oti che gli idici di riga soo i 35 umeri {0.0, 0.,..., 3.3, 3.4} che vao da 0 a 3.4 e che differiscoo tra loro di u decimo, metre gli idici di coloa soo i 0 umeri {0.00, 0.0,..., 0.09}, che vao da 0 a 0.09 e differiscoo tra loro di u cetesimo. Sommado u umero di riga, co uo di coloa si può otteere uo tra i 350 valori di x che vao da 0 a 3.49, e che differiscoo tra loro di u cetesimo. Viceversa oguo di tali valori x, ad esempio x =.43, si può cosiderare come la somma della parte fio ai decimi più la parte dei cetesimi, ell esempio x =.43 = , idividuado così u idice di riga, ell esempio.4, ed uo di coloa, ell esempio Nella tavola, al posto di riga.4 e di coloa 0.03 si trova il valore di Φ(.43), ovvero della fuzioe di distribuzioe di ua gaussiaa stadard, calcolata i , e approssimato alla quarta cifra decimale. I valori di Φ(x) per x 3.50 si possoo approssimare co. Per quato riguarda i valori di Φ(x) per valori egativi si usa la relazioe che deriva immediatamete dal fatto che Φ( x) = Φ(x) (4) Φ( x) = P (X x) = P ( X x) = P (X x) = Φ(x) Alterativamete (4) si può otteere dal fatto che Φ( x) = x cambiado variabile z = y e d altra parte = +x + x Φ(x) = = x 2 π e 2 y2 dy e 2 ( z)2 ( dz) = e 2 z2 dz 2 π x 2 π + e 2 y2 dy = 2 π 2 π e 2 y2 dy x e 2 y2 dy 2 π 2 π e 2 y2 dy Ifie teedo presete la relazioe (3) che permette di otteere la fuzioe di distribuzioe di ua variabile aleatoria co distribuzioe N(µ, σ 2 ), previo ua trasformazioe affie. Problema iverso: trovare x α tale che Φ(x α ) = α Φ(x α ) = α x α La tabella è autoesplicativa, forse vale la pea solo di sottolieare che se x x α allora Φ(x) α.

24 versioe Studio del grafico della fuzioe di distribuzioe e della desità di ua espoeziale 0 λ Figura 4: Grafico di F X (x), per X espoeziale di parametro λ (caso λ < ) 0 λ λ Figura 5: Grafico di f X (x), per X espoeziale di parametro λ (caso λ < ) Studio del grafico della desità f X (x) di ua variabile aleatoria X, espoeziale di parametro λ. Ci limitiamo al caso i cui x > 0, perché per x < 0 f X (x) = 0 e o c è ulla di iteressate da dire. lim x 0 +f X (x) = lim x 0 +λ e λ x = λ lim x + f X (x) = lim x + λ e λ x = 0 f X(x) = λ e λ x ( λ) = λ 2 la tagete ell origie è la retta y λ = λ 2 x che tocca l asse delle y per x = 0 ed y = λ metre tocca l asse delle x ( cioè y = 0) per x tale che λ = λ 2 x, cioè x = λ

25 versioe λ Figura 6: Grafico di F X (x), per X espoeziale di parametro λ (caso λ > ) λ 0 λ Figura 7: Grafico di f X (x), per X espoeziale di parametro λ (caso λ > ) Studio del grafico della fuzioe di distribuzioe F X (x) di ua variabile aleatoria X co distribuzioe espoeziale di parametro λ La fuzioe F X (x) è cotiua, mootoa o decrescete (ovvero crescete i seso lato) i x = 0 vale zero, il limite per xche tede ad ifiito vale, e la derivata destra i x = 0 vale F X (δ) F X (0) e λ δ lim = lim δ 0 + δ δ 0 + δ per cui la retta y = λ x è la retta tagete (da destra) i x = 0. Ovviamete tale retta icotra la retta y = i x = λ. = λ

26 versioe Studio del grafico della fuzioe di distribuzioe e della desità di ua gaussiaa stadard 2 0 Figura 8: Grafico di Φ(x) = F X (x), per X gaussiaa stadard 2 π (2 e) 0 (2 e) Figura 9: Grafico di ϕ(x) = f X (x), per X gaussiaa stadard Studio della fuzioe ϕ(x) = 2 π e x2 2 : ϕ (x) = 2 π e x2 2 ( ) 2 x 2 = x ϕ(x) ϕ (x) = ϕ(x) + ( x)ϕ (x) = ϕ(x) + ( x)( x)ϕ(x) = ϕ(x)(x 2 ) e si cosegueza ϕ(x) è covessa per x < ϕ(x) è cocava per < x < ϕ(x) è covessa per x > Il massimo della fuzioe si ha per x = 0 e vale ϕ(0) = 2 π ( 0, 399).

27 versioe Le equazioi delle tageti i u puto x 0 soo y ϕ(x 0 ) = x 0 ϕ(x 0 ) (x x 0 ) ed i particolare per x 0 =, si ha ϕ() = 2 π e ( 0, 242) e y ϕ() = ϕ() (x ), ovvero y 2 π e = 2 π e (x ) che è l equazioe della tagete el puto i cui ϕ cambia covessità. I particolare la retta precedete tocca l asse delle x i x tale che ϕ() = ϕ() ( x ), cioè i x = 2, metre tocca la retta y = ϕ(0) i x tale che ϕ(0) ϕ() = ϕ() ( x ), cioè i x = 2 ϕ(0) ϕ() = 2 2 π = 2 e ( 0, 35379) 2 π e L equazioe della retta tagete i x = si ricava immediatamete per simmetria.