Risoluzione di un telaio iperstatico col metodo degli spostamenti

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1 Risouzione di un teaio iperstatico co etodo degi spostaenti opeento aa ezione 9/50: enni sugi eeenti finiti per 'anaisi strutturae La struttura in figura è soggetta ad una coppia appicata ne nodo. I teaio ha sezione con oento d inerzia I e ateriae di oduo di Young E. acoare i diagrai dee caratteristiche dea soecitazione interna, a curva dee pressioni e, quaitativaente, a configurazione deforata. Voendo risovere a struttura traite i etodo degi spostaenti, si parte da conteggio de grado (s) di indeterinazione cineatica. I nodi e sono incastri: pertanto in e sono nue sia e coponenti verticai ed orizzontai deo spostaento quanto a rotazione. Tanto i nodo quanto i nodo non sono vincoati esternaente e dunque coporterebbero 3 incognite cineatiche ciascuno. Osservando che a deforabiità assiae dà un contributo soitaente trascurabie se confrontata con a deforabiità fessionae, si può ipotizzare che e travi,, siano assiaente inestensibii, coettendo così un approssiazione peratro più che ecita nea pratica ingegneristica. Ne consegue che i nodi e non possono trasare verticaente e, orizzontaente, trasano dea stessa quantità. Le incognite cineatiche nodai si riducono ae rotazioni ϕ e ϕ dei nodi e ed aa oro trasazione orizzontae η (ovvero entità di cui trasa i traverso ). I grado di indeterinazione cineatica s è dunque pari ad 3. Occorre ora evidenziare a struttura a nodi boccati; quest utia si ottiene inserendo incastri anche nei nodi e. La struttura a nodi boccati è equivaente aa struttura originaria, purché sia assoggettata ad opportuni cedienti vincoari (rotazione in, in, trasazione orizzontae di e ).

2 z y y z y z I teaio cui si perviene è cineaticaente aissibie o congruente per quasiasi vaore dei cedienti. Esistono dunque 3 souzioni congruenti. Esiste però un unica souzione che è anche staticaente aissibie o equiibrata. Si ottiene iponendo equazione di equiibrio duai ae incognite cineatiche, ovvero equazione di equiibrio aa rotazione de nodo, equazione di equiibrio aa rotazione de nodo, equazione di equiibrio aa trasazione de intero traverso. Nea figura precedente sono stati evidenziati anche i sistei di riferiento ocae dee singoe travi. on riferiento ai pedici dei terini che copaiono reazione {Q} = [K] {δ}, per e travi, e i nodi i sono rispettivaente, e, entre i nodi j sono, e. Per a scrittura dee equazioni di equiibrio occorre cacoare i oenti e e forze orizzontai che nascono nei nodi e per effetto degi spostaenti nodai (visti coe cedienti iposti). Questi vaori possono essere ottenuti daa reazione {Q} = [K] {δ} {F}. Si noti che non vi sono carichi non nodai: pertanto i vettore {F} è sepre nuo e e forze ed i oenti necessari aa scrittura dee equazioni di equiibrio sono tutti contenuti nea atrice di rigidezza dea trave, {Q} = [K] {δ}. Per quanto riguarda i segni, si noti che equazione {Q} = [K] {δ} fornisce e azioni sua trave; per a scrittura de equiibrio nodae siao invece interessati ae azioni su nodo che, per i principio di azione/reazione, sono uguai ed opposte ae precedenti. In aternativa, per aggior coodità e in odo più intuitivo, i vaori dee soecitazioni nodai per a scrittura dee equazioni di equiibrio possono essere ottenuti usando i foruario aegato aa video-ezione 37 (reazioni notevoi di travi doppiaente incastrate). Si considerino dappria e soecitazioni nodai dovute aa rotazione ϕ (positiva se antioraria). I oento ed i tagio che i ritto trasette a nodo sono dati dai terini (,) e (5,) dea atrice di rigidezza (cabiati di segno e otipicati per ϕ ). I oenti che i traverso trasette rispettivaente ai nodi e sono dati dai terini (,) e (,) di [K] (cabiati di segno e otipicati per ϕ ). ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

3 Si iponga ora a rotazione ϕ (positiva se antioraria). I oento ed i tagio che i ritto trasette a nodo sono dati dai terini (,) e (,) dea atrice di rigidezza (cabiati di segno e otipicati per ϕ ). I oenti che i traverso trasette rispettivaente ai nodi e sono dati dai terini (,) e (,) di [K] (cabiati di segno e otipicati per ϕ ). ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Si consideri infine effetto dea trasazione η de traverso (positiva se verso destra). I oento ed i tagio che i ritto trasette a nodo sono dati dai terini (,5) e (5,5) dea atrice di rigidezza (cabiati di segno e otipicati per η). I oento ed i tagio che i ritto trasette a nodo sono dati dai terini (,) e (,) di [K], cabiati due vote di segno (essendo v i = η) e otipicati per η. η η η 3 η 3 η Siao ora in grado di scrivere e 3 equazioni di equiibrio nodai. Partendo da equiibrio aa rotazione de nodo, si deve porre che a soa agebrica dei oenti dovuti agi spostaenti nodai e dea coppia esterna appicata in deve essere nua: ϕ ϕ ϕ 6 η = 0 naogaente deve sussistere equiibrio aa rotazione de nodo : ϕ ϕ ϕ 6 η = 0

4 Infine equiibrio aa trasazione orizzontae de traverso ipone che: 6 ϕ 6 ϕ η η = Le tre equazioni di equiibrio costituiscono un sistea ineare nee 3 incognite ϕ, ϕ, ed η, a cui souzione porge: ϕ ϕ η = 3 = = Per ottenere i diagraa de oento e de tagio a estreità di ogni trave costituente i teaio è sufficiente appicare a reazione {Q} = [K] {δ} tratto per tratto. Si riportano espicitaente i passaggi soo per i vaori de oento. Si consideri dappria i ritto : M = ϕ η = ritto ( M ) = ϕ η = 7 Si noti che, ne abito de etodo degi spostaenti, e convenzioni di segno dee caratteristiche dea soecitazione interna non coincidono con quee usuai dea Scienza dee ostruzioni. I segno positivo indica che i oento agente sua trave è antiorario e viceversa se negativo. Graficaente, dunque: 7 Per i traverso si ha: 5 ( M ) traverso = ϕ ϕ = M = ϕ ϕ =

5 5 Infine, i vaore de oento in vae: M = ϕ 6 ( η) = 0 I diagraa di oento de intera struttura risuta pertanto essere: M 0 I diagraa de tagio si ottiene in aniera anaoga a quea de diagraa di oento, o, in odo ancor più sepice, osservando che i tagio è a derivata de diagraa di oento. Oettendo i passaggi, i diagraa finae de tagio è: 6 7 / T / /

6 Noto che sia i tagio, i vaori di sforzo norae su ritto e su traverso possono essere infine deterinati iponendo equiibrio aa trasazione dei nodi e. I diagraa deo sforzo norae risuta pertanto: / N 6 7 / 6 7 / La curva dee pressioni si deterina faciente osservando che e due rette d azione dee reazioni devono (i) passare per i punti di nuo de diagraa di oento e (ii) essere paraee, dato che i carico esterno ha risutante nua. Pertanto a curva dee pressioni è rappresentata daa retta b a destra de punto di appicazione di (tratti e ) e daa retta a a sinistra (tratto ): a b I tracciaento quaitativo dea configurazione deforata si effettua a partire dagi spostaenti nodai e da diagraa di oento. I nodi e hanno spostaento verticae nuo e spostaento orizzontae pari a η (essendo negativo i nodi trasano verso destra); i nodo ruota in senso antiorario ed i nodo in senso orario. La concavità/convessità dea inea eastica è deterinata da segno de diagraa de oento. ove i oento si annua si hanno punti di fesso dea deforata. fessi

7 NOTE Si osservi che a stessa struttura risota co etodo dee forze richiedeva a risouzione di un sistea di 3 equazioni (di congruenza) in 3 incognite. I coefficienti dee equazioni richiedono però un cacoo ad hoc, essendo i teaio a nodi obii, ad esepio traite i PLV (ezioni -). o etodo isto sono invece necessarie 5 equazioni (di cui di congruenza e di equiibrio) essendo a reticoare associata vota abie. I coefficienti dee equazioni sono però di iediata deterinazione (si usa i foruario dee rotazioni eeentari aegato aa video-ezione 36). È interessante osservare che a risouzione co etodo degi spostaenti è univoca, essendovi un unica struttura a nodi boccati, entre a sceta de isostatica principae ne etodo dee forze è arbitraria. o etodo dee forze inotre, nea sceta de isostatica principae, si corre i rischio di incappare nea adisposizione vincoare (ottenendo così una struttura abie). Queste (ed atre) considerazioni spiegano perché i codici di cacoo per i teai si basino su etodo degi spostaenti e non su queo dee forze. Per gi stessi otivi è stata proposta a risouzione di un teaio co etodo degi spostaenti coe copeento aa ezione cenni sugi eeenti finiti per anaisi strutturae.