Lezione2: Circuiti Logici

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1 Lezione2: Circuiti Logici

2 traduce per noi in linguaggio macchina utente macchina software macchina hardware Agli albori dell'informatica, l utente programmava in binario (Ling.Mac.) scrivendo i programmi nella RAM

3 L Hardware di un computer Hardware = insieme dei circuiti elettronici Un circuito puo essere descritto Mostrando i dettagli realizzativi in termini di circuiti elementari (porte) Mediante una tavola di verita che mostra i valori in uscita per tutti i possibili ingressi 3 tipi di circuito fondamentali: and, or, not

4 and, or, not Operazione logica: operazione che agisce sui valori di verita vero e falso: dati due valori di verita come operandi ritorna un valore di verita come risultato

5 Porte logiche IDEA: identificare il valore di verità FALSO con (assenza di tensione) Identificare il valore di verità VERO con (presenza di tensione)

6 L algebra di Boole George Boole (8-864) Contempla due costanti e (falso e vero) Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti Sui valori booleani si definiscono le operazioni AND, OR, NOT 6

7 L algebra di Boole 7

8 L operazione di OR Si definisce l operazione di somma logica (OR): il valore della somma logica è il simbolo se il valore di almeno uno degli operandi è il simbolo + = + = + = + =

9 L operazione di AND Si definisce l operazione di prodotto logico (AND): il valore del prodotto logico è il simbolo se il valore di tutti gli operandi è il simbolo = = = = 9

10 La negazione NOT Si definisce l operatore di negazione (NOT): l operatore inverte il valore della costante su cui opera = = Dalla definizione = =

11 A B A B falso falso vero falso vero vero vero falso falso vero vero vero IMPLICAZIONE (se allora) A B A B A B equivale a (NOT A) OR B A B NOT A (NOT A) OR B A B R A è condizione sufficiente per B B è condizione necessaria per A

12 A B A B EQUIVALENZA A B equivale a (A B) AND (B A) A B A B B A (A B)AND(B A) A B R

13 Tavole di verità e circuiti - Dato un qualsiasi circuito e sempre possibile definire la tavola di verita (in un solo modo) circuito Un solo modo Tavola di verità - Data una tavola di verita si possono costruire in generale piu circuiti che la realizzano Tavolà di verità Circuito Circuito 2 Circuito n

14 Dal circuito alla tavola di verità - Modo ) Si calcola, per ogni possibile configurazione degli ingressi, l uscita delle porte fino alle uscite del circuito - Modo 2) Si calcola la formula logica corrispondente al circuito e si calcolano le tabelle di verita partendo dalle formule intermedie piu semplici fino alla formula data

15 Dalla tabella di verita ad un circuito Tanti input quante sono le dimensioni della tabella Un solo output Un or la cui uscita e l output Tanti and quanti sono gli della tabella Input degli and: diretto se, negato se A B A B A B R

16 !!! Chiaramente il circuito cosi costruito non necessariamente e il piu semplice (ovvero con il minor numero possibile di porte logiche utilizzate)

17 Nand e nor Non servono tre operazioni (and,( or, not) Basta una tra : nand (not and) e nor (not or)

18 NAND A B A NAND B falso falso vero falso vero vero vero falso vero vero vero falso NOR A B A NOR B falso falso vero falso vero falso vero falso falso vero vero falso A B R A B R A B R A B R

19 NAND e NOR Una CPU si puo` realizzare stampando su silicio una griglia di milioni di porte logiche tutte uguali: NAND o NOR.

20 NOT AND A R A B R A nand A (A nand B) nand (A nand B) OR A R B (B nand B) nand (A nand A)

21 Esercizio (formule) Quale e la tavola di verita della formula (not(a) B) OR NOT(A)? A B Not(A) Not(A) B R

22 Esercizio (formule) Quale e la tavola di verita della formula (not(a) B) OR NOT(A)? A B Not(A) Not(A) B R

23 Esercizio 2 (formule) Quale e la tavola di verita della formula A or (A and not(b))? A B Not(B) A and not(b) R

24 Esercizio 3 (circuiti) Si disegni un circuito logico che realizza la seguente tavola di verita : A B R A B R 24

25 Esercizio 4 Dare la tavola di verita della formula (NOT(A) NOT(B)) OR (NOT(A) AND B) NOT(A) NOT(B) = NOT(NOT(A)) or NOT(B)==A or NOT(B) (A or NOT(B)) or (NOT(A) and B) A B Not(A) Not(B) A or not(b) Not(A) and B R

26 Esercizio 4 Circuito (NOT(A) NOT(B)) OR (NOT(A) AND B) A B and and or or R and and or

27 ...due aspetti... Le formule logiche si possono utilizzare per formalizzare asserzioni anche molto complesse Si possono comporre circuiti semplici per ottenenere circuiti che realizzano nuove operazioni piu`complesse

28 Esempio Siccome un rettangolo è un quadrato se ha altezza uguale alla base allora un rettangolo che non è un quadrato non ha altezza uguale alla base Formalizzazione: A= è un quadrato B= ha altezza uguale alla base (B==>A) ==> (NOT A ==> NOT B)

29 Tabella di verità A B B==> A NOT A ==> NOT B F

30 Alcune definizioni... Formula SODDISFACIBILE (almeno un in tabella) Formula INSODDISFACIBILE (tutti in tabella) Formula VALIDA (tutti in tabella) (TAUTOLOGIA) F VALIDA <==> not F INSODDISFACIBILE

31 Esempio di utilizzo di circuiti: Somma tra binari

32 Sistemi di numerazione posizionali Sistemi di numerazione posizionali: La base del sistema di numerazione Le cifre del sistema di numerazione Il numero è scritto specificando le cifre in ordine ed il suo valore dipende dalla posizione relativa delle cifre Esempio: Il sistema decimale (Base ) Cifre : = Posizione:

33 Sistemi in base B La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione La cifra di minor valore è sempre lo ; le altre sono, nell ordine,,2,,b ; se B> occorre introdurre B simboli in aggiunta alle cifre decimali Un numero intero N si rappresenta con la scrittura (c n c n c 2 c c ) B N = c n B n +c n B n +...+c 2 B 2 +c B +c B c è la n cifra più significativa, c la meno significativa Un numero frazionario N si rappresenta come (,c c 2 c n ) B N = c B +c 2 B c n B n 33

34 Numeri interi senza segno Con n cifre in base B si rappresentano tutti i numeri interi positivi da a B n (B n numeri distinti) Esempio: base 2 cifre: da a 2 = = valori Esempio: base 2 2 cifre: da a 2 2 = = 4 valori 34

35 Il sistema binario (B=2) La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione Esempi: Cifre: bit (binary digit) Forma polinomia () 2 = = = (45) (,) 2 = = +,25 + +,625 = (,325) (,) 2 = = 2 + +,5 + +,25 = (3,625) 35

36 Dal bit al byte Un byte è un insieme di 8 bit (un numero binario ad 8 cifre) b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b b Con un byte si rappresentano i numeri interi fra e 2 8 = = 256 valori distinti È l elemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del byte: 2 byte (6 bit), 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit) 36

37 Somma binaria Colonna per colonna, da destra a sinistra Riporto se la somma su una colonna supera la base Tre cifre binarie (prima riga, seconda riga, riporto), somma = se una o tre sono, riporto = se almeno due sono Riporto: =

38 riporti + = Iniziamo con un circuito che faccia la somma su una colonna Abbiamo tre cifre binarie X, Y, R in input mentre in output vogliamo ottenere la somma S ed il riporto R'

39 Tabella di verità X Y R S R'

40 Supponiamo di avere i circuiti che calcolano somma e riporto X Y R SOMMA S X Y R RIPORTO R'

41 Possiamo allora combinare i circuiti SOMMA e RIPORTO per ottenere il seguente circuito -ADD X Y R -ADD SOMMA RIPORTO S R'

42 Il circuito RIPORTO puo` essere realizzato nel seguente modo RIPORTO X R' Y R Basta infatti verificare la corrispondente tabella di verita (Il nuovo riporto è q se almeno due di esse sono, altrimenti)

43 R Y X CIRCUITO SOMMA (la somma di tre cifre è se o tutte e tre sono oppure una sola vale )

44 A questo punto componendo K circuiti -ADD e` possibile realizzare un circuito K-ADD che somma due numeri binari di K cifre. Vediamo l'esempio della somma di due numeri binari di 4 cifre.

45 Somma di numeri di 4 bit Y 3 Y 2 Y Y X 3 X 2 X X riporto finale inutile R 3 R 2 R R -add -add -add -add riporto iniziale S 3 S 2 S S risultato

46 Esempio -add -add -add -add + =

47 Attenzione Si e` trascurato il problema del cosiddetto overflow, cioe il risultato e troppo grande per essere contenuto nei bit disponibili. Per esempio: + =

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