Università del Salento

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1 Uiversità del Saleto FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea i Fisica I N T R O D U Z I O N E A L L A F I S I C A M O D E R N A R O S A R I O A N T O N I O L E O Ao Accademico 2007/2008

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3 I N D I C E ozioi elemetari. richiami 1 Puto materiale iii 2 Sistemi di particelle v iii i meccaica aalitica 1 1 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage Vicoli Defiizioi Classificazioe dei vicoli Gradi di libertà e coordiate lagragiae Pricipio di d Alembert ed equazioi di Lagrage Poteziali geeralizzati e fuzioi di dissipazioe Poteziali geeralizzati Equazioi di Lagrage i preseza di forze o derivabili da u poteziale Trasformazioi di gauge e lagragiaa di ua particella immersa i u campo elettromagetico 11 2 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage Pricipio di Hamilto Applicazioi del calcolo delle variazioi Cammio più breve fra due puti i u piao Il problema della brachistocroa Leggi di coservazioe Coordiate cicliche Fuzioe eergia 25 3 applicazioi delle equazioi di lagrage Problema dei due corpi Movimeto i u campo cetrale Piccole oscillazioi Impostazioe del problema Riepilogo Osservazioi U particolare problema 36 4 formalismo hamiltoiao Equazioi di Hamilto U esempio Notazioe simplettica Coordiate cicliche e metodo di Routh Pricipio variazioale di Hamilto modificato 46 i

4 Idice 4.5 Paretesi di Poisso Trasformazioi caoiche Equazioi di Hamilto-Jacobi Variabili agolo-azioe el caso uidimesioale Esempio: l oscillatore armoico uidimesioale 57 Bibliografia (Parte 1) 59 ii relatività ristretta e itroduzioe alla meccaica quatistica 61 5 relatività speciale Trasformazioi di Loretz Premessa Cocetto di eveto Pricipio di ierzia Postulati della Relatività Ristretta e trasformazioi di Loretz Alcue cosegueze delle trasformazioi di Loretz Legge di trasformazioe delle velocità Cotrazioe delle lughezze Dilatazioe dei tempi Lo spazio di Mikowski Quadrivelocità e quadriaccelerazioe Diamica relativistica Eergia cietica e mometi Quadrimometo, tesore mometo agolare Equazioi del moto Meccaica aalitica relativistica (cei) Carica i moto i u campo elettromagetico *L iterferometro di Michelso e Morley 87 6 itroduzioe alla meccaica quatistica *Il corpo ero L effetto fotoelettrico Effetto Compto Ode di materia di de Broglie 97 Bibliografia (Parte 2) 99 a la trasformata di legedre 101 a.1 Defiizioe 101 b ote sulle uità di misura 103 c costati fisiche fodametali 105 ii

5 N O Z I O N I E L E M E N TA R I. R I C H I A M I 1 puto materiale L idea di puto materiale è uo dei cocetti di base della meccaica aalitica. Il puto materiale è caratterizzato dalla sua massa. La posizioe di u puto materiale i u sistema di riferimeto Oxyz, supposto ierziale salvo avviso cotrario, è determiata dal raggio vettore r = xˆx + yŷ + zẑ. Defiiamo velocità v = dr dt quatità di moto p = mv, e accelerazioe a = dv dt = d2 r dt 2. = ẋˆx + ẏŷ + żẑ, Sappiamo che, i u sistema di riferimeto ierziale, valgoo i pricipi della diamica. Se F è la forza risultate agete sulla particella di massa m si ha che, per il secodo pricipio della diamica, F = dp dt = mdv = ma, (1) dt co m supposta costate rispetto al tempo. Suppoiamo che la particella sia libera. Allora x(t), y(t), z(t) soo tra loro idipedeti. Se F = F (r, v, t) = F (x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t) dalle (1) otteiamo: mẍ(t) = F x (x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t), mÿ(t) = F y (x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t), m z(t) = F z (x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t). (2) Assegate le codizioi iiziali r(0) = r 0 e v(0) = v 0, se i u itoro di (r 0, v 0, 0) le fuzioi F x, F y e F z soo buoe (per esempio soo lisce, cioè soo di classe C ), allora il sistema di equazioi (2) per t > 0 ammette, almeo i u itoro di (r 0, v 0, 0), u uica soluzioe. Viee così soddisfatto, almeo localmete, il pricipio determiistico ewtoiao. Le equazioi (2) soo dette equazioi del moto. Osservazioe: la quatità di moto si coserva, cioè p è costate, se F = 0 ideticamete. Defiiamo mometo agolare della particella rispetto ad O L O = r p. (3) iii

6 ozioi elemetari. richiami Defiiamo mometo della forza F rispetto al puto O dl O dt = r dp dt = r F N O. (4) Dalla (4) si vede che il mometo agolare si coserva, cioè L O è costate, se N O = 0 ideticamete. Per esempio se cosideriamo F forza cetrale tale che il cetro della forza è O, allora N O = 0 e quidi L O è costate. Il mometo agolare della particella rispetto ad u puto O idividuato rispetto ad O dal vettore posizioe r O è dato da L O = (r r O ) p. Si vede facilmete che dl O dt = (r r O ) F dr O dt p = N O dr O dt p, dove N O è il mometo delle forze rispetto a O. Se F è ua forza coservativa allora F = U (r), dove U (r) è l eergia poteziale. Idichiamo co T = 1 2 mv2 l eergia cietica della particella. Sappiamo che se F è ua forza coservativa vale il pricipio di coservazioe dell eergia meccaica: T + U = costate. Ricordiamo che vale, ache se la forza o è coservativa, il teorema dell eergia cietica: L = B A F dr = 1 2 mv2 B 1 2 mv2 A = T B T A. Esercizi 1. Studiare il moto di ua particella di massa m soggetta alla forza F = kr αv (k, α > 0) dove r vettore posizioe della particella e v velocità, co le codizioi iiziali r(0) = r 0 = 0 e v(0) = v 0 r 0 2. Studiare il moto di ua particella di massa m e carica q i u campo magetico B uiforme e costate. Siao r(0) = r 0 e v(0) = v 0 = 0 3. Studiare il moto di ua particella di massa m e carica q i u campo elettrico E e i u campo magetico B, uiformi e costati e tra loro ortogoali. iv

7 2 sistemi di particelle 2 sistemi di particelle Suppoiamo di avere u sistema di N particelle putiformi. Sia Oxyz il sistema di riferimeto (ierziale). Siao m i e r i rispettivamete la massa ed il vettore posizioe dell i-esima particella. Defiiamo cetro di massa r CM = N m ir i M, co M = N m i. Detta ioltre v i = dr i dt velocità del cetro di massa sarà: la velocità dell i-esima particella, la v CM = N m iv i M. Defiiamo ifie la quatità di moto p CM = N m i v i = Mv CM. Ogi particella del sistema iteragisce co le altre particelle e co il modo estero. Sia F ij la forza che la j-esima particella (j = i) esercita sulla i-esima. Se vale la forma debole del pricipio di azioe e reazioe allora F ij + F ji = 0. Per la secoda legge della diamica dp i dt = F i = F (e) N i + F ji, j=1,j =i dove F i è la forza totale agete sulla i-esima particella, F (e) i è la forza totale estera agete sulla i-esima particella e N j=1,j =i F ji è la forza totale itera agete sulla i-esima particella. Poiché N N j=1,j =i F ji = 0 allora dp CM dt = N F (e) i = F (e), dove F (e) è la risultate delle forze estere. Se F (e) = 0 allora p CM è costate e quidi il cetro di massa si muove di moto rettilieo uiforme, assumedo che la massa M sia costate. Defiiamo mometo agolare del sistema di N particelle putiformi rispetto ad O L O = N r i p i. Si ricava baalmete che dl O dt = N r i F i = N O. v

8 ozioi elemetari. richiami Osserviamo che se vale la forma forte del pricipio di azioe e reazioe, cioè se ( ri r j ) Fji = 0 i, j = i, allora Se N (e) O N O = N r i F (e) i = N (e) O = 0 allora L O è costate. Sia r i il vettore posizioe dell i-esima particella rispetto al cetro di massa, cioè si ha r i = r i r CM. Allora L O = N (r CM + r i r CM ) p i = r CM p CM + L CM. Defiiamo eergia cietica del sistema di N particelle T = N 1 2 mv2 i. Vale acora il teorema dell eergia cietica: L = N 2 F i dr i = T 2 T 1, 1 dove co 1 e 2 soo rispettivamete le cofigurazioi iiziale e fiale del sistema. Osserviamo che N 2 N 2 F i dr i = F (e) 1 1 ed ioltre i dr i + N N j=1,j =i 2 F ji dr i + F ij dr j = F ji (dr i dr j ) = Fji dr ji co F ji dr ji = 0 i geerale. Se tutte le forze soo coservative allora L = N ( U (e) i (1) U(e) i (2) ) F ji dr i N ) (U ij(1) U ij(2). i,j=1,j =i Vale il pricipio di coservazioe dell eergia meccaica: Esercizi T + U = T + N 1. Dimostrare che dl CM dt = N CM. U (e) i + 1 N 2 U ji = costate. i,j=1,i =j 2. Dimostrare che L CM = N (r i r CM ) p i, co p i = m i (v i v CM ). vi

9 Parte I M E C C A N I C A A N A L I T I C A

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11 P R I N C I P I O D I D A L E M B E RT E D E Q U A Z I O N I D I L A G R A N G E vicoli Defiizioi Fissato u sistema di riferimeto ierziale, la posizioe di ua particella putiforme è, ad ogi istate, idividuata dal vettore r(t). La particella è libera se o è soggetta ad alcua codizioe che e limiti la traiettoria; i caso cotrario si dice che essa è vicolata. Allo stesso modo per u sistema di N particelle, se tutte le particelle che costituiscoo il sistema soo libere, il sistema è detto libero; altrimeti si dice che è vicolato. La preseza di vicoli comporta l itroduzioe di forze che agiscoo sulle particelle limitadoe la mobilità. Queste forze soo dette forze vicolari o reazioi vicolari. Chiameremo attive le forze che o soo dovute a vicoli Classificazioe dei vicoli Classifichiamo i vicoli: I base alla forma delle relazioi che legao le coordiate delle particelle: vicoli oloomi: possoo essere espressi da relazioi del tipo f (r 1, r 2,..., r N, t) = 0. (1.1) Il sistema si dirà, i tal caso, oloomo. Ad esempio: * ua particella che si muove el piao xy lugo la retta y = mx + q; * il corpo rigido: le reazioi vicolari soo del tipo ri r j 2 c 2 ij = 0 (la distaza tra due puti geerici del corpo rigido è costate); vicoli aoloomi: o possoo essere espressi da relazioi del tipo (1.1). Tali vicoli possoo essere espressi da vicoli di diseguagliaza o equivaletemete da vicoli di uguagliaza i cui compaioo ache le velocità. Esempi: * particella vicolata a stare all itero di ua sfera di cetro O e raggio a. I tal caso il vicolo si esprime co r 2 a 2 < 0. I base alla dipedeza dal tempo: vicoli scleroomi: o dipedoo dal tempo; vicoli reoomi: dipedoo dal tempo. 3

12 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage I base al tipo di reazioe vicolare vicoli lisci: la reazioe vicolare è sempre ormale al vicolo; vicoli scabri: la reazioe vicolare ha ua compoete tageziale al vicolo (soo preseti forze di attrito). 1.2 gradi di libertà e coordiate lagragiae La cofigurazioe di u sistema libero formato da N particelle è defiita dagli N vettori posizioe r i (t), co i = 1,... N, ed è quidi idividuata, i uo spazio tridimesioale, da 3N quatità scalari o coordiate idipedeti. Defiiamo umero di gradi di libertà del sistema il miimo umero di coordiate idipedeti i grado di idividuare la cofigurazioe. Secodo questa defiizioe u sistema libero di N particelle i uo spazio tridimesioale ha 3N gradi di libertà. I u sistema vicolato le coordiate o soo tra loro idipedeti. Se i vicoli soo oloomi e soo espressi mediate k equazioi del tipo (1.1), allora il umero di coordiate idipedeti sarà = 3N k e quidi si avrao gradi di libertà. Possiamo pertato itrodurre coordiate idipedeti che tegao coto dei vicoli. Siao q 1, q 2,..., q tali coordiate. Esse o hao i geerale le dimesioi di ua lughezza e o possoo essere raggruppate per formare le tre compoeti di u vettore. Ad esempio, si cosideri u pedolo el piao. Il sistema avrebbe due gradi di libertà se o fosse vicolato; dato che la distaza tra la particella e l origie è fissata uguale a l si ha ivece u solo grado di libertà. Si può allora idividuare lo stato del sistema i ogi istate utilizzado ua sola coordiata quale, ad esempio, l agolo θ. È possibile esprimere i vettori posizioe mediate le uove coordiate tramite le trasformazioi r i = r i (q 1, q 2,..., q, t). (i = 1,...N) Le coordiate q i, co i = 1,..., soo dette coordiate lagragiae o geeralizzate del sistema. 1.3 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage Defiiamo spostameto virtuale ifiitesimo di u sistema u cambiameto di cofigurazioe relativo ad ua variazioe δr i delle coordiate, compatibile co le forze ed i vicoli a cui il sistema è sottoposto ad u dato istate t. Chiamiamo tale spostameto virtuale per distiguerlo da uo spostameto reale dr i i cui si cosidera u itervallo dt el quale variao forze e vicoli. 4

13 1.3 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage Cosideriamo u sistema di N particelle. Suppoiamo che il sistema sia i equilibrio, cioè ogi particella del sistema è i equilibrio. Allora F i = 0, F i δr i = 0, δl = N F i δr i = 0, (1.2a) (1.2b) (1.2c) co i = 1,... N, dove δl è il lavoro virtuale ifiitesimo. Se poiamo F i = F (a) Φ i, dove F (a) i e Φ i soo rispettivamete la forza attiva totale e la forza vicolare ageti sulla i-esima particella, la (1.2c) diveta: δl = N F (a) i δr i + N i + Φ i δr i = 0. (1.3) Assumeremo d ora i avati che il lavoro virtuale delle forze vicolari sia ullo, cioè N Φ i δr i = 0, e che i vicoli siao oloomi bilaterali e lisci. Allora possiamo scrivere la (1.3) come N F (a) i δr i = 0, (1.4) che è il pricipio dei lavori virtuali. Osserviamo che i δr i, co i = 1,... N, o soo i geerale liearmete idipedeti e quidi i F (a) i o soo automaticamete ulli. Siao q 1, q 2,..., q le coordiate lagragiae del sistema scelte. Allora r i = r i (q 1, q 2,... q, t), δr i = r i δq q k, k=1 k (1.5a) (1.5b) co i = 1,...N. Suppoedo che il lavoro virtuale delle forze vicolari sia ullo si ha dove δl = = N F (a) i δr i = N ( N F (a) i r i q k=1 k Q (a) N k = F (a) i r i q k F (a) i k=1 ) δq k = r i q k δq k = Q (a) k δq k, k=1 (k = 1,...) soo dette forze geeralizzate (attive). Poiché le δq k soo idipedeti si ha δl = 0 Q (a) k = 0. (k = 1,...) 5

14 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage Si può dimostrare che Q (a) k = 0 co k = 1,... è codizioe ecessaria e sufficiete per l equilibrio, i preseza di vicoli oloomi bilaterali lisci. La relazioe (1.4) è applicabile solo al caso statico. Se si vuole applicare il pricipio dei lavori virtuali ache al caso di moto del sistema, bisoga partire dalle N equazioi del moto dp i dt = F i F i dp i dt = 0 per i = 1,...N. Se cotiuiamo ad assumere che le forze vicolari o compioo lavoro virtuale, la (1.4) diveta: N ( F (a) i dp ) i δr i = 0. (1.6) dt Osserviamo che le forze vicolari o compaioo esplicitamete. Idichiamo d ora i poi co F i la forza attiva totale agete sull i-esima particella. Come el caso statico occorre otteere u espressioe che cotega solo gli spostameti virtuali delle coordiate geeralizzate (che soo idipedeti). Partiamo, come el caso statico, dalle trasformazioi r i = r i (q 1,..., q, t) δr i = r i δq q k k=1 k (i = 1,...N) v i = dr i dt = r i q q k + r i k=1 k t. (1.7) Come prima abbiamo N F i δr i = Q k δq k, k=1 dove Q k = N F i r i q k. Osserviamo che le q k o hao ecessariamete le dimesioi di ua lughezza, così come le Q k o hao i geerale le dimesioi di ua forza. Cosideriamo ora N dp i dt δr i = Osserviamo che Ioltre = k=1 ( N k=1 { N dv i m i dt r i q k [ d dt ) ( m i v i r i q k δq k = ) m i v i d ] } r i δq dt q k. k v i = r i. (1.8) q k q k d r i = v i. (1.9) dt q k q k 6

15 1.3 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage I base a queste osservazioi possiamo scrivere: N dp i dt δr i = = = k=1 { N k=1 k=1 [ d dt { [ d dt q k [ ( d T dt q k ( m i v i v i q k N ) m i v i v ] } i δq q k = k ( ) ] 1 2 m iv 2 i N ( ) } 1 q k 2 m iv 2 i δq k = ] δq k, ) T q k dove T = N 1 2 m iv 2 i. Allora il pricipio di d Alembert è el ostro caso equivalete alla relazioe k=1 [ d dt ( q k T ) T ] δq q k = 0. k Dato che gli spostameti virtuali ifiitesimi δq k, co k = 1,..., soo idipedeti, possiamo scrivere equazioi del moto ( ) d T T = Q dt q k q k. (1.10) k Se suppoiamo che le forze attive siao tutte coservative e derivio da u uico poteziale U, si ha F i = i U e quidi Q k = N F i r i q k = N i U r i q k = U q k. Teedo presete che U dipede solo da q e o da q (cioè U q k = 0; k = 1,...), le equazioi del moto (1.10) possoo essere scritte el modo seguete: [ ] d (T U) (T U) = 0. dt q k q k Defiedo L = T U (1.11) lagragiaa del sistema, possiamo scrivere le equazioi di Lagrage: ( ) d L L = 0. (1.12) dt q k q k Osservazioe: se cosideriamo F = F(q, t) fuzioe di classe opportua, si può dimostrare che L (q, q, t) = L(q, q, t) + df dt è u altra fuzioe lagragiaa che porta alle stesse equazioi del moto. 1 1 Si è qui utilizzata la otazioe, che ricorrerà per brevità i seguito, q = (q 1, q 2,... q ) per idicare l eupla delle coordiate geeralizzate; tuttavia bisoga teere sempre presete che tale eupla o è, i geerale, u vettore (basti pesare che, come già osservato, le q i possoo avere ache dimesioi diverse.) 7

16 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage Osservazioe: le equazioi di Lagrage possoo essere acora scritte ella forma usuale se U = U(q, q, t) e Q k = U + d ( ) U. (1.13) q k dt q k La fuzioe U è detta poteziale geeralizzato, o poteziale dipedete ache dalle velocità e dal tempo. La fuzioe lagragiaa può acora essere defiita come L = T U. 1.4 poteziali geeralizzati e fuzioi di dissipazioe Poteziali geeralizzati Cosideriamo ua particella putiforme di massa m e carica q i u campo elettromagetico E, B. Su di essa agisce la forza di Loretz: F = q (E + v ) c B. (1.14) Le equazioi del moto soo perciò m dv dt = md2 r dt 2 = q ( E + v c B ). Siao ora ϕ e A i poteziali scalare e vettoriale rispettivamete i modo che E = ϕ 1 A c t, (1.15) B = A. (1.16) Riscriviamo la forza di Loretz mediate le precedeti: [ F = q ϕ 1 A c t + v ] ( A) = c [ = q ϕ 1 A c t + 1 c (A v) 1 ] (1.17) (v )A c dove si è teuto coto del fatto che v = 0 e quidi v ( A) = (A v) (v )A. Osserviamo ora che da dt dipede da v, d v(a v) dt = da = A t + (v )A; ioltre dato che A o dt ; ifie vϕ = 0. Allora [ F = q (ϕ 1c ) A v 1 ] da = c dt { = q (ϕ 1c ) A v + d [ v (ϕ 1c )]} dt A v = = U + d vu, dt dove U = qϕ q c A v è u esempio di poteziale geeralizzato, ovvero poteziale dipedete dalle derivate rispetto al tempo delle coordiate geeralizzate (che 8

17 1.4 poteziali geeralizzati e fuzioi di dissipazioe qui corrispodoo co le solite coordiate cartesiae). La fuzioe lagragiaa è, allora, la seguete: L = T U = mv2 2 qϕ + q c A v. Esercizi 1. Scrivere le equazioi di Lagrage di ua carica putiforme i u campo elettromagetico. Dimostrare che esse coicidoo co le equazioi del moto di parteza. 2. Scrivere la lagragiaa e le equazioi di Lagrage per i segueti sistemi: a) pedolo piao semplice; b) pedolo piao doppio; c) pedolo piao il cui puto di sospesioe è libero di muoversi orizzotalmete su ua retta liscia. 3. Due puti materiali, uo di massa m 1 e l altro di massa m 2, soo collegati da ua fue (iestesibile e di massa trascurabile) che passa attraverso u foro i u tavolo perfettamete liscio, i modo che m 1, per t = 0, abbia u moto circolare uiforme sulla superficie del tavolo ed m 2 rimaga sospesa. Nell ipotesi che m 2 possa muoversi solo i direzioe verticale, si scriva la lagragiaa e si ricavio le equazioi di Lagrage. Discutere la preseza di itegrali primi del moto. Figura 1.: Da siistra: problema 2b, problema 2c, problema Equazioi di Lagrage i preseza di forze o derivabili da u poteziale Suppoiamo che su ua particella putiforme agisca ache la seguete forza viscosa: F a = (α x v x i + α y v y j + α z v z k) 9

18 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage dove i coefficieti α x, α y, α z soo caratteristici del mezzo 2 e i, j, k soo i versori degli assi coordiati. Osserviamo che, se itroduciamo la cosiddetta fuzioe di dissipazioe di Rayleigh F = 1 2 (α xv 2 x + α y v 2 y + α z v 2 z), abbiamo che F a = v F. Più i geerale se il sistema è formato da N particelle, la forza viscosa totale è data da: F a = N k=1 (α x v kx i + α y v ky j + α z v kz k), dove si itede v k = (v kx, v ky, v kz ) è la velocità della k-esima particella. La fuzioe di dissipazioe i questo caso è data da: F = 1 2 N k=1 (α x v 2 kx + α yv 2 ky + α zv 2 kz ). La forza viscosa agete sulla k-esima particella può ovviamete essere scritta come F a,k = vk F. Se il sistema ha gradi di libertà e q j co j = 1,... soo le coordiate geeralizzate, le equazioi di Lagrage soo le segueti: ( ) d L L = Q j (1.18) dt q j q j dove le Q j soo le forze geeralizzate associate alle forze viscose e o derivabili da u poteziale, e L è la lagragiaa, scritta teedo coto di tutte le forze coservative. Sappiamo che: Q j = N F a,k r k q k=1 j = = N k=1 N k=1 vk F r k q j vk F v k q j = F q j. Allora i coclusioe possiamo scrivere le equazioi di Lagrage (1.18) el modo seguete: ( ) d L L + F = 0. dt q j q j q j Evidetemete siamo i grado di scrivere esplicitamete le equazioi del moto cooscedo le due fuzioi scalari L e F. 2 I realtà questi coefficieti dipedoo oltre che dal mezzo ache dalla forma e dalle dimesioi del corpo immerso el fluido. 10

19 1.4 poteziali geeralizzati e fuzioi di dissipazioe Trasformazioi di gauge e lagragiaa di ua particella immersa i u campo elettromagetico Siao ϕ ed A i poteziali scalare e vettoriale el campo elettromagetico. Sappiamo che la lagragiaa assume la forma: L = mv2 2 qϕ + q c A v. Il sistema ha tre gradi di libertà. Operiamo le segueti trasformazioi di gauge: ϕ ϕ = ϕ 1 χ(r, t) ; c t A A = A + χ(r, t). Il campo elettromagetico è ivariate per trasformazioi di gauge. Sia ora L = mv 2 2 qϕ + q c A v la uova lagragiaa. Allora: L = mv2 2 qϕ + q χ c t + q c A v + q c χ v = L + q χ c t + q c χ v = L + q dχ c dt. Cocludedo, L ed L differiscoo per la derivata totale rispetto al tempo di ua fuzioe scalare di r e di t. Le equazioi di Lagrage soo, di cosegueza, ivariati per trasformazioi di gauge. Problemi 1. Se L = L(q, q, t) è ua lagragiaa per u sistema ad gradi di libertà che verifica le equazioi di Lagrage, dimostrare che L = L + df(q,t) dt, co F fuzioe arbitraria di classe opportua, verifica ach essa le equazioi di Lagrage. Dimostrazioe. Osserviamo che df(q,t) dt = k=1 j = 1,... F(q,t) q k q k + F(q,t) t. Allora per L (q, q, t) L(q, q, t) F(q, t) = + q j q j q j L (q, q, t) L(q, q, t) = + df(q, t) q j q j q j dt 11

20 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage Duque abbiamo che, sempre per j = 1,... e suppoedo che d F(q,t) dt q j, d dt d dt d dt ( L q j ( L q j ( L q j ) L = 0 q j ) d F(q, t) dt q j ) L q j = 0. L + df(q, t) = 0 q j q j dt df(q,t) q j dt = 2. Siao q 1,... q u isieme di coordiate geeralizzate idipedeti di u sistema ad gradi di libertà co lagragiaa L(q, q, t), dove q = (q 1,... q ) e q = ( q 1,... q ). Si suppoga di passare ad u altro sistema di coordiate geeralizzate idipedeti s 1,... s per mezzo di ua trasformazioe putuale q k = q k (s, t) co k = 1,... ed s = (s 1,... s ). Dimostrare che la forma delle equazioi di Lagrage è ivariate rispetto alle trasformazioi putuali. Dimostrazioe. Per j, k = 1,... abbiamo q j = q j ṡ i + q j s i t q j = q j ṡ i s i Ora, L = L(q(s, t), q(s, ṡ, t), t), duque ( d L dt ṡ k L s k = L = ṡ k ) = = L q j + q j=1 j s k j=1 j=1 j=1 L q j q j=1 j s k L q j = q j ṡ k j=1 ( ) d L qj + dt q j s k ( ) d L qj + dt q j s k L q j q j s k L q j=1 j ( d dt L q j. q j=1 j s k ) q j = s k ( I coclusioe, per k = 1,..., ricordado che d L dt 1,..., ( ) d L L = dt ṡ k s k ( ) d L qj L q j L q j = + dt q j=1 j s k q j=1 j s k q j=1 j s k [ d L = L ] qj = 0. dt q j q j s k j=1 q j ) L q j = 0 per j = L q j = q j=1 j s k 12

21 1.4 poteziali geeralizzati e fuzioi di dissipazioe 3. Dimostrare che vale la seguete forma di Nielse delle equazioi di Lagrage: Ṫ 2 T = Q j (j = 1,... ) q j q j dove T = T(q, q, t) è l eergia cietica, Ṫ dt dt geeralizzata. e Q j è la j-esima forza Dimostrazioe. Partiamo dalle equazioi di Lagrage (1.10), valide ache i preseza di forze attive geeralizzate o coservative. Osserviamo che: Allora dt(q, q, t) dt Ṫ 2 T q k = ( T q j + T q j=1 j Ṫ = T + q k q k = T q k + j=1 j=1 = T q k + d dt = Q q k k T + d ( T q k dt q ( ) k d T T = Q dt q k q k. k q j q j [( T q k q j [( ) T q j q k ( ) T. q k ) 2 T q k = Q k ) + T t ) q j + 2 T q j + q j q j q k q j ( ) T q k ] + T t q j = ] q j + T = t q j 13

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23 P R I N C I P I O VA R I A Z I O N A L E D I H A M I LT O N E D E Q U A Z I O N I D I L A G R A N G E pricipio di hamilto Prederemo ora i cosiderazioe solo quei sistemi di N particelle putiformi, co vicoli oloomi lisci, per i quali tutte le forze attive soo derivabili da u solo poteziale scalare geeralizzato (questa richiesta è fatta solo per semplicità e seza perdere i geeralità), fuzioe cioè delle coordiate e delle velocità delle particelle e del tempo. Questi sistemi soo detti moogeici. I particolare, se il poteziale è fuzioe esplicita solo delle coordiate di posizioe delle particelle il sistema è detto coservativo. Vedremo fra poco, come sia possibile otteere le equazioi di Lagrage relative ad u sistema moogeico a partire da u pricipio itegrale (il pricipio variazioale di Hamilto), il quale prede i cosiderazioe l itero moto del sistema tra due istati t 0 e t 1 e le piccole variazioi di questo moto rispetto a quello reale. Per fare questo avremo bisogo di elemeti di calcolo delle variazioi, che cercheremo di esporre el modo più elemetare possibile, utilizzado soltato le teciche familiari del calcolo differeziale. La cofigurazioe del sistema (oloomo e moogeico), oggetto di studio, è supposta descritta dai valori di coordiate geeralizzate q 1, q 2,... q e corrispode alla posizioe di u puto q = (q 1,..., q ) i uo spazio -dimesioale che, come sappiamo, è detto spazio delle cofigurazioi. Al variare del tempo il puto q(t), che rappreseta il sistema, si muove ello spazio delle cofigurazioi descrivedo ua curva che è, ovviamete, la traiettoria del moto del sistema. Come abbiamo già acceato, il pricipio variazioale prede i cosiderazioe solo quelle traiettorie che costituiscoo u isieme di traiettorie variate sicroe. I altre parole, si cosiderao tutti quei movimeti q = q(t) del sistema co t [t 0, t 1 ], itervallo base, tali che q(t 0 ) = q (0) e q(t 1 ) = q (1). Chiameremo ammissibile u movimeto q(t) che gode di questa proprietà. Noi supporremo sempre, salvo avviso cotrario, che le fuzioi siao di classe C. I figura 2 soo riportate, i uo spazio delle cofigurazioi bidimesioale, alcue traiettorie ammissibili, che partoo dalla cofigurazioe iiziale q (0) al tempo t 0 e arrivao alla cofigurazioe fiale q (1) al tempo t 1. Sappiamo che è possibile itrodurre per il ostro sistema (oloomo e moogeico) la fuzioe lagragiaa L = T V, (2.1) dove T è l eergia cietica del sistema e V è il poteziale geeralizzato. Naturalmete si avrà L = L (q, q, t) (2.2) 15

24 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage Figura 2.: Alcue traiettorie ammissibili i uo spazio delle cofigurazioi bidimesioale Cosideriamo il fuzioale azioe S [q(t)] = t1 t 0 L (q, q, t) dt, (2.3) dove q(t) è u moto ammissibile (cioè q(t 0 ) = q (0) e q(t 1 ) = q (1) ). Osserviamo che S [q(t)] ha valori i R e o è ua fuzioe di fuzioe (o è ua fuzioe del tempo), ma u itegrale di liea che dipede dal moto q(t). Il valore che S [q(t)] assume dipede ovviamete dal moto ammissibile q(t) scelto. Itroduciamo il pricipio variazioale di Hamilto: Pricipio variazioale di Hamilto - Tra i moti ammissibili del sistema compresi tra gli istati t 0 e t 1, il moto reale è quello che rede stazioaria l azioe. Ricordiamo cosa si itede per puto stazioario di ua fuzioe f : R R di classe opportua. Si dice che x 0 R è u puto stazioario di f se f (x 0 ) = 0. U puto stazioario (o critico) di ua fuzioe può allora essere u estremate relativo (di massimo o di miimo) o di flesso orizzotale oppure é estremate relativo é flesso orizzotale. Ioltre se x 0 è u puto stazioario si ha f (x 0 + ɛ) f (x 0 ) = f (x 0 )ɛ + O(ɛ 2 ) = O(ɛ 2 ). I modo aalogo diremo che l azioe è stazioaria lugo ua certa traiettoria se su di essa assume, a meo di ifiitesimi di ordie superiore al primo, lo stesso valore corrispodete a traiettorie che differiscoo da quella cosiderata per uo spostameto ifiitesimo. Più precisamete se idichiamo co q(t) u moto ammissibile che rede stazioaria l azioe e co q(t, ɛ) = q(t) + ɛh(t) ua traiettoria diversa, dipedete dal parametro ɛ R (assumiamo ɛ 1) e dalla fuzioe vettoriale h(t) = (h 1 (t),..., h (t)) soggetta alla codizioe h(t 0 ) = h(t 1 ) = 0 (ifatti q(t, ɛ) deve essere u moto ammissibile e pertato q(t 0, ɛ) = q (0) e q(t 1, ɛ) = q (1) ), abbiamo che S [q(t, ɛ)] S [q(t)] = O(ɛ 2 ). (2.4) 16

25 2.1 pricipio di hamilto Vogliamo ora provare che ua traiettoria ammissibile q(t) che rede stazioaria l azioe soddisfa le equazioi di Lagrage d dt ( L(q, q, t) q k Abbiamo ifatti: ) L(q, q, t) = 0. (k = 1,... ) q k S [q(t, ɛ)] S [q(t)] = t1 [ ( ) = L q(t) + ɛh(t), q(t) + ɛḣ(t), t t 0 t1 ( L (q(t), q(t), t) = h i (t) + t 0 q i ] L (q(t), q, t) L (q(t), q(t), t) q i dt = ) h i (t) ɛdt + O(ɛ 2 ). (2.5) Osserviamo che L q i ḣ i (t) = d dt t 1 t 0 ( ) ( ) L q i h i (t) d L dt q i h i (t); ( ) [ ] t1 d L dt q i h i (t) dt = L q i h i (t) = 0. t 0 Allora la (2.5) può essere riscritta come S [q(t, ɛ)] S [q(t)] = t1 ( L (q(t), q(t), t) = d q i dt t 0 ) L (q(t), q(t), t) h i (t)ɛdt + O(ɛ 2 ). q i (2.6) Se impoiamo la codizioe che l azioe sia stazioaria lugo q(t), valga cioè la (2.4), e teiamo presete che h i (t), co i = 1,..., soo fuzioi di classe C arbitrarie, soggette soltato alla codizioe h i (t 0 ) = h i (t 1 ) = 0, abbiamo t1 ( L (q(t), q(t), t) d ) L (q(t), q(t), t) h i (t)dt = 0. (i = 1,... ) q i dt q i t 0 Vogliamo ora provare che queste equazioi implicao che L (q(t), q(t), t) d ( ) L (q(t), q(t), t) = 0, (i = 1,... ) q i dt q i cioè soo soddisfatte le equazioi di Lagrage. Vale il seguete lemma: Lemma fodametale del calcolo variazioale - Se ua fuzioe liscia f : [t 0, t 1 ] R verifica la proprietà t1 t 0 f (t)g(t)dt = 0 (2.7) per ogi fuzioe liscia g : [t 0, t 1 ] R, soggetta alla codizioe g(t 0 ) = g(t 1 ) = 0, allora f (t) = 0 t [t 0, t 1 ]. 17

26 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage Dimostrazioe. Ragioiamo per assurdo e suppoiamo che t (t 0, t 1 ) i cui f o si aulli. Seza perdere i geeralità possiamo supporre f (t ) > 0. Per cotiuità I(t ) (t 0, t 1 ), itoro di t, i cui f è sempre positiva, avedo idicato co I(t ) u itoro aperto di t. Possiamo sempre predere ua fuzioe liscia g, state la sua arbitrarietà, che sia positiva i I 1 (t ) I(t ) e ulla altrove 1. Ne cosegue che t 1 t 0 f (t)g(t)dt > 0. Questo è assurdo. Allora f (t) = 0 t (t 0, t 1 ) f (t) = 0 t [t 0, t 1 ]. Se chiamiamo δq i (t) = ɛh i (t) la variazioe dell i-esima compoete di q(t) e co δs la corrispodete variazioe dell azioe, relativa all ifiitesimo δq, la relazioe (2.6) può essere scritta ella forma: δs = t1 ( L d t 0 q i dt L q i ) δq i (t)dt. Questo risultato ci dice, ache per il lemma precedete, che se l azioe è stazioaria lugo q(t), cioè se δs = 0, allora valgoo le equazioi di Lagrage. I modo sitetico possiamo scrivere: δs = 0 L(q, q, t) q i d ( ) L(q, q, t) = 0. (i = 1,... ) dt q i Abbiamo visto che le equazioi di Lagrage (o di Eulero-Lagrage) elle ipotesi fatte (sistemi, cioè, oloomi e moogeici) discedoo da ua legge geerale, il pricipio variazioale di Hamilto. No possiamo stabilire, a priori, se il moto reale q(t), che soddisfa le equazioi di Lagrage, ha la proprietà di miimizzare l azioe, ache se il pricipio di Hamilto è spesso detto pricipio della miima azioe. 2.2 applicazioi del calcolo delle variazioi Possiamo utilizzare il pricipio variazioale per studiare le proprietà di stazioarietà o estremali di fuzioali diversi dall azioe. Suppoiamo i particolare di avere ua famiglia di curve i uo spazio - dimesioale, ogua descritta da ua fuzioe vettoriale liscia y(x) co x [x 0, x 1 ], tutte soggette alle codizioi y(x 0 ) = y (0) e y(x 1 ) = y (1), e ua fuzioe scalare liscia U = U (y(x), ẏ(x), x). Vogliamo determiare y(x) che rede stazioario il fuzioale J[y(x)] = x1 x 0 u (y(x), ẏ(x), x) dx. Notiamo che possoo esserci casi più complessi, i cui ad esempio U è fuzioe ache di derivate di ordie superiore al primo di y(x), oppure x R m co m 2. La trattazioe del problema può ache essere portata avati esattamete come el 1 Osserviamo che la fuzioe g scelta si aulla, ovviamete, i t 0 e t 1. 18

27 2.2 applicazioi del calcolo delle variazioi caso dell azioe: si ricerca y(x) che rede stazioario il fuzioale J. No sempre è semplice stabilire poi se la fuzioe trovata abbia la proprietà di miimizzare o di massimizzare J. Ricordiamo che codizioe ecessaria perché y(x) sia u miimo o u massimo locale per J è che esso sia u puto stazioario. Si arriverà ovviamete a equazioi scalari che cotiueremo a chiamare di Lagrage o di Eulero-Lagrage: ( ) d u u = 0. (k = 1,... ) dx ẏ k y k Cammio più breve fra due puti i u piao Siao dati A(x 0, y 0 ) e B(x 1, y 1 ) i u piao. Suppoiamo che x 0 < x 1. Se idichiamo 2 ua geerica curva regolare 3 co y = y(x) di estremi A e B e co s l ascissa curviliea, abbiamo che: ds = (dx) 2 + (dy) 2 = I questo caso allora J[y(x)] = x1 x ẏ 2 (x)dx. 1 + ẏ 2 (x)dx. Ovviamete u = u(ẏ) = 1 + ẏ 2 (x) e y(x) è el ostro caso ua fuzioe scalare. Adoperado le equazioi di Eulero-Lagrage: d dx ( ) u u ẏ y = 0. x0 Figura 3.: Cammii ammessi tra due puti el piao. Essedo u y = 0, u ẏ = c (costate rispetto ad x). Di cosegueza ẏ(x) = a (costate) e quidi y(x) = ax + b, cioè la curva che miimizza il fuzioale J è il segmeto di estremi A e B. Impoedo i particolare che y(x 0 ) = y 0 e y(x 1 ) = y 1 otteiamo a = y 1 y 0 x 1 x 0 e a = x 1y 0 x 0 y 1 x 1 x 0. Si prova facilmete, i questo caso, che y(x), che rede stazioario J, miimizza il fuzioale. I altre parole possiamo dire che 2 Se x 0 = x 1 possiamo cosiderare fuzioi del tipo x = x(y). 3 I realtà possiamo sempre supporre che y sia liscia. 19

28 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage la curva che el piao xy cogige A e B ed ha lughezza miima è il segmeto di estremi A e B. J[y(x) + ɛh(x)] J[y(x)] = ɛ2 2 x1 1 Nel ostro caso uẏẏ (ẏ(x)) = (1+ẏ2 (x)) 2 x 0 uẏẏ (ẏ(x))ḣ2 (x)dx + O(ɛ 3 ). J[y(x)], cioè la fuzioe trovata miimizza il fuzioale. Esercizi > 0. Perciò, per ɛ 1, J[y(x) + ɛh(x)] 1. Verificare che il moto reale di ua particella libera e isolata rede miima l azioe. 2. Ua particella è soggetta al poteziale U(x) = Fx, co F costate. La particella si muove dal puto x = 0 al puto x = a ell itervallo di tempo t 0. Si assuma che il moto della particella si possa esprimere ella forma x(t) = A + Bt + Ct 2. Trovare i valori di A, B, C che redoo miima l azioe Il problema della brachistocroa Il problema della brachistocroa può essere espresso el modo seguete: Dati due puti A e B i u piao verticale, co A ad altezza maggiore di B, trovare tra tutti gli archi di curva che li cogiugoo, la traiettoria che ua particella putiforme di massa m, co velocità iiziale ulla, deve percorrere per adare da A a B i modo che il tempo di percorreza sia il miimo possibile. Figura 4.: Schema del problema della brachistocroa. Per risolvere il problema poiamo l origie degli assi i A (0, 0) e orietiamo l asse delle ordiate verso il basso. Suppoiamo B (x 1, y 1 ) co x 1 > 0 e y 1 > 0 (se x 1 = 0, cioè se B appartiee all asse delle y il problema è baale: la soluzioe è data dal segmeto AB). Le equazioi della traiettoria (passate per i puti assegati): y = y(x) y(0) = 0 y(x 1 ) = y 1 (x [0, x 1 ]) 20

29 2.2 applicazioi del calcolo delle variazioi Cosideriamo la solita ascissa curviliea s a partire da A: ds = (dx) 2 + (dy) 2 = 1 + ẏ 2 (x)dx. Suppoiamo i vicolo oloomi e lisci. Fissiamo i y = 0 il livello 0 dell eergia poteziale (relativa alla forza peso). Allora: 1 2 mv2 mgy = 0 v = 2gy, dove g è l accelerazioe di gravità e v l accelerazioe i y (otare che y > 0, v > 0 se x [0, x 1 ]). dt = ds v = 1 + ẏ 2 (x) 2gy(x) dx. (x (0, x 1]) Poiamo u(y(x), ẏ(x)) = 1+ẏ2 (x) y(x) T 2g dt J[u(x)] = 0 x1 0 u(y(x), ẏ(x))dx. Fra tutte le traiettorie, passati per A e B, quella che rede stazioario il fuzioale J (codizioe ecessaria per il miimo) soddisfa le equazioi di Lagrage co x (0, x 1 ]: d dx Ora, u ẏ = d dx ( u(y, ẏ) ẏ ẏ y 1+ẏ 2 ) u(y, ẏ) = 0. (2.8) y e duque ( ) u(y, ẏ) ẏ = 2 ẏ 2y y 1 + ẏ + 2 ÿ y (1 + ẏ2 ) 3 (2.9) u 1 + ẏ y = 2 2y y. (2.10) L equazioe (2.8), per le relazioi (2.9) e (2.10), diveta, per x (0, x 1 ]: ẏ 2 2y y 1 + ẏ + ÿ 1 + ẏ 2 y (1 + ẏ2 ) 2 3 2y y ÿ(x) 1 + ẏ 2 (x) + 1 2y(x) = (1 + ẏ 2 (x))y(x) = c = 0 d dx l (1 + ẏ(x)) + 1 d l y(x) = 0 2 dx y(x) c y(x) ẏ(x) = 1 y(x) c y(x) dy = dx. (2.11) 21

30 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage Posto y = c 2 (1 cos τ) co τ parametro, dalla (2.11) x = c (τ si τ). (Nota bee: x(0) = 0) 2 Cocludedo, le equazioi parametriche della traiettoria soo date da: x(τ) = c (τ si τ) 2 y(τ) = c (1 cos τ) 2 co τ [0, τ 1 ]. Le equazioi trovate soo quelle di ua cicloide. Sostituedo i valori delle coordiate di B si trovao dalle precedeti c e τ 1. Il sistema siffatto ammette sempre soluzioe. Rimae da provare (cosa o baale) che la soluzioe trovata miimizza il fuzioale. Possiamo tetare ua soluzioe del problema cambiado semplicemete puto di vista e cercado u espressioe del tipo x = x(y). I tal caso dt = ds v = 1 + ẋ 2 2gy dy. Posto ϕ = 1+ẋ 2 y T 2g dt = F[x(y)] = 0 Le equazioi di Lagrage soo d dy Poiché ϕ x ( ) ϕ ϕ ẋ x = 0. = 0, ϕ ẋ ẋ y 1+ẋ 2 ẋ 2 1+ẋ 2 = y a y1 = costate, da cui = 1 a ( dy dx 0 ) 2 a y y = 1 ϕ(x(y), ẋ(y), y)dy. da cui si prosegue come i precedeza. Osserviamo però che i questo caso 1 ϕ xx = ϕ xẋ = 0 e che ϕẋẋ = > 0. Allora, se x(y) rede stazioario il fuzioale, abbiamo che y(1+ẋ2 (y)) 3 F[x(y) + ɛh(y)] F[x(y)] = ɛ2 2 y1 0 ϕẋẋ ḣ 2 (y)dy + O(ɛ 3 ) 0 ovvero F[x(y) + ɛh(y)] F[x(y)], cioè x(y) è u miimo. 22

31 2.3 leggi di coservazioe 2.3 leggi di coservazioe Coordiate cicliche Abbiamo visto che il moto di u sistema di particelle oloomo e moogeico co gradi di libertà è goverato dalle equazioi di Lagrage d L (q, q, t) L (q, q, t) = 0 (k = 1,... ) dt q q k dove L = T U e q k soo le coordiate geeralizzate. Apriamo ua piccola paretesi. Itrodotto u sistema di assi cartesiai solidale co u sistema di riferimeto ierziale, el caso di u puto materiale soggetto ad ua forza coservativa abbiamo: Si vede che L = 1 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) U(x, y, z). L ẋ L ẏ L ż = mẋ p x, = mẏ p y, = mż p z, dove p x, p y e p z soo le compoeti rispettivamete lugo x, y e z della quatità di moto. I aalogia el caso più geerale possiamo chiamare p k = L (q, q, t) q k il mometo caoico o mometo coiugato alla coordiata geeralizzata q k. Osserviamo che se L q k = 0, cioè se la lagragiaa o dipede esplicitamete da q k, si ha d L = dp k dt q k dt = 0. Allora p k è costate rispetto al tempo. Diamo allora la seguete defiizioe: Defiizioe - Ua coordiata geeralizzata si dice ciclica o igorabile se la lagragiaa L, pur essedo fuzioe esplicita di q k, o dipede esplicitamete da q k. Possiamo pertato euciare la seguete proprietà: il mometo coiugato ad ua coordiata geeralizzata ciclica si coserva. I modo equivalete possiamo dire che il mometo coiugato ad ua coordiata 23

32 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage ciclica è u itegrale primo del moto, i quato si traduce i ua relazioe del tipo f (q 1,..., q, q 1,..., q, t) = costate. Se q k è ua coordiata ciclica, allora L è ivariate rispetto ad ua trasformazioe q k q k + α, co α costate. Ora, se q k, coordiata ciclica, è uo spostameto, si ha che ua traslazioe rigida lugo tale direzioe o ha effetto alcuo sul moto del sistema e il corrispodete mometo coiugato, che è ua quatità di moto, si coserva. Se ivece la coordiata ciclica q k è u agolo il sistema è ivariate per rotazioi itoro all asse corrispodete e il relativo mometo coiugato, che è u mometo agolare, si coserva. Troviamo per esempio i mometi geeralizzati el caso di ua particella i moto i u campo elettromagetico. Abbiamo visto che la lagragiaa di ua particella di massa m e carica 4 q i u campo elettromagetico è data da: L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) qϕ + q c A v dove v = ẋˆx + ẏŷ + żẑ è la velocità della particella, c è la velocità della luce el vuoto, ϕ, A soo il poteziale scalare e vettoriale rispettivamete. Il mometo coiugato a x è dato da P x = mẋ + q c A x = p x + q c A x dove p x = mẋ è la compoete lugo x dell usuale quatità di moto della particella. I maiera aaloga i mometi coiugati ad y e z soo rispettivamete: P y = p y + q c A y, P z = p z + q c A z. Possiamo scrivere allora i forma vettoriale il mometo geeralizzato come P = p + q c A. Ora, se per ipotesi ϕ, A o dipedoo esplicitamete da x, cioè x è ua variabile ciclica, allora il mometo coiugato rispetto ad x, cioè P x, è ua costate del moto. Esercizi Verificare l esisteza di ua coordiata ciclica ell esercizio 2c di pagia 9. Dare u iterpretazioe fisica del corrispodete mometo coiugato. Verificare l esisteza di ua coordiata ciclica ell esercizio 3 di pagia 9. Dare u iterpretazioe fisica del corrispodete mometo coiugato. Si scriva i coordiate cilidriche la lagragiaa di ua particella di massa m e carica q i u campo magetico (costate) geerato da u filo rettilieo percorso da correte stazioaria I. Esistoo coordiate cicliche? (Piccolo suggerimeto: scrivere il poteziale vettore A impoedo che valga la gauge di Coulomb, div A = 0.) 4 Qui co il simbolo q o idichiamo ua coordiata geeralizzata! 24

33 2.3 leggi di coservazioe Fuzioe eergia Sia L = L (q, q, t) la lagragiaa di u sistema co gradi di libertà, dove q = (q 1,..., q ). Si ha che ( dl L dt = q q k + L ) q k=1 k q k + L k t. L Poiché per k = 1,... si ha, dalle equazioi di Lagrage, q k ) L q q k + L ] q k q k k [( dl d dt = dt k=1 d dt [ k=1 + L t = k=1 = d dt L q k ( ) d L q dt q k + L k t allora: ] L q q k L + L = 0. (2.12) k t Chiamiamo fuzioe eergia la quatità h (q, q, t) = k=1 L q q k L. k Allora la relazioe (2.12) si scrive ache: dh dt = L t. Se L = L (q, q), cioè se L t = 0, h è ua costate del moto. Sotto opportue ipotesi h è proprio l eergia totale del sistema. Se l eergia cietica è ua fuzioe omogeea di secodo grado delle q k, cioè T = k,j=1 A i,k(q, t) q k q j co A kj = A jk, e se il poteziale V o dipede da q, allora L q i = 2 k=1 A ik q k e quidi L q i q i = 2T. Allora h = L q i L = 2T T + V = T + V q i che è l eergia totale del sistema. Se la lagragiaa o dipede esplicitamete dal tempo abbiamo allora che l eergia del sistema è ua costate del moto. 25

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35 A P P L I C A Z I O N I D E L L E E Q U A Z I O N I D I L A G R A N G E problema dei due corpi Suppoiamo di avere u sistema isolato di due particelle di massa m 1 ed m 2, soggette alla mutua iterazioe di atura coservativa. Rispetto ad u osservatore O ierziale idichiamo co r 1 ed r 2 i vettori posizioe delle due particelle. Il vettore posizioe del cetro di massa è: R = m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2, (3.1) metre il vettore posizioe relativo è dato da r = r 2 r 1. (3.2) Possiamo esprimere r 1 ed r 2 mediate i vettori appea itrodotti: r 1 =R m 2 m 1 + m 2 r, r 2 =R + m 1 m 1 + m 2 r. (3.3) Assumiamo che l eergia poteziale (relativa alla mutua iterazioe) abbia la seguete proprietà: U = U(r). (3.4) La forza agete sulla particella 2 è data da F 2 = r2 U(r) = r U(r), metre la forza agete sulla particella 1 è F 1 = r1 U(r) = r U(r). Abbiamo pertato F 1 + F 2 = 0 (forma debole del pricipio di azioe e reazioe). Notiamo che se U = U(r) allora F 2 = du dr ˆr = F 1 (forma forte del pricipio di azioe e reazioe). La lagragiaa del sistema delle due particelle è L = 1 2 m 1 ṙ m 2 ṙ 2 2 U(r). (3.5) Sulla base delle relazioi (3.3), la (3.5) si può scrivere come L = m 1 + m 2 2 Ṙ m 1 m 2 m 1 + m 2 ṙ 2 U(r) (3.6) La quatità µ = m 1m 2 m 1 +m 2 è detta massa ridotta (si oti che 1 µ = 1 m m 2 e che se m 2 m 1, allora r 1 R e µ m 2 ). Dall espressioe (3.6) si deduce che Ṙ = V è costate, essedo R ciclica. Il cetro di massa perciò è i quiete o si muove di moto rettilieo uiforme. Possiamo 27

36 applicazioi delle equazioi di lagrage predere i ogi caso come sistema di riferimeto proprio quello del cetro di massa, avedo duque la lagragiaa ella forma: L = 1 2 µ ṙ 2 U(r). È iteressate otare come il problema dei due corpi si ricoduca al problema di ua particella di massa pari alla massa ridotta immersa i u campo estero Movimeto i u campo cetrale Si abbia ua particella P di massa m (che possiamo riguardare ache come la massa ridotta di due particelle putiformi) i u campo estero. Assumiamo che tale campo sia coservativo e che l eergia poteziale (o poteziale) dipeda solo dalla distaza della particella P da u puto O, fisso rispetto ad u sistema di riferimeto ierziale. Chiamiamo come al solito vettore posizioe della particella r = OP e v = ṙ il vettore velocità. Abbiamo allora: L = 1 2 mv2 U(r), dove U(r) è l eergia poteziale. La forza agete sulla particella è F = U(r) = du dr ˆr. Essa è cetrale e il cetro della forza è il puto O. Notiamo che l eergia poteziale ha simmetria sferica, duque ogi soluzioe delle equazioi del moto deve essere ivariate per rotazioi attoro ad u asse arbitrario passate per O. Il mometo agolare della particella P rispetto ad O, cioé l = mr v = r p (co p quatità di moto della particella), si coserva. Si dimostra facilmete che il moto si svolge i u piao (piao dell orbita) ortogoale alla direzioe (costate) di l, sempre che l = 0. Se l = 0, r è parallelo a p e il moto è uidimesioale. Suppoiamo che l = l 0 = 0 (l 0 costate). Il sistema ha due gradi di libertà, cosiderato che il moto avviee i u piao. Possiamo, pertato, esprimere la lagragiaa i coordiate polari: L = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ 2 ) U(r). (3.7) Si vede subito che θ è ciclica e duque il suo mometo coiugato p θ = L θ = mr2 θ è costate. Osserviamo che p θ = mr 2 θ = l 0 (3.8) che è costate. Notiamo, per iciso, che 1 l 0 2 m = 1 2 r2 θ è la cosiddetta velocità areolare ed è ua costate del moto. Abbiamo così otteuto, i modo semplice, la secoda legge di Keplero: 28

37 3.1 problema dei due corpi Il vettore posizioe della particella (o di u piaeta cosiderato putiforme) rispetto al cetro dell orbita (o cetro della forza) spazza aree uguali i itervalli di tempo uguali. Osservazioe. Questa legge è stata otteuta semplicemete suppoedo che la forza agete sulle particelle sia cetrale (seza assegare la dipedeza esplicita da r). Utilizzado le equazioi di Lagrage d dt ( ) L L ṙ r = 0 m r mr θ 2 + U(r) r = 0. (3.9) Per la (3.8) abbiamo mr θ 2 = l2 0 mr 3. Allora la (3.9) può essere riscritta el modo seguete: m r l2 0 mr 3 + U(r) = 0. r Osserviamo che el ostro caso la lagragiaa o dipede esplicitamete dal tempo e che l eergia cietica è ua fuzioe omogeea di secodo grado rispetto a ṙ e θ. Ne cosegue che la fuzioe eergia h è ua costate del moto ed è proprio l eergia totale della particella E. Possiamo, allora, osservare: E = L ṙ ṙ + L θ L = θ = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ 2 ) + U(r) = 1 2 mṙ l 2 0 mr 2 + U(r) (3.10) dove abbiamo teuto coto della (3.8). Osservazioe. Grazie alla coservazioe del mometo agolare, il moto è come uidimesioale co u poteziale efficace U eff (r) = 1 2 l0 2 + U(r). (3.11) mr2 Se r(0) = r 0, supposto che ell itervallo di tempo cosiderato r = r(t) è crescete, dr dt = 2 m (E U eff(r)) e, quidi, t = r(t) r 0 2 m (E U eff(r )) dr. (3.12) 29

38 applicazioi delle equazioi di lagrage Si può ricavare ache l aomalia θ i fuzioe di r. Ifatti dalla (3.8) otteiamo: dθ = l 0 1 m r 2 dt = l 0 1 m r 2 dr 2 m (E U eff(r)) (abbiamo qui cosiderato u itervallo di tempo i cui r = r(t) è crescete) e, di cosegueza, θ(r) θ(r 0 ) = l r(t) 0 1 dr m r 0 r 2. 2 m (E U eff(r )) Se il domiio di variazioe di r ha due limiti, r mi ed r max, il movimeto è limitato e tutta l orbita è coteuta ella coroa circolare cetrata i O, co raggio itero r mi e raggio estero r max. Questo discorso o vuol dire affatto che l orbita, el caso di moto limitato, è chiusa. Perché ciò accada, è ecessario e sufficiete che θ = 2l 0 m rmax 1 dr r mi r 2 2 m (E U eff(r )) = 2π j (3.13) co j, N. Ricordiamo, per iciso, che l aomalia θ è defiita sempre a meo di multipli di 2π. Ora, se idichiamo co rmax dr T 0 = 2 r mi 2 m (E U eff(r )) (3.14) il periodo della fuzioe r = r(t) (stiamo suppoedo che il moto sia limitato e che r [r mi, r max ]), dopo u tempo pari a T 0, si avrà ua variazioe di θ pari a 2πj (multiplo di 2π) e, pertato, il vettore posizioe ritorerà ad essere quello iiziale, cioé r(t 0 ) = r(0). I geerale, per u poteziale geerico U(r), suppoedo l esisteza di moti limitati, la traiettoria o è u orbita chiusa. Teorema [Bertrad] - Le uiche forze cetrali che dao luogo ad orbite chiuse per ogi codizioe iiziale corrispodete a moti limitati soo: quella proporzioale all iverso del quadrato di r (come la forza gravitazioale); quella corrispodete alla legge di Hooke (dipedeza lieare da r). Suppoiamo ora che F = k ˆr o, i modo equivalete, U(r) = k r 2 r, co k > 0. Per il teorema di Bertrad, le orbite relative a moti limitati soo chiuse. Il poteziale efficace, i questo caso, è: U eff = 1 2 l 2 0 mr 2 k r. Per r = r 0 = l2 0 mk, U eff ha il valore miimo, esattamete pari a 1 mk 2 2. Dal grafico l0 2 di U eff possiamo ricavare le segueti iformazioi: 30

39 3.2 piccole oscillazioi Figura 5.: Adameto del poteziale efficace el problema dei due corpi. E = E 0 = 1 mk 2 2, ṙ(t) = 0 r(t) = r l0 2 0 costate. I questo caso l orbita della particella è circolare. Il moto è circolare uiforme co frequeza ω = l 0 mr0 2 (questa espressioe discede i modo immediato dalla (3.8)). ( ) Se E = E 1 1 mk 2 2, 0, il moto è limitato co r [r l0 2 mi, r max ]. Si può dimostrare che la traiettoria è u ellisse. Se E = E 2 0, r(t) è iferiormete limitato e superiormete o limitato. Si può dimostrare che la traiettoria è per E 2 = 0 ua parabola e per E 2 > 0 u iperbole. U altra costate del moto è il vettore di Laplace-Ruge-Lez dato da: A = p L mkˆr. 3.2 piccole oscillazioi Impostazioe del problema Suppoiamo di avere u sistema di N particelle co vicoli oloomi e scleroomi co gradi di libertà, soggette a forze coservative. Idichiamo co q 1, q 2... q le coordiate geeralizzate e co V = V(q 1,... q ) l eergia poteziale. Il sistema si dice i equilibrio ella cofigurazioe q 0 = (q 01,..., q 0 ) se le forze geeralizzate che agiscoo su di esso soo ulle, ossia: Q j = V(q) q j = 0. ( j) q=q 0 L eergia poteziale ella cofigurazioe di equilibrio q 0 ha u valore estremale o i geerale stazioario. Se tutte le velocità geeralizzate ella cofigurazioe di equilibrio soo ulle, il sistema rimarrà ella posizioe di equilibrio per u 31

40 applicazioi delle equazioi di lagrage tempo idefiito. Ua cofigurazioe di equilibrio si dice stabile se ua piccola perturbazioe del sistema provoca u moto che raggiuge cofigurazioi vicie; al cotrario si dirà istabile se ua perturbazioe ifiitesima provoca u allotaameto idefiito da tale cofigurazioe. Noi itediamo studiare il moto del sistema elle immediate viciaze di ua cofigurazioe di equilibrio stabile, dove l eergia poteziale ha u miimo. Idichiamo co η i gli spostameti delle coordiate geeralizzate dall equilibrio; ovvero i: q i = q 0i + η i. Cosideriamo lo sviluppo dell eergia poteziale 1 attoro alla cofigurazioe di equilibrio stabile q 0 : V(q 1,... q ) = V(q 01,... q 0 ) + j=1 V η j + 1 q j 2 q=q 0 j,k=1 2 V η j η q j q k +... k q=q 0 V(q) q=q0 Poiché per ipotesi q j = 0 j e V(q 01,... q 0 ) è ua costate che può essere posta uguale a zero seza perdere i geeralità 2, abbiamo i defiitiva, fermadoci al termie quadratico dello sviluppo: V(q 1,... q ) = 1 2 j,k=1 2 V η j η q j q k = 1 k 2 q=q 0 V jk η j η k. (3.15) j,k=1 La matrice V = (V jk ) è ua matrice simmetrica e reale. La codizioe che q 0 sia ua cofigurazioe di miimo implica che η = (η 1,... η ) R si abbia η T Vη = j,k=1 V jkη j η k 0, ovvero V è semidefiita positiva. Ache l eergia cietica può essere sviluppata i modo simile. Mostriamo prima che i preseza di vicoli oloomi e scleroomi l eergia cietica è ua forma quadratica omogeea delle velocità geeralizzate. Ifatti, detta m k la massa della k-esima particella e v k la sua velocità 3 : T = 1 2 N k=1 m k v 2 k = 1 2 dove si è ricordato che v k = j=1 T = 1 2 j=1 ( N k=1 N k=1 m k v k v k = 1 2 m k r k q i r k q j N k=1 m k ( j=1 r k q i r k q j q i q j r k q j q j v 2 k = r k r k j=1 q i q j q i q j. Ne cosegue: ) q i q j che è quato era ostra itezioe dimostrare. 1 Suppoiamo sempre le fuzioi che trattiamo di grado opportuo. 2 Ricordiamo ifatti che l eergia poteziale è defiita a meo di ua costate additiva. 3 Idichiamo co r k il vettore posizioe della k-esima particella rispetto ad u puto O solidale co u sistema di riferimeto ierziale ) 32

41 3.2 piccole oscillazioi Cosiderado ora spostameti η i rispetto alla cofigurazioe di equilibrio e fermadoci al primo termie (quadratico) elle η i, abbiamo: T = 1 2 [ N ( ) ] rk r m k k η i η j = 1 q i,j=1 k=1 i q j 2 q=q 0 T ij η i η j. (3.16) i,j=1 La matrice (costate) T = (T ij ) è simmetrica, reale ed è defiita positiva i seso stretto. Pertato i suoi autovalori soo reali e strettamete positivi e quidi T è sez altro diagoalizzabile. La lagragiaa del sistema elle approssimazioi fatte può scriversi: L = 1 2 T kj η k η j 1 2 V kj η k η j. (3.17) k,j=1 k,j=1 Si vede che le η i assumoo de facto il ruolo di uove coordiate geeralizzate. La k-esima equazioe di Lagrage assume la forma: 1 2 j=1 T kj η j 1 2 V kj η j = 0. (3.18) j=1 Posto η(t) = (η 1 (t),..., η (t)), l isieme delle equazioi può essere sitetizzato ella scrittura T η(t) + Vη(t) = 0. (3.19) Le equazioi (3.18) (o l equazioe matriciale (3.19)) soo equazioi differeziali del secodo ordie lieari a coefficieti costati omogeee. Vedremo, ora, come sia possibile scrivere u sistema di equazioi differeziali del secodo ordie lieari disaccoppiate perfettamete equivalete al sistema trovato. Cerchiamo soluzioi delle (3.19) del tipo: η = ae iωt (3.20) co ω R e a R {0} costate 4. Richiededo che la (3.20) sia soluzioe della (3.19) otteiamo: ( ω 2 T + V)ae iωt = 0 (V ω 2 T)a = 0 (3.21) dove ω 2 = λ ha il sigificato di autovalore e a di autovettore corrispodete. No si tratta però di u classico problema agli autovalori: ifatti si tratta qui di determiare gli autovalori della matrice V rispetto alla matrice T 5. Sarà importate far vedere che tutti i ostri autovalori soo maggiori o uguali a zero, 4 Ua soluzioe fisicamete accettabile deve essere reale; aturalmete è la parte reale della (3.20) che descrive il sistema. 5 Avremmo acora il classico problema agli autovalori se T fosse proporzioale alla matrice idetità I. 33

42 applicazioi delle equazioi di lagrage perché altrimeti ω o sarebbe reale 6. Gli autovalori di V rispetto a T soo dati dall equazioe: det(v λt) = 0. Ora, come detto T è diagoalizzabile, ovvero detta M = Diag(µ 1,... µ ), dove k = 1,..., µ k > 0 soo gli autovalori di T o tutti ecessariamete distiti, esiste ua trasformazioe di similitudie U matrice ortogoale a valori reali, tale che: T = U T MU. (3.22) Ovviamete se T è già diagoale, allora T = M e U = I. Defiiamo ioltre M 1 = Diag( µ 1,... µ ). Si vede immediatamete che M 1 è simmetrica a valori reali positivi e che M = M 2 1. La (3.22) può essere riscritta: T = U T M 1 M 1 U = (M 1 U) T M 1 U. (3.23) Sia Ṽ la matrice simmetrica a valori reali defiita positiva o i seso stretto, che soddisfa la seguete relazioe: V = (M 1 U) T ṼM 1 U. (3.24) Pertato Ṽ e V soo legate da ua trasformazioe di cogrueza. I base alle (3.23) e alle (3.24), l equazioe del determiate det[(m 1 U) T ṼM 1 U λ(m 1 U) T M 1 U] = 0 det[(m 1 U) T ] det[ṽ λi] det[m 1 U] = 0 det[ṽ λi] = 0 ovvero trovare gli autovalori di V rispetto a T vuol dire trovare gli autovalori (el seso usuale) di Ṽ. I suoi autovalori sarao ecessariamete, i virtù delle proprietà già citate, maggiori o uguali a zero. Ritoriamo ora all equazioe di Lagrage (3.19), che può essere riscritta per le (3.23) e (3.24): (M 1 U) T M 1 U η(t) + (M 1 U) T ṼM 1 Uη(t) = 0 (M 1 U) T [M 1 U η(t) + ṼM 1 Uη(t)] = 0 M 1 U η(t) + ṼM 1 Uη(t) = 0 Se poiamo M 1 Uη(t) = Ψ(t), otteiamo (ricordado che M 1 U è ua matrice costate) Ψ(t) + ṼΨ(t) = 0. (3.25) 6 Se ciò avveisse avremmo u moto co adameto espoeziale (crescete o decrescete) co coseguete allotaameto dalla posizioe di equilibrio. 34

43 3.2 piccole oscillazioi Sia Λ = Diag(λ 1,... λ ) matrice diagoale degli autovalori di Ṽ o tutti ecessariamete distiti ma tutti maggiori o uguali a zero. Esiste (essedo Ṽ diagoalizzabile) ua matrice ortogoale S tale che Ṽ = S T ΛS. L equazioe (3.25) diveta perciò: Ψ(t) + S T ΛSΨ(t) = 0 S Ψ(t) + ΛSΨ(t) = 0. Posto Q(t) = SΨ(t) abbiamo i defiitiva Q(t) + ΛQ(t) = 0 (3.26) ovvero k, ricordado che λ k = ω 2 k : Q k (t) + ω 2 k Q k(t) = 0 (3.27) cioè oscillatori armoici disaccoppiati; ciascuo di essi vibra co ua propria frequeza (modo ormale). Le Q k vegoo dette coordiate ormali o pricipali. Osserviamo che le ωk 2 o soo tutte ecessariamete distite Riepilogo Q(t) = SΨ(t) = (SM 1 U)η(t). (3.28) Osserviamo che se T = αi, co α > 0, allora M 1 = αi, U = I e Q(t) = αsη(t). Se soo oti η(0), η(0), stato iiziale, si ha: Q(0) =(SM 1 U)η(0), Q(0) =(SM 1 U) η(0). Possiamo allora risolvere il sistema (3.26) co queste codizioi iiziali. Determiato Q = Q(t), abbiamo poi: η(t) = SΨ(t) = (SM 1 U) 1 Q(t) Osservazioi Abbiamo otteuto, i cocreto, elle pagie precedeti il seguete risultato, oto i algebra lieare: Siao date due matrici simmetriche a valori reali, la prima T defiita positiva e la secoda V semidefiita positiva. Allora esiste ua matrice ivertibile a valori reali C tale che C T TC = I (3.29) C T VC = Diag(λ 1,... λ ) = Λ (3.30) dove i λ j 0 soo le radici dell equazioe caratteristica det(v λt) = 0. 35

44 applicazioi delle equazioi di lagrage Possiamo ovviamete scrivere λ j = ω 2 j, co ω j 0. è facile far vedere, usado le otazioi precedeti, che C 1 = SM 1 U. I base alle relazioi (3.29) e (3.30) si ottegoo i modo agevolo ed immediato i modi ormali di vibrazioe. Ifatti: T η(t) + Vη(t) = 0 C T T η(t) + C T Vη(t) = 0 C T TCC 1 η(t) + C T VCC 1 η(t) = 0 C 1 η(t) + ΛC 1 η(t) = 0 (Q = C 1 η) Q(t) + ΛQ(t) = U particolare problema Figura 6.: Schema del problema. Siao dati N + 1 oscillatori di costate k vicolati agli estremi come i figura. Siao gli N oggetti ad essi vicolati di massa m. La lughezza a riposo di ciascua molla sia l 0 cosicché la distaza tra le pareti sia (N + 1)l 0. Se idichiamo co q j la deviazioe dalla posizioe di equilibrio della j-esima particella. Allora, posto q 0 = q N+1 = 0, abbiamo che U = k 2 N+1 (q j q j 1 ) 2. j=1 Co la covezioe assuta, l equazioe del moto della j-esima particella è: m q j + k(2q j q j 1 q j+1 ) = 0. D ora i poi poiamo per semplicità ella trattazioe m = 1 e k = 1. Idichiamo ora: q = q 1 q 2... q N V =

45 3.2 piccole oscillazioi La matrice V è simmetrica defiita positiva. Ifatti sia assegato u vettore x di dimesioi opportue, x T Vx = i,j v ij x i x j = x1 2 N 1 + (x i x i+1 ) 2 + x 2 N 0. La quatità sopra è ulla solo se x è il vettore ullo. possoo sitetizzarsi ella relazioe: Le equazioi del moto q + Vq = 0. Per risolvere il ostro problema occorre trovare gli autovalori della matrice V. Essedo la matrice simmetrica defiita positiva gli autovalori sarao tutti reali e positivi. Dalla relazioe (Vx) i = λx i, moltiplicado per x i e sommado su i: N x i N j=1 Perciò si ha: λ N v ij x j = x T Vx = λ N xi 2 x1 2 N 1 + (x i x i+1 ) 2 + x 2 N = λ xi 2 x1 2 N (xi 2 + xi+1 2 ) + x2 N = 3x1 2 N xi 2 + 3x 2 N 4 dove si è teuto coto dell ovvia relazioe (x i x i+1 ) 2 = xi 2 + xi+1 2 2x ix i+1 0 xi 2 + xi+1 2 2x ix i+1. Perciò abbiamo che λ 4. 7 Per trovare gli autovalori procediamo el modo solito. Idichiamo co D N (λ) = det(v λi N ). Osserviamo che D 1 = 2 λ, D 2 = 2 λ λ = (2 λ)2 1. I geerale, vista la struttura della matrice si vede che D N (λ) = (2 λ)d N 1 (λ) D N 2 (λ). Cerchiamo soluzioi del tipo D N (λ) = µ N. L equazioe dopo le opportue semplificazioi diveta: µ 2 (2 λ)µ + 1 = 0 µ = 2 λ ± (2 λ) 4 2 i=2 = cos θ ± i si θ = e ±iθ dove si è effettuata l opportua sostituzioe 2 cos θ = 2 λ (i virtù del fatto che λ ]0, 4[) e si è teuto coto delle relazioi di Eulero. Ora occorre trovare a C tale che D N (λ) = a(λ)e inθ + ā(λ)e inθ. Per questo impoiamo come codizioi iiziali i due determiati già oti: { D2 (λ) = ae 2iθ + āe 2iθ = (2 λ) 2 1 = 4 cos 2 θ 1 = e 2iθ + e 2iθ + 1 D 1 (λ) = ae iθ + āe iθ = 2 λ = 2 cos θ = e iθ + e iθ 7 I verità la disuguagliaza è stretta se x o è il vettore ullo. Se x 1 = 0 o x N = 0, allora il fatto che la disuguagliaza sia stretta è palese ell ultimo passaggio. Se ivece x 1 = x N = 0 l sego di disuguagliaza stretta si sarebbe potuto itrodurre addirittura già al primo passaggio. Ifatti per N 1 (x i x i+1 ) 2 = N 1 x2 i + N 1 x2 i+1 2 N 1 x ix i+1 2 N 1 (x2 i + xi+1 2 ) N 1 x2 i + N 1 x2 i+1 ) + 2 N 1 x ix i+1 0 N 1 (x i + x i+1 ) 2 0 i cui l uguagliaza vale solo se ogi addedo è ullo, ovvero x i = x i+1, i = 1,... N 1. Dall ipotesi x 1 = x N = 0 segue che ecessariamete tutti i termii devoo essere ulli. N N x 2 i. x 2 i, 37

46 applicazioi delle equazioi di lagrage { (a 1)e 2iθ + (ā 1)e 2iθ { = 1 be (a 1)e iθ + (ā 1)e iθ = 0 2iθ + be 2iθ = 1 be iθ + be iθ = 0 ove si è posto b = a 1. Risolvedo il sistema si ha b(λ) = e iθ a = e iθ e iθ e iθ, ā = e iθ. Perciò: e iθ e iθ e iθ e iθ D N (λ) = ei(n+1)θ e i(n+1)θ e iθ e iθ = 2i si [(N + 1)θ] 2i si θ = si [(N + 1)θ] si θ Poiché siamo alla ricerca degli zeri della fuzioe, occorre che sia (N + 1)θ = mπ, co m {1,... N}. Ricordado la relazioe che lega θ a λ, è ecessario che λ m = 4 si 2 mπ 2(N+1). Sia ora Λ = (δ ij λ i ) i,j=1,...n. Cerchiamo la matrice S tale che V = S T ΛS. è oto che per costruire la matrice S occorre disporre degli autovettori. Perciò i geerale da (V λi)x = 0, poedo come al solito 2 λ = 2 cos θ e x 1 = γ si θ (2 λ)x 1 x 2 = 0 x 1 + (2 λ)x 2 x 3 = 0... x N 1 + (2 λ)x N = 0 Possiamo perciò scrivere: si π N+1 si 2π x = γ N+1... si Nπ N+1 x 1 = γ si θ x 2 = 2γ si θ cos θ = γ si 2θ... x N = γ si Nθ dove γ è ua costate da scegliere opportuamete. Ad esempio, voledo ormalizzare l autovettore: x 2 = γ N =1 si 2 θ = γ N =1 Ricordado le solite idetità di Eulero: N 1 cos θ 2 =1 = N cos θ 2 = 1. N =1 Re 2iθ = N R N =1 ( e 2iθ). L ultima quatità è pari a N R e2i(n+1)θ 1 = N e 2iθ = N+1 2. Perciò il k-esimo autovettore è si π N+1 2 x (k) si 2π = N+1 N si Nπ N+1 La matrice S è così determiata. Ricordado poi che Q m = N =1 S mq è possibile idividuare mediate queste trasformazioi come stimolare il sistema (ovvero come agire sulle q ) per otteere il moto ormale associato alla coordiata Q m.. 38

47 F O R M A L I S M O H A M I LT O N I A N O equazioi di hamilto Vedremo ora ua formulazioe diversa della meccaica, ota come formulazioe hamiltoiaa. La sua rilevaza risiede el fatto che è i grado di forire u impostazioe teorica adatta ad essere estesa ad altre aree della fisica. Così, ad esempio l approccio hamiltoiao costituisce il liguaggio co cui è formulata la meccaica quatistica. Nella formulazioe hamiltoiaa della meccaica si descrive il modo di u sistema di particelle co u isieme di equazioi differeziali del primo ordie (ricordiamo che le equazioi di Lagrage, tipiche della formulazioe lagragiaa, soo equazioi differeziali del secodo ordie). Il umero complessivo di codizioi iiziali i grado di determiare i modo uivoco il moto dovrà sempre essere uguale a 2, dove è il umero di gradi di libertà del sistema di particelle. Di cosegueza ell approccio hamiltoiao dovrao esserci 2 equazioi differeziali del primo ordie, le quali descriverao l evoluzioe del puto rappresetativo del sistema i uo spazio 2-dimesioale, detto spazio delle fasi. Avremo allora 2 coordiate idipedeti i grado di defiire lo stato del sistema. U modo aturale, ache se o uico, per itrodurle è, ota la lagragiaa del sistema, associare ad ogi coordiata geeralizzata q k, co k = 1,..., u altra coordiata data dal mometo coiugato ad essa, cioè p k = L q k. Le variabili (q, p) soo dette caoiche. Si passa, i ultima aalisi, dal sistema di variabili (q, q, t), proprio della formulazioe lagragiaa, al sistema di uove variabili (q, p, t), co il quale possiamo formulare la meccaica hamiltoiaa. Il metodo che ci permette di passare da u sistema all altro è forito dalle trasformazioi di Legedre. Studieremo prima u caso semplice, cioè u sistema ad u solo grado di libertà. Sia L = L (q, q, t) la lagragiaa del sistema. Abbiamo: dl = L q dq + L q d q + L t L dt = ṗdq + pd q + dt (4.1) t dove abbiamo utilizzato la defiizioe di mometo coiugato p = L q e l equazioe di Lagrage L q = d L dt q = ṗ. L hamiltoiaa del sistema H(q, p, t) è defiita mediate la seguete trasformazioe detta di Legedre: H(q, p, t) = qp L(q, q, t). (4.2) Notiamo che l hamiltoiaa risulta i realtà fuzioe di (q, p, t) solo dopo aver L(q, q,t) espresso q i fuzioe di (q, p, t) utilizzado la relazioe p = q. Valgoo le segueti relazioi: dh = H q dq + H p H dp + dt (4.3) t 39

48 formalismo hamiltoiao Ioltre, per le (4.1) e (4.2), si ha dh = qdp + pd q ṗdq pd q L t Dal cofroto tra la (4.3) e la (4.4) emerge che e H(q, p, t) p H(q, p, t) q L dt = qdp ṗdq dt (4.4) t = q (4.5a) = ṗ (4.5b) H t = L t. (4.6) Le relazioi (4.5a) e (4.5b) soo dette equazioi di Hamilto e costituiscoo u sistema di due equazioi differeziali del primo ordie elle due variabili idipedeti (coordiate caoiche) q e p. Queste uove variabili defiiscoo lo stato del sistema el cosiddetto spazio delle fasi, che è ovviamete di dimesioe 2. La procedura precedete si può geeralizzare al caso di u sistema avete gradi di libertà. Sia L = L (q, q, t) la lagragiaa del sistema, co q = (q 1,..., q ) e q = ( q 1,..., q ). Si ha: dl = L dq j + q j=1 j j=1 L d q j q j + L dt = (4.7) t ) L = (ṗj dq j + p j dq j + dt (4.8) t j=1 (si è utilizzato L q j = p j e L q j = d dt L q j = ṗ j ). Posto p = (p 1,..., p ), possiamo come prima defiire l hamiltoiaa del sistema i fuzioe di (q, p, t) mediate la trasformazioe di Legedre H (q, p, t) = Avremo allora dh = j 1 j=1 e, per la (4.8) e la (4.9), dh = q j p j L (q, q, t). (4.9) ( H dq j + H ) dp j q j p j ( ) qj dp j + p j dq j (ṗj q j + p j d j=1 j=1 + H dt (4.10) t ) L q j dt = (4.11) t ( ) L = qj dp j ṗ j dq j dt. (4.12) t j=1 40

49 4.1 equazioi di hamilto Dalla (4.10) e dalla (4.12) si deduce che per i = 1,... e H(q, p, t) = q i p i (4.13a) H(q, p, t) = ṗ i q i (4.13b) H t = L t. (4.14) Le equazioi (4.13a) e (4.13b) vegoo chiamate, come el caso di u solo grado di libertà, equazioi di Hamilto e costituiscoo 2 equazioi differeziali elle variabili caoiche q e p. I coclusioe, la costruzioe dell hamiltoiaa avviee attraverso i segueti passaggi: si costruisce la lagragiaa L i fuzioe delle coordiate geeralizzate q, delle velocità geeralizzate q ed evetualmete del tempo t attraverso la relazioe L = T V (suppoedo le forze derivati da u uico poteziale o poteziale geeralizzato); si defiiscoo i mometi coiugati p i attraverso la relazioe p i = L (q, q, t) (i = 1,... ); (4.15) q i si scrive l hamiltoiaa del sistema utilizzado la trasformazioe di Legedre (4.9) (ovviamete i questa scrittura itervegoo q, q, p e t); a partire dalle (4.15) si cerca di otteere q i fuzioe di q, p e t; co l ausilio del risultato precedete si può, ifie, esprimere l hamiltoiaa H i fuzioe di q, p e t U esempio Suppoiamo che le equazioi che defiiscoo le coordiate geeralizzate o dipedao esplicitamete dal tempo e che le forze i gioco derivio da u poteziale V fuzioe solo delle coordiate geeralizzate. Vogliamo vedere come possiamo scrivere l hamiltoiaa del sistema. Siao i gradi di libertà e siao q 1,..., q le coordiate geeralizzate. È semplice dimostrare che l eergia cietica si può scrivere T = 1 2 τ ij (q) q i q j i,j=1 dove q = (q 1,..., q ). La lagragiaa è data da L = T V. 41

50 formalismo hamiltoiao Il mometo coiugato a q i è p i = L = q i τ ij (q) q j. j=1 La matrice simmetrica τ = ( τ ij ) è defiita positiva ed è quidi ivertibile. Allora q j = ( τ 1) p i. ij Si può dimostrare che el ostro caso l hamiltoiaa è uguale all eergia totale, cioè H = Osserviamo che T = 1 2 = 1 2 = 1 2 q i p i L(q, q) = T + V. i,j=1 i,k,l=1 i,k=1 τ ij (q) k,l ( τ 1) ( τ 1) p k p l = ik jl ( τ 1) ik δ il p k p l = ( τ 1) ik p i p k. I defiitiva otteiamo che: H = 1 2 ( τ 1) p i p k + V(q). jk i,k=1 Se τ è diagoale, lo sarà ache la sua iversa e duque H = 1 2 ( τ 1) p i 2 + V(q). i 4.2 otazioe simplettica Le equazioi di Hamilto o trattao le coordiate geeralizzate e i mometi coiugati i modo simmetrico, come si evice immediatamete dalle (4.13). Acceiamo qui brevemete ad u modo elegate di scrivere queste equazioi i forma uitaria attraverso la cosiddetta otazioe simplettica. Se il sistema ha gradi di libertà, possiamo costruire u vettore coloa formato da 2 elemeti (righe), e cioè: η i = q i, η i+ = p i. (i = 1,... ) 42

51 4.3 coordiate cicliche e metodo di routh Il vettore coloa così costruito è dato da q 1. η = q p 1.. p Si ha ovviamete H = H, η i q i H = H. η i+ p i Defiiamo la seguete matrice 2 2 formata da quattro matrici : ( ) 0 I J = I 0 (i = 1,... ) dove I è la matrice idetità e 0 è la matrice ulla. Notiamo che ( ) J T = J 1 0 I =. I 0 Si vede che J 1 = J. Allora J 2 = I 2 e det J = 1. La matrice J è detta matrice simplettica stadard. Possiamo scrivere le equazioi di Hamilto el modo seguete η k = 2 H J kj (k = 1,... 2) η j=1 j o i maiera sitetica η = J H η. Questa otazioe è detta simplettica. 4.3 coordiate cicliche e metodo di routh Sia H = H(q, p, t) l hamiltoiaa del sistema di particelle co gradi di libertà, dove q = (q 1,..., q ) e p = (p 1,..., p ) soo le coordiate caoiche (idipedeti). Si ha: dh dt = H H q j + q j=1 j ṗ j + H p j=1 j t. (4.16) Per le equazioi di Hamilto (4.13) e per la (4.14), la (4.16) diveta: dh dt = ṗ j q j + q j ṗ j + H t = H t = L t j=1 j=1 (4.17) 43

52 formalismo hamiltoiao dove L è la lagragiaa del ostro sistema. Si vede, allora, che l hamiltoiaa è ua costate del moto se o dipede i modo esplicito dal tempo (o, i maiera equivalete, se la lagragiaa o dipede esplicitamete dal tempo). Abbiamo avuto già modo di osservare che, se le equazioi di trasformazioe che defiiscoo le coordiate geeralizzate o dipedoo esplicitamete dal tempo e se il poteziale dipede solo dalle coordiate geeralizzate, allora H coicide co l eergia totale ed è ua costate del moto. Il fatto che H coicida co l eergia totale e sia ua costate del moto soo due risultati i qualche modo idipedeti. Possoo cioè verificarsi situazioi i cui l hamiltoiaa è ua costate del moto ma o è uguale all eergia totale, e viceversa 1. Se q è ua coordiata ciclica, allora p = L q è ua costate del moto. I questo caso l hamiltoiaa del sistema sarà fuzioe della costate p e o, ovviamete, di q. Poedo p = α, abbiamo H = H(q 1,..., q 1 ; p 1,..., p 1 ; α, t), cioè l hamiltoiaa è di fatto fuzioe di sole 2( 1) coordiate, essedo α costate. Possiamo poi studiare l evoluzioe temporale delle coordiate geeralizzate q attraverso l equazioe caoica q = H α. Si possoo combiare i vataggi della formulazioe hamiltoiaa el trattare le coordiate cicliche co quelli della formulazioe lagragiaa per lo studio delle coordiate o cicliche co u metodo dovuto a Routh. I sostaza si effettua ua trasformazioe di Legedre per passare dal sistema (q, q) al sistema (q, p) solo per le coordiate cicliche, ricavado per esse le equazioi del moto i forma hamiltoiaa metre le rimaeti equazioi del moto rimagoo espresse i forma lagragiaa. Suppoiamo che q s+1,..., q siao coordiate cicliche. Itroduciamo la seguete fuzioe di Routh (o routhiaa): R(q 1,..., q ; q 1,..., q s ; p s+1,..., p, t) = q j p j L(q 1,..., q ; q 1,..., q, t) (4.18) j=s+1 dove L è, ovviamete, la lagragiaa del sistema (otare che ella (4.18) o è stata acora iserita l iformazioe che q s+1,..., q soo cicliche). Dalla (4.18) otteiamo: dr = j=s+1 j=s+1 (d q j p j + q j dp j ) ( L q j dq j + L q j d q j s j=1 ( L dq j + L ) d q j + q j q j ) L t. Teedo presete che per j = s + 1,..., L q j = p j L q j = 0 (4.19) la (4.19) diveta: s ( L dr = q j dp j dq j + L ) d q j L q j=s+1 j=1 j q j t. (4.20) 1 Per ua discussioe articolata, arricchita da esempi, rimadiamo alla lettura di Herbert Goldstei et al., Meccaica Classica, Zaichelli, pagg

53 4.3 coordiate cicliche e metodo di routh Dalla (4.20) si deduce che R q per j = 1,..., s j R p j = L q j = L q j, per j = s + 1,..., R q j = 0. R p j = q j Allora le equazioi di Lagrage per j = 1,..., s si possoo scrivere mediate la fuzioe di Routh: ( ) d R R = 0. dt q j q j I coclusioe la fuzioe di Routh è ua fuzioe di Hamilto i rapporto alle coordiate cicliche q s+1,..., q e ua fuzioe di Lagrage i rapporto alle coordiate o cicliche q 1,..., q s. Osserviamo ad abudatiam che le coordiate cicliche o compaioo esplicitamete ella lagragiaa e, quidi, ella fuzioe di Routh, cioè: R = R(q 1,..., q s ; p 1,... p ; t) dove, per j = s + 1,...,, p j soo itegrali primi del moto. Vediamo u piccolo esempio. Ua particella di massa m si muove i u campo di forze cetrali il cui poteziale è U = U(r) co r distaza della particella dal cetro di forza. Sappiamo che il moto avviee i u piao (sempre che il mometo agolare rispetto al cetro di forza, che è costate, sia diverso da zero). Possiamo esprimere la lagragiaa della particella i tale piao i coordiate polari. Si ha: L = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ 2 ) U(r). Chiaramete θ è ua coordiata ciclica. La fuzioe di Routh è defiita el modo seguete: R = θp θ L, dove p θ = L θ = mr2 θ è il mometo coiugato a θ. Co semplici calcoli si ricava che: R = 1 p 2 θ 2m r mṙ2 + U(r). Osserviamo che R θ = 0 (e duque p θ è ua costate del moto), metre R p θ = θ = p θ. Ioltre mr 2 ( ) d R R dt ṙ r = 0, cioè m r p2 θ mr 3 + U (r) = 0 45

54 formalismo hamiltoiao (ricordiamo che U (r)ˆr è la forza cetrale agete sulla particella). Il metodo di Routh, che, i certi casi, può torare utile ai fii del calcolo, o è, i defiitiva, altro che u ibrido cocettuale tra la formulazioe lagragiaa e quella hamiltoiaa, seza ulla aggiugere di sostaziale all aalisi ed allo studio di u sistema meccaico. 4.4 pricipio variazioale di hamilto modificato Abbiamo visto che le equazioi di Lagrage possoo essere otteute dal pricipio di Hamilto impoedo δs = t 1 t 0 L(q, q, t)dt = 0, richiededo cioè che il moto reale, fra tutti i moti ammissibili ello spazio delle cofigurazioi, sia quello che rede stazioaria l azioe. Se vogliamo dedurre le equazioi di Hamilto da u pricipio variazioale occorre, i qualche modo, modificare il precedete pricipio, perché l itegrale possa essere valutato su percorsi del puto rappresetativo del sistema ello spazio delle fasi. Nell approccio hamiltoiao le coordiate caoiche q e p soo cosiderate idipedeti ello spazio delle fasi; di cosegueza devoo essere cosiderate idipedeti ache le loro variazioi. L idea è di cosiderare l azioe scritta el modo seguete: ) S[q(t), p(t)] = t1 t 0 ( j=1 p j q j H(q, p, t) dt (4.21) co (q(t 0 ) = q 0, p(t 0 ) = p 0 ) e (q(t 1 ) = q 1, p(t 1 ) = p 1 ). U moto ello spazio delle fasi ( q(t), p(t)) è ammissibile se ( q(t 0 ) = q 0, p(t 0 ) = p 0 ) e ( q(t 1 ) = q 1, p(t 1 ) = p 1 ). Il moto reale ello spazio delle fasi è quello tra i moti ammissibili che rede stazioaria l azioe (4.21), cioè t1 δs = δ t 0 ( j=1 p j q j H(q, p, t) ) dt = 0. Questo pricipio variazioale di Hamilto modificato ha esattamete la stessa forma variazioale tipica i uo spazio delle cofigurazioi di dimesioe 2. Ripetedo i ragioameti fatti el secodo capitolo, otteiamo 2 equazioi di tipo Lagrage (o di Eulero-Lagrage), cioè d dt { q k { d dt ṗ k [ j=1 [ j=1 p j q j H(q, p, t) ]} q k ]} p j q j H(q, p, t) p k [ j=1 [ j=1 p j q j H(q, p, t) ] = 0 ṗ k + H = 0 q ] k p j q j H(q, p, t) = 0 q k H p k = 0 46

55 4.5 paretesi di poisso che soo ell ordie la secoda e la prima equazioe di Hamilto. Osserviamo ifie che il pricipio variazioale di Hamilto modificato è formulato i modo tale che agli estremi per i = 1,..., o solo δq i = 0 ma ache δp i = 0. Ua cosegueza immediata di questa cosiderazioe è che, se F(q, p, t) è ua fuzioe di classe opportua (liscia), allora df(q, p, t) p j q j H(q, p, t) + dt j=1 (4.22) dà luogo alle stesse equazioi di Hamilto. 4.5 paretesi di poisso Suppoiamo di avere u sistema lagragiao co gradi di libertà. Idichiamo come al solito co q = (q 1,..., q ) le coordiate geeralizzate e co p = (p 1,..., p ) i mometi coiugati idividuado così il ostro sistema (q, p) di coordiate caoiche. Sia H(q, p, t) l hamiltoiaa del sistema. Suppoiamo di avere ua fuzioe f (q, p, t) : F R R di classe opportua, idicato co F lo spazio delle fasi. Ua fuzioe siffatta è detta ache variabile diamica. Teedo coto delle equazioi di Hamilto si ha: ( d f f dt = j=1 = j=1 ) + f q j + f ṗ j q j p j ( f H f H q j p j p j q j t = ) + f t = { f, H} q,p + f t dove { f, H} q,p = ( f H f ) H q j=1 j p j p j q j è detta paretesi di Poisso 2 di f ed H rispetto al sistema di coordiate caoiche (q, p). Si vede subito che f è ua costate del moto se { f, H} q,p + f t = 0. I particolare se la variabile diamica f o dipede esplicitamete dal tempo, d f dt = 0 { f, H} q,p = 0. Più i geerale, se abbiamo due variabili diamiche f (q, p, t) e g(q, p, t), si defiisce paretesi di Poisso di f e g rispetto alle coordiate caoiche (q, p) la quatità: { f, g} = ( f g f ) g. q j=1 j p j p j q j Le paretesi di Poisso godoo delle segueti proprietà (siao f, g, f 1, f 2, g 1, g 2 variabili diamiche arbitrarie): 2 Talvolta per semplicità di otazioe quado ciò o comporta equivoci il pedice alle paretesi è omesso. Ioltre la paretesi di Poisso è talvolta idicata i letteratura co il simbolo [, ] o [, ] PB. 47

56 formalismo hamiltoiao 1. { f, g} = {g, f }, da cui ovviamete { f, f } = 0; 2. se c è costate rispetto alle coordiate caoiche, allora { f, c} = 0; 3. { f 1 + f 2, g} = { f 1, g} + { f 2, g} e { f, g 1 + g 2 } = { f, g 1 } + { f, g 2 }, ovvero le paretesi soo operatori lieari; 4. { f 1 f 2, g} = f 1 { f 2, g} + f 2 { f 1, g}; 5. si dimostra la seguete idetità, per ulla baale, detta di Jacobi: { f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, { f, g}} = 0 Valgoo ioltre le segueti relazioi: { } { } t { f, g} = f t, g + f, g t ; { f, q j } = f p j e { f, p j } = f q j {q i, q j } = 0, {p i, p j } = 0, {q i, p j } = δ ij (paretesi di Poisso fodametali). Notiamo per iciso che le equazioi di Hamilto possoo essere scritte ache el modo seguete: q k = H p k ṗ k = H q k = {q k, H}, = {p k, H}. Osserviamo come l asimmetria delle equazioi di Hamilto scompaia utilizzado le paretesi di Poisso. Esercizi 1. Dimostrare l idetità di Jacobi el caso i cui = Dimostrare che se due variabili diamiche f e g, che o dipedoo esplicitamete dal tempo, soo etrambe itegrali primi del moto, allora ache { f, g} è u itegrale primo del moto (Suggerimeto: utilizzare l idetità di Jacobi e il fatto che d f dt = 0 { f, H} = 0, dove H è l hamiltoiaa). 3. Dimostrare che, se due variabili diamiche f e g (i geerale dipedeti dal tempo) soo etrambe itegrali primi del moto, allora ache { f, g} è u itegrale primo del moto. 4. Sia dato u puto materiale di massa m e sia l hamiltoiaa del ostro sistema H(x 1, x 2, x 3, p 1, p 2, p 3, t), i coordiate cartesiae. Dimostrare, utilizzado le paretesi di Poisso fodametali, che {L j, p k } = ɛ jkl p l, dove ɛ jkl è il simbolo di Levi-Civita, o delle permutazioi di 1,2,3. Ricordiamo che tale 48

57 4.6 trasformazioi caoiche simbolo vale 1 se (j, k, l) è ua permutazioe ciclica di (1, 2, 3), 1 se (j, k, l) è ua permutazioe ciclica di (2, 1, 3) ed è ullo altrimeti. Aalogamete si può vedere che {L j, L k } = ɛ jkl L l e {L j, L 2 } = Suppoiamo di avere u puto materiale i u poteziale a simmetria sferica. Si scriva i coordiate sferiche l hamiltoiaa e il mometo agolare della particella rispetto al cetro della forza. Calcolare {L 2, H}, {L, H}. 4.6 trasformazioi caoiche Le equazioi differeziali del moto, el formalismo hamiltoiao, beché del primo ordie, o semplificao, i geerale, i calcoli rispetto a quelle del formalismo lagragiao. La ovità ell approccio hamiltoiao risiede el fatto che le coordiate e i mometi coiugati hao la stessa rilevaza. Esistoo casi i cui tutte le coordiate geeralizzate soo cicliche; i tale circostaza tutti i mometi coiugati soo costati del moto. Se poiamo per semplicità p i = α i (costate) per i = 1,...,, allora q i = H(α 1,...,α ) α i = ω i, valore costate, e quidi itegrado si ha q i (t) = ω i t + q i (0). Abbiamo visto come sia possibile, i questo caso, itegrare baalmete le equazioi del moto. Il fatto rilevate è che esistoo problemi meccaici (quelli cosiddetti itegrabili) per i quali è possibile avere coordiate geeralizzate cicliche. Naturalmete puto fodametale è saper passare da u sistema di coordiate caoiche (q, p) ad u altro sistema di coordiate caoiche (Q, P), ache per ricercare, ove esistao, coordiate geeralizzate cicliche. U modo, potremmo dire aturale, per otteere uove coordiate caoiche relative ad u sistema meccaico lagragiao (e quidi hamiltoiao) è di partire da trasformazioi ello spazio delle cofigurazioi Q = Q(q, t), esprimere la lagragiaa i termii di Q e Q, otteere i mometi coiugati corrispodeti tramite la relazioe P i = L ed ifie riscrivere l hamiltoiaa i fuzioe di (Q, P), Q i uove coordiate caoiche, ed evetualmete del tempo i modo esplicito. Si può avere ua trasformazioe da u sistema di coordiate caoiche (q, p) ad u altro (Q, P) i maiera più geerale, cosiderado (ello spazio delle fasi) come idipedeti le coordiate geeralizzate e i mometi coiugati (ricordiamo che questo assuto è tipico della formulazioe hamiltoiaa). Si può, i altre parole, avere ello spazio delle fasi ua trasformazioe simultaea delle coordiate geeralizzate e dei mometi coiugati, cioè: { Q = Q(q, p, t) P = P(q, p, t) (4.23) co (q, p) e (Q, P) vecchie e uove, rispettivamete, coordiate caoiche. Trasformazioi di questo tipo, ello spazio delle fasi, soo dette caoiche e permettoo, i termii delle uove coordiate caoiche (Q, P), ua uova descrizioe equivalete della diamica del ostro sistema meccaico, se, ovviamete, esiste ua uova hamiltoiaa fuzioe di (Q, P, t), che dia luogo alle equazioi di 49

58 formalismo hamiltoiao Hamilto. Possiamo i defiitiva dare la seguete defiizioe di trasformazioe caoica: Defiizioe (trasformazioe caoica) - Se (q, p) è u sistema di coordiate caoiche co hamiltoiaa H(q, p, t), { Q = Q(q, p, t) P = P(q, p, t) è ua trasformazioe caoica se esiste ua uova hamiltoiaa K(Q, P, t) che permette di scrivere le equazioi del moto ella forma { Q i = K P i Ṗ i = K Q i, co i = 1,...,. Sottolieiamo ua proprietà rilevate delle trasformazioi caoiche (proprietà che sarà evidete i seguito): le trasformazioi caoiche soo idipedeti dal problema fisico specifico. I altre parole la trasformazioe (q, p, t) (Q, P, t), se è caoica per u particolare sistema meccaico, è caoica per tutti i sistemi meccaici co lo stesso umero di gradi di libertà. Abbiamo visto che le equazioi di Hamilto possoo essere otteute dal pricipio di Hamilto modificato, cioè ( t1 ) δs = δ p i q i H(q, p, t) dt = 0. t 0 Aalogamete, se Q e P soo le uove coordiate caoiche e K(Q, P, t) è la uova hamiltoiaa, il pricipio di Hamilto modificato diveta: ( t1 ) δs = δ P i Q i K(Q, P, t) dt = 0. t 0 Poiché le variazioi delle coordiate caoiche (relative a tutti i moti ammissibili ello spazio delle fasi) devoo essere ulle agli estremi, deve valere (vedi (4.22)) la seguete relazioe (trasformazioe caoica): p i q i H(q, p, t) = P i Q i K(Q, P, t) + df dt (4.24) dove F(q, p, t), che suppoiamo liscia, è detta fuzioe geeratrice della trasformazioe caoica (4.24). La relazioe (4.24) può essere scritta: p i dq i P i dq i (H K)dt = df. (4.25) 50

59 4.6 trasformazioi caoiche La struttura della (4.25) iduce a predere i cosiderazioe la sottoclasse di trasformazioi i cui è possibile scegliere (q, Q) come variabili idipedeti i luogo di (q, p). Richiediamo allora che p = p(q, Q, t) abbia 3 det p Q = 0 e P = P(q, Q, t). La fuzioe geeratrice è detta, i questo caso, di tipo 1. Si ha: F(q, p, t) = F(q, p(q, Q, t), t) = F 1 (q, Q, t). La relazioe (4.25) può, allora, essere scritta i questo caso: p i dq i = P i dq i (H K)dt = F 1 dq i + q i Di cosegueza, per i = 1,..., : F 1 Q i dq i + F 1 t dt p i = F 1 q i (4.26) P i = F 1 Q i (4.27) K = H + F 1 t. (4.28) Ua volta ota la fuzioe geeratrice di tipo 1, tramite la (4.26) si ottiee p = p(q, Q, t) e P = P(q, Q, t). Ivertedo poi la prima delle due equazioi appea ricavate, si ottiee Q = Q(q, p, t); si può pertato esprimere ache P i fuzioe di (q, p, t). Osserviamo che l iversioe è garatita dalla proprietà di o degeerazioe p Q = det 2 F 1 q Q = 0. Possiamo riassumere il discorso appea fatto el modo seguete: Per ogi fuzioe F 1 (q, Q, t) liscia, soggetta alle proprietà di o degeerazioe, la trasformazioe (q, p, t) (Q, P, t), defiita, per i = 1,...,, da { pi = F i q i P i = F i Q i e dalla formula iversa Q = Q(q, p, t), è caoica; ad ogi hamiltoiaa H(q, p, t) corrispode l hamiltoiaa K = H + F 1 t. I particolare, se F 1 t = 0, K = H. Ad esempio, sia F 1 = qq la fuzioe geeratrice di tipo 1 ( = 1). Allora p = Q e P = q. Vale a dire, (q, p) (p, q) è ua trasformazioe caoica. Ioltre K = H. Notare che la trasformazioe caoica è idipedete dal sistema fisico i esame. ( ) 3 Ovvero la matrice jacobiaa p Q = pk Q è assuta o sigolare. j 51

60 formalismo hamiltoiao Può capitare che o sia possibile avere ua fuzioe geeratrice di tipo 1. Questo accade se p può essere fuzioe di (q, P, t) e o di (q, Q, t). Allora si può porre: F = F 2 (q, P, t) Q i P i. La relazioe (4.25) diveta i questo caso ovvero p i dq i P i dq i (H K)dt = df 2 Q i dp i P i dq i p i dq i + Q i dp i (H K)dt = df 2. (4.29) F 2 è detta fuzioe geeratrice di tipo 2. Dalla (4.29) otteiamo p i = F 2 q i, (4.30) Q i = F 2 P i, (4.31) K = H + F 2. (i = 1,..., ) t Notiamo che bisoga imporre la codizioe di o degeerazioe p P = det 2 F 2 q P = 0. Ivertedo la (4.30) otteiamo P = P(q, p, t) e, quidi, ella (4.31) Q i fuzioe (q, p, t). Facciamo ora alcui esempi per sistemi ad u grado di libertà: F 2 = qp; allora p = F 2 q = P e Q = F 2 P = q. Otteiamo cioè la trasformazioe caoica idetica, co K = H. F 2 = 1 2 (q + αp)2, co α > 0. Allora p = F 2 q p q = q + αp P =, metre Q = F 2 P = α(q + αp) = α(q + p q) = αp. La trasformazioe caoica è duque (q, p) (αp, p q α ), co K = H. Può accadere che siao scelte come variabili idipedeti p e Q. I tal caso q = q(p, Q, t), co la codizioe det q Q = 0. Allora F = F 3 (p, Q, t) + q i p i. (4.32) La fuzioe geeratrice si dice i tal caso di tipo 3. La relazioe (4.25) diveta per la (4.32) p i dq i P i dq i (H K)dt = df 3 + q i dp i + p i dq i q i dp i P i dq i (H K)dt = df 3 α 52

61 4.6 trasformazioi caoiche da cui q i = F 3 p i, (4.33) P i = F 3 Q i, (4.34) K = H + F 3. (i = 1,..., ) t = 0 può pertato essere scritta, i base alla (4.33) co- La codizioe det q Q me det 2 F 3 p Q (codizioe di o degeerazioe). Propoiamo alcui esempi di fuzioi geeratrici siffatte sempre el caso di sistemi ad u grado di libertà: F 3 = pq. Allora q = F 3 p = Q e P = F 2 Q = p. I questo caso la trasformazioe caoica è la trasformazioe idetica, cioè (q, p) (q, p), co K = H. F 3 = e p+q. Allora q = F 3 p = ep+q > 0 Q = l q p e P = F 2 Q = e p+q = qe p e p = q. La trasformazioe caoica è, allora, la seguete: (q, p) (l q p, q), co q > 0 e K = H. Se soo scelte come variabili idipedeti p e P, abbiamo q = q(p, P, t) co la codizioe det q P = 0 e F = F 4 (p, P, t) + q i p i Q i P i. (4.35) La fuzioe geeratrice è detta di tipo 4. La relazioe (4.25) diveta per la (4.35): da cui p i dq i P i dq i (H K)dt = = df 4 + q i dp i + p i dq i Q i dp i P i dq i q i dp i Q i dp i (H K)dt = df 4 q i = F 4 p i, (4.36) Q i = F 4 P i, (4.37) K = H + F 4 t (i = 1,..., ) La codizioe det q P = 0 può essere scritta i base alla (4.36) come det 2 F 4 P p = 0. Ad esempio, se, per = 1, F 4 = pp, allora q = F 4 p = P P = q e Q = F 4 P = p. La trasformazioe caoica è, pertato, la seguete: (q, p) (p, q), 53

62 formalismo hamiltoiao co K = H. Osserviamo, ifie, che ua fuzioe geeratrice o deve essere ecessariamete ua dei quattro tipi per tutti i gradi di libertà. Si può usare ua fuzioe geeratrice che mescoli i quattro tipi. Così per = 2 F = F 23 (q 1, p 2 ; P 1, Q 2 ; t) Q 1 P 1 + q 2 p 2 rappreseta ua fuzioe geeratrice di tipo 2 per il primo grado di libertà e di tipo 3 per il secodo. Acceiamo ifie (seza dimostrazioi) ad ua bella proprietà riguardate le paretesi di Poisso e le trasformazioi caoiche. Sia data ua trasformazioe caoica: { Q = Q(q, p, t). (4.38) P = P(q, p, t) Se f (Q, P, t) e g(q, P, t) soo due variabili diamiche, si può dimostrare che: { f (Q, P, t), g(q, P, t)} Q,P = = { f (Q(q, p, t), P(q, p, t), t), g(q(q, p, t), P(q, p, t), t)} q,p, ovvero le paretesi di Poisso soo ivariati per trasformazioi caoiche. I particolare soo ivariati per trasformazioi caoiche le paretesi fodametali. Ioltre si può far vedere che, se (q, p) soo coordiate caoiche, le trasformazioi (4.38) soo caoiche solo se soo soddisfatte le paretesi fodametali per le uove variabili. I defiitiva, assegate le trasformazioi, il test basato sulle paretesi di Poisso è coclusivo per stabilire se esse soo caoiche seza passare per le fuzioi geeratrici o precisare specifici problemi fisici. 4.7 equazioi di hamilto-jacobi Abbiamo visto che ell approccio hamiltoiao il moto di u sistema meccaico ello spazio delle fasi co gradi di libertà è determiato dalla soluzioe di 2 equazioi differeziali ordiarie del primo ordie rispetto al tempo, che coivolgoo 2 variabili dipedeti dal tempo (le coordiate caoiche) ed ua variabile idipedete (il tempo apputo). Vogliamo ora far vedere che lo stesso problema fisico può essere risolto i u modo completamete diverso: attraverso la determiazioe di ua fuzioe 4 S(q 1,... q, t) soluzioe di u equazioe differeziale alle derivate parziali, coteete + 1 derivate parziali del primo ordie rispetto a q 1,... q e a t. Supposta ota l hamiltoiaa del sistema i esame H(q, p, t), co q = (q 1,... q ) e p = (p 1,... p ) coordiate caoiche, assumiamo che esista ua trasformazioe caoica Q = Q(q, p, t) e P = P(q, p, t) che dia luogo ad ua uova hamiltoiaa K ulla. I questo caso: Q i = K P i = 0 Ṗ i = K Q i = 0 4 I realtà, come vedremo, S dipede i geerale ache da + 1 costati arbitrarie 54

63 4.7 equazioi di hamilto-jacobi cioè Q e P soo costati el tempo. Se F è la fuzioe geeratrice, abbiamo la codizioe H(q, p, t) + F = 0. (4.39) t Se facciamo l ipotesi che la fuzioe geeratrice sia del secodo tipo, abbiamo che: p i = F 2(q, P, t). q i L equazioe (4.39) può essere pertato riscritta: ( H q, F ) 2 q, t + F 2 = 0. (4.40) t La (4.40) è ota come equazioe di Hamilto-Jacobi ed è, per la fuzioe geeratrice, u equazioe differeziale alle derivate parziali prime elle + 1 variabili (q 1,... q, t). F 2 è, i letteratura, idicata usualmete col simbolo S. La fuzioe S è detta fuzioe pricipale di Hamilto. Suppoiamo che esista ua soluzioe completa del tipo S = S(q 1,... q ; α 1,... α +1 ; t) dove α 1,... α +1 soo costati di itegrazioe idipedeti. L equazioe di Hamilto-Jacobi o dà iformazioi sui uovi mometi P i da cui dovrebbe dipedere S. Sappiamo che questi uovi mometi soo tutti costati. Osserviamo che ella (4.40) la fuzioe S o compare direttamete ma solo mediate le derivate parziali rispetto a q i e a t. Allora, se S è soluzioe dell equazioe di Hamilto-Jacobi, ache S+costate è soluzioe. Questa proprietà implica che ua delle + 1 costati di itegrazioe deve comparire come costate additiva. Si può, allora, scegliere ua soluzioe completa che dipede da costati idipedeti, cioè: S = S(q 1,... q ; α 1,... α ; t). (4.41) Possiamo beissimo scegliere queste costati esattamete uguali ai uovi mometi: P i = α i. Questa scelta o cotraddice l ipotesi iiziale che la fuzioe geeratrice della trasformazioe caoica sia di tipo 2 e quidi che p = p(q, P, t). Si possoo scegliere i uovi mometi, essedo costati, assegado al tempo t = 0 q e p. I particolare, sappiamo che p i = S q i (q; α; t) (4.42) co α = (α 1,..., α ); ivertedo la (4.42) possiamo otteere α al tempo t = 0 i fuzioe di q e p. Le uove coordiate geeralizzate soo date da: Q i = S α i = β i (costati). (4.43) Le costati β i possoo essere calcolate cooscedo i valori al tempo t = 0 delle coordiate caoiche. Possiamo poi, ivertedo le trasformazioe caoiche, esprimere le vecchie coordiate caoiche (q, p) i fuzioe delle uove 5 (β, α): { q = q(β, α, t) p = p(β, α, t). (4.44) 5 β = (β 1,... β ), α = (α 1,... α ). 55

64 formalismo hamiltoiao Queste relazioi ci dicoo che possiamo otteere, mediate ua trasformazioe caoica, le coordiate caoiche (q, p) i fuzioe del tempo, cioè di determiare il moto del sistema ello spazio delle fasi ua volta che siao assegate le codizioi iiziali. Le relazioi (4.44) ci dao, i altre parole, la soluzioe delle equazioi di Hamilto, oti q(0) e p(0). Da u puto di vista matematico abbiamo otteuto u equivaleza tra u equazioe differeziale alle derivate parziali i + 1 variabili del primo ordie e 2 equazioi differeziali ordiarie del primo ordie. Questa equivaleza può essere, el ostro caso, imputata al fatto che sia l equazioe di Hamilto-Jacobi sia le equazioi di Hamilto derivao dal medesimo pricipio di Hamilto modificato. Possiamo ora cercare di compredere il sigificato fisico della fuzioe geeratrice del secodo tipo S. Osserviamo che, essedo α quatità costati, ds(q, α, t) dt = i S q i q i + S t. (4.45) Se teiamo preseti le (4.42), la (4.45) diveta: ds(q, α, t) dt = i p i q i + S t = p i q i H (4.46) i dove abbiamo teuto coto della (4.39). Balza evidete dalla (4.46) e da quato detto sul pricipio di Hamilto modificato che S rappreseti (a meo di costati additive) l azioe. Vediamo u caso particolare. Suppoiamo che H o dipeda esplicitamete dal tempo. Allora la fuzioe pricipale di Hamilto deve avere la seguete struttura: S(q, α, t) = W(q, α) at (4.47) dove W(q, α) è detta fuzioe caratteristica di Hamilto. Osserviamo che p i = S q i = W q i. Allora dw dt = W q i q i = p i q i e quidi W = p i dq i. 4.8 variabili agolo-azioe el caso uidimesioale Sia H(q, p) l hamiltoiaa el ostro sistema ad u solo grado di libertà, co (q, p) coordiate caoiche. Suppoiamo che il sistema abbia u moto periodico e che esista ua trasformazioe caoica (idipedete dal tempo) (q, p) (ψ, J), idotta da ua fuzioe geeratrice di tipo 1 F 1 (q, ψ) idipedete dal tempo, i modo tale che ψ sia ciclica 6. Ovviamete il uovo mometo coiugato J è ua costate del moto e H = H(J). Abbiamo, per la prima equazioe di Hamilto, ψ = H(J) J = ω (costate), da cui ψ(t) = ωt + ψ 0. 6 Ricordiamo che l hamiltoiaa o cambia, cioé K = H. 56

65 4.8 variabili agolo-azioe el caso uidimesioale Poiché, per ipotesi, il moto è periodico, le coordiate caoiche q e p sarao fuzioi periodiche. Avremo come cosegueza che il moto deve essere periodico i ψ. Assumiamo che il periodo sia 2π. La uova coordiata geeralizzata ψ è detta variabile agolo, metre J è detta variabile azioe ed assume il ruolo di mometo agolare. Per quato detto, F 1 (q, ψ) deve essere periodica rispetto a ψ di periodo 2π: df 1 = F 1 q dq + F 1 dψ = pdq Jdψ. ψ Dopo u periodo, F 1 tora al valore iiziale e ψ cosegue ua variazioe di 2π. 0 = df 1 = 2π pdq J dψ = 0 pdq 2πJ J = 1 2π pdq. Questa relazioe può essere presa proprio come defiizioe della variabile azioe Esempio: l oscillatore armoico uidimesioale L oscillatore armoico uidimesioale ha hamiltoiaa H = 1 2m p kq2, dove m è la massa della particella e k > 0 è ua costate. Possiamo porre ω 2 = k m e riscrivere l hamiltoiaa: H = 1 2m p ω2 mq 2 = E E è costate e il suo valore è fissato dalle codizioi iiziali. Pertato: p = 2mE m 2 ω 2 q 2 F 1 (q, ψ) = df 1 = = pdq J 2mE m 2 ω 2 q 2 dq J dψ = dψ. Per calcolare I = 2mE m 2 ω 2 q 2 dq, poiamo si θ = m 2E ωq. Allora I = 2mE 1 mω2 q 2 2E dq = 2E ω cos 2 θdθ = E ω ( θ + ) si 2θ, 2 dove ovviamete θ = arcsi ( m 2E ωq). Osserviamo che i questi casi abbiamo J = 1 2π pdq = 1 2π pdq = E ω, cioé E = Jω. I base poi al calcolo di I possiamo scrivere esplicitamete F 1 (q, ψ) i fuzioe di θ e ψ, cioé: F 1 = E ω ( θ + ) si 2θ Jψ. 2 57

66 formalismo hamiltoiao Poiché F 1 deve essere ua fuzioe periodica, E ω θ Jψ = J(θ ψ) = 0 cioé θ = ψ. I base a quest ultimo risultato, F 1 = E ω si ψ cos ψ. Poiché si θ = si ψ = m 2E ωq, E = mω2 q 2 e, i defiitiva, si ψ Allora F 1 (q, ψ) = 1 2 mωq2 cot ψ. p = F 1 q = mωq cot ψ J = F 1 ψ = 1 2 m ωq2 si 2 ψ = 1 2 mωq2 (1 + cot 2 ψ) = 1 2 mωq I coclusioe { ψ = p arccot mωq J = 1 2 mωq p 2 mω = E ω. p 2 mω. 58

67 B I B L I O G R A F I A [1] H. Goldstei, C. Poole, J. Safko: Meccaica Classica, Zaichelli, II edizioe. [2] L. D. Ladau, E. M. Lifsič: Meccaica, Editori riuiti. [3] V. I. Arold: Metodi matematici della meccaica classica, Editori riuiti. [4] M. Aselmio, S. Costa, E. Predazzi: Origie classica della fisica modera, Levrotto & Bella (coteete ua trattazioe su tutti gli argometi del corso). [5] A. Fasao, S. Marmi: Meccaica aalitica, Bollati Borighieri. 59

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69 Parte II R E L AT I V I TÀ R I S T R E T TA E I N T R O D U Z I O N E A L L A M E C C A N I C A Q U A N T I S T I C A

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71 R E L AT I V I TÀ S P E C I A L E 5 Avverteza! I questo capitolo idicheremo i tesori i grassetto, v, metre i vettori sarao idicati secodo la otazioe v. 5.1 trasformazioi di loretz Premessa Le equazioi di Maxwell, che hao permesso di uificare sia i campi elettrici e magetici sia l ottica geometrica, o soo ivariati per trasformazioi di Galileo. Premettiamo due semplici cosiderazioi. Nelle equazioi compare esplicitamete la velocità di propagazioe dei segali elettromagetici: c = 1 ɛ 0 µ 0. Secodo il pricipio di relatività di Galileo passado da u sistema di riferimeto ierziale ad u altro le velocità si sommao come vettori, duque la velocità di u segale lumioso dipede dal sistema di riferimeto ierziale e sarà diversa al cambiare del sistema. La spiegazioe che si dette sulla comparsa del modulo della velocità di u segale elettromagetico elle equazioi si basò sull esisteza di u mezzo (estremamete rigido e rarefatto) le cui deformazioi dovrebbero corrispodere ai campi elettromagetici. Il mezzo come sappiamo fu chiamato etere e si pose il problema di idividuare il sistema di riferimeto ad esso solidale. Le equazioi di Maxwell, così come formulate, dovevao essere valide i tale sistema di riferimeto. La preseza di asimmetrie i alcui feomei elettromagetici, quado si passa da u sistema di riferimeto ierziale ad u altro, o trova ua spiegazioe ell ambito della teoria della relatività di Galileo. Ad esempio, ua carica putiforme q ferma i u sistema di riferimeto ierziale geera u campo elettrostatico, ma la stessa carica per u altro sistema di riferimeto ierziale è i moto e geera ache u campo magetico. Ioltre l esperimeto di Michelso e Morley dimostrò, seza ombra di dubbio, che l etere o esiste e che la velocità della luce (el vuoto) o dipede dalla velocità della sorgete Cocetto di eveto L idea che è alla base della teoria della relatività è di decomporre tutto ciò che accade i eveti. U eveto rappreseta la miima determiazioe possibile, idividuata dall assegazioe di tre coordiate spaziali ed ua temporale. I altre 63

72 relatività speciale parole, u eveto è u qualcosa che accade i u dato puto dello spazio i u particolare istate di tempo. Se abbiamo u sistema di assi cartesiai Oxyz, u eveto è ua quatera di umeri (x, y, z, t). Tutto ciò che accade deve ammettere ua descrizioe i termii di relazioi o coicideze tra eveti. L isieme degli eveti costituisce lo spaziotempo Pricipio di ierzia Postuliamo l esisteza di ua particolare classe di sistemi di riferimeto, rispetto ad oguo dei quali tutti i puti materiali isolati o soo fermi o si muovoo co velocità vettoriale costate. Questi sistemi di riferimeto soo detti, come be sappiamo, ierziali. Dobbiamo altresì assumere (per misurare lughezze e itervalli di tempo) che si abbia ua classe di regoli rigidi ideali ed ua classe di orologi ideali. Due regoli ideali hao la proprietà di essere della medesima lughezza se soo i quiete, idipedetemete dalla loro storia passata. Aalogamete, due orologi ideali battoo il tempo ello stesso modo se soo i quiete, a prescidere dalla loro storia passata. Noi supporremo che i ogi luogo di u sistema di riferimeto vi sia u orologio i quiete. Il grosso problema è quello di sicroizzare tutti questi orologi ideali. U modo per sicroizzare due orologi, uo posto i A e l altro posto i B A, solidali co il ostro sistema di riferimeto ierziale, può essere il seguete: laciamo da A verso B u segale elettromagetico (supposta ota la velocità della luce 1 ), sicroizziamo l orologio i B co quello i A teedo coto della distaza tra A e B e del tempo impiegato dal segale a raggiugere B. Noi affrotiamo lo studio della cosiddetta Relatività Ristretta o Speciale, che si occupa del rapporto esistete fra la descrizioe dei feomei fisici compiute da osservatori solidali co sistemi di riferimeto ierziali. La Relatività Geerale avrà lo scopo di estedere lo studio ad osservatori o ierziali Postulati della Relatività Ristretta e trasformazioi di Loretz Oltre al pricipio d ierzia, alla base della relatività ristretta vi soo due postulati: Primo postulato: pricipio di relatività - Le leggi della Fisica soo le stesse i tutti i riferimeti ierziali. Secodo postulato: costaza della velocità della luce - La velocità della luce el vuoto assume lo stesso valore, idipedetemete dalla direzioe, i tutti i sistemi di riferimeto ierziali. Vediamo, ora, come otteere le trasformazioi di Loretz utilizzado i postulati della relatività ristretta, suppoedo che il tempo sia omogeeo e che lo spazio sia omogeeo e isotropo. Suppoiamo di avere due sistemi di riferimeto ierziali 1 Per misurare la velocità del segale può essere usato u solo orologio, sempre che il percorso seguito dal segale sia chiuso. 64

73 5.1 trasformazioi di loretz Figura 7.: Rappresetazioe dei sistemi di riferimeto i esame. S(Oxyz) e S (O x y z ), il quale si muove rispetto al primo co velocità costate v diretta lugo la direzioe positiva delle x i modo che x x (vedi figura 7). U eveto è caratterizzato i S dalle coordiate spaziotemporali (x, y, z, t). Lo stesso eveto avrà i S coordiate spaziotemporali (x, y, z, t ). Cerchiamo le relazioi x = x (x, y, z, t), y = y (x, y, z, t), z = z (x, y, z, t), t = t (x, y, z, t), (5.1) sulla base dei due postulati. Suppoiamo che si sia proceduto a sicroizzare gli orologi i oguo dei due sistemi di riferimeto ierziali e che quado O O, t = t = 0 (è il modo più semplice di sicroizzare due orologi 2 uo solidale co S, l altro solidale co S ). Osserviamo che poiché lo spazio è isotropo abbiamo potuto scegliere, assolutamete i geeralità, i due sistemi ierziali come precisato sopra. Ua prima osservazioe: l ipotesi di omogeeità dello spazio e del tempo richiede che le (5.1) siao lieari. Altre osservazioi: 1. Poiché cotiuamete l asse x coicide co l asse x, o i modo equivalete { { y = 0 y = 0 z = 0 z = 0, y e z soo espressi mediate ua combiazioe lieare di y e z. 2. Il piao x y (caratterizzato dall equazioe z = 0) si deve trasformare el piao x y (cioè z = 0); aalogamete il piao x z (caratterizzato dall equazioe y = 0) si deve trasformare el piao x z (cioè y = 0). Allora y dev essere proporzioale solo ad y e z deve essere proporzioale solo a z. 3. Si può far vedere che u asta posta lugo l asse y solidale co S deve avere la stessa lughezza i S ; ciò comporta che y = y. Aalogamete si prova che z = z. 4. Per ragioi di simmetria t o può dipedere liearmete é da y é da z. Altrimeti, ad esempio, due orologi, fermi i S, uo posto sull asse delle y 2 No è assolutamete detto che due orologi, uo solidale co S e l altro co S, battao il tempo allo stesso modo. 65

74 relatività speciale i y = +1 e l altro posto sullo stesso asse i y = 1, sarebbero i disaccordo osservati da S. Questo fatto sarebbe i cotrasto co l ipotesi di isotropia dello spazio. 5. Poiché il puto O ed ogi altro puto del piao y z ha rispetto ad S equazioe oraria x = vt, allora x, ella trasformazioe cercata, deve essere proporzioale a x = vt. Le cosiderazioi precedeti portao a dire che le trasformazioi (5.1) devoo essere, i particolare, del tipo: x = γ(x vt), y = y, z = z, t = ax + bt. (5.2a) (5.2b) (5.2c) (5.2d) Il ostro scopo è ora quello di determiare le costati γ, a e b utilizzado il secodo postulato della relatività. Suppoiamo che, quado O O, cioè al tempo t = t = 0, u oda elettromagetica sferica vega emessa da O O. I base al secodo postulato della relatività l oda elettromagetica si propaga i tutte le direzioi co velocità c (velocità della luce el vuoto) sia i S sia i S. Cosideriamo allora u puto del frote d oda (x, y, z) al tempo t i S. Le coordiate spaziotemporali (x, y, z, t), che defiiscoo l eveto i S, dovrao soddisfare la seguete relazioe: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. (5.3) Lo stesso eveto i S avrà coordiate spaziotemporali (x, y, z, t ), che, per quato detto, dovrao essere legate dalla relazioe: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. (5.4) Poedo le (5.2) ella (5.4), otteiamo: γ 2 (x vt) 2 + y 2 + z 2 = c 2 (ax + bt) 2 (5.5) (γ 2 c 2 a 2 )x 2 + y 2 + z 2 2xt(γ 2 v + c 2 ab) = (c 2 b 2 γ 2 v 2 )t 2. (5.6) La relazioe (5.6) deve coicidere co la (5.3) per ogi x, y, z, t. Si ha, allora, γ 2 c 2 a 2 = 1 γ 2 v + c 2 ab = 0. (5.7) c 2 b 2 γ 2 v 2 = c 2 Teedo presete che se v = 0, b = 1 dalle (5.7) otteiamo: 1 γ = 1 v2 c 2 a = v c 2 γ. (5.8) b = γ 66

75 5.1 trasformazioi di loretz I coclusioe le trasformazioi di Loretz soo le segueti: co x = γ(x vt), y = y, (5.9a) (5.9b) z = z, (5.9c) t = γ (t v ) c 2 x, (5.9d) γ = 1. (5.10) 1 v2 c 2 Dalle (5.9) è facile ricavare le trasformazioi iverse x = γ(x + vt), y = y, (5.11a) (5.11b) z = z, (5.11c) t = γ (t + v ) c 2 x. (5.11d) Notiamo che se v c, allora γ 1 ed ioltre dalle (5.11) si riottegoo le trasformazioi di Galileo. Siao (x, y, z, t) le coordiate spaziotemporali i S di u eveto e siao (x, y, z, t ) le coordiate spaziotemporali i S dello stesso eveto. Notiamo che: c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = c 2 γ 2 ( t v c 2 x ) 2 γ 2 (x vt) 2 y 2 z 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2. Allora c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (che, come vedremo tra poco, può essere riguardato come la distaza al quadrato ello spaziotempo fra il ostro eveto e l eveto di coordiate (0, 0, 0, 0)) è ua quatità scalare ivariate per trasformazioi di Loretz. Poiamo x 0 = ct e sih χ = v c = βγ, co β = v 1 v2 c. Si ha ovviamete cosh χ = c sih 2 χ = γ. Allora le trasformazioi di Loretz (relativamete alle due coordiate che cambiao) posso essere scritte ache el modo seguete: x 0 = cosh χx 0 sih χx, x = cosh χx sih χx 0. (5.12a) (5.12b) Da queste relazioi si evidezia ua certa aalogia co le rotazioi i due dimesioi: x = cos θx si θy, y = si θx + cos θy. 67

76 relatività speciale Questa aalogia si estede al fatto che, metre le rotazioi coservao le lughezze x 2 + y 2, le (5.12) coservao la quatità x 2 0 x2, che, come abbiamo acceato, rappreseta acora ua distaza al quadrato ello spaziotempo. Le trasformazioi di Loretz, come si evice dalla (5.12), possoo allora esere cosiderate come rotazioi geeralizzate ello spaziotempo. Suppoiamo di avere u eveto A defiito da (x A, y A, z A, t A ) e u eveto B defiito da (x B, y B, z B, t B ) el sistema di riferimeto ierziale S. Possiamo defiire il quadrato della distaza tra i due eveti el modo seguete: s 2 = c 2 (t B t A ) 2 (x B x A ) 2 (y B y A ) 2 (z B z A ) 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (5.13) dove, ovviamete, t 2 rappreseta l itervallo temporale tra i due eveti al quadrato e x 2 + y 2 + z 2 l itervallo spaziale al quadrato. Nel sistema S la distaza al quadrato tra i due eveti è data da s 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2, co t = t B t A, x = x B x A, y = y B y A, z = z B z A. Si può agevolmete dimostrare che s 2 = s 2. Possiamo riscrivere la (5.13) i forma differeziale ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2. Il fatto che le coordiate spaziali e quelle temporali abbiao segi opposti ella defiizioe di distaza al quadrato tra due eveti è ua caratteristica dello spaziotempo. Osserviamo che per u segale lumioso ds 2 = 0. Se ua particella si muove co velocità iferiore alla velocità della luce, si ha ds 2 > 0 e, quidi ds è reale. I tal caso si dice che l itervallo è di geere tempo. Se ivece ds 2 < 0 l itervallo è detto di geere spazio. Gli itervalli per i quali ds 2 = 0 si dicoo di tipo luce. Tardioi si dicoo i puti materiali che si muovoo co velocità iferiore a quella della luce, tachioi i corpi (immagiari) che si muovoo co velocità superiore a quella della luce. I corpi che si muovoo alla velocità della luce si dicoo di tipo luce. Osserviamo che due eveti separati da u itervallo di tipo tempo o possoo mai essere simultaei, cioè o esiste u sistema di riferimeto i cui tali eveti risultio simultaei. Ivece è possibile trovare u sistema di riferimeto i cui i due eveti si verifichio ello stesso luogo, cioè l itervallo spaziale tra i due eveti sia ullo. I relazioe ad u determiato sistema di riferimeto ierziale S, possiamo rappresetare gli eveti associado agli assi cartesiai x, y, z u quarto asse, quello del tempo. Per facilitare la visualizzazioe cosideriamo u solo asse spaziale, quello delle x (figura 8). Gli assi x e ct soo assuti ortogoali; si tratta di ua scelta di pura coveieza. Fatta questa scelta, i u altro sistema di riferimeto ierziale S, che si muove rispetto ad S co velocità costate diretta lugo la direzioe positiva dell asse x, x e ct o soo più ortogoali. Il puto O rappreseta l eveto (0, 0). Il moto rettilieo uiforme di ua particella co velocità V < c, passate per x = 0 al tempo t = 0, è rappresetato da ua retta passate per O e formate co l asse ct u agolo iferiore a π 4. Le due rette limite rappresetao la propagazioe di segali che viaggiao alla velocità della luce. 68

77 5.1 trasformazioi di loretz Figura 8.: Diagramma di Mikowski: a siistra cosiderado ua sola dimesioe spaziale, a destra cosiderate due dimesioi spaziali. All itero della regioe (coo) aoc abbiamo c 2 t 2 x 2 > 0, cioè l itervallo tra l eveto (x, t) e l eveto (0, 0) è di tipo tempo. I tale regioe t > 0, cioè ogi eveto ha luogo dopo l eveto O. Poiché due eveti, separati da u itervallo di tipo tempo, o possoo mai essere simultaei i alcu riferimeto ierziale, o è possibile scegliere u sistema di riferimeto i cui u arbitrario eveto, posto all itero della regioe aoc, abbia luogo prima di O, cioè avvega al tempo t < 0. Tutti gli eveti all itero di aoc soo, allora, posteriori ad O, fao cioè parte della regioe del futuro assoluto (la quale, el caso si cosideri più di ua dimesioe spaziale, è u coo o u ipercoo, detto apputo coo del futuro). Nello stesso modo si può far vedere che ogi eveto posto i dob avviee prima dell eveto O, e questo è vero i qualuque riferimeto ierziale. La regioe dob è detta apputo del passato assoluto (coo del passato). Sottolieiamo che gli eveti posti el passato e el futuro possoo essere messi i relazioe causale co l eveto O. Gli eveti all itero delle regioi aod e cob soo separati dall eveto O da u itervallo di tipo spazio. Se D è u eveto i tali regioi, si può sempre trovare u riferimeto ierziale i cui D ed O soo simultaei, ache se o possoo mai avveire ello stesso luogo per alcu riferimeto. Esistoo sistemi di riferimeto i cui D avviee prima di O e altri i cui avviee dopo. La regioe tra il coo del futuro e il coo del passato è idicata come il presete di O (o ache come l altrove assoluto di O, perché, come abbiamo detto, i essu sistema di riferimeto u eveto, che appartiee a questa regioe, e l eveto O possoo verificarsi ello stesso luogo). Gli eveti posti lugo le bisettrici appartegoo al coo-luce e soo coessi per l apputo all eveto O da segali lumiosi. Riassumedo i relatività il futuro è idividuato dagli eveti che soddisfao la relazioe ct > x ; il presete è idividuato dagli eveti che soddisfao la relazioe ct < x ; il passato è idividuato dagli eveti che soddisfao la relazioe ct > x. 69

78 relatività speciale Notiamo che ell ambito della fisica o relativistica (o ewtoiaa) rispetto ad O il futuro si ha per t > 0; il presete si ha per t = 0; il passato si ha per t < 0. Ifie osserviamo che il ragioameto svolto per l eveto O si può ripetere per ogi altro eveto. Questo vuol dire che ad ogi eveto possiamo associare u coo del futuro ed u coo del passato. 5.2 alcue cosegueze delle trasformazioi di loretz Legge di trasformazioe delle velocità Tra le cosegueze pricipali delle trasformazioi di Loretz vi è ua diversa legge di trasformazioe della velocità rispetto a quella prevista dalle trasformazioi galileiae. Dovremo, ovviamete, ritrovare che la velocità della luce (el vuoto) è u ivariate relativistico, cioè ha lo stesso valore i tutti i sistemi di riferimeto ierziali. Cosideriamo i sistemi di riferimeto ierziali S ed S già visti. Le compoeti 3 del vettore velocità di ua particella rispetto ad S soo: V x = dx(t) dt V y = dy(t) dt Le corrispodeti compoeti rispetto ad S sarao V z = dz(t). dt V x = dx (t ) dt V y = dy (t ) dt V z = dz (t ) dt. Dalle trasformazioi di Loretz si ottiee: dx = γ(dx + vdt ) = γ(v x + v)dt, dy = dy = V ydt, dz = dz = V zdt, dt = γ ( dt + v c 2 dx ) = γ Da queste relazioi ricaviamo: V x = dx dt = V y = dy dt = 1 γ V z = dz dt = 1 γ ( 1 + v ) c 2 V x dt. V x + v 1 + v V c, (5.14a) 2 x V y 1 + v V c, (5.14b) 2 x V z 1 + v V c. (5.14c) 2 x (5.14d) 3 Suppoiamo assegata i S la legge oraria della particella (x(t), y(t), z(t)) e la corrispodete legge oraria i S (x (t ), y (t ), z (t )). 70

79 5.2 alcue cosegueze delle trasformazioi di loretz Osserviamo che se c +, allora γ = 1 (o ache se v c 1, allora γ 1) e V x = V x + v V y = V y V z = V z. cioè otteiamo la trasformazioe galileiaa della velocità. Facilmete si ottiee dalle (5.14) la trasformazioe iversa: V x = V y = 1 γ V z = 1 γ V x v 1 v c 2 V x, (5.15a) V y 1 v c 2 V x, (5.15b) V z 1 v c 2 V x. (5.15c) Ricordiamo che γ = 1 = 1, dove β = v 1 v2 1 β 2 c. Osserviamo che c 2 lim γ(β) = 1, lim β 0 + γ(β) = +. β 1 Se V y = V z = 0 e V x = V, allora dalle (5.14) otteiamo V x = V = V + v 1 + v c 2 V, V y = 0, V z = 0. Se V = c (velocità della luce el vuoto) allora dalla precedete si ha V = c. Ioltre sempre dalla precedete se 0 < V < c, allora 0 < V < c (e viceversa) 4. Esercizio Dimostrare che, se v 2 x + v 2 y + v 2 z = c 2, allora v 2 x + v 2 y + v 2 z = c 2 e viceversa Cotrazioe delle lughezze Si chiama lughezza propria di u asta la sua lughezza i u sistema di riferimeto i cui è i quiete. Suppoiamo di avere u asta rigida i quiete i S e posta lugo l asse x. Se le sue estremità soo ei puti di coordiata x 1 e x 2 > x 1, la sua lughezza propria è ovviamete data da: l 0 = x 2 x 1. Per misurare la lughezza dell asta el sistema di riferimeto S, che si muove rispetto ad S co ua velocità v diretta lugo la direzioe positiva dell asse x, basta avere le coordiate degli estremi dell asta ello stesso istate di tempo e duque valutare gli eveti (x 1, t 1 ) e (x 2, t 2 ) co t 1 = t 2. I due eveti soo simultaei i S ma o i S. Naturalmete, per misurare la lughezza propria i S possiamo determiare gli estremi dell asta i tempi diversi ed abitrari. Sappiamo che x = γ(x + vt ) 4 Noi suppoiamo che v (0, c). 71

80 relatività speciale e, quidi, x 1 = γ(x 1 + vt 1) x 2 = γ(x 2 + vt 1) x 2 x 1 = γ(x 2 x 1). Chiamata l la lughezza dell asta i S, avremo allora l 0 = γl l = 1 v2 c 2 l 0 < l 0. (5.16) Il sistema S, che è i moto rispetto all asta, misura, pertato, ua lughezza miore della lughezza propria dell asta. Questo feomeo è oto come cotrazioe delle lughezze. Esercizio La lughezza dell asta rispetto al sistema di riferimeto S può essere determiata cosiderado i suoi estremi ella stessa posizioe i tempi diversi? I caso affermativo, qual è la relazioe tra questa lughezza dell asta e la sua lughezza a riposo? Dilatazioe dei tempi La dilatazioe dei tempi è ua delle cosegueze più straordiarie della relatività ristretta. Cosideriamo due sistemi di riferimeto ierziali S e S come i figura 7 e suppoiamo che u orologio, a riposo el sistema di riferimeto ierziale S, misuri i uo stesso puto dello spazio x 0 u itervallo temporale tra due eveti A : (x 0, t A ) e B : (x 0, t B ), co t B > t A. L itervallo temporale tra i due eveti τ = t B t A è detto tempo proprio. La loro distaza è ovviamete di tipo tempo. Nel sistema S i due eveti A e B hao le segueti coordiate spaziotemporali: x A = γ(x 0 + vt A ( ), t A = γ t A + v ) c 2 x 0, x B = γ(x 0 + vt B), ( t B = γ t B + v ) c 2 x 0. Allora t = t B t A = γ τ > τ, (5.17) cioè l itervallo di tempo tra i due eveti, misurato i S, risulta maggiore dell itervallo di tempo proprio. Questo risultato ci dice che l orologio mobile rispetto ad S ha ua frequeza miore. Possiamo, i altre parole, affermare che la frequeza di u orologio mobile ralleta rispetto a quella di u orologio fermo. Notiamo che i S i due eveti avvegoo ello stesso luogo ed il loro itervallo temporale è misurato da u solo orologio posto i quel puto (itervallo di tempo proprio), metre ell altro sistema di riferimeto S i due eveti si verificao i puti diversi dello spazio ed occorroo due orologi per misurare il loro itervallo di tempo (o proprio). 72

81 5.3 lo spazio di mikowski Vediamo di capire meglio co u esempio. Suppoiamo che i S ua sorgete lumiosa posta ell origie emetta al tempo t = 0 u raggio di luce i direzioe dell asse y e che uo specchio, posto a distaza L, rifletta il raggio di luce facedolo torare i O (figura a) Ovviamete avremo τ = 2L c. Questo è il tempo complessivo che il raggio di luce impiega per torare i O el sistema S. L itervallo di tempo trovato è, aturalmete, proprio. Vediamo ora quale ragioameto fa il sistema S, suppoedo che al tempo t = t = 0 (quado viee emesso il raggio di luce) O O. Lo specchio è solidale co S che si muove co velocità v ella direzioe positiva dell asse delle x. Il raggio lumioso avrà i S ua traiettoria come quella i figura i b. Il sistema S ha bisogo di due orologi, uo i O l altro i R (ovviamete sicroizzati) per valutare l itervallo temporale t, che il raggio lumioso impiega per torare sull asse delle x. Teedo presete la figura precedete i b si ottiee facilmete: ( ) c t 2 ( ) v t 2 = + L 2, 2 2 c 2 t 2 = v 2 t 2 + 4L 2, t = 2 L c 1 v2 c 2 = γ τ. Ritroviamo, cioè, ell esempio specifico, la formula (5.17) relativa alla dilatazioe dei tempi. 5.3 lo spazio di mikowski I maiera molto sitetica possiamo dire che lo spazio vettoriale di Mikowski, M, è lo spaziotempo. U puto di tale spazio è, come abbiamo già avuto modo di dire, u eveto. Le coordiate di u puto-eveto, i u sistema di riferimeto S, possoo essere defiite come (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (ct, x, y, z) (otare che tutte le compoeti hao le dimesioi di ua lughezza). Le coordiate x µ (µ = 0, 1, 2, 3), co la cove- 73

82 relatività speciale zioe dell idice i alto, soo dette cotrovariati e si trasformao passado da u sistema S ad uo S el solito modo: x 0 = γ(x 0 βx 1 ), x 1 = γ(x 1 βx 0 ), x 2 = x 2, x 3 = x 3. (5.18) Le precedeti possoo essere scritte ache i forma matriciale, adoperado la otazioe di Eistei: dove x µ = Λ µ ν x ν (5.19) Λ = (Λ µ ν) = γ βγ 0 0 βγ γ Il puto eveto {x µ } è ache detto quadrivettore cotrovariate perché obbedisce alle (5.19). Ricordiamo che i Λ µ ν si idica l elemeto alla µ-esima riga e ν-esima coloa. Abbiamo già visto che la distaza al quadrato tra l eveto {x µ } e l eveto O(0, 0, 0, 0) è defiita come s 2 = (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2. Tale quatità, come be sappiamo, è u ivariate relativistico: assume lo stesso valore i tutti i riferimeti ierziali. Se itroduciamo la seguete matrice, detta tesore metrico covariate g = (g µν ) = allora s 2 = g µν x µ x ν. Tramite il tesore metrico g µν viee itrodotta ua distaza al quadrato s 2 tra l eveto {x µ } e l eveto O(0, 0, 0, 0), la quale è ua forma quadratica maggiore, uguale o miore di 0. Lo spazio di Mikowski viee dotato di ua metrica pseudoeuclidea. Notiamo che la quatità g µν x µ x ν può essere riguardata ache come u prodotto scalare, co l avverteza che g µν x µ x ν = 0 x µ = 0 per µ = 0, 1, 2, 3. Il ostro tesore metrico è come si vede lo stesso i ogi puto dello spazio di Mikowski, proprietà che o sarà valida i relatività geerale. Possiamo itrodurre le coordiate covariati di u puto eveto x µ = g µν x ν (5.20) cioè (x 0, x 1, x 2, x 3 ) = (x 0, x 1, x 2, x 3 ). Allora s 2 = g µν x µ x ν = x ν x ν. Dalle relazioi (5.18) si ottiee facilmete: x 0 = γ(x 0 + βx 1 ), x 1 = γ(x 1 + βx 0 ), x 2 = x 2, x 3 = x 3. (5.21) 74

83 5.3 lo spazio di mikowski Queste relazioi possoo essere scritte i forma matriciale el modo seguete: x µ = (Λ 1 ) ν µx ν (5.22) dove Λ 1 = γ βγ 0 0 βγ γ Si dice che {x µ } è u quadrivettore covariate se obbedisce alle (5.22). Il tesore metrico cotrovariate è defiito el modo seguete: (g µν ) = g 1. Osserviamo che i M abbiamo g = g 1. Chiaramete vale la relazioe: g µν g νλ = δ λ µ (simbolo di Kroecker). Se co x µ idichiamo la variazioe tra le coordiate omologhe cotrovariati di due eveti, la distaza al quadrato tra questi due eveti è aturalmete data da: s 2 = g µν x µ x ν. Possiamo dare ua versioe ifiitesima della metrica se prediamo due eveti molto vicii tra loro : ds 2 = g µν dx µ dx ν = dx ν dx ν. Questa forma quadratica differeziale dà ovviamete la metrica 5 di M. Notiamo che dalla (5.19) dx µ = Λ µ νdx ν ed essedo si ha: dx µ = x µ x ν dxν Λ µ ν = x µ x ν. Ua quatera (A 0, A 1, A 2, A 3 ) si dice che è u quadrivettore cotrovariate se ogi compoete A µ si trasforma per effetto di ua trasformazioe di Loretz el modo seguete: A µ = Λ µ ν A ν cioè ello stesso modo delle coordiate cotrovariati di u puto eveto. Osserviamo che, se A ν = A ν (x), allora A ν = A ν (x ). U quadrivettore covariate {A µ } è u isieme di quattro quatità (A 0, A 1, A 2, A 3 ) che, per effetto di ua trasformazioe di Loretz, si trasformao come le coordiate covariati di u puto eveto: A µ = A ν (Λ 1 ) ν µ. Osserviamo che possiamo otteere A µ moltiplicado il corrispodete quadrivettore cotrovariate per il tesore metrico covariate, ovvero: A µ = g µν A ν. 5 Prededo la forma quadratica differeziale per defiire la metrica icludiamo ache il caso i cui il tesore metrico dipede dal puto. 75

84 relatività speciale Iversamete si ha A µ = g µν A ν, dove g µν è il tesore metrico cotrovariate. U quadritesore di rago completamete cotrovariate ha la forma T µ 1,...µ trasforma el modo seguete: e si T µ 1,...µ = Λ µ 1 ν 1 Λ µ 2 ν 2 Λ µ ν T ν 1,...ν. U quadritesore di rago completamete covariate ha la forma T µ1,...µ e si trasforma el modo seguete: T µ 1,...µ = T ν1,...ν (Λ 1 ) ν 1 µ 1 (Λ 1 ) ν 2 µ 2 (Λ 1 ) ν µ. U quadritesore di rago p volte cotrovariate e q volte covariate ha la forma e si trasforma el modo seguete: T µ 1,...µ p ν 1,...ν q T µ 1,...µ p ν 1,...ν q = Λ µ 1 λ 1 Λ µ p λ p (Λ 1 ) σ 1 ν 1 (Λ 1 ) σ q ν q T λ 1,...λ p σ 1,...σ q. Osserviamo che: u quadritesore di rago 1 è u quadrivettore; u quadritesore di rago 0 è uo scalare ed è ivariate per trasformazioi di Loretz (è detto ache scalare di Loretz). I quadritesori di rago 2, che hao, ovviamete, 16 compoeti, si trasformao el modo seguete: tesori completamete cotrovariati: T µν = Λ µ αλ ν β Tαβ ; tesori completamete covariati: T µν = (Λ 1 ) α µ(λ 1 ) β ν T αβ ; tesori misti: T µ ν = Λ µ α(λ 1 ) β ν T α β. I geerale si dice che il tesore metrico covariate abbassa gli idici, il tesore metrico cotrovariate li ialza. U quadritesore di rago 2 T µν si dice simmetrico se T µν = T νµ ; si dice atisimmetrico se T µν = T νµ. U geerico quadritesore può essere sempre scomposto i ua parte simmetrica ed ua atisimmetrica. Ifatti T s µν = 1 2 (Tµν + T νµ ) è u quadritesore simmetrico, metre T a µν = 1 2 (Tµν T νµ ) è atisimmetrico; ifie T µν = T a µν + T s µν. Il prodotto scalare tra due quadrivettori A = {A µ } e B = {B ν } è defiito come A B = g µν A µ B ν = A 0 B 0 A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3. U quadrivettore A = {A µ } si dice di tipo tempo se A A > 0, di tipo spazio se A A < 0, di tipo luce se A A = 0. Esercizi Dimostrare che, se S(x) è uo scalare di Loretz ed è di classe opportua, allora S(x) x è u quadrivettore covariate, metre S(x) µ x µ è u quadrivettore cotrovariate. 76

85 5.4 quadrivelocità e quadriaccelerazioe Dimostrare che, se T µ 1,...µ p ν 1,...ν q (x) è u tesore p volte cotrovariate e q volte cotrovariate (di classe opportua) allora Tµ 1,...µp ν 1,...νq (x) x è u tesore p volte α cotrovariate e q + 1 volte covariate, metre Tµ 1,...µp ν 1,...νq (x) x α è u tesore p + 1 volte cotrovariate e q volte covariate. Dimostrare che g µν è u tesore covariate di rago 2. Dimostrare che g µν è u tesore cotrovariate di rago quadrivelocità e quadriaccelerazioe Nella meccaica ewtoiaa se il moto di ua particella è descritto dalla legge oraria r = r(t) (di classe opportua), la velocità è defiita come v(t) = d r(t) dt. I relatività ristretta il tempo è ua compoete di u quadrivettore e o uo scalare di Loretz. Poiché è utile scrivere le equazioi della fisica i modo tale che risultio maifestamete valide i ogi sistema di riferimeto ierziale (formulazioe covariate delle leggi della fisica), coviee parametrizzare il moto di ua particella massiva, ello spazio di Mikowski, rispetto ad ua gradezza che sia uo scalare di Loretz. La scelta aturale è l ivariate s, defiito da ds 2 = g µν dx µ dx ν, che può essere chiamato cammio proprio. Avremo allora, i M, la cosiddetta liea d uiverso x µ = x µ (s), che o è altro che ua curva (successioe di eveti propri della particella ( i ) moto). Se, come abbiamo detto, la particella ha massa, allora ds 2 = c 2 1 v2 dt 2 > 0 essedo la velocità della particella al tempo 6 t v(t) < c. c 2 Possiamo scrivere, idicato co τ il tempo proprio e assumedo la covezioe che s sia crescete al variare del tempo: ds = 1 v2 cdt = cdτ. c2 Il quadrivettore velocità (o semplicemete quadrivelocità) cotrovariate di ua particella massiva, il cui moto i M è descritto dalla liea d uiverso x µ = x µ (s), è defiito come 7 u µ = dxµ ds = dxµ cdτ = γdxµ cdt (5.23) Chiaramete u = {u µ } è u quadrivettore cotrovariate perché si trasforma come u µ = Λ µ ν u ν. Osserviamo che: le compoeti della quadrivelocità soo u = ( γ, v x c γ, v y c γ, v z c γ ) ; 6 Nel caso di ua particella di massa ulla o di u raggio lumioso, poiché ds 2 = 0 occorre itrodurre u parametro scalare diverso dal tempo proprio. 7 Alcui defiiscoo la quadrivelocità come u µ = c dxµ ds. I tal caso uµ ha le dimesioi di ua velocità, metre el ostro caso è adimesioale. 77

86 relatività speciale sussiste la relazioe ( ) u u = g µν u µ u ν = γ 2 1 v2 c 2 Defiiamo la quadriaccelerazioe cotrovariate come: w µ = duµ ds = d2 x µ ds 2. I base alla (5.24) otteiamo g µν u µ duν ds = 0 g µνu µ w ν = 0 u w = 0. Ovvero quadrivelocità e quadriaccelerazioe soo ortogoali. Le compoeti della quadriaccelerazioe soo = 1. (5.24) w 0 = γ2 v a, c3 w i = γ2 c 2 [a i + γ2 ] ( v a)vi. c2 (5.25) co i = 1, 2, 3, (a 1, a 2, a 3 ) = (a x, a y, a z ) e (v 1, v 2, v 3 ) = (v x, v y, v z ). Esercizio Dimostrare che le compoeti della quadriaccelerazioe soo quelle espresse dalla (5.25). 5.5 diamica relativistica Si può facilmete costatare che i relatività ristretta, a causa della legge di composizioe delle velocità, se il mometo di ua particella avete massa a riposo m 0 è defiito come p = m 0 v, allora la coservazioe del mometo di sistemi di particelle isolati o è più valida i ogi sistema di riferimeto ierziale 8. Se richiediamo che la coservazioe del mometo i sistemi isolati sia ua legge della Fisica, bisoga allora defiire i relatività il mometo come: dove p = m(v) = m 0 1 v2 c 2 v = m(v) v (5.26) m 0 1 v2 c 2 (5.27) può essere riguardata come la massa relativistica della particella. Osserviamo che se v c 1, allora m(v) m 0 e p m 0 v, come i meccaica ewtoiaa. 8 Si veda Charles Kittel et al., La fisica di Berkeley, volume 1 - Meccaica, Zaichelli, pagg

87 5.5 diamica relativistica Studi sperimetali hao mostrato che la ii legge della diamica cotiua acora a valere, cioè el caso di ua particella: d p dt = F dove p è il mometo relativistico ed F è la forza totale agete sulla particella. La (5.28), i base alla (5.26), può essere scritta come Se v c (5.28) dm 0 γ v = F. (5.29) dt 1 si ottiee la relazioe o relativistica. Due osservazioi sulla (5.29): 1. se il modulo della velocità della particella aumeta e si approssima a c, il termie γ tede a smorzare tale icremeto; 2. se richiediamo che la (5.29) sia ua legge della Fisica, quado si passa da u sistema di riferimeto ierziale ad u altro, a differeza di quato avviee ella meccaica ewtoiaa, la forza F deve cambiare esattamete come cambia dm 0γ v dt. Dalla (5.29) otteiamo m 0 γ a + m 0 dγ dt v = F (5.30) dove a = d v dt m 0 γ a + m 0 γ 3 è l ordiaria accelerazioe. Poiché dγ dt = γ3 c 2 v a, la (5.30) diveta c 2 ( v a) v = F. (5.31) Moltiplicado scalarmete per v ambo i membri della precedete si ha: γ m 0 γ v a + 3 m 0 c 2 v2 ( v a) = F v ) m 0 γ( v a) (1 + γ2 c 2 v2 = F v m 0 γ 3 v a = F v (5.32) essedo 1 + γ2 c 2 v 2 = γ 2. Iseredo la (5.32) ella (5.31) otteiamo: m 0 γ a + ( F v) v c 2 = F ( ) m 0 a = 1 F v F γ c 2 v. (5.33) Notiamo che se F, v, a soo vettori paralleli, allora la (5.33) diveta m 0 γ 3 a = F (basta teer coto che i questo caso F F v c 2 v = F γ 2 ). 79

88 relatività speciale 5.6 eergia cietica e mometi Sia F la forza totale agete su ua particella di massa a riposo m0. Vogliamo ora vedere come determiare l eergia cietica della particella. L idea è di partire, i aalogia a quato avviee i meccaica ewtoiaa, dalla relazioe dt = F d r, cioé la variazioe ifiitesima di eergia cietica, dt, è supposta uguale al lavoro elemetare della forza totale. Teiamo presete che F d r = F vdt = m0 γ 3 v adt i base alla (5.32). Possiamo pertato scrivere Poiché 1 2 dt = m 0 γ 3 v adt = m 0 γ 3 v d v = 1 2 m 0γ 3 dv 2. v 2 0 γ 3 (v)dv 2 = c 2 γ c 2, abbiamo T = m 0c 2 m 0 c 2 (5.34) 1 v2 c 2 (otare che el ricavare la precedete abbiamo supposto ulla la velocità iiziale). Per v c 1, allora T = 1 2 m 0v 2 + O(v 4 ), cioè ritroviamo, al primo ordie, il valore o relativistico dell eergia cietica. Dalle (5.34) si deduce che l eergia o è proporzioale a v 2 (come el caso o relativistico) ed ioltre che lim v c T = +. Si defiisce eergia totale della particella la quatità: E = T + m 0 c 2 = m 0 c 2 γ. Il termie m 0 c 2 è detto eergia a riposo della particella (cioè, se v = 0, E = m 0 c 2 ) e rappreseta ua ovità sorpredete ed eccezioale rispetto al caso o relativistico. Esso, i qualche modo, stabilisce u equivaleza tra massa ed eergia e asserisce che la massa può essere covertita i eergia e viceversa l eergia i massa. Questa equivaleza o ha riscotro alcuo ella fisica ewtoiaa. Osserviamo che i relatività o vale la coservazioe della massa. I u processo fisico, cui predoo parte diverse particelle, ciò che si coserva o è la massa totale ma l eergia totale. Notiamo per iciso che de dt = F v. Poiché m0 c 2 ha le dimesioi di u eergia, la massa a riposo può essere misurata i ev. c 2 Tra l eergia e il mometo di ua particella libera esiste ua relazioe particolare. Ifatti E 2 c 2 p2 = m2 0 c4 γ 2 c 2 m 2 0 v2 γ 2 = m 2 0 c2. (5.35) Questa relazioe può essere riscritta come da cui 9 E 2 = p 2 c 2 + m 2 0 c4 (5.36) E = p 2 c 2 + m 2 0 c4. (5.37) 9 Nello scrivere la (5.37) abbiamo cosiderato solo la soluzioe positiva e scartato quella egativa. Si può far vedere ell ambito della fisica classica che o vi soo motivi per ammettere stati di eergia egativi. Discorso diverso va fatto per la meccaica quatistica, dove o è possibile igorare, a priori, stati di eergia egativa. 80

89 5.7 quadrimometo, tesore mometo agolare Osserviamo che la (5.37) prede il posto della relazioe o relativistica E = p 2 2m 0 (itededo qui co E l eergia cietica della particella libera). La (5.36) ha eorme importaza i quato, come vedremo fra poco, la quatità E 2 c 2 p 2 è uo scalare di Loretz. Dalla (5.35) si vede subito che il mometo può essere misurato i ev c e suoi multipli. Ua particolarità otevole della relatività è la possibilità di cosiderare particelle co massa ulla. Ifatti dalla (5.36) deduciamo che se m 0 = 0 E = pc. (5.38) Ovviamete le espressioi di E e p i cui compare la massa perdoo di sigificato per ua particella di massa ulla. Se m 0 = 0 l eergia rimae fiita seza aullarsi, i quato v = c. Notiamo che bisoga fare il doppio limite m e v c : ciò rede fiita e o ulla l eergia. Stesso discorso vale per il mometo. Sottolieiamo che, el caso di particelle co massa ulla, vale certamete la (5.38), che stabilisce u preciso legame tra eergia e mometo. I atura esistoo, effettivamete, particelle di massa ulla, come per esempio i fotoi. I base alla relazioe di Plack-Eistei, l eergia di u fotoe di frequeza ν è data da E = hν (5.39) dove h è la costate di Plack ed ha le dimesioi di u azioe. Se idichiamo co ω = 2πν la pulsazioe della radiazioe, la (5.39) può scriversi come E = h ω 2π = ħω. Allora il mometo di u fotoe di frequeza ν è dato da p = E c = ħω c = ħk dove k è il umero d oda. 5.7 quadrimometo, tesore mometo agolare La relazioe (5.36) ci iduce a pesare che eergia e mometo di ua particella possao essere compoeti di uo stesso quadrivettore. Effettivamete è così; ifatti il quadrivettore (cotrovariate) p µ = m 0 cu µ (5.40) dove m 0 è la massa a riposo della particella e u µ la sua quadrivelocità, ha come compoeti p 0 = m 0 γc E c p 1 = m 0 γv x p x p 2 = m 0 γv y p y p 3 = m 0 γv z p z Il quadrivettore defiito dalla (5.40) è, allora, detto quadrimometo. Si ha come cosegueza che g µν p µ p ν = E2 p 2 = m 2 c 2 0 c2 è certamete u ivariate relativistico, come avevamo auciato. Ioltre passado dal sistema di riferimeto 81

90 relatività speciale ierziale S al sistema S le compoeti del quadrimometo si trasformao el modo seguete: p 0 = γ(p 0 βp 1 ) p 1 = γ(p 1 βp 0 ) p 2 = p 2 p 3 = p 3 (5.41) Le precedeti possoo essere scritte i termii di E, p x, p y, p z come: E c = γ( E c βp x) p x = γ(p x β E c ) p y = p y p z = p z (5.42) Nel caso i cui m 0 = 0 (particella di massa ulla) si ha g µν p µ p ν = 0: il quadrimometo è ovviamete di tipo luce. Possiamo defiire il tesore del mometo agolare (cotrovariate di rago 2 e atisimmetrico) come L µν = x µ p ν x ν p µ. (5.43) Notiamo che L µν = x µ p ν x ν p µ = Λ µ αλ ν β (xα p β x β p α ) = Λ µ αλ ν β Lαβ. Si verifica facilmete che, detto L = r p l ordiario vettore mometo agolare rispetto all origie degli assi cartesiai ortogoali, L 12 = L z, L 31 = L y, L 23 = L x. 5.8 equazioi del moto Nel caso di ua particella libera di massa m 0 sappiamo che d p dt = 0 e de dt = 0, dove p = m 0 γ v e E = m 0 c 2 γ. Poiché le compoeti del quadrimometo soo date da p = ( E c, p) è evidete che le precedeti equivalgoo alla codizioe dp ds = 0. (5.44) La (5.44) costituisce, allora, l equazioe covariate del moto di ua particella libera e può essere ache scritta, teedo presete che p µ = m 0 cu µ = m 0 c dxµ ds come d 2 x µ ds 2 = 0. Questa è la forma covariate dell equazioe di ua particella libera e corrispode all espressioe o covariate d2 r = 0. Se la particella o è libera, ma soggetta dt 2 ad iterazioi, la derivata rispetto ad s del quadrimometo è diversa da zero, i geerale. Possiamo defiire come quadriforza il quadrivettore cotrovariate: F = dp ds. (5.45) 82

91 5.9 meccaica aalitica relativistica (cei) La (5.45) può essere scritta i modo equivalete: m 0 c du ds = m 0cw = F. Questa equazioe, detta di Mikowski, rappreseta l equazioe del moto della particella i forma covariate. Le compoeti della quadriforza F soo F = ( γ c 2 de dt, γ c ) d p. dt Dal mometo che F = d p essere scritte ache come: ( γ F = c 2 F v, γ c F). dt e de dt = F v, le compoeti della quadriforza possoo Come cosegueza dell ortogoalità tra quadrivelocità e quadriaccelerazioe abbiamo che la quadrivelocità è ortogoale alla quadriforza, cioè F u = 0. Possiamo ache defiire il mometo relativistico della quadriforza come il tesore cotrovariate di rago 2 atisimmetrico N µν = x µ F ν x ν F µ. Si verifica immediatamete che dlµν ds = N µν. 5.9 meccaica aalitica relativistica (cei) Si può euciare ache i meccaica relativistica il pricipio variazioale di Hamilto, dal quale poi ricavare le equazioi del moto delle particelle materiali. Cosideriamo, prima, il caso di ua particella materiale libera. Come possiamo esprimere l azioe? Ovviamete dobbiamo richiedere che l itegrale, che esprime l azioe, sia ivariate per trasformazioi di Loretz e, quidi, sia uo scalare di Loretz. Per ua particella libera viee aturale pesare, come scalare di Loretz, all itervallo ifiitesimo ds o più i geerale ad αds co α costate. L idea, allora, è di cosiderare l azioe data da: b S = α ds (5.46) a dove a e b rappresetao due puti eveti dello spazio di Mikowski. Come già sappiamo, devoo essere cosiderati tutti i moti ammissibili (liee d uiverso) che partoo dall eveto a e giugoo all eveto b. Il moto reale è otteuto impoedo δs = 0 fra tutte le liee d uiverso ammissibili. Per determiare, poi, la costate α dobbiamo richiedere che ell approssimazioe o relativistica la (5.46) diveti, a meo di costati additive, uguale all azioe di ua particella o relativistica libera di massa ota. Se ora teiamo coto che per ua particella materiale ds = c 1 v2 dt, la (5.46) c 2 può essere scritta b S[x(t), y(t), z(t)] = αc 1 v2 dt (5.47) a c2 83

92 relatività speciale dove v 2 (t) = ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t). Dalla (5.47) si deduce che la lagragiaa è data da: L = αc 1 v2 c 2. (5.48) Se procediamo esattamete come el caso o relativistico, per il pricipio variazioale di Hamilto abbiamo: d L dt v = 0 (5.49) perché L o dipede esplicitamete da x. Dalle relazioi (5.48) e (5.49) si ottiee facilmete d v dt = 0 v(t) = costate, cioè il moto della particella libera che rede stazioaria l azioe è quello rettilieo uiforme. Sia m 0 la massa a riposo della particella. Se richiediamo che per v c 1 la lagragiaa della (5.48) diveti: L = 1 2 m 0v 2 + costate abbiamo α = m 0 c. I coclusioe la lagragiaa della particella relativistica di massa m 0 è data da: L = m 0 c 2 1 v2 c 2. Il mometo della particella è defiito come p = L v = m 0 v 1 v2 c 2 (esattamete il valore che, come abbiamo detto, permette che la coservazioe del mometo di sistemi isolati sia ua legge della Fisica). Notiamo, solo per iciso, che el caso esamiato (particella libera) d p dt = 0. Possiamo chiamare eergia la quatità: E = p v L = m 0c 2 1 v2 c 2 = m 0 c 2 γ (esattamete il valore otteuto per altra via). Poiché L o dipede esplicitamete dal tempo, l eergia è ua costate del moto. Osserviamo che p = E v e che c 2 E 2 p 2 c 2 = m 2 0 c4. L hamiltoiaa è data da H = c p 2 + m 2 0 c2. p 2 Se v c 1, H m 0c m 0. Possiamo ache euciare il pricipio variazioale co il formalismo quadridimesioale b b S = m 0 c ds = m 0 c dx µ dx µ ; a a 84

93 5.9 meccaica aalitica relativistica (cei) per ua particella libera b dx µ dδx µ δs = m 0 c a ds b = m 0 c u µ dδx µ, a dove abbiamo posto dx µ = u µ ds. Poiché u µ dδx µ = d(u µ δx µ ) du µ δx µ e δx µ a = δx µ b = 0, si ha: b b δs = m 0 c du µ du δx µ = µ m 0 c a a ds dsδx µ. Da δs = 0 duµ ds = 0 (forma covariate del moto di ua particella), cioè la quadriaccelerazioe è ulla Carica i moto i u campo elettromagetico Vogliamo ora scrivere, sempre co il formalismo quadridimesioale, l azioe di ua particella di massa m 0 e carica q i u campo elettromagetico. Abbiamo visto a suo tempo che il poteziale geeralizzato del campo elettromagetico è dato da V = qϕ q c A v oti il poteziale scalare ϕ e il poteziale vettore A. Ora Vdt = q c ϕ(cdt) q c A d r = q c Aµ dx µ dove x µ è la coordiata covariate di u puto eveto e A = (ϕ, A) è ipotizzato essere u quadrivettore cotrovariate, il quadripoteziale. Assumiamo che la carica sia uo scalare di Loretz. Allora b S = (m 0 cds + q ) a c Aν dx ν (5.50) Poiché b δs = (m 0 cu µ dδx µ + q a c δaν dx ν + q ) c Aα dδx α. (5.51) 1. δa ν = Aν x µ δx µ, 2. A µ dδx µ = d(a µ δx µ ) da µ δx µ = d(a µ δx µ ) Aµ x ν dx ν δx µ, 3. u µ dδx µ = d(u µ δx µ ) duµ ds dsδx µ, 4. δx µ a = δx µ b = 0, 85

94 relatività speciale la (5.51) diveta δs = ( ) b m a 0 c duµ ds ds q A ν c x µ dx ν + q A µ c x ν dx ν = = [ ( ) ] b m a 0 c duµ ds q A ν c Aµ dxν x ν ds dsδx µ = = b a I defiitiva abbiamo [ m 0 c duµ ds q c δs = 0 m 0 c duµ ds = q c dove F µν = Aν x µ ( x µ A ν x µ ) ] Aµ x ν u ν dsδx µ ( ) A ν Aµ u ν = q x µ x ν c F µν u ν. (5.52) Aµ x ν, detto tesore elettromagetico, è u quadritesore cotrovariate di rago 2 atisimmetrico. La (5.52) rappreseta la forma cotrovariate della equazioe del moto di ua particella di massa m 0 e carica q i u campo elettromagetico. Esplicitado si vede che F = 0 E x E y E z E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0. Si può dimostrare che E 2 B 2 e E B soo ivariati per trasformazioi di Loretz. Si può altresì far vedere che F è ivariate per trasformazioi di gauge. La gauge di Loretz è Aµ x = 0. L azioe (5.50) può essere scritta el formalismo ordiario: µ ) b S = ( m 0 c 2 1 v2 c 2 qϕ + q A c v dt. (5.53) a La fuzioe sotto il sego di itegrale è, aturalmete, la lagragiaa: L = m 0 c 2 1 v2 c 2 qϕ + q A c v. (5.54) Il mometo geeralizzato P è dato da P = L v = da cui p = P q c A. Ora da cui m 0 v q + A 1 v2 c = p + q A c c 2 H = v L v L = m 0c 2 1 v2 c 2 H = ( m 2 0 c4 + c 2 P q A c ) 2 + qϕ (H qϕ) + qϕ 2 c 2 = m 2 0 c2 + ( P q A c ) 2 che è l hamiltoiaa di ua particella co massa a riposo m 0 e carica q i u campo elettromagetico co poteziale scalare ϕ e poteziale vettore A. 86

95 5.10 *l iterferometro di michelso e morley 5.10 *l iterferometro di michelso e morley L elettromagetismo prerelativistico superava i modo piuttosto goffo la preseza della costate c elle equazioi dei campi elettrico e magetico ipotizzado l esisteza di u mezzo, l etere, che permeasse l itero uiverso e rispetto al quale la luce si muoveva apputo co velocità c. L etere era pesato come u mezzo del tutto sigolare, sottile e capace di permeare completamete il cosmo, dotato dell uica proprietà di essere il mezzo attraverso il quale la radiazioe si propagava. Per avere ua qualche stima della velocità della Terra rispetto a tale mezzo Albert Abraham Michelso, sigolarmete el 1881 e poi assieme ad Edward Morley el 1887, mise a puto u esperimeto i cui si itedeva rilevare il veto d etere mediate teciche iterferometriche. Il dispositivo messo a puto dai due sperimetatori è schematizzato i figura 9 ed era motato su ua lastra di pietra fatta galleggiare su mercurio liquido: questo permetteva di mateere la lastra orizzotale e di farla girare attoro ad u pero cetrale. Suppoiamo ora che la Terra si muova rispetto all etere co velocità v. Il fascio lumioso che parte dalla sorgete S viee scomposto dallo specchio semiargetato i due raggi ormali tra loro; il raggio 1 si propaga verso lo specchio R 1, viee da questo riflesso, subisce ua deviazioe di π 2 a causa dello specchio semiargetato e perviee al caocchiale C; il raggio 2 ivece si dirige verso lo specchio R 2 e dopo la riflesioe attraversa pressocché idisturbato lo specchietto semiargetato per poi giugere ach esso el caocchiale. Ciò che si dovrebbe osservare el caocchiale è ua serie di frage di iterfereza dovute al fatto che il tratto AR 1 dovrebbe essere percorso dalla luce i u arco di tempo diverso rispetto al tratto AR 2, a causa della composizioe delle velocità che cosegue dalla preseza del mezzo lumiifero. La differeza di fase tra i due raggi el mometo i cui si ricogiugoo i A geera l iterfereza. Il tempo impiegato dal raggio 1 per percorrere AR 1 (adata e ritoro) è T 1 = L 1 c + v + L 1 c v = 2L 1 c 1 1 v2 c 2. (5.55) Per il raggio 2 bisogerà teer coto del fatto che, el sistema dell etere, la luce si propaga sempre e comuque a velocità c. Duque la velocità v y co cui viee percorsa la distaza deve soddisfare la relazioe c 2 = v 2 y + v 2, ovvero v y = c 2 v 2. Di cosegueza T 2 = 2 L 2 = 2 L 2 v y c La differeza tra i tempi è duque T = T 2 T 1 = 2 c 1. (5.56) 1 v2 c 2 L 2 1 v2 c 2 L 1 1 v2 c 2. (5.57) 87

96 relatività speciale Se ora ruotiamo di π 2 l itero apparato, la relazioe che si trova (essedo i bracci ivertiti) è Perciò T = 2 c L 2 1 v2 c 2 T T = 2 L 1 + L 2 c L 1 1 v2 c v2 c 2. (5.58) 1 1 v2 c 2. (5.59) Sviluppado i poteze di v c otteiamo che e igorado termii di ordie superiore al secodo, T T v 2 L 1 + L 2 c 3. (5.60) Duque ruotado lo strumeto dovrebbe osservarsi uo spostameto di = v 2 c L 1 +L 2 λ frage attraverso il cetro del caocchiale. Il dispositivo di Michelso c 3 e Morley aveva L 1 = L 2 = 11 m, metre la lughezza d oda della luce usata era λ = m. All epoca dell esperimeto si riteeva che il Sole fosse essezialmete solidale co il riferimeto dell etere, metre la Terra orbitava co ua velocità di v = m s (che duque era i modulo proprio la v dell esperimeto esamiato). Si dispoeva ioltre di varie stime della velocità della luce e tutte suggerivao che la luce avesse ua velocità c m s. Duque si ricava v c Da questi dati si ricava uo spostameto teorico di = 0.4 frage. Nel secodo esperimeto Michelso e Morley riusciroo a redere lo strumeto sesibile ad uo spostameto di appea 0.01 frage. L esperimeto, ato per dare ua stima di v, fu u fallimeto, i quato o vee osservato alcuo spostameto dell etità prevista e duque il veto d etere o fu rilevato. Ovviamete, alla luce dei risultati di Eistei, questo risultato si spiega immediatamete, poiché la velocità della luce è la medesima i tutte le direzioi i ogi sistema di riferimeto. Lo sfasameto, assuta vera questa ipotesi, o poteva che essere ullo. L esperimeto ebbe, soprattutto egli ai segueti, grade risoaza tra i fisici i quato fu ua delle prove sperimetali più lucide dell ifodatezza della teoria dell etere, perlomeo come elaborata el secolo XIX. Tuttavia occorre sottolieare che l esperimeto o è di per sé ua prova della teoria di Eistei; i effetti, come poi si vide co esperimeti aaloghi eseguiti co iterferometri a bracci disuguali, l esperimeto permetteva di cocludere semplicemete che la velocità della luce lugo percorsi diversi o dipede dalla velocita del sistema ierziale i esame rispetto ad u qualsiasi altro sistema ierziale, e duque o vi erao sistemi di riferimeto privilegiati. La costaza della velocità della luce di per sé o è u risultato dell esperimeto i quato o abbiamo iformazioi sulla differeza di velocità della radiazioe tra adata e ritoro. Basti pesare che si possoo ricavare trasformazioi differeti da quelle di Loretz che spieghio 88

97 5.10 *l iterferometro di michelso e morley Figura 9.: Schema dell iterferometro di Michelso e Morley. correttamete l esperimeto 10. L ipotesi che l esperimeto abbia spito Eistei a formulare i suoi postulati ella precisa forma i cui li coosciamo sembra duque ifodata sia da u puto di vista logico che storico 11. Semmai essa maifestò i modo quato mai palese che occorreva ecessariamete adare oltre il modello dell etere. 10 Si veda a proposito Vicezo Baroe, Relatività, Borighieri, pagg Si ricordi il pesiero di Eistei a riguardo: «L esito dell esperimeto di Michelso o ebbe ua grade iflueza sull evoluzioe delle mie idee [...]. La spiegazioe di ciò sta el fatto che ero, per ragioi di carattere geerale, fermamete covito che o esista il moto assoluto, e il mio uico problema era come ciò potesse cociliarsi co quello che sapevamo dell elettrodiamica.» 89

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99 I N T R O D U Z I O N E A L L A M E C C A N I C A Q U A N T I S T I C A *il corpo ero U corpo ero è u oggetto che assorbe tutta la radiazioe elettromagetica icidete (e quidi o e riflette). Se itroduciamo il cocetto di potere assorbete come la frazioe di eergia raggiate icidete che viee assorbita dal corpo, si coclude che u corpo ero è u oggetto che ha potere assorbete 1. Kirchhoff è riuscito a dimostrare el 1859 che il potere assorbete di u corpo dipede solo dalla temperatura del corpo e o dalla sua atura. Kirchhoff stesso, ad esempio, ha provato che u ottimo esempio di corpo ero è u coteitore a temperatura costate sulle cui pareti è praticato u piccolissimo foro, di modo che la radiazioe che etra attraverso di esso abbia probabilità praticamete ulla di uscirvi e vega assorbita dal corpo i seguito alle umerose riflessioi itere. Sia duque u la desità di eergia all itero del coteitore e idichiamo co u ν dν la desità di eergia delle compoeti che cadoo ell itervallo (ν, ν + dν). Il risultato di Kirchhoff cui si è acceato può esprimersi el seguete modo: fissata ν, u ν = u ν (T). Stefa aveva dimostrato che U = + 0 u ν dν = σt 4 dove σ = 5, Wm 2 K 4 è la costate di Stefa-Boltzma. Ricordado che la pressioe esercitata sulle pareti del corpo è data da p = 1 3u, cosideriamo ua trasformazioe termodiamica ifiitesima: Ovvero δq = TdS = du + pdv = = Vdu + udv udv = Vdu udv ds = V T du dt dt + 4 u 3 T dv. S V = 4 u 3 T (6.1) S T = V du T dt. (6.2) ( ) Impoedo l uguagliaza delle derivate miste si ottiee 4 1 du 3 T dt u = 1 du T 2 T dt du dt = 4 u T. Itegrado l equazioe differeziale si ottiee che u = ςt4, co ς costate di itegrazioe, ovvero U = σt 4. (Legge di Stefa-Boltzma) 91

100 itroduzioe alla meccaica quatistica Nel 1893 Wie dimostrò che ( ν ) u ν = ν 3 F T (Legge dello spostameto) che cotiee la legge di Stefa. Ifatti + ( ν ) ( ν 3 F dν = pogo T U = = T 3 α 3 F(α)Tdα + = T 4 α 3 F(α)dα. 0 α = ν T La relazioe di Wie si può ache esprimere i fuzioe delle lughezze d oda λ; ifatti, idicata co u λ la desità di eergia ell itervallo di lughezza d oda, richiediamo che u ν dν = u λ dλ. Da λν = c, differeziado si ha dλ dν = ν λ dλ. Perciò u λdλ = u ν dν = u ν ν λ u λ = c4 ( c ) λ 5 F. λt Per trovare tali massimi come solito ) + 5F du λ dλ = 0 c ( c λt F λt ( c λt ) dλ da cui ) = 0. λ = dν ν Poiché F è ua fuzioe uiversale, detta λ la soluzioe, dalla forma dell equazioe abbiamo che λt = costate = b. Pertato λ = b T, ovvero all aumetare della temperatura, il massimo della fuzioe si sposta verso lughezze d oda più piccole (legge dello spostameto di Wie) 1. Nel 1896 Wie stesso propoe ua forma possibile di F: F ν (T) = a 1 e a 2 T ν. Si mostra mediate aalisi di Fourier che il campo elettromagetico si comporta come se fosse geerato da molti oscillatori armoici idipedeti. Noto il umero di oscillatori di ua determiata frequeza si può ricavare u ν ; si prova che dn(ν) V = 8π c 3 ν2 dν. Nota l eergia media dei detti oscillatori ū, allora u ν dν = ū dn(ν) V. Poiché vale il pricipio di equipartizioe dell eergia e per ogi oscillatore, avedo esso due modi possibili, ū = k BT = k B T, ricorredo alla distribuzioe di Boltzma si ha: P(u) = e u k B T + 0 e u k BT du Pertato il valore medio può essere otteuto da ū = + 0 up(u)du =. + ue u 0 + e u 0 k BT du k BT du = k B T. 1 La costate b = mk prede il ome di costate dello spostameto di Wie. 92

101 6.2 l effetto fotoelettrico Perciò u ν (T)dν = ū dn(ν) V = k B T 8π c 3 ν2 dν. (Relazioe di Rayleigh-Jeas) Si vede subito che itegrado tra 0 e + l itegrale diverge (poiché tale fatto è legato al cotributo delle alte frequeze si parla di catastrofe ultravioletta o catastrofe di Rayleigh-Jeas). La relazioe è otteuta ammettedo che gli scambi eergetici avvegao co cotiuità. Nel 1901 Plack propose ivece che l eergia potesse essere scambiata solo secodo quatità multiple di hν. I questo caso, detto u = hν l eergia scambiata, Duque P(u ) = e hν k B T i=0 hν k e B T k = (1 e hν hν BT k )e BT. ovvero ū = u P(u ) = hν(1 e hν =0 u ν = 8π c 3 ν3 k BT ) =0 hν k e BT = hν e hν k BT 1 h. (Legge della radiazioe di Plack) e hν k BT 1 La legge di Plack è perfettamete i accordo co i dati sperimetali, elimia il problema della catastrofe ultravioletta e restituisce la legge di Rayleigh-Jeas come primo termie dello sviluppo i serie. Figura 10.: Curva di Plack a cofroto co i risultati classici. 6.2 l effetto fotoelettrico L esperieza mostra che, i certe codizioi, u metallo colpito da u fascio di luce moocromatica emette elettroi. L apparato sperimetale può essere, grosso 93

102 itroduzioe alla meccaica quatistica modo, schematizzato come segue: all itero di u ivolucro trasparete, i cui è praticato il vuoto, è posto u catodo su cui è fatta icidere radiazioe elettromagetica moocromatica (ello spettro del visibile o superiore) ed u aodo che raccoglie i fotoelettroi emessi dal catodo. L aodo si trova, rispetto al catodo, ad u poteziale iferiore, il cui valore può essere variato mediate u poteziometro (vedi figura 11). Gli aspetti rilevati dell effetto fotoelettrico possoo essere così riassuti: Figura 11.: Apparato per la rivelazioe dell effetto fotoelettrico. 1. esiste, i fuzioe del tipo di metallo di cui è costituito il catodo, ua frequeza di soglia ν 0 della radiazioe icidete, al di sotto della quale o si verifica essua emissioe di fotoelettroi, qualuque sia l itesità della radiazioe; 2. esiste u poteziale d arresto V 0, idipedete dall itesità della radiazioe icidete, i corrispodeza del quale essu elettroe raggiuge l aodo; questa proprietà sta a sigificare che l eergia cietica massima dei fotoelettroi appea emessi dal catodo verifica l equazioe T max = ev 0 dove e è la carica dell elettroe i modulo; 3. l emissioe dei fotoelettroi è istataea qualuque sia l itesità della radiazioe, purché ν > ν 0 ; 4. la correte fotoelettrica i, ovvero il umero di elettroi emessi ell uità di tempo, dipede dall itesità I della radiazioe icidete. La teoria classica della radiazioe prevede a) l esisteza di ua itesità di radiazioe di soglia I 0 al di sotto della quale l effetto o avviee, i cotrasto col puto 1; b) la dipedeza di T max, e quidi del poteziale d arresto V 0, dall itesità della radiazioe I i cotrasto col puto 2; c) che l emissioe debba avveire dopo che u elettroe ha assorbito, a spese della radiazioe icidete, abbastaza eergia da superare il poteziale, detto di estrazioe, che, i codizioi ormali impedisce all elettroe di uscire dal 94

103 6.3 effetto compto metallo: per tale ragioe l emissioe può verificarsi solo dopo u certo itervallo di tempo dall arrivo della radiazioe icidete, itervallo ovviamete tato maggiore quato più bassa è l itesità I, i cotrasto col puto 3; d) che la correte, dovuta ai fotoelettroi, debba aumetare al crescere di I, i accordo col puto 4 (sempre che ν > ν 0 ). Allora, almeo tre delle caratteristiche pricipali dell effetto fotoelettrico o soo spiegabili mediate la teoria classica della radiazioe. Nel 1905 Eistei propose ua spiegazioe dell effetto assumedo che la radiazioe fosse costituita da pacchetti, o quati di eergia, detti fotoi: ua radiazioe elettromagetica moocromatica di frequeza ν cosiste di fotoi di eergia hν, dove h = J s è la costate di Plack. Abbiamo visto che, per spiegare l emissioe del corpo ero, Plack aveva ipotizzato u simile comportameto per l eergia della radiazioe elettromagetica all itero di ua cavità. Vediamo ora come, co l ipotesi di Eistei, è possibile forire ua spiegazioe esauriete dell effetto. Possiamo assumere, per semplicità, che l elettroe sia a riposo all itero del metallo 2. U elettroe, dopo aver assorbito u fotoe di eergia hν, è emesso dal catodo co u eergia cietica T = hν W, dove W è il lavoro di estrazioe dal metallo. Se W 0 è il lavoro miimo di estrazioe caratteristico del metallo, l eergia cietica massima dell elettroe (quado questo è emesso dal catodo) è data da T max = hν W 0. Esiste di cosegueza ua frequeza di soglia ν 0 = W 0 h tale che, se ν < ν 0, l effetto o ha luogo. Vi è altresì u valore V 0 del poteziale i corrispodeza del quale ache gli elettroi più veloci o soo i grado di raggiugere l aodo. Abbiamo i particolare V 0 = hν W 0 e. Dopo che u elettroe ha acquistato, mediate assorbimeto di u fotoe, eergia pari ad hν, la sua emissioe dal metallo, se ν > ν 0, è immediata (il ritardo è iferiore a 10 9 s) e o dipede dall itesità della radiazioe. Se l effetto ha luogo, all aumetare dell itesità di radiazioe cresce ache il umero di fotoelettroi e quidi la correte el circuito. I coclusioe, possiamo dire che l effetto fotoelettrico, al pari della radiazioe del corpo ero, forisce ua prova che la radiazioe elettromagetica di frequeza ν è costituita da fotoi di frequeza hν. Esercizio Dimostrare che u elettroe libero o può assorbire u fotoe di eergia hν i base alla coservazioe del quadrimometo. 6.3 effetto compto Se facciamo icidere u fascio di raggi X co λ 0 = 0.7Å su ua sostaza (come per esempio il molibdeo) si osserva, sperimetalmete, che i raggi X diffusi ad 2 Osserviamo che l eergia termica è circa 10 2 ev metre i fotoi, el visibile e ell ultravioletto, hao u eergia di circa 1 10 ev. 95

104 itroduzioe alla meccaica quatistica Figura 12.: Effetto Compto u agolo θ rispetto alla direzioe della radiazioe icidete hao lughezza d oda lievemete maggiore di λ 0 ; i particolare si trova λ = h (1 cos θ) m e c dove m è la massa a riposo dell elettroe 3. La gradezza h m e c ha (ovviamete) le dimesioi di ua lughezza e vale 0.024Å: è detta lughezza d oda Compto dell elettroe. Questo effetto (di diffusioe), detto Compto, può essere spiegato come u urto tra u fotoe di eergia hν 0 e mometo hν 0 c ed u elettroe libero, che possiamo cosiderare fermo (otiamo che l eergia di legame degli elettroi periferici è di qualche ev, metre l eergia dei fotoi è molto maggiore). Nell urto fotoe-elettroe si coserva il quadrimometo. Chiamiamo p 0 e p i mometi fotoici prima e dopo l urto e p e il mometo dell elettroe dopo l urto; ricordiamo che, prima dell urto, l elettroe è fermo. Dalla coservazioe dell eergia: m e c 2 + cp 0 = Dalla coservazioe del mometo: m 2 e c 4 + c 2 p 2 e + cp. (6.3) p 0 = p + p e p e = p 0 p p 2 e = p p 2 2p 0 p cos θ. (6.4) La (6.3) può ache scriversi come: (m e c 2 + cp 0 cp) 2 = m 2 e c 4 + c 2 p 2 e m 2 e c 4 + c 2 p c 2 p 2 + 2m e c 3 (p 0 p) 2c 2 pp 0 = m 2 e c 4 + c 2 p 2 e. (6.5) Sostituedo ella (6.5) la (6.4) otteiamo: c 2 p c 2 p 2 + 2m e c 3 (p 0 p) 2c 2 p 0 p = c 2 p c 2 p 2 2c 2 p 0 p cos θ m e c(p 0 p) = p 0 p(1 cos θ). (6.6) 3 Ricordiamo che la massa a riposo di u elettroe è pari a m e = kg = MeV c 2 96