CAPITOLO 3 CIRCUITI DI RESISTORI

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1 CAPITOLO 3 CIRCUITI DI RESISTORI Pagna 3. Introduzone Connessone n sere e connessone n parallelo Bpol resstv n sere Bpol resstv n parallel Crcut resstv lnear e sovrapposzone degl effett Crcut resstv lnear con un solo generatore Crcut resstv lnear pù generator Generatore equvalente d Thévenn-Norton Non amplfcazone delle tenson e delle corrent 00

2 70 3. Introduzone Nel presente Captolo, verrà ntrodotto l concetto d equvalenza tra bpol resstv e verranno enuncat e dmostrat alcune propretà general su crcut d resstor. L uso del concetto d equvalenza e delle propretà, che verranno descrtte, spesso portano a una drastca semplfcazone d problem altrment molto dffcl da rsolvere. Ess rappresentano anche nestmabl strument medante qual, n seguto, saranno dedott un gran numero d rsultat. In partcolare, verranno propost metod che consentono d determnare la soluzone d un crcuto resstvo senza dovere scrvere esplctamente le equazon crcutal. Un concetto fondamentale nella teora de crcut elettrc è quello d equvalenza. In generale, può accadere che, due bpol, che rappresentano component d dversa costtuzone fsca, hanno la stessa relazone caratterstca. Defnzone: bpol equvalent Due bpol s dcono equvalent se e solo se le loro relazon caratterstche concdono. Tramte l equvalenza tra bpol è possble rdurre un crcuto d resstor e generator deal a un crcuto semplce costtuto da due sol bpol, un generatore deale e un resstore. Dopo avere rsolto l crcuto semplce, tutte le grandezze del crcuto n esame possono essere rcostrute tramte delle semplc regole. La prma fase della procedura (la rduzone al crcuto semplce) corrsponde esattamente alla rduzone del sstema d equazon crcutal a una sola equazone n una sola ncognta tramte la procedura dell elmnazone n avant per sosttuzone nel metodo d Gauss e la seconda parte corrsponde alla procedura della rcostruzone all ndetro. 3. Connessone n sere e connessone n parallelo In questo paragrafo saranno esamnate le caratterstche d bpol compost costtut da bpol resstv elementar - resstor lnear e generator deal - collegat n sere, n parallelo e n sere-parallelo. G. Mano, Introduzone a crcut

3 G. Mano, Introduzone a crcut 7 Defnzone: bpol collegat n sere I bpol B e B sono collegat n sere se: () sono conness a uno stesso nodo (Fgura 3.); () le corrent ne due bpol sono ugual, se s scelgono de rferment opportun per vers, come, ad esempo, quell mostrat n Fgura 3.. Fg. 3. B e B sono collegat n sere, = (a); B 3 e B 4 non sono collegat n sere, (b) I due bpol B e B nel crcuto rportato n Fgura 3.b non sono collegat n sere; nfatt, essendo n generale 3 0, s ha che. v 3 B 3 v B B v v B B v Fg. 3. (a) (b) (a) I bpol B e B sono collegat n parallelo, v = v ; (b) n generale, essendo v 3 0, s ha v v. Defnzone: bpol collegat n parallelo I bpol B e B sono collegat n parallelo a nod e, se loro termnal sono conness a nod e, così come è llustrato n Fgura 3.a. Le

4 7 tenson d due bpol n parallelo sono ugual, se s scelgono de rferment opportun per vers, come, ad esempo, quell mostrat n Fgura 3.. I due bpol B e B nel crcuto rportato n Fgura 3.b non sono collegat n parallelo; nfatt, supponendo che v 3 0, s ha che v v. v N v R eq v Fg. 3.3 (a) (b) Due bpol conness n sere, nseme col resto del crcuto (a) e corrspondente crcuto equvalente (b) 3.. Bpol resstv n sere S consder l crcuto llustrato n Fgura 3.3, n cu bpol resstv R e R sono collegat n sere. A nod e 3 è connesso l resto del crcuto, denotato con N (esso potrebbe essere costtuto anche da bpol non lnear e dnamc). S vuole ottenere la relazone caratterstca del bpolo equvalente alla sere de due bpol R e R. Applcando la prma legge d Krchhoff a nod e s ottene: = = ; () applcando la seconda legge d Krchhoff, s ottene v = v v. () S assuma, ora, che due bpol statc sano controllat n corrente, coè: G. Mano, Introduzone a crcut

5 G. Mano, Introduzone a crcut 73 v = r ( ), v = r ( ). (3) Sosttuendo le (3) nella () e utlzzando la () s ottene la relazone caratterstca del bpolo equvalente sere: v = r eq ( ) = r ( ) r ( ). (4) Per determnare la tensone v e la corrente, nonché tutte le grandezze del resto del crcuto N, basta rsolve l crcuto equvalente rportato n Fgura 3.3b, dove al posto della sere R - R c è l bpolo resstvo equvalente defnto dall equazone caratterstca (4). Il crcuto equvalente ha un elemento n meno: n questo modo abbamo rdotto la complesstà del problema. Una volta note la tensone v e la corrente è possble determnare mmedatamente tutte le grandezze che sono scomparse durante la rduzone (v, v, e ). Sebbene qualsas connessone costtuta da due resstor non lnear (controllat n corrente) n sere possa essere rappresenta tramte un opportuno bpolo equvalente, ora analzzeremo solo le connesson n sere fondamental che s ncontrano ne crcut costtut da resstor lnear e generator deal; a questa classe d crcut s dà l nome d crcut resstv lnear. Resstor lnear n sere S consderno due resstor lnear, con resstenze R e R, collegat n sere. In questo caso s ha e la (4) dventa v = r ( ) = R, v = r ( ) = R, (5) v = ( R R ) = R eq, (6) coè l resstore con resstenza R eq = ( R R ), (7)

6 74 è equvalente al bpolo costtuto dal resstore con resstenza R n sere con l resstore d resstenza R, Fgura 3.4. v v R R 3 v 3 R eq = R R Fg. 3.4 Due resstor lnear collegat n sere e resstore equvalente. Esste una semplce relazone tra la tensone su cascun resstore della sere (v e v ) e la tensone v della sere. È facle dmostrare che v = v R R, v R R = v, (8) R R rferment per vers delle tenson sono quell rportat n Fgura 3.4. Queste sono le formule del parttore d tensone. Quando le due resstenze R e R sono ugual, l valore della resstenza equvalente è due volte l valore delle sngole resstenze della sere, le tenson v e v sono ugual e sono la metà della tensone della sere, v = v = v /. Osservazone La sosttuzone d due resstor collegat n sere con l resstore equvalente, corrsponde alla rduzone del sstema d equazon crcutal attraverso l elmnazone per sosttuzone; la rcostruzone delle tenson su ogn resstore, una volta nota la tensone sulla sere, attraverso le formule del parttore, corrsponde all elmnazone all ndetro nell algortmo d Gauss. È mmedato verfcare che nel caso d m resstor n sere R, R,..., R m, la resstenza del bpolo sere equvalente vale m R eq = R R... R m = R. (9) = G. Mano, Introduzone a crcut

7 G. Mano, Introduzone a crcut 75 La tensone v del esmo resstore è legata alla tensone v della sere tramte la relazone v = ( ± )v R m ; (0) R j j = nella (0) deve essere consderato l segno postvo se rferment per vers delle due tenson sono concord o, n caso contraro, l segno negatvo. e e v e eq = e e e 3 v j 3 j Fg (a) Generator collegat n sere 3 (b) Generator d tensone deal n sere S consderno due generator d tensone deal, con tenson e e e, collegat n sere (Fgura 3.5a). In questo caso s ha qund la (4) dventa v = e, v = e, () v = e e. () Inoltre, la corrente non dpende drettamente dalla tensone v. Pertanto l bpolo generatore d tensone deale con tensone e eq = e e (3)

8 76 è equvalente al bpolo costtuto dal generatore d tensone con tensone e n sere con l generatore d tensone e. Non è sgnfcatvo l caso d due generator deal d corrente n sere, perché da luogo a un modello ncompatble (a meno che le due corrent non sano egual e n tal caso l bpolo equvalente è ancora un generatore d corrente con la stessa corrente de due generator). Generatore deale d tensone n sere con un generatore deale d corrente S consder un generatore d tensone deale, con tensone e, connesso n sere con un generatore deale d corrente con corrente j, (Fgura 3.5b). In questo caso la tensone della sere non è nota, e la corrente è uguale a J per qualsas valore della tensone. Pertanto la sere tra un generatore d corrente deale e un generatore d tensone deale è equvalente a un generatore deale d corrente. e v e v (a) 3 R e / R (b) Fg. 3.6 Un resstore n sere con un generatore deale d tensone. Un resstore n sere con un generatore d tensone deale S consder un generatore d tensone deale, con tensone e, connesso n sere con un resstore lneare d resstenza R, (Fgura 3.6). La caratterstca del bpolo è equvalente è v = e R. (4) G. Mano, Introduzone a crcut

9 G. Mano, Introduzone a crcut 77 Essa è la caratterstca del generatore reale d tensone; rferment sono quell llustrat n Fgura 3.6. Il generatore reale d tensone è un bpolo attvo Infne, un generatore d corrente deale, che mprme la corrente J, collegato n sere a un resstore è equvalente a un generatore d corrente deale che mprme la corrente J. 3.. Bpol resstv n parallelo S consder l crcuto d Fgura 3.7, n cu due bpol statc R e R sono collegat n parallelo, a nod e. Anche n questo caso la natura del crcuto N è rrlevante se s vuole ottenere solo la caratterstca del bpolo equvalente al parallelo d R con R. Fg. 3.7 (a) Due bpol conness n parallelo, nseme col resto del crcuto e (b) corrspondente crcuto equvalente. Applcando la seconda legge d Krchhoff, s ha che le tenson v e v sono egual, coè v = v = v ; (5) applcando la prma legge d Krchhoff, s ottene =. (6) S assuma, ora, che due bpol sano controllat n tensone, coè: = g ( v ), = g ( v ). (7) Sosttuendo le (7) nella (6) e utlzzando la (5), s ottene la relazone caratterstca del bpolo equvalente al parallelo:

10 78 = g eq ( v) = g ( v) g ( v). (8) Per determnare la tensone v e la corrente, nonché tutte le grandezze del resto del crcuto N, s rsolve l crcuto equvalente rportato n Fgura 3.7b, dove al posto del parallelo R - R c è l bpolo resstvo equvalente defnto dall equazone caratterstca (4). Anche n questo caso l crcuto equvalente ha un elemento n meno: n questo modo abbamo rdotto la complesstà del problema. Una volta note la tensone v e la corrente è possble determnare mmedatamente tutte le grandezze che sono scomparse durante la rduzone (v, v, e ). Sebbene l bpolo equvalente parallelo possa essere costruto da due resstor non lnear (controllat n corrente), qu no consdereremo solo le connesson n parallelo fondamental, che s ncontrano ne crcut resstv lnear. Resstor lnear n parallelo S consderno due resstor lnear, con resstenze R e R, collegat n parallelo. S ha = v, (9) R R coè l resstore con conduttanza G eq = G G, (0) è equvalente al bpolo costtuto dal resstore con conduttanza G = / R n parallelo al resstore d conduttanza G = / R, Fgura 3.8. Fg. 3.8 Due resstor collegat n parallelo e corrspondente resstore equvalente G. Mano, Introduzone a crcut

11 G. Mano, Introduzone a crcut 79 Se nvece della conduttanza equvalente s consdera la resstenza equvalente, s ha R eq = R R R R () Esste una semplce relazone tra la corrente n ogn resstore del parallelo ( e ) e la corrente del parallelo. È facle dmostrare che = G G, G G = ; G G () rferment per vers delle corrent sono quell llustrat n Fgura 3.8. Queste sono le formule del parttore d corrente. Le relazon () formulate attraverso le resstenze dventano: = R R, R R =. R R (3) Quando le due resstenze R e R sono ugual, l valore della resstenza equvalente è la metà del valore delle sngole resstenze del parallelo, le corrent e sono ugual e sono la metà della corrente del parallelo, = = /. Osservazone La sosttuzone d due resstor n parallelo con l resstore equvalente, corrsponde d nuovo alla rduzone del sstema d equazon crcutal attraverso l elmnazone per sosttuzone; la rcostruzone delle corrent n ogn resstore, una volta nota la corrente del parallelo, attraverso le formule del parttore, corrsponde all'elmnazone all'ndetro nell algortmo d Gauss. È mmedato verfcare che nel caso d m resstor n parallelo R, R,..., R m la conduttanza del bpolo parallelo equvalente vale G eq = R R... R m = m. (4) =R La corrente j del j esmo resstore è legata alla corrente totale del parallelo dalla relazone

12 80 j = (±) m h = G j G h ; (5) nella (5) deve essere consderato l segno postvo se vers d rfermento delle corrent j e sono dscord rspetto al nodo o, n caso contraro, l segno negatvo. Generator d corrente deal n parallelo S consder l caso n cu due generator d corrent deal, con corrent j e j sono collegat n parallelo. Il bpolo generatore d corrente deale con corrente j eq = j j ; (6) è equvalente al bpolo costtuto dalla sere del generatore deale d corrente con corrente j con l generatore d tensone j, Fgura 3.9a. j eq = j j j e j Fg (a) Generator collegat n parallelo. (b) 3 Generatore deale d tensone n parallelo con un generatore deale d corrente S consderno un generatore d tensone deale, con tensone e, connesso n parallelo con un generatore deale d corrente con corrente j, (Fgura 3.9b). La corrente del parallelo non è nota e la tensone è uguale a e per qualsas valore G. Mano, Introduzone a crcut

13 G. Mano, Introduzone a crcut 8 della corrente. Pertanto questo bpolo è equvalente a un generatore d tensone deale che mprme la tensone e. Non è sgnfcatvo l caso d due generator deal d tensone n parallelo, perché da luogo a un modello ncompatble (a meno che le due tenson non sano egual e n tal caso l bpolo equvalente è ancora un generatore d tensone con la stessa tensone de due generator). Resstore n parallelo con un generatore d corrente deale S consder un generatore d corrente deale, con corrente j, connesso n parallelo con un resstore lneare d resstenza R e qund conduttanza G =/ R. La caratterstca del bpolo equvalente è = j Gv. (7) Essa è la caratterstca del generatore reale d corrente; rferment per vers sono quell llustrat n Fgura 3.0. Il generatore reale d corrente è un bpolo attvo. Infne, l parallelo tra un generatore d tensone deale con tensone e e un resstore è equvalente a un generatore d tensone deale con tensone e. j R v j j /G Fg. 3.0 (a) (a) Crcuto equvalente al generatore reale d corrente e (b) curva caratterstca. (b) Osservazone Il bpolo costtuto da un resstore d resstenza R collegato n sere con un generatore ndpendente d tensone, che mprme la tensone e, è equvalente al bpolo costtuto dallo stesso resstore collegato n parallelo con un generatore

14 8 ndpendente d corrente che mprme la corrente j = e / R; vers d rfermento per le varabl crcutal sono quell ndcat nelle Fgure 3.6 e 3.0. Ovvamente vale anche l vceversa; n questo caso abbamo e = Rj. Il lettore dmostr questa propretà d equvalenza. Questa equvalenza può essere molto utle nella soluzone d crcut che contengono pù generator ndpendent. Come vedremo sostture un resstore collegato n sere con un generatore d tensone con l equvalente parallelo n cu al posto del generatore d tensone c è l generatore d corrente (o vceversa) può rdurre d molto la complesstà del crcuto. Esempo S consder l crcuto rappresentato n Fgura 3.. Esso può essere rdotto utlzzando le equvalenze sere e parallelo a un crcuto semplce costtuto dal generatore deale d tensone e da un resstore lneare. Le regole del parttore d tensone e d corrente consentono, po, d rcostrure tutte le tenson e le corrent del crcuto. Il generatore d tensone è n sere con l resstore d resstenza R e l resstore d resstenza R 3 è n sere con l resstore d resstenza R 4. Se fosse nota la corrente, attraverso le regole del parttore d corrente s potrebbero determnare le altre due corrent e qund, anche, le tenson su ogn resstore. Fg. 3. Crcuto resstvo lneare con un solo generatore. La corrente può essere determnata rducendo l crcuto a un crcuto semplce costtuto dal generatore e da un solo resstore. La procedura d rduzone è rportata n Fgura 3.. La corrente vale G. Mano, Introduzone a crcut

15 G. Mano, Introduzone a crcut 83 = E ( 3) = A. (8) R eq Utlzzando la formula del parttore d corrente è possble calcolare le corrent ( ) e 3 ( resstor con resstenze R e R eq sono n parallelo nel crcuto N ( ) ). S ottene = ( ) R eq ( ) = A e R R 3 = eq R ( ) = A. (9) R R eq Infne, le tenson de resstor valgono v = R =.5 V, v = R = 5 V, v 3 = R 3 3 = 3 V, v 4 = R 4 4 = V. (30) Fg. 3. Descrzone della procedura d rduzone. Questo esempo mostra come s può rsolvere un crcuto con un solo generatore senza utlzzare esplctamente le equazon crcutal (le equazon d Krchhoff e le equazon costtutve). La procedura descrtta è equvalente alla soluzone del sstema d equazon crcutal con l metodo d Gauss: la rduzone del crcuto avvene per spezone ed è gudata dalle propretà del grafo.

16 84 Fg. 3.3 Esempo d crcuto che non può essere rsolto con la sola rduzone sere e parallelo Tutt crcut resstv con un solo generatore possono essere rsolt n questo modo? Purtroppo la rsposta è no. S consder, ad esempo, l crcuto llustrato n Fgura 3.3. In questo caso non è possble ndvduare né collegament n parallelo né collegament n sere. È ancora possble determnare un resstore equvalente al bpolo d resstor N. La resstenza del resstore equvalente può essere determnata attraverso degl strument d anals che saranno ntrodott n seguto. Per ora l lettore calcol la corrente che crcola nel resstore con resstenza R usando l metodo de potenzal d nodo. 3.3 Crcut resstv lnear e sovrapposzone degl effett In questo paragrafo, saranno enuncate e dmostrate alcune propretà general de crcut resstv lnear, ovvero l teorema della sovrapposzone degl effett e l teorema d Thévenn-Norton. Ess costtuscono utl strument d anals per crcut resstv lnear Crcut resstv lnear con un solo generatore S consder un crcuto costtuto da element resstv lnear e un solo generatore deale, ad esempo, un generatore deale d tensone (Fgura 3.4). Sano = (,,..., l ) T le corrent e v = ( v,v,..., v l ) T le tenson del crcuto. I lat sono stat ordnat n modo tale che l generatore d tensone deale corrsponda al lato l. Gl altr l lat sono resstor lnear; la resstenza del k esmo resstore è ndcata con R k, con k l. G. Mano, Introduzone a crcut

17 G. Mano, Introduzone a crcut 85 e v l v k k R k e v l R eq l n L (a) l n (b) Fg. 3.4 (a) Crcuto resstvo lneare con un solo generatore; (b) crcuto equvalente. Le equazon crcutal sono A = 0, (3) Bv = 0, (3) v k R k k = 0 per k =,,...,l, (33) v l = e, (34) dove A e B sono, rspettvamente, una matrce d ncdenza rdotta e una matrce d magla fondamentale del crcuto. Il sstema d equazon (3) e (3) sono le equazon d nterconnessone del crcuto (equazon d Krchhoff per le corrent e per le tenson); le equazon (33) sono le equazon caratterstche de resstor; nfne, l equazone (34) è l equazone caratterstca del generatore deale d tensone. Tutte queste equazon sono algebrche lnear; noltre, ad eccezone dell ultma equazone, tutte le equazon sono anche omogenee. A causa della lneartà ogn corrente e ogn tensone è drettamente proporzonale alla tensone del generatore deale d tensone (oppure alla corrente del generatore d corrente nel caso n cu nel crcuto v fosse un solo generatore d corrente ndpendente). Sano j = H j V, v j = K j V per j b (35) le corrent e le tenson del crcuto per e = V ; le grandezze H j omogenee, dmensonalmente, con una conduttanza e le grandezze K j sono sono

18 86 admensonal. Sccome l sstema d equazon (3)-(34) è lneare, la soluzone del crcuto per un generco valore d e è j = H j e, v j = K j e per j b. (36) La verfca d questa propretà può essere effettuata sosttuendo le espresson (36) nelle equazon crcutal. Il lettore la esegua. In partcolare, la corrente nel termnale del bpolo N vale = e/r eq (37) dove R eq = / H b. Dunque un qualsas bpolo N costtuto da sol resstor lnear (senza generator) può essere sempre rappresentato da un bpolo resstore equvalente con resstenza R eq. Se resstor che costtuscono l bpolo N sono tutt passv, coè R k > 0 k =,,...,l, allora per R eq vale la relazone R eq 0; (38) (questa relazone può essere dmostrata utlzzando la conservazone delle potenze elettrche) Crcut resstv lnear con pù generator S consder, ora, un crcuto costtuto da resstor lnear e da pù generator deal, ad esempo, un crcuto con un generatore deale d tensone e uno d corrente (Fgura 3.5). La propretà che verrà dmostrata è ndpendente dal numero e dal tpo d generator deal present; soltanto per semplfcare la notazone ne sono stat consderat solo due. Sano = (,,..., l ) T le corrent e v = ( v,v,..., v l ) T le tenson del crcuto. I lat sono stat ordnat n modo tale che: al generatore d tensone deale corrsponda l lato l e al generatore d corrente deale l lato l. Gl altr l lat sono resstor lnear e la resstenza del k esmo resstore è ndcata con R k k l. Le equazon crcutal sono A = 0, (39) Bv = 0, (40) v k R k k = 0 per k =,,...,l, (4) G. Mano, Introduzone a crcut

19 G. Mano, Introduzone a crcut 87 l = j, (4) v l = e. (43) e v l v k k v l R k l j l n n L Fg. 3.5 Crcuto resstvo lneare con due generator ndpendent. S consderno ora due crcut auslar L e L rappresentat n Fgura 3.6: l crcuto L, rappresentato n Fgura 3.6a, è stato ottenuto a partre dal crcuto n esame spegnendo l generatore d tensone; l crcuto L, rappresentato n Fgura 3.6b, è stato ottenuto a partre dal crcuto n esame spegnendo l generatore d corrente. Rcordamo che spegnere un generatore deale d tensone equvale a sostturlo con un corto crcuto, mentre spegnere un generatore deale d corrente equvale a sostturlo con un crcuto aperto. Denotamo con un apce tutte le grandezze relatvo al crcuto auslaro L e con due apc tutte le grandezze relatve al crcuto auslaro L. e v l v k l n l = 0 k R k v l v l = 0 v k n l n L L (a) (b) Fg. 6 Crcut auslar del crcuto rappresentato n Fgura 3.5. k R k v l n l j Le equazon de due crcut auslar sono

20 88 crcuto auslaro N crcuto auslaro N A = 0, A = 0, (44) B v = 0, B v = 0, (45) v k R k k = 0, k =,,...,l v k R k k = 0, k =,,...,l (46) l = J, l = 0, (47) v l = 0. v l = E. (48) Essendo l sstema (39)-(43) lneare la sua soluzone può essere sempre espressa come sovrapposzone lneare delle soluzon de due crcut auslar, coè =, v = v v. (49) La verfca d questa propretà può essere effettuata sosttuendo le espresson (49) nelle equazon crcutal del crcuto n esame. Il lettore la esegua. Le relazon (49) s prestano a questa nterpretazone. Propretà della sovrapposzone degl effett La generca corrente (o tensone) n un crcuto d resstor lnear e d generator deal, è la somma delle corrent (o tenson) che cascuno de generator ndpendent produrrebbe se agsse da solo con tutt gl altr generator ndpendent spent. Una mmedata conseguenza della propretà della sovrapposzone e delle (36) è che qualsas corrente j ( j l ) del crcuto n esame è data da una combnazone lneare delle sorgent del tpo j = H j E Q j J (50) e qualsas tensone v j sorgent del tpo ( j l ) è data da una combnazone lneare delle v j = K j E P j J (5) G. Mano, Introduzone a crcut

21 G. Mano, Introduzone a crcut 89 dove fattor H j, K j, P j, Q j sono costant dpendent uncamente da parametr crcutal e non da generator ndpendent. Esempo S consder l crcuto rappresentato n Fgura 3.7 e s determn la potenza elettrca assorbta dal resstore R. L espressone della potenza assorbta da R è p = R =. (5) Per determnare la corrente s può usare la sovrapposzone degl effett, le equvalenze sere e parallelo e le regole del parttore d tensone e d corrente. Fg. 3.7 Crcuto resstvo lneare con due generator ndpendent. Applcando la sovrapposzone degl effett, la corrente può essere espressa come = (53) dove è la corrente del resstore R quando è spento l generatore d corrente ed è acceso quello d tensone e è la corrente nel resstore R quando è spento l generatore d tensone ed è acceso quello d corrente. I due crcut auslar sono rappresentat, rspettvamente, n Fgura 3.8 e n Fgura 3.9. S osserv che,, essendo p = R ( ) = R R R (54) per la potenza non vale la propretà della sovrapposzone. Cò è semplcemente conseguenza del fatto che la potenza è un espressone quadratca della corrente (o della tensone).

22 90 Calcolo d. Il generatore d tensone è n sere con l resstore d resstenza R e l resstore d resstenza R 3 è n sere con l resstore d resstenza R 4 (Fgura 3.8); noltre la sere R 3 -R 4 è n parallelo con R. La corrente può essere determnata rducendo l crcuto L a un crcuto semplce costtuto dal generatore d tensone e da un solo resstore. La procedura d rduzone è descrtta n Fgura 3.8. Allora la corrente vale = E ( ) = 0 A. (55) R eq 3 Fg. 3.8 Crcuto auslaro L e procedura d rduzone Fg. 3.9 Crcuto auslaro L e procedura d rduzone G. Mano, Introduzone a crcut

23 G. Mano, Introduzone a crcut 9 Calcolo d. La corrente 3 nel crcuto L (Fgura 3.9) può essere calcolata usando la ( ) formula del parttore d corrente ( R 4 e R eq sono n parallelo); applcandola s ottene 3 = J R 4 ( ) =.5 A. (56) R 4 R eq A questo punto, essendo nota la corrente 3, la corrente nel crcuto L (Fgura 3.9) può essere calcolata usando, ancora, la formula del parttore d corrente ( R e R sono n parallelo); applcandola s ottene R = 3 = 6.5 A. (57) R R Allora corrente la corrente vale = = 6.5 A e, qund, la potenza assorbta dal resstore d resstenza R vale p 64. W. 3.4 Generatore equvalente d Thévenn-Norton Nella prma parte d questo paragrafo è stato dmostrato che un qualsas bpolo N costtuto da sol resstor lnear, qund senza generator ndpendent, può essere sempre rappresentato da un bpolo resstore equvalente con resstenza R eq. S consder, ora, un bpolo N L composto da resstor lnear e generator ndpendent, Fgura 3.0a. Voglamo determnare la caratterstca v d questo bpolo. Per determnare la curva caratterstca v d N L e, qund, l bpolo equvalente, bsogna determnare la relazone tra la corrente e la tensone v per tutt valor d corrente e d tensone ammssbl. Cò può essere fatto attraverso un espermento concettuale n cu s mpone la corrente attraverso un generatore d corrente ndpendente e s determna la tensone v (Fgura 3.0b, caratterzzazone su base corrente del bpolo), oppure s mpone la tensone v attraverso un generatore ndpendente d tensone e s determna la corrente (Fgura 3.0c, caratterzzazone su base tensone del bpolo). Le due caratterzzazon sono equvalent, fatta eccezone per due cas molto partcolar.

24 9 v Fg. 3.0 v L L (a) (b) (c) Bpolo costtuto da resstor e generator ndpendent (a); crcuto per la caratterzzazone d su base corrente (b) e su base tensone (c) v L S consder la caratterzzazone su base corrente. Bsogna determnare la relazone che lega la tensone v alla corrente mpressa. S assuma che l crcuto d Fgura 3.0b abba una e una sola soluzone per ogn valore d. Sccome l crcuto è lneare, la relazone cercata può essere determnata attraverso la sovrapposzone degl effett. A tale scopo s consderno due crcut auslar rappresentat n Fgura 3.. Il prmo è stato ottenuto spegnendo nel crcuto d Fgura 3.b tutt generator ndpendent d L, mentre l secondo è stato ottenuto spegnendo solo l generatore d corrente auslaro che mprme la corrente. v L (a) L = 0 v L (b) L Fg. 3. Crcut auslar assocat al crcuto d Fgura 3.0b Il bpolo L è costtuto da sol resstor lnear, crcut apert (corrspondent a generator d corrent spent) e corto crcut (corrspondent a generator d tensone spent). Esso può essere rappresentato tramte un resstore equvalente. Sa R eq la resstenza equvalente d L ; allora la tensone v vale v = R eq. (58) G. Mano, Introduzone a crcut

25 G. Mano, Introduzone a crcut 93 Nel crcuto llustrato n Fgura 3.b le sorgent sono solo quelle nterne al crcuto L ( = 0 ). S ndch con E 0 la tensone d L quando la corrente è uguale a zero, la cosddetta tensone a crcuto aperto o a vuoto. La tensone a vuoto è ndpendente dalla corrente, dpende solo dalla struttura nterna del bpolo resstvo L. Applcando la sovrapposzone degl effett s ha utlzzando l equazone (58) dalla (59) abbamo v = v v ; (59) v = R eq E 0. (60) La (60) è la caratterstca del bpolo L. Essa concde con la caratterstca del generatore reale d tensone. D conseguenza, l comportamento a termnal d un qualsas bpolo costtuto da resstor lnear e generator ndpendent è equvalente a un generatore reale d tensone. Questo rsultato notevole va sotto l nome d Teorema d Thévenn. R eq v v E 0 Fg. 3. L Generatore equvalente d Thévenn. Teorema d Thévenn S consder un bpolo L costtuto da resstor lnear e generator ndpendent. S assuma che l crcuto ottenuto collegando l bpolo resstvo lneare L a un generatore deale d corrente ammetta una e una sola soluzone. Allora l comportamento a termnal d L è equvalente al generatore equvalente d Thévenn rportato n Fgura 3., dove: R eq, detta resstenza equvalente d Thévenn, è la resstenza equvalente del bpolo L, dopo avere spento tutt generator deal all nterno d L;

26 94 E 0, detta tensone d crcuto aperto (o tensone a vuoto), è la tensone fra termnal e d L quando esso è collegato a un crcuto aperto. S consder ora la caratterzzazone su base tensone e s assuma che l crcuto d Fgura 3.0c ammetta una e una sola soluzone per ogn valore d v. Il lettore dmostr, applcando la sovrapposzone degl effett, che la relazone tra la corrente e la tensone v vale = G eq v J cc. (6) dove G eq è la conduttanza equvalente del bpolo L quando tutt generator sono spent e J cc è la corrente nel termnale quando l bpolo L è collegato a un corto crcuto. La relazone (6) è la relazone caratterstca d un generatore reale d corrente. D conseguenza, l comportamento a termnal d un qualsas bpolo costtuto da resstor lnear e generator ndpendent è equvalente a un generatore reale d tensone. Questo rsultato notevole va sotto l nome d Teorema d Norton. v v R eq J cc L Fg. 3.3 Generatore equvalente d Norton. Teorema d Norton S consder un bpolo L costtuto da resstor lnear e generator ndpendent. S assuma che l crcuto ottenuto collegando l bpolo resstvo lneare L a un generatore deale d tensone ammetta una e una sola soluzone. Allora L può essere rappresentato attraverso l generatore equvalente d Norton rportato n Fgura 3., dove: G eq, detta conduttanza equvalente d Norton, è la conduttanza equvalente del bpolo N L, dopo avere spento tutt generator all'nterno d L; G. Mano, Introduzone a crcut

27 G. Mano, Introduzone a crcut 95 J cc, detta corrente d corto crcuto, è la corrente nel termnale d L quando esso è collegato a un corto crcuto. Quando R eq 0 e G eq 0 le relazon (60) e (6) sono nvertbl e, qund, l comportamento a termnal del bpolo L può essere rappresentato sa dal generatore equvalente d Thévenn che dal generatore equvalente d Norton. Valgono, allora, le relazon R eq = G eq, J cc = E 0 R eq. (6) Queste relazon consentono d determnare parametr del generatore equvalente d Norton del bpolo L a partre da parametr del generatore equvalente d Thévenn, e vceversa. Utlzzando la seconda delle (6) è possble determnare la resstenza equvalente d Thévenn nota la tensone a vuoto E 0 e la corrente d corto crcuto J cc. Questo è un rsultato assa nteressante dal punto d vsta pratco, perché consente d determnare la relazone caratterstca d un sstema elettrco assmlable a un bpolo d resstor e generator ndpendent attraverso due msure: la msura della tensone a vuoto e la msura della corrente d corto crcuto. Il lettore prov a ndvduare de cas n cu R eq = 0 o G eq = 0 ; può anche accadere che E 0 = 0 e/o J cc = 0, pur essendov de generator. Fg. 3.4 N v (a) L N v E 0 (b) (a) Crcuto costtuto da un bpolo resstvo lneare con generator ndpendent e un bpolo non necessaramente lneare o resstvo; (b) crcuto equvalente ottenuto applcando Thévenn. R eq I crcut equvalent d Thévenn-Norton hanno una grande mportanza nell anals de crcut. Attraverso d ess è possble rdurre notevolmente la complesstà delle part d un crcuto costtute da resstor lnear e generator ndpendent. S

28 96 consder, ad esempo, l crcuto costtuto da un bpolo L, composto da resstor lnear e generator ndpendent, e da un bpolo N non necessaramente lneare o resstvo (esso può essere anche d tpo dnamco), Fgura 3.4a. Se s è nteressat alla tensone v e/o alla corrente convene rappresentare l bpolo L attraverso l crcuto equvalente d Thévenn (o Norton), e qund studare l crcuto rappresentato n Fgura 3.4b, che è pù semplce d quello d partenza. In conclusone possamo sostture qualsas parte d un crcuto, assmlable a un bpolo resstvo lneare con generator ndpendent, con due sol element crcutal, o un generatore reale d tensone oppure un generatore reale d corrente, senza, così, nfluenzare l funzonamento della restante parte del crcuto. Eserczo S determn nel crcuto llustrato n Fgura 3.5 la potenza assorbta dal resstore R 4, p 4 = R 4 4. In questo caso la corrente 4 non può essere determnata solo attraverso le equvalenze sere e parallelo e le formule de parttor, perché v sono delle connesson tpo trangolo o tpo stella. 0 Fg. 3.5 (a) Crcuto n esame e (b) crcuto equvalente ottenuto applcando Thévenn. Il calcolo d 4 può essere semplfcato notevolmente se s usa l generatore equvalente d tensone per rappresentare la parte del crcuto racchusa dalla lnea tratteggata n Fgura 3.6a. In Fgura 3.6b è rappresentato l crcuto equvalente ottenuto applcando Thévenn. Bsogna determnare parametr E 0 e R eq. G. Mano, Introduzone a crcut

29 G. Mano, Introduzone a crcut 97 L 0 0 Fg. 3.6 Bpolo resstvo lneare L (a) e bpolo resstvo lneare L con l generatore spento (b). Calcolo d E 0 Per calcolare E 0 bsogna rsolvere l crcuto d Fgura 3.6a. Questo crcuto può essere rsolto utlzzando l equvalenza sere e parallelo e le formule de parttor. Il resstore R 3 è n sere con R 5 ; la sere R 3 R 5 è a sua volta n parallelo con R ; questo parallelo è, nfne, n sere con R. Qund la resstenza equvalente R, che vede l generatore E, vale R = R (R 3 R 5 ) R R 3 R 5 ) R = 6.4 Ω (63) La corrente è data da = E / R =.565. Per determnare E * basta conoscere la corrente 5. Infatt applcando la seconda legge d Krchhoff s ottene E * = E R 5 5. La corrente 5 può essere determnata utlzzando l parttore d corrente. S ottene 5 = Qund abbamo E * = E R 5 5 = 7.5 V. Calcolo d R eq. R R R 3 R 5 = 0.65 A (64) Per calcolare R eq s possono applcare le equvalenze sere e parallelo al bpolo llustrato n Fgura 3.6b. Il resstore R è n parallelo con R ; l parallelo R R è

30 98 a sua volta n sere con R 3 ; questa sere è, nfne, n parallelo con R 5. Qund la resstenza equvalente R eq vale R eq = R R R 5 R R R 3 R 5 R R R R R 3 = Ω (65) Ora è possble calcolare la corrente 4. S ha 4 = E * R eq R A (66) La potenza assorbta dal resstore R 4 vale p 4 = R W. Il lettore determn la potenza erogata dal generatore d tensone del crcuto n esame, rappresentato n Fgura 3.5a. Essa non concde con quella erogata dal generatore d tensone del crcuto equvalente rappresentato n Fgura 3.5b. Perché? Esempo S determn nel crcuto llustrato n Fgura 3.7 la tensone del dodo. L 0 Fg. 3.7 (a) Crcuto con un elemento non lneare; (b) crcuto equvalente ottenuto applcando Thévenn. Il calcolo d v può essere semplfcato notevolmente se s usa d nuovo l generatore equvalente d tensone per rappresentare la parte del crcuto G. Mano, Introduzone a crcut

31 G. Mano, Introduzone a crcut 99 racchusa dalla lnea tratteggata n Fgura 3.7a. In Fgura 3.7b è rappresentato l crcuto equvalente ottenuto applcando Thévenn. L 0 Fg. 3.8 La tensone a vuoto e la resstenza equvalente valgono E * = 3 V e R eq = 0 Ω. Pertanto la tensone v deve verfcare l equazone non lneare v 0g(v) = 3; (67) s assuma per l dodo la caratterstca (dodo esponenzale) ( ) = 0 9 exp( v/0.05) g v [ ]. (68) L equazone non lneare può essere rsolta per va grafca (Fgura 3.9): y = ( 3 v)/0. (69) è la caratterstca del bpolo resstvo lneare, la cosddetta retta d carco, e y = g( v) (70) è l equazone costtutva del dodo. Una soluzone approssmata è v 0.9, 0.. Il lettore rsolva l equazone non lneare (70) utlzzando, anche, l metodo d Newton-Raphson.

32 00 0,0 0,5 (A) 0,0 0, , 0,4 v (V) 0,6 0,8 Fg. 3.9 Soluzone grafca dell equazone non lneare (67) Il generatore equvalente d Thévenn-Norton può essere applcato anche nella soluzone d crcut dnamc lnear del prmo ordne (coè, con un solo elemento dnamco) per rdurre la complesstà della parte resstva del crcuto. Affronteremo questo argomento nel Captolo successvo, dove studeremo crcut dnamc. 3.5 Non amplfcazone delle tenson e delle corrent L ultmo argomento che tratteremo n questo Captolo rguarda una notevole propretà de crcut resstv che contengono un solo elemento attvo. Può accadere che n un crcuto d element statc, qund senza condensator e nduttor, e con un solo elemento attvo (ad esempo, con un solo generatore) la tensone (corrente) d un elemento passvo possa essere pù grande, n valore assoluto, del valore assoluto della tensone (corrente) dell unco elemento attvo? In altre parole, la tensone (corrente) dell unco elemento attvo può essere amplfcata? La rsposta è no. G. Mano, Introduzone a crcut

33 G. Mano, Introduzone a crcut 0 Teorema d non amplfcazone delle tenson S consder un crcuto costtuto da un solo bpolo attvo e da resstor passv ( resstor possono essere non lnear). La tensone dell unco bpolo attvo è, n valore assoluto, la pù grande tra tutte le tenson del crcuto. Dmostrazone Innanz tutto s scelga l rfermento per la tensone v a dell unco bpolo attvo n modo tale che essa sa postva e s ndchno nod a qual esso è collegato così come è ndcato n Fgura 3.30a (questa è solo un potes d lavoro). S consder un generco nodo del crcuto (dverso da nod e n ) e lo s ndch con s ; è utle rferrs al caso rportato n Fgura 3.30b. S scelgano rferment per vers delle corrent de bpol collegat con l nodo s come quell llustrat n Fgura 3.30b: l rfermento per l verso della generca corrente k (k = l,m, p,q ) è quello che va dal nodo k al nodo s. La scelta d quest vers d rfermento per le corrent è anche essa un potes d lavoro (la tes del teorema non dpende da rferment scelt; se s scelgono rferment n questo modo è pù semplce dmostrarla). bpolo attvo statco Fg v a a e n e n (a) bpol passv statc l l m p s m p (b) (a) Crcuto d bpol statc con un solo elemento attvo; (b) l nodo s è un nodo nterno. Applcando la prma legge d Krchhoff al nodo s s ha m l p q = 0. (7) q q

34 0 Dalla (70) segue necessaramente che: () o le corrent m, l, p e q sono tutte nulle; () oppure alcune sono postve, altre sono negatve e altre nulle. Escludamo la prma possbltà perché poco sgnfcatva. Allora s ha almeno una corrente postva e un altra negatva con rferment scelt per vers delle corrent; s assuma ls > 0, (7) ms < 0, (73) Sccome tutt bpol collegat al nodo s sono statc e passv, s ha p ls = ls v ls > 0, (74) p ms = v ms ms > 0. (75) Stamo escludendo che la potenza assorbta possa essere uguale a zero quando la corrente è dversa da zero. Cò, n realtà, non è sempre vero. Bast pensare a corto crcut. Comunque escludamo questa possbltà. Dalle (7)-(55) s ottene v ls = e l e s > 0, (76) v ms = e m e s < 0, (77) dove e m, e s e e l sono potenzal de nod m, s e l. Le relazon (76) e (77) mplcano che l potenzale del nodo s non è né l pù grande e né l pù pccolo dell nseme de potenzal nodal e,e,..., e n del crcuto. Se nvece tutte le corrent che nteressano l nodo s fossero nulle, essendo bpol strettamente passv, avremmo che tutte le tenson sarebbero nulle. Anche n questo caso l potenzale del nodo s non è né l pù grande e né l pù pccolo dell nseme de potenzal nodal e,e,..., e n del crcuto. Cò vale per ogn nodo nterno al crcuto d resstor passv. L nseme de potenzal e,e,..., e n è un nseme fnto e lmtato. Pertanto esso deve ammettere necessaramente un massmo e un mnmo. Sccome l potenzale d qualsas nodo dverso da e n non può essere né l massmo e né l mnmo, allora e è l potenzale massmo ed e n è l potenzale mnmo (perché s è assunto e e n = v a 0). Qund è possble ordnare nod n modo tale da avere per potenzal la relazone d ordne G. Mano, Introduzone a crcut

35 G. Mano, Introduzone a crcut 03 e e... e n- e n. (78) Dunque la tensone dell unco bpolo attvo è la pù grande, n valore assoluto, tra tutte quelle del crcuto. Una propretà analoga esste anche per le corrent. No qu la enunceremo senza dmostrarla. Teorema d non amplfcazone delle corrent S consder un crcuto costtuto da un solo bpolo attvo e da resstor strettamente passv ( resstor possono essere non lnear). Allora, la corrente dell unco bpolo attvo è, n valore assoluto, la pù grande tra le corrent del crcuto. Questo teorema può essere dmostrato semplcemente se s usa l concetto d nseme d taglo e s scelgono vers d rfermento per le corrent n modo tale che esse non sano negatve. Una volta stablto quale corrente confrontare con la corrente dell unco elemento attvo, bsogna ndvduare un nseme d taglo che le contene entrambe. Comunque quest sono solo de suggerment, rvolt al lettore curoso e volenteroso. Osservazone La propretà d non amplfcazone non vale se l crcuto contene almeno due element attv, ad esempo, due generator. In questo caso la tensone o la corrente d un resstore può essere, n modulo, pù grande del modulo della tensone o della corrente d uno de due generator. La propretà d non amplfcazone non vale neanche ne crcut che contengono bpol dnamc passv. Cò è conseguenza del fatto che la potenza assorbta da un condensatore o da un nduttore può essere n alcun stant postva e n altr stant negatva a seconda se sta aumentando o dmnuendo l energa n ess mmagazznata. I condensator e gl nduttor, pur essendo element passv, non dsspano l energa che assorbono n calore, ma la mmagazznano. L energa mmagazznata può essere successvamente resttuta al crcuto, e quando cò accade la potenza da ess assorbta è negatva.

36 04 La propretà d non amplfcazone per le tenson (corrent) non vale quando a uno stesso nodo sono collegat solo crcut apert (corto crcut). In questo caso le tenson (corrent) de crcut apert (corto crcut) sono, n valore assoluto, pù grand d quella dell unco bpolo attvo. L esempo pù semplce è costtuto da due condensator (nduttor) n sere (parallelo) n funzonamento stazonaro (rcordamo che l condensatore n regme stazonaro s comporta come un crcuto aperto e l nduttore come un corto crcuto). G. Mano, Introduzone a crcut