Risoluzioni di alcuni esercizi

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1 Risoluzioni di alcuni esercizi Reti topografiche, trasformazioni di coordinate piane In una poligonale piana il punto è nell origine delle coordinate, l angolo (in verso orario fra il semiasse positivo e il lato, che è lungo m, è di 6, l angolo (in verso orario fra il lato e il lato, che è lungo 7m, è di Determinare le coordinate di θ 6, θ L angolo in verso orario fra la direzione dell asse (tratteggiata e è coordinate di sono sin 6 cos 6 + 7sin cos m 897m + θ +8 5 Si consideri la poligonale trattata nell esercizio precedente e si esegua una rotazione piana che porta il punto sul semiasse positivo Determinare le coordinate del punto nel nuovo sistema di assi La rotazione che porta l asse lungo è di in verso antiorario Quindi Le X Y cos sin sin cos 94m 65779m In alternativa, basta osservare che nel nuovo sistema di assi X m, Y m, e la direzione è X + 7 cos(8 inclinata di rispetto all asse Quindi Y 7sin(8 Dai punti (, e (, si esegue un intersezione in avanti per determinare le coordinate del punto Facendo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale (in verso orario fra e è di Facendo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale fra e (sempre in verso orario è di Determinare la coordinata di

2 ˆ (orario ˆ 6 (antiorario ˆ (orario Il punto sta evidentemente nel quadrante >, < Se, sono le coordinate di, si ha tan 6, tan Quindi (, da cui ( +, Un sistema locale piano di assi cartesiani è ruotato di in verso antiorario rispetto al sistema esterno e la sua origine ha coordinate (, nel sistema esterno Determinare le coordinate nel sistema esterno del punto sul semiasse negativo del sistema locale a distanza dall origine Y X La rotazione che rende il sistema di assi parallelo a XY è di sistemi è una roto-traslazione della forma in verso orario La trasformazione fra i X cos + Y sin sin cos Quindi il punto nel sistema locale si trasforma in / / / + / / / 5 Dal punto di coordinate (, nel sistema di assi X,Y e origine del sistema di assi, si collimano i punti di coordinate (, nel sistema di assi X,Y e sull asse con coordinata 4 L angolo azimutale fra le direzioni collimate risulta essere in verso antiorario da a Scrivere

3 esplicitamente in forma matriciale la trasformazione fra, e X,Y, e determinare le coordinate di nel sistema di assi X,Y Y X ˆ ˆ O 45, L asse deve ruotare di 5 in verso antiorario per sovrapporsi a X ( La X cos5 trasformazione da a XY è + Y sin5 4 sistema ha coordinate, si trasforma in sin5 cos5 cos5 sin5 4 4cos sin5 cos5 + 4sin5 5 Quindi il punto, che nel 6 Dai punti (, e (, si esegue un intersezione in avanti per determinare le coordinate del punto Facendo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale (in verso orario fra e è di Facendo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale fra e (sempre in verso orario è di 45 Determinare le coordinate di ˆ (orario ˆ 6 (antiorario ˆ 45 (orario Il punto sta nel semipiano > Se, sono le coordinate di, si ha tan 6, + tan 45 Quindi ( + ( + 98, 99 +

4 7 Dai punti (, e (, si esegue un intersezione in avanti per determinare le coordinate del punto Facerdo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale (in verso orario fra e è di 6 Facendo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale fra e (sempre in verso orario è di 55 Determinare le coordinate di β 6, β Dal disegno risulta ( + tan ( tan β da cui tan 75 + tan Dalla figura è chiaro che è negativo, quindi tan 75 tan 6 Sostituendo si ottiene 9696 In alternativa si può applicare il teorema dei seni: sin(6 55 sin(8 ( sin5, da cui si ricava Quindi + cos6, sin 6 -- Lunghezze di archi, ampiezze di angoli, rotazioni Calcolare la lunghezza di un arco di parallelo di ampiezza a ( ( a 6787m, e di latitudine La lunghezza l dell arco è data da l N( ϕ cosϕ, dove / N ( ϕ a( e sin ϕ Nel nostro caso, ϕ 45, ' (da trasformare in radianti: π Δ λ 8 Si ottiene l 6 8 km

5 Assumendo che il raggio equatoriale sia di 6787m, determinare la differenza in longitudine (in gradi sessagesimali, primi e secondi fra gli estremi di un arco equatoriale la cui lunghezza è 9km La differenza di longitudine in radianti è data dal rapporto fra la lunghezza dell arco e il raggio Applicando la trasformazione da radianti a gradi sessagesimali si ottiene: ' 545'' 6787 π Un arco di parallelo a latitudine è lungo 85km Determinare la differenza in longitudine fra gli estremi in gradi sessagesimali, primi e secondi ( a 6787m, e 67 La lunghezza l dell arco è data da l N( ϕ cosϕ, dove / N ( ϕ a( e sin ϕ Nel nostro caso, ϕ, l 85km Si ottiene l 8 N( ϕcosϕ 6' 48447' ' 4 Calcolare la lunghezza (in km con cifre decimali del grado di longitudine a latitudine ( a 6787m, e 67 4 La lunghezza l dell arco è data da l N( ϕ cosϕ, dove / N ( ϕ a( e sin ϕ Nel nostro caso, ϕ 4, ( π /8 rad Si ottiene l 8594km 5 Calcolare la lunghezza (in km con cifre decimali dell arco di parallelo a latitudine 45 4' compreso fra le longitudini 9 54' e 7' ( a 6787m, e 67 La differenza in longitudine fra i due estremi dell arco è 4' La lunghezza dell arco è data da 4 π l N( ϕ cosϕ, dove N ( ϕ a / e sin ϕ, ϕ 45 4', (rad 6 8 Il risultato è l 55848km NOTA L ampiezza angolare dell arco è una differenza piccola fra due numeri grandi Se le longitudini degli estremi vengono calcolate separatamente con degli arrotondamenti, può accadere che l errore relativo sulla differenza sia grande, e di conseguenza sia grande anche l errore relativo sulla lunghezza dell arco Se si vuole che i decimali nel risultato siano esatti, bisogna che l errore sia non più grande di m su più di 5 55km, corrispondente ad un errore relativo dell ordine di

6 In ogni caso, quando si eseguono calcoli con la calcolatrice, è opportuno evitare arrotondamenti memorizzando nella macchina e richiamando i numeri che via via devono essere riutilizzati, anziché trascriverli manualmente Calcolare la matrice di rotazione ottenuta componendo nell ordine una rotazione in verso orario di del sistema di assi attorno all asse con una di 6 in verso antiorario attorno all asse z Si ricorda che la composizione di rotazioni corrisponde al prodotto righe per colonne delle corrispondenti matrici, in cui la matrice della prima rotazione sta a destra Quindi cos6 R sin 6 sin 6 cos 6 cos sin sin cos ropagazione dell errore osto u + 4v, dove u ha sqm, v ha sqm e il loro coefficiente di correlazione è 5, determinare lo sqm di Si può scrivere ( u 4 er costruire la matrice di covarianza, si tenga presente che v, 4 ; ρ / 5, dove è l elemento fuori diagonale della matrice u v u v di covarianza Quindi C, e, per il teorema di propagazione dell errore, 4 44 ( 4 97, osto u + v, u v, dove u e v sono quantità affette da errori incorrelati con lo stesso scarto quadratico medio, determinare il coefficiente di correlazione fra e L espressione nella forma matriciale è u v u la matrice di covarianza di v è C er il teorema di propagazione dell errore 6 C 6 Il coefficiente di correlazione è ρ /( 6 /

7 osto u +, v, dove e sono quantità con scarto quadratico medio e coefficiente di correlazione 5, determinare la matrice di covarianza di u e v e il loro coefficiente di correlazione u L espressione in forma matriciale è La matrice di covarianza di v 5 C er il teorema di propagazione dell errore 5 è 5 C Il coefficiente di correlazione è ρ /( u v 5 4 Le coordinate, di un punto sono determinate con errori incorrelati i cui sqm sono 6 mm, 4mm Viene eseguita una rotazione oraria degli assi di covarianza delle nuove coordinate X,Y e in particolare i loro sqm 5 Calcolare la matrice di 6 La matrice di covarianza delle coordinate, è 6 La trasformazione di coordinate è X R Y con cos5 sin R sin 5 cos er la regola di propagazione dell errore nelle trasformazioni lineari C XY RC R T cos5 sin 5 sin 5 cos5 6 cos5 6 sin 5 sin 5 cos ; 5798 X Y , osto r sin, dove r ha un valore approssimato di m e uno sqm di mm, e ha un valore approssimato di 45 e uno sqm di, assumendo che le misure di r e di siano incorrelate, determinare, in approssimazione lineare, lo sqm di L espressione linearizzata di è δr r sin r sin + sin δr + r cos δ r sin + ( sin r cos, δ dove r, sono i valori approssimati: r r + δ r, + δ

8 Dato che le misure sono incorrelate, la matrice di covarianza C è diagonale: C r, dove r mm * m, '' 5 rad er il teorema di propagazione dell errore 4* ( sin r cos 6 m r sin cos r * 4* 6 * Quindi 4 * 6 m mm