Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3"

Transcript

1 Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3 A Garfagnini, M Mazzocco, C Sada Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova AA 2014/2015 Elementi di Teoria della Probabilità L ineliminabile presenza di errori di misura implica che la stima del valore di una grandezza fisica non sia praticamente mai il suo valore vero. Sulla base di misure ripetute non possiamo affermare con certezza che un qualsiasi numero reale sia (o non sia) il valore vero di una grandezza fisica. E evidente che tra tutti i numeri della retta reale alcuni saranno più verosimili e altri saranno meno verosimili. Il problema della misura deve essere affrontato in termini probabilistici. Il problema sarà risolto quando, a partire dai dati sperimentali, saremo in grado di determinare un intervallo di valori avente una probabilità assegnata di contenere il valore vero delle grandezza fisica misurata. 1

2 Elementi di Statistica Lezione 3: 1. Eventi e Variabili Casuali Fenomeni Casuali Oggetto della teoria della probabilità è lo studio dei fenomeni casuali (o aleatori): 1. ripetibili (almeno in teoria) infinite volte; 2. manifestabili in più modalità; 3. imprevedibili singolarmente; 4. mutuamente esclusivi. Alcuni esempi concreti di fenomeni casuali: n lancio di una moneta, n n n lancio di un dado, estrazione di una carta da un mazzo, il risultato della misura di una grandezza fisica. 2

3 Spazio dei Risultati Il complesso delle possibili modalità con cui un fenomeno casuale si può verificare costituisce l insieme (o spazio) dei risultati, S. S può avere un numero finito o infinito di elementi. n Lancio di una moneta S {Testa, Croce} n Lancio di un dado S {1,2,3,4,5,6} n Estrazione di una carta da un mazzo S { A, A, A, A, 2, 2, 2, 2,, K, K, K, K} Evento Casuale Definiremo evento casuale l associazione di una o più di queste possibili modalità. n Eventi casuali nel lancio di un dado: 1. Uscita del numero 1, 2. Uscita di un numero dispari, 3. Uscita di un numero maggiore di Uscita di un numero minore o uguale a Uscita di un numero compreso tra 2 e 5. n Eventi casuali nell estrazione di una carta: 1. Estrazione di una carta rossa. 2. Estrazione della carta 2, 3

4 Spazio degli Eventi L insieme di tutti i possibili eventi, E, è l insieme di tutti i sottoinsiemi di S (insieme potenza o insieme delle parti di S), compresi l insieme vuoto Ø ed S stesso. n Lancio di un dado: E {Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {5,}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,6}, {1,3,4}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6}, {1,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6}, {1,2,3,4,5,6}} Variabile Casuale Se siamo in grado di fissare una legge di corrispondenza che permetta di associare ad ogni modalità di un fenomeno casuale (cioè ad ogni elemento dello spazio dei risultati S) uno ed un solo numero reale x; tale valore x assume il nome di variabile casuale definita su S. Le variabili casuali possono assumere un numero finito o infinito di valori, possono essere continue o discrete. A causa degli errori di misura: La misura di una grandezza fisica è un fenomeno casuale, e il risultato numerico di tale misura è una variabile casuale. 4

5 Elementi di Statistica Lezione 3: 2. Definizioni di Probabilità Definizione Classica Si definisce come probabilità di un evento casuale il rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento stesso ed il numero totale di casi possibili, purché tutti questi casi possibili siano ugualmente probabili. COROLLARIO La probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1, che assume il valore 0 per gli eventi impossibili ed 1 per gli eventi certi. La definizione di probabilità contiene una tautologia, in quanto presuppone che si sia in grado di valutare l equi-probabilità delle varie modalità di manifestazione dell evento casuale considerato. 5

6 Lancio di un Dado La probabilità che in seguito al lancio di un dado esca un numero invece di un altro è la stessa (tutti i casi sono ugualmente probabili). {Ø}) 0, {1}) {2}) {3}) {4}) 1/6, {1,2}) {1,3}) {1,4}) 1/3, {1,2,4}) {1,2,5}) {1,2,6}) 1/2, {1,2,3,4}) {1,2,3,5}) {1,2,3,6} 2/3, {1,2,3,4,5}) p ({1,2,3,4,6}) 5/6, {1,2,3,4,5,6}}) S) 1. Definizione Empirica Definiamo frequenza relativa di un evento casuale E, f(, il rapporto tra il numero n di volte in cui l evento si è effettivamente verificato (frequenza assoluta) e il numero totale di prove effettuate. n f ( La probabilità di E,, è definita euristicamente come l estensione del concetto di frequenza relativa su un numero grandissimo di prove. n lim f ( lim on è un limite (in senso) matematico. 6

7 Elementi di Statistica Lezione 3: 3. Proprietà della Probabilità 3a. Evento Complementare La mancata realizzazione dell evento E costituisce l evento complementare di E, Ē. E ed Ē sono mutuamente esclusivi ed esauriscono l insieme di tutti i possibili risultati di una prova. La frequenza relativa di Ē su prove è: n n f ( 1 1 f ( 1 1 Se A, B,, Z sono eventi casuali mutuamente esclusivi e che esauriscono l insieme di tutti i possibili risultati, abbiamo: A) B) +... Z) 1 7

8 Probabilità Totale: Prodotto e Somma Logici Una prova o un esperimento più complesso potrebbe prevedere che si verifichino due eventi simultanei. Lancio di una moneta + Estrazione di una carta. A Risultato del lancio: Testa Ā Risultato del lancio: Croce E Estrazione di una carta era Ē Estrazione di una carta Rossa Esistono 4 eventi fondamentali non ulteriormente decomponibili e che si escludono vicendevolmente: {AE, AĒ, ĀE, ĀĒ} 3b. Prodotto Logico (A AD Consideriamo l evento composto, AE, prodotto logico dei due eventi semplici A ed E, definito come l evento casuale consistente nel verificarsi sia dell uno che dell altro evento casuale, A AD E. A Ā E n 11 n 12 Ē n 21 n 22 n ( EA) f 11 n ( E A) f 12 n ( EA) f 21 n ( EA) f 22 8

9 Prodotto Logico (II) n + n12 f ( 11 f ( EA) + f ( E A ) A Ā E n 11 n 12 n + n21 f ( A) 11 f ( EA) + f ( E A ) Ē n 21 n 22 Passando al limite per, devono valere: p ( EA) E A) p ( A) EA) EA) p ( EA) E A) p ( A) E A) E A) 3c. Somma Logica (A OR Consideriamo l evento composto, A + E, somma logica degli eventi semplici A ed E, definito come l evento casuale consistente nel verificarsi o dell uno o dell altro di essi o di entrambi, A OR E. n + n12 + n ( A + ( n11 + n12) + ( n11 + n21) n f f ( + f ( A) f ( EA) A + A) EA) A Ā E n 11 n 12 Ē n 21 n 22 9

10 Legge della Probabilità Totale A + A) EA) el caso di due eventi mutuamente esclusivi (cioè per cui EA) 0 e n 11 0), vale la cosiddetta legge della probabilità totale: p ( A+ A) Per induzione, la probabilità della somma logica di più eventi mutuamente esclusivi è uguale somma delle probabilità degli eventi semplici: p ( A+ B Z) A) B) +... Z) 3d. Probabilità Condizionata Probabilità che si verifichi un evento E nel caso in cui si sia già verificato l evento A, E A). n11 n11 f ( E A) n + n n + n f ( EA) f ( E A) f ( A) Passando al limite: 21 f ( EA) f ( A) A Ā E n 11 n 12 Ē n 21 n 22 p ( EA) A)* E A) * A 10

11 3e. Probabilità Composta Supponiamo che il verificarsi o meno di un evento non alteri la probabilità di presentarsi dell altro, ovvero sia che risulti E A) e A A) A ed E si dicono eventi statisticamente indipendenti. Per essi vale la legge della probabilità composta: EA) A) * E A) A) * Generalizzando (per induzione completa) al caso di un evento composto costituito dal verificarsi contemporaneamente di un numero qualsiasi di eventi semplici statisticamente indipendenti tra loro AB Z) A) * B) * *Z) Indipendenza Statistica Eventi casuali appartenenti ad un insieme di dimensione ( > 2) si dicono tutti statisticamente indipendenti tra loro quando la probabilità del verificarsi di uno qualsiasi di essi non è alterata dal fatto che uno o più d uno degli altri si sia già presentato. Vediamo un esempio. Supponiamo di lanciare 2 dadi e di definire i seguenti 3 eventi casuali: A Uscita di un numero dispari sul primo dado; B Uscita di un numero dispari sul secondo dado; C Somma dei due dadi dispari. 11

12 Lancio di 2 Dadi (I) A Ā B 1/4 1/4 B 1/4 1/4 A Ā C 1/4 1/4 C 1/4 1/4 B B C 1/4 1/4 C 1/4 1/4 A) BA) BA) 1/ 2 B) AB) AB) 1/ 2 AB) A)* B) 1/ 4 A) CA) CA) 1/ 2 C) AC) AC) 1/ 2 AC) A)* C) 1/ 4 B) CB) CB) 1/ 2 C) BC) BC) 1/ 2 BC) B)* C) 1/ 4 Lancio di 2 Dadi (II) Evento A B C Possibile? Probabilità ABC D D D o 0 ABC D D P Sì 1/4 ABC D P D Sì 1/4 ABC D P P o 0 ABC P D D Sì 1/4 ABC P D P o 0 ABC P P D o 0 ABC P P P Sì 1/4 A) ABC) ABC) ABC ) ABC) 1/ 2 B) 1/ 2 C) 1/ 2 ABC) 0 A) B) C) 1/ 8 A, B e C non sono eventi casuali statisticamente indipendenti 12

13 Lancio di 2 Dadi (III) S {PP, PD, DP, DD} A {DP, DD} A) 1/2 B {PD, DD} B) 1/2 C {DP, PD} P(C) 1/2 AB {DD} 1/4 AB) A)B) 1/4 AC {DP} 1/4 AC) A)C) 1/4 BC {PD} 1/4 BC) B)C) 1/4 ABC {Ø} 0 ABC) A)B)C) 1/8 Esempio: 2 Figli Siano gli eventi casuali A {Avere figli di entrambi i sessi} e B {Avere al massimo un figlio maschio}. A e B sono statisticamente indipendenti? S {MM, MF, FM, FF} A {MF, FM}, A) 1/2 B {MF, FM, FF}, B) 3/4 AB {MF, FM} AB) 1/2 A Ā B 1/2 1/4 B 0 1/4 1/2 AB) A)B) 3/8 A e B non sono eventi casuali statisticamente indipendenti 13

14 Esempio: 3 Figli Siano gli eventi casuali A {Avere figli di entrambi i sessi} e B {Avere al massimo un figlio maschio}. A e B sono statisticamente indipendenti? S {MMM,MMF,MFM,MFF,FMM,FMF,FFM,FFF} A {MMF,MFM,MFF,FMM,FMF,FFM}, A) 3/4 B {MFF,FMF,FFM,FFF}, A Ā B) 1/2 AB {MFF,FMF,FFM} B 3/8 1/8 AB) 3/8 B 3/8 1/8 3/8 AB) A)B) 3/4 * 1/2 3/8 A e B sono eventi casuali statisticamente indipendenti Elementi di Statistica Lezione 3: 4. Convergenza Statistica 14

15 Convergenza non Matematica La definizione empirica di probabilità presuppone a priori una convergenza della frequenza relativa f, al crescere di, verso un valore ben definito, assunto essere la probabilità dell evento. La legge dei grandi numeri (o teorema di Bernoulli) non implica una convergenza stretta nel senso dell analisi matematica. Dato un numero ε > 0 piccolo a piacere, non possiamo determinare un intero M, tale che, se si effettuano > M prove, risulti sicuramente f( < ε Convergenza Statistica All aumentare del numero di prove, una grandezza x tende statisticamente al limite X quando, scelta una qualsiasi coppia di numeri positivi ε, δ > 0, si può in conseguenza determinare un numero intero M tale che, se si effettua un numero di prove > M, la probabilità che x differisca da X per più di ε sia inferiore a δ. se > M, Probabilità ( x X > ε) < δ Aumentando il numero di prove, si può rendere tanto improbabile quanto si vuole che la frequenza relativa e la probabilità di un evento casuale differiscano più di una qualsiasi quantità prefissata, ma non si raggiungerà mai la certezza matematica. 15

3.1 La probabilità: eventi e variabili casuali

3.1 La probabilità: eventi e variabili casuali Capitolo 3 Elementi di teoria della probabilità Abbiamo già notato come, per la ineliminabile presenza degli errori di misura, quello che otteniamo come risultato della stima del valore di una grandezza

Dettagli

Introduzione al Calcolo delle Probabilità

Introduzione al Calcolo delle Probabilità Introduzione al Calcolo delle Probabilità In tutti quei casi in cui le manifestazioni di un fenomeno (EVENTI) non possono essere determinate a priori in modo univoco, e i risultati possono essere oggetto

Dettagli

p. 1/2 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 27/01 14:30 P50 29/01 14:30 Laboratorio (via Loredan) 03/02 14:30 P50 05/02 14:30 P50

p. 1/2 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 27/01 14:30 P50 29/01 14:30 Laboratorio (via Loredan) 03/02 14:30 P50 05/02 14:30 P50 p. 1/2 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 27/01 14:30 P50 29/01 14:30 Laboratorio (via Loredan) 03/02 14:30 P50 05/02 14:30 P50 p. 1/2 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 27/01 14:30

Dettagli

La PROBABILITA è un numero che si associa ad un evento E ed esprime il grado di aspettativa circa il suo verificarsi.

La PROBABILITA è un numero che si associa ad un evento E ed esprime il grado di aspettativa circa il suo verificarsi. La maggior parte dei fenomeni, ai quali assistiamo quotidianamente, può manifestarsi in vari modi, ma è quasi sempre impossibile stabilire a priori quale di essi si presenterà ogni volta. La PROBABILITA

Dettagli

Ψ PSICOMETRIA. Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE

Ψ PSICOMETRIA. Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE Ψ PSICOMETRIA Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE CAMPIONE caratteristiche conosciute POPOLAZIONE caratteristiche sconosciute STATISTICA INFERENZIALE STIMA

Dettagli

Lanciando un dado, il tuo compagno esclama: uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6 oppure: uscirà il numero 4. uscirà il numero 9

Lanciando un dado, il tuo compagno esclama: uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6 oppure: uscirà il numero 4. uscirà il numero 9 Lanciando un dado, il tuo compagno esclama: uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6 oppure: uscirà il numero 4 o ancora: uscirà il numero 9 Possiamo dire che le previsione del tuo compagno sono la prima certa, la seconda

Dettagli

Calcolo della probabilità

Calcolo della probabilità Calcolo della probabilità GLI EVENTI Un evento è un fatto che può accadere o non accadere. Se esso avviene con certezza si dice evento certo, mentre se non può mai accadere si dice evento impossibile.

Dettagli

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA IL CALCOLO DELLE PROBABILITA INTRODUZIONE Già 3000 anni fa gli Egizi praticavano un antenato del gioco dei dadi, che si svolgeva lanciando una pietra. Il gioco dei dadi era diffuso anche nell antica Roma,

Dettagli

La probabilità matematica

La probabilità matematica 1 La probabilità matematica In generale parliamo di eventi probabili o improbabili quando non siamo sicuri se si verificheranno. DEFINIZIONE. Un evento (E) si dice casuale, o aleatorio, quando il suo verificarsi

Dettagli

Scopo del Corso: Lezione 1. La Probabilità. Organizzazione del Corso e argomenti trattati: Prerequisiti:

Scopo del Corso: Lezione 1. La Probabilità. Organizzazione del Corso e argomenti trattati: Prerequisiti: Lezione 1 La Probabilità Scopo del Corso: Introduzione alla probabilità e alle procedure di inferenza statistica Introduzione ad alcune importanti tecniche di analisi multivariata dei dati Organizzazione

Dettagli

STATISTICA e PROBABILITA'

STATISTICA e PROBABILITA' STATISTICA e PROBABILITA' Il problema della misura si pone in termini probabilistici, determinando un intervallo di valori aventi una certa probabilità di essere osservati. E' necessario quindi introdurre

Dettagli

Per capire qual è l altezza media degli italiani è stato intervistato un campione di 1523 cittadini. La media campionaria dell altezza risulta essere:

Per capire qual è l altezza media degli italiani è stato intervistato un campione di 1523 cittadini. La media campionaria dell altezza risulta essere: PROBABILITÀ E STATISTICA Per capire qual è l altezza media degli italiani è stato intervistato un campione di 1523 cittadini. La media campionaria dell altezza risulta essere: x = 172, 3 cm Possiamo affermare

Dettagli

Esperimentazioni di Fisica 1 Elementi di Calcolo delle Probabilità

Esperimentazioni di Fisica 1 Elementi di Calcolo delle Probabilità Esperimentazioni di Fisica 1 Elementi di Calcolo delle Probabilità Università Roma Tre - Dipartimento di Matematica e Fisica 3 novembre 2016 Introduzione La probabilità nel linguaggio comune I E probabile

Dettagli

Lezione 2. La probabilità oggettiva : definizione classica e frequentistica e loro problemi

Lezione 2. La probabilità oggettiva : definizione classica e frequentistica e loro problemi Lezione 2 La probabilità oggettiva : definizione classica e frequentistica e loro problemi La definizione classica Definizione classica: La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi

Dettagli

NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ESPERIMENTO CASUALE: un esperimento si dice casuale quando gli esiti (manifestazioni o eventi) non possono essere previsti con certezza. PROVA: le ripetizioni, o occasioni

Dettagli

Statistica. Motivazioni

Statistica. Motivazioni Statistica Docente: Massimiliano Grosso Dipartimento di Ingegneria Chimica e Materiali Università degli Studi di Cagliari E-mail: grosso@dicm.unica.it Telefono: 070 675 5075 Web: http://people.unica.it/massimilianogrosso

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/15

MATEMATICA. a.a. 2014/15 MATEMATICA a.a. 2014/15 5. Introduzione alla probabilità: Definizioni di probabilità. Evento, prova, esperimento. Eventi indipendenti e incompatibili. Probabilità condizionata. Teorema di Bayes CONCETTI

Dettagli

Statistica Inferenziale

Statistica Inferenziale Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Riepilogo lezione 1 Abbiamo visto: Definizioni di statistica, statistica inferenziale, probabilità (interpretazione

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di Laurea Triennale di Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia. Corso di Statistica Medica

Università del Piemonte Orientale. Corso di Laurea Triennale di Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia. Corso di Statistica Medica Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea Triennale di Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia Corso di Statistica Medica Elementi di calcolo delle probabilità CdL Infermieristica Pediatrica ed

Dettagli

STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 8

STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 8 STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 8 Dott. Giuseppe Pandolfo 18 Novembre 2013 CALCOLO DELLE PROBABILITA Elementi del calcolo delle probabilità: 1) Esperimento: fenomeno caratterizzato da incertezza 2) Evento:

Dettagli

PROBABILITA. DEFINIZIONE: Ogni singolo risultato di un esperimento casuale si chiama evento elementare

PROBABILITA. DEFINIZIONE: Ogni singolo risultato di un esperimento casuale si chiama evento elementare PROBABILITA La teoria della probabilità si applica ad esperimenti aleatori o casuali: ossia, esperimenti il cui risultato non è prevedibile a priori. Ad esempio, lancio di un dado, lancio di una moneta,

Dettagli

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 2

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 2 Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 2 A. Garfagnini M. Mazzocco C. Sada Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova AA 2014/2015 Elementi di Statistica Lezione 2: 1. Istogrammi

Dettagli

Sia f la frequenza di un evento A e n sia la dimensione del campione. La probabilità dell'evento A è

Sia f la frequenza di un evento A e n sia la dimensione del campione. La probabilità dell'evento A è Cenni di probabilità di Carlo Elce Definizioni Lo spazio campionario per un esperimento è l'insieme di tutti i suoi possibili esiti. Per esempio, se l'esperimento è il lancio di due di dadi e si rappresentano

Dettagli

Probabilità I Calcolo delle probabilità

Probabilità I Calcolo delle probabilità Probabilità I Calcolo delle probabilità Nozioni di eventi. Definizioni di probabilità Calcolo di probabilità notevoli Probabilità condizionate Concetto di probabilità Cos'è una probabilità? Idea di massima:

Dettagli

Teoria della probabilità

Teoria della probabilità Introduzione alla teoria della probabilità Teoria della probabilità Primi sviluppi nel XVII secolo (Pascal( Pascal, Fermat, Bernoulli); Nasce nell ambito dei giochi d azzardo; d La prima formalizzazione

Dettagli

Probabilità esempi. Aiutiamoci con una rappresentazione grafica:

Probabilità esempi. Aiutiamoci con una rappresentazione grafica: Probabilità esempi Paolo e Francesca giocano a dadi. Paolo scommette che, lanciando due dadi, si otterrà come somma 8 oppure 9. Francesca scommette che si otterrà come somma un numero minore o uguale a

Dettagli

La probabilità composta

La probabilità composta La probabilità composta DEFINIZIONE. Un evento E si dice composto se il suo verificarsi è legato al verificarsi contemporaneo (o in successione) degli eventi E 1, E 2 che lo compongono. Consideriamo il

Dettagli

Lezione 1: Università Mediterranea di Reggio Calabria Decisions Lab. Insiemi. La Probabilità Probabilità e Teoria degli Insiemi

Lezione 1: Università Mediterranea di Reggio Calabria Decisions Lab. Insiemi. La Probabilità Probabilità e Teoria degli Insiemi Lezione 1: Probabilità e Teoria degli Università Mediterranea di Reggio Calabria Decisions Lab Gli insiemi Gli Un insieme S è una collezione di oggetti chiamati elementi dell insieme. - Se x è un elemento

Dettagli

Progetto Lauree Scientifiche Liceo Classico L.Ariosto, Ferrara Dipartimento di Matematica Università di Ferrara 24 Gennaio 2012

Progetto Lauree Scientifiche Liceo Classico L.Ariosto, Ferrara Dipartimento di Matematica Università di Ferrara 24 Gennaio 2012 Progetto Lauree Scientifiche Liceo Classico L.Ariosto, Ferrara Dipartimento di Matematica Università di Ferrara 24 Gennaio 2012 Concetti importanti da (ri)vedere funzione vettore matrice cenni di calcolo

Dettagli

Probabilità. Ing. Ivano Coccorullo

Probabilità. Ing. Ivano Coccorullo Ing. Ivano Coccorullo PROBABILITA Teoria della Eventi certi, impossibili e casuali Nella scienza e nella tecnologia è fondamentale il principio secondo il quale ogni volta che si realizza un insieme di

Dettagli

CONOSCENZE 1. il significato di evento casuale. 2. il significato di eventi impossibili, complementari;

CONOSCENZE 1. il significato di evento casuale. 2. il significato di eventi impossibili, complementari; ARITMETICA ELEMENTIDICALCOLO DELLE PROBABILITAÁ PREREQUISITI l l l conoscere e costruire tabelle a doppia entrata conoscere il significato di frequenza statistica calcolare rapporti e percentuali CONOSCENZE.

Dettagli

CALCOLO DELLE PROBABILITA' risultato non può essere previsto con certezza ogni risultato possibile di un esperimento

CALCOLO DELLE PROBABILITA' risultato non può essere previsto con certezza ogni risultato possibile di un esperimento CALCOLO DELLE PROBABILITA' Esperimento o prova Evento Spazio Campionario (Ω) una qualsiasi operazione il cui risultato non può essere previsto con certezza ogni risultato possibile di un esperimento insieme

Dettagli

PROBABILITA E STATISTICA

PROBABILITA E STATISTICA PROBABILITA E STATISTICA La nozione di probabilità è stata concepita in modi diversi; GROSSOLANAMENTE le principali sono: Concezione classica: concetto di probabilità come uguale possibilità concezione

Dettagli

incompatibili compatibili complementari eventi composti probabilità composta

incompatibili compatibili complementari eventi composti probabilità composta Un evento si dice casuale, o aleatorio, se il suo verificarsi dipende esclusivamente dal caso. La probabilità matematica p di un evento aleatorio è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f e il

Dettagli

È l insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio; si indica generalmente con il simbolo.

È l insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio; si indica generalmente con il simbolo. A Ripasso Terminologia DOMADE Spazio campionario Evento Evento certo Evento elementare Evento impossibile Evento unione Evento intersezione Eventi incompatibili Evento contrario RISPOSTE È l insieme di

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità Osservazione e studio dei fenomeni naturali: a. Caso deterministico: l osservazione fornisce sempre lo stesso risultato. b. Caso stocastico o aleatorio: l osservazione fornisce

Dettagli

STATISTICA e PROBABILITA'

STATISTICA e PROBABILITA' STATISTICA e PROBABILITA' Il problema della misura si pone in termini probabilistici, determinando un intervallo di valori aventi una certa probabilità di essere osservati. E' necessario quindi introdurre

Dettagli

FENOMENI CASUALI. fenomeni casuali

FENOMENI CASUALI. fenomeni casuali PROBABILITÀ 94 FENOMENI CASUALI La probabilità si occupa di fenomeni casuali fenomeni di cui, a priori, non si sa quale esito si verificherà. Esempio Lancio di una moneta Testa o Croce? 95 DEFINIZIONI

Dettagli

Statistica. Capitolo 4. Probabilità. Cap. 4-1

Statistica. Capitolo 4. Probabilità. Cap. 4-1 Statistica Capitolo 4 Probabilità Cap. 4-1 Obiettivi del Capitolo Dopo aver completato il capitolo, sarete in grado di: Spiegare concetti e definizioni fondamentali della probabilità Usare il diagramma

Dettagli

CALCOLO DELLE PROBABILITA

CALCOLO DELLE PROBABILITA CALCOLO DELLE PROBABILITA Italo Nofroni Statistica medica - Facoltà di Medicina Sapienza - Roma Nella ricerca scientifica, così come nella vita, trionfa l incertezza Chi guiderà il prossimo governo? Quanto

Dettagli

5 di tutti i possibili risultati relativi a un determinato esperimento si chiama spazio probabilistico

5 di tutti i possibili risultati relativi a un determinato esperimento si chiama spazio probabilistico Gli eventi Torniamo ora a occuparci degli eventi. Qualunque sia la concezione utilizzata per determinare la probabilità di un evento, si lavora all'interno di un insieme determinato di casi possibili.

Dettagli

Capitolo 6. Variabili casuali continue. 6.1 La densità di probabilità

Capitolo 6. Variabili casuali continue. 6.1 La densità di probabilità Capitolo 6 Variabili casuali continue Le definizioni di probabilità che abbiamo finora usato sono adatte solo per una variabile casuale che possa assumere solo valori discreti; vediamo innanzi tutto come

Dettagli

Costruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini e Leonardo Bertini. Lezione 1: Probabilità: fondamenti

Costruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini e Leonardo Bertini. Lezione 1: Probabilità: fondamenti Costruzione di macchine Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità Marco Beghini e Leonardo Bertini Lezione 1: Probabilità: fondamenti Progettazione probabilistica: Considerazione delle incertezze

Dettagli

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Lezione 4

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Lezione 4 Sperimentazioni di Fisica I mod. A Lezione 4 Alberto Garfagnini Marco Mazzocco Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova 14-15 ottobre 2013 Algebra Booleana Lezione IV: Algebra Booleana 1.

Dettagli

Il Calcolo delle Probabilità è lo strumento matematico per trattare fenomeni aleatori cioè non deterministici.

Il Calcolo delle Probabilità è lo strumento matematico per trattare fenomeni aleatori cioè non deterministici. INTRODUZIONE L CLCOLO DELLE ROILIT Il Calcolo delle robabilità è lo strumento matematico per trattare fenomeni aleatori cioè non deterministici. Un fenomeno aleatorio o stocastico è un fenomeno i cui esiti

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Approccio classico e frequentista alla probabilità Prof.ssa Laura Pagnozzi Prof. Ivano Coccorullo Teoria delle probabilità L inizio della teoria delle probabilità, chiamata all

Dettagli

1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente:

1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente: CAPITOLO TERZO VARIABILI CASUALI. Le variabili casuali e la loro distribuzione di probabilità In molte situazioni, dato uno spazio di probabilità S, si è interessati non tanto agli eventi elementari (o

Dettagli

Probabilità delle cause:

Probabilità delle cause: Probabilità delle cause: Probabilità condizionata 2 Teorema delle probabilità composte A B) A) B/A) 3 Teorema delle probabilità totali B )! 4 Teorema delle probabilità delle cause n i A! B ) A / B ) B

Dettagli

1 Ingredienti base del CDP. 2 Denizioni classica e frequentista. 3 Denizione assiomatica. 4 La σ-algebra F. 5 Esiti equiprobabili

1 Ingredienti base del CDP. 2 Denizioni classica e frequentista. 3 Denizione assiomatica. 4 La σ-algebra F. 5 Esiti equiprobabili 1 Ingredienti base del CDP 2 Denizioni classica e frequentista 3 Denizione assiomatica 4 La σ-algebra F 5 Esiti equiprobabili 6 Esperimento casuale 7 Probabilità condizionata Ingredienti base del CDP eventi

Dettagli

OPERAZIONI CON GLI EVENTI

OPERAZIONI CON GLI EVENTI LA PROBABILITA GLI EVENTI Definiamo come evento il verificarsi di un avvenimento, situazione o fenomeno; in quest ottica potremmo intuitivamente definire la probabilità come l indice di verosimiglianza

Dettagli

Cenni di probabilità

Cenni di probabilità Corso di Laurea in Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio Corso di Costruzioni Idrauliche A.A. 2004-05 www.dica.unict.it/users/costruzioni Cenni di probabilità Ing. Antonino Cancelliere Dipartimento

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità

Esercizi di Calcolo delle Probabilità Esercizi di Calcolo delle Probabilità Versione del 1/05/005 Corso di Statistica Anno Accademico 00/05 Antonio Giannitrapani, Simone Paoletti Calcolo delle probabilità Esercizio 1. Un dado viene lanciato

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Definizione di Spazio Campionario Definizioni di Probabilità Eventi mutuamente esclusivi Eventi indipendenti Principio della somma Principio del prodotto Eventi certi : è certo

Dettagli

1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3.

1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3. Corso di Laurea INTERFACOLTÀ - Esercitazione di Statistica n 6 ESERCIZIO 1: 1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3. lancio di

Dettagli

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Prof. Mario Barbera [parte ] Variabili aleatorie Esempio: sia dato l esperimento: Scegliere un qualunque giorno non festivo della settimana, per verificare casualmente

Dettagli

Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche

Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Ø Prof. Attilio Santocchia Ø Ufficio presso il Dipartimento di Fisica (Quinto Piano) Tel. 75-585 278 Ø E-mail: attilio.santocchia@pg.infn.it Ø Web: http://www.fisica.unipg.it/~attilio.santocchia/

Dettagli

P ( X n X > ɛ) = 0. ovvero (se come distanza consideriamo quella euclidea)

P ( X n X > ɛ) = 0. ovvero (se come distanza consideriamo quella euclidea) 10.4 Convergenze 166 10.4.3. Convergenza in Probabilità. Definizione 10.2. Data una successione X 1, X 2,...,,... di vettori aleatori e un vettore aleatorio X aventi tutti la stessa dimensione k diremo

Dettagli

Elementi di probabilità

Elementi di probabilità Elementi di probabilità Corso di STATISTICA Ordinario di, Università di Napoli Federico II Professore supplente, Università della Basilicata a.a. 2011/2012 1 Obiettivo dell unità didattica Introdurre gli

Dettagli

NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ALCUNE DEFINIZIONI

NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ALCUNE DEFINIZIONI NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ALCUNE DEFINIZIONI ESPERIMENTO CASUALE: un esperimento si dice casuale quando gli esiti (manifestazioni o eventi) non possono essere previsti con certezza. PROVA: le

Dettagli

Statistica 1 A.A. 2015/2016

Statistica 1 A.A. 2015/2016 Corso di Laurea in Economia e Finanza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispondenti a 48 ore di lezione frontale e 24 ore di esercitazione) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 51 Introduzione Il Calcolo delle

Dettagli

CALCOLO delle PROBABILITA

CALCOLO delle PROBABILITA Eventi certi : è certo che si verifichino es. il prossimo mese sarà luglio, domani sorgerà il sole Eventi probabili: non è certo che si verifichino es. domani pioverà? Quanti giorni di ricovero avrà quel

Dettagli

Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e variabili statistiche

Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e variabili statistiche Variabili aleatorie Variabili aleatorie e variabili statistiche Nelle prime lezioni, abbiamo visto il concetto di variabile statistica : Un oggetto o evento del mondo reale veniva associato a una certa

Dettagli

7. V F Dati due eventi, A e B, l evento A o B, descrive l evento quando o A avviene o B avviene o

7. V F Dati due eventi, A e B, l evento A o B, descrive l evento quando o A avviene o B avviene o CAPITOLO 5 LA PROBABILITA VERO FALSO 1. V F la probabilità può essere definita come la possibilità che un evento accada 2. V F Sara Moretti sa che ci sono esattamente 20 macchine nel parco macchine e tutte

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Definizione di Spazio Campionario Definizione di Probabilità Eventi mutuamente esclusivi Eventi indipendenti Pricipio della somma Principio del prodotto Eventi certi : è certo

Dettagli

Lezione 1. La Statistica Inferenziale

Lezione 1. La Statistica Inferenziale Lezione 1 La Statistica Inferenziale Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione

Dettagli

LA PROBABILITAÁ ALGEBRA IL CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ. richiami della teoria

LA PROBABILITAÁ ALGEBRA IL CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ. richiami della teoria ALGEBRA IL CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ richiami della teoria n un evento E si dice casuale o aleatorio, quando il suo verificarsi dipende unicamente dal caso; n un evento si dice certo quando eá possibile

Dettagli

Probabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva

Probabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva Probabilità classica Distribuzioni e leggi di probabilità La probabilità di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, purchè siano tutti equiprobabili.

Dettagli

Figura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 15

Figura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 15 Figura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile 2012- pag. 15 Casi Possibili B= La lancetta indica il Blu V= La lancetta indica il Verde

Dettagli

prima urna seconda urna

prima urna seconda urna Un po di fortuna Considera il seguente gioco: ci sono due urne contenenti delle palline perfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente, alcune bianche, altre nere. Nella prima urna ci sono una

Dettagli

Modelli descrittivi, statistica e simulazione

Modelli descrittivi, statistica e simulazione Modelli descrittivi, statistica e simulazione Master per Smart Logistics specialist Roberto Cordone (roberto.cordone@unimi.it) Statistica inferenziale Cernusco S.N., giovedì 18 febbraio 2016 (9.00/13.00)

Dettagli

STATISTICA ESERCITAZIONE 9

STATISTICA ESERCITAZIONE 9 STATISTICA ESERCITAZIONE 9 Dott. Giuseppe Pandolfo 19 Gennaio 2015 REGOLE DI CONTEGGIO Sequenze ordinate Sequenze non ordinate Estrazioni con ripetizione Estrazioni senza ripetizione Estrazioni con ripetizione

Dettagli

P (T + H)P (H) P (T + H)P (H) + P (T + H)P ( H) 0.95P (H) 0.95P (H) (1 P (H)) ragionevole screening su popolazione a rischio

P (T + H)P (H) P (T + H)P (H) + P (T + H)P ( H) 0.95P (H) 0.95P (H) (1 P (H)) ragionevole screening su popolazione a rischio Test per HIV T + = test positivo ; T = test negativo H = presenza di HIV Test sensibile: P (T + H) = 0.95 possibilità di falsi risultati P (T H) = 1 0.95 = 0.05 P (T + H) = 0.05 (supponiamo) calcoliamo

Dettagli

P (0 semafori rossi) = 0,05 P (1 semaforo rosso) = 0,20 P (2 semafori rossi) = 0,25 P (3 semafori rossi) = 0,35 P (4 semafori rossi) = 0,15

P (0 semafori rossi) = 0,05 P (1 semaforo rosso) = 0,20 P (2 semafori rossi) = 0,25 P (3 semafori rossi) = 0,35 P (4 semafori rossi) = 0,15 ESERCITAZIONE : ROBABILITA, VARIABILI CASUALI, BINOMIALE ESERCIZIO N. Una donna che si reca al lavoro in macchina ha osservato che il seguente modello è un approssimato modello probabilistico per il numero

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÁ

TEORIA DELLA PROBABILITÁ TEORIA DELLA PROBABILITÁ Cenni storici i rimi arocci alla teoria della robabilità sono della metà del XVII secolo (Pascal, Fermat, Bernoulli) gli ambiti di alicazione sono i giochi d azzardo e roblemi

Dettagli

Definizione frequentistica di probabilita :

Definizione frequentistica di probabilita : Esperimenti aleatori un esperimento e l osservazione del verificarsi di qualche accadimento ( A ) che, a partire da determinate condizioni iniziali, porti ad un particolare stato delle cose finali se si

Dettagli

La probabilità: introduzione

La probabilità: introduzione P a g. 1 La probabilità: introduzione Nei giochi e nella "realtà" spesso si devono fare scelte di cui non si sanno prevedere esattamente le conseguenze (quale carta conviene scartare? in quale orario conviene

Dettagli

Teorema del limite centrale TCL

Teorema del limite centrale TCL Teorema del limite centrale TCL Questo importante teorema della statistica inferenziale si applica a qualsiasi variabile aleatoria che sia combinazione lineare di N variabili aleatorie le cui funzioni

Dettagli

Lo spazio degli eventi del lancio di un dado regolare a sei facce è l insieme U 1. 2. 3. U 4. 5. 6

Lo spazio degli eventi del lancio di un dado regolare a sei facce è l insieme U 1. 2. 3. U 4. 5. 6 EVENTI ALEATORI E LORO RAPPRESENTAZIONE Lo spazio degli eventi del lancio di un dado regolare a sei facce è l insieme U... U.. La definizione classica di probabilità dice che, se gli eventi che si considerano

Dettagli

Variabile casuale E 6 E 5 E 4. R S x1 E 2

Variabile casuale E 6 E 5 E 4. R S x1 E 2 Variabile casuale Una Variabile Casuale X è una regola (funzione reale) che associa ad E (evento elementare di S) uno ed un solo numero reale. Notazione: X: variabile casuale : realizzazione di una variabile

Dettagli

Esercitazioni numeriche del corso di GENETICA AA 2010/2011 LEZIONE N 1 PROBABILITÀ

Esercitazioni numeriche del corso di GENETICA AA 2010/2011 LEZIONE N 1 PROBABILITÀ Esercitazioni numeriche del corso di GENETICA AA 2010/2011 LEZIONE N 1 PROBABILITÀ Definizione classica di probabilità: La probabilità di un dato evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli

Dettagli

Probabilità. Decisioni in condizioni di incertezza:

Probabilità. Decisioni in condizioni di incertezza: Probabilità Decisioni in condizioni di incertezza: Casi quotidiani e no Probabile / certo. Incertezza e futuro / incertezza e quantità-qualità delle informazioni. Probabilità come misura del grado di fiducia

Dettagli

Capitolo 5. Variabili casuali discrete

Capitolo 5. Variabili casuali discrete Capitolo 5 Variabili casuali discrete Come già anticipato nel paragrafo 3, nella teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o random variable) può essere

Dettagli

Test di autovalutazione

Test di autovalutazione Test Test di autovalutazione 0 0 0 0 0 0 0 70 80 90 00 n Il mio punteggio, in centesimi, è n Rispondi a ogni quesito segnando una sola delle alternative. n Confronta le tue risposte con le soluzioni. n

Dettagli

Principi di Statistica a.a

Principi di Statistica a.a Principi di Statistica a.a. 2014-2015 Dr. Luca Secondi 1. Introduzione al corso 1.01Variabili casuali Distribuzioni di probabilità 1 Corso di laurea in Biotecnologie Matematica e PRINCIPI DI STATISTICA

Dettagli

Compiti tematici dai capitoli 2,3,4

Compiti tematici dai capitoli 2,3,4 Compiti tematici dai capitoli 2,3,4 a cura di Giovanni M. Marchetti 2016 ver. 0.8 1. In un indagine recente, i rispondenti sono stati classificati rispetto al sesso, lo stato civile e l area geografica

Dettagli

Calcolo delle Probabilità Soluzioni 1. Spazio campionario ed eventi

Calcolo delle Probabilità Soluzioni 1. Spazio campionario ed eventi ISTITUZIONI DI STATISTICA A. A. 2007/2008 Marco Minozzo e Annamaria Guolo Laurea in Economia del Commercio Internazionale Laurea in Economia e Amministrazione delle Imprese Università degli Studi di Verona

Dettagli

LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS

LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS p. 1/2 LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS Osservando gli istogrammi delle misure e degli scarti, nel caso di osservazioni ripetute in identiche condizioni Gli istogrammi sono campanulari e simmetrici,

Dettagli

Analisi degli Errori di Misura. 08/04/2009 G.Sirri

Analisi degli Errori di Misura. 08/04/2009 G.Sirri Analisi degli Errori di Misura 08/04/2009 G.Sirri 1 Misure di grandezze fisiche La misura di una grandezza fisica è descrivibile tramite tre elementi: valore più probabile; incertezza (o errore ) ossia

Dettagli

Lezione 3 Calcolo delle probabilità

Lezione 3 Calcolo delle probabilità Lezione 3 Calcolo delle probabilità Definizione di probabilità La probabilità è lo studio degli esperimenti casuali e non deterministici Se lanciamo un dado sappiamo che cadrà ma non è certo che esca il

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 03 - I Numeri Reali Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli

QLaprobabilità dell'evento intersezione

QLaprobabilità dell'evento intersezione QLaprobabilità dell'evento intersezione Dati due eventi A e B consideriamo l'evento intersezione C'-A H B C. Prima di illustrare come si calcola la probabilità dell'evento intersezione, vediamo insieme

Dettagli

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

esperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l effetto del caso; evento elementare: ciascuno dei possibili esiti di un esperimento casuale;

esperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l effetto del caso; evento elementare: ciascuno dei possibili esiti di un esperimento casuale; Capitolo 15 Suggerimenti agli esercizi a cura di Elena Siletti Esercizio 15.1: Suggerimento Si ricordi che: esperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l effetto del caso; evento elementare: ciascuno

Dettagli

Esercitazione del 31/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 31/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 1/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercizio 1 Vengono lanciati due dadi regolari a 6 facce. (a) Calcolare la probabilità che la somma dei valori ottenuti sia 9? (b) Calcolare

Dettagli

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio. A. Figà Talamanca

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio. A. Figà Talamanca ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio A. Figà Talamanca 14 ottobre 2010 2 0.1 Ancora limiti di funzioni di variabile reale Esercizio 1 Sia f(x) = [sin x] definita nell insieme [0,

Dettagli

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BRESCIA-FACOLTA DI MEDICINA E CHIRURGIA CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA SEDE DI DESENZANO dg STATISTICA MEDICA.

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BRESCIA-FACOLTA DI MEDICINA E CHIRURGIA CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA SEDE DI DESENZANO dg STATISTICA MEDICA. Lezione 4 DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA 1 DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA Una variabile i cui differenti valori seguono una distribuzione di probabilità si chiama variabile aleatoria. Es:il numero di figli maschi

Dettagli

3+2 =0.6) e B vincente a 1 contro 4 ( 1

3+2 =0.6) e B vincente a 1 contro 4 ( 1 Esempio 23 (Sul teorema delle probabilità totali) 6 Consideriamo una gara in cui ci sono tra i vari concorrenti due italiani e precisamente i concorrenti A e B e indichiamo i seguenti eventi E A = vince

Dettagli

Statistica. Lezione 4

Statistica. Lezione 4 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 4 a.a 2011-2012 Dott.ssa Daniela

Dettagli

I ESERCITAZIONE GENETICA

I ESERCITAZIONE GENETICA 2-04-2008 _ Dott.Baratta I ESERCITAZIONE GENETICA 1) Definizione di Probabilità (eventi elementari) 2) Calcolo della Probabilità di eventi composti (Regola del prodotto e della somma) 3) Predizione dei

Dettagli

Modelli probabilistici variabili casuali

Modelli probabilistici variabili casuali Modelli probabilistici variabili casuali Le variabili casuali costituiscono il legame tra il calcolo della probabilità e gli strumenti di statistica descrittiva visti fino ad ora. Idea: pensiamo al ripetersi

Dettagli