Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3
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1 Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3 A Garfagnini, M Mazzocco, C Sada Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova AA 2014/2015 Elementi di Teoria della Probabilità L ineliminabile presenza di errori di misura implica che la stima del valore di una grandezza fisica non sia praticamente mai il suo valore vero. Sulla base di misure ripetute non possiamo affermare con certezza che un qualsiasi numero reale sia (o non sia) il valore vero di una grandezza fisica. E evidente che tra tutti i numeri della retta reale alcuni saranno più verosimili e altri saranno meno verosimili. Il problema della misura deve essere affrontato in termini probabilistici. Il problema sarà risolto quando, a partire dai dati sperimentali, saremo in grado di determinare un intervallo di valori avente una probabilità assegnata di contenere il valore vero delle grandezza fisica misurata. 1
2 Elementi di Statistica Lezione 3: 1. Eventi e Variabili Casuali Fenomeni Casuali Oggetto della teoria della probabilità è lo studio dei fenomeni casuali (o aleatori): 1. ripetibili (almeno in teoria) infinite volte; 2. manifestabili in più modalità; 3. imprevedibili singolarmente; 4. mutuamente esclusivi. Alcuni esempi concreti di fenomeni casuali: n lancio di una moneta, n n n lancio di un dado, estrazione di una carta da un mazzo, il risultato della misura di una grandezza fisica. 2
3 Spazio dei Risultati Il complesso delle possibili modalità con cui un fenomeno casuale si può verificare costituisce l insieme (o spazio) dei risultati, S. S può avere un numero finito o infinito di elementi. n Lancio di una moneta S {Testa, Croce} n Lancio di un dado S {1,2,3,4,5,6} n Estrazione di una carta da un mazzo S { A, A, A, A, 2, 2, 2, 2,, K, K, K, K} Evento Casuale Definiremo evento casuale l associazione di una o più di queste possibili modalità. n Eventi casuali nel lancio di un dado: 1. Uscita del numero 1, 2. Uscita di un numero dispari, 3. Uscita di un numero maggiore di Uscita di un numero minore o uguale a Uscita di un numero compreso tra 2 e 5. n Eventi casuali nell estrazione di una carta: 1. Estrazione di una carta rossa. 2. Estrazione della carta 2, 3
4 Spazio degli Eventi L insieme di tutti i possibili eventi, E, è l insieme di tutti i sottoinsiemi di S (insieme potenza o insieme delle parti di S), compresi l insieme vuoto Ø ed S stesso. n Lancio di un dado: E {Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {5,}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,6}, {1,3,4}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6}, {1,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6}, {1,2,3,4,5,6}} Variabile Casuale Se siamo in grado di fissare una legge di corrispondenza che permetta di associare ad ogni modalità di un fenomeno casuale (cioè ad ogni elemento dello spazio dei risultati S) uno ed un solo numero reale x; tale valore x assume il nome di variabile casuale definita su S. Le variabili casuali possono assumere un numero finito o infinito di valori, possono essere continue o discrete. A causa degli errori di misura: La misura di una grandezza fisica è un fenomeno casuale, e il risultato numerico di tale misura è una variabile casuale. 4
5 Elementi di Statistica Lezione 3: 2. Definizioni di Probabilità Definizione Classica Si definisce come probabilità di un evento casuale il rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento stesso ed il numero totale di casi possibili, purché tutti questi casi possibili siano ugualmente probabili. COROLLARIO La probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1, che assume il valore 0 per gli eventi impossibili ed 1 per gli eventi certi. La definizione di probabilità contiene una tautologia, in quanto presuppone che si sia in grado di valutare l equi-probabilità delle varie modalità di manifestazione dell evento casuale considerato. 5
6 Lancio di un Dado La probabilità che in seguito al lancio di un dado esca un numero invece di un altro è la stessa (tutti i casi sono ugualmente probabili). {Ø}) 0, {1}) {2}) {3}) {4}) 1/6, {1,2}) {1,3}) {1,4}) 1/3, {1,2,4}) {1,2,5}) {1,2,6}) 1/2, {1,2,3,4}) {1,2,3,5}) {1,2,3,6} 2/3, {1,2,3,4,5}) p ({1,2,3,4,6}) 5/6, {1,2,3,4,5,6}}) S) 1. Definizione Empirica Definiamo frequenza relativa di un evento casuale E, f(, il rapporto tra il numero n di volte in cui l evento si è effettivamente verificato (frequenza assoluta) e il numero totale di prove effettuate. n f ( La probabilità di E,, è definita euristicamente come l estensione del concetto di frequenza relativa su un numero grandissimo di prove. n lim f ( lim on è un limite (in senso) matematico. 6
7 Elementi di Statistica Lezione 3: 3. Proprietà della Probabilità 3a. Evento Complementare La mancata realizzazione dell evento E costituisce l evento complementare di E, Ē. E ed Ē sono mutuamente esclusivi ed esauriscono l insieme di tutti i possibili risultati di una prova. La frequenza relativa di Ē su prove è: n n f ( 1 1 f ( 1 1 Se A, B,, Z sono eventi casuali mutuamente esclusivi e che esauriscono l insieme di tutti i possibili risultati, abbiamo: A) B) +... Z) 1 7
8 Probabilità Totale: Prodotto e Somma Logici Una prova o un esperimento più complesso potrebbe prevedere che si verifichino due eventi simultanei. Lancio di una moneta + Estrazione di una carta. A Risultato del lancio: Testa Ā Risultato del lancio: Croce E Estrazione di una carta era Ē Estrazione di una carta Rossa Esistono 4 eventi fondamentali non ulteriormente decomponibili e che si escludono vicendevolmente: {AE, AĒ, ĀE, ĀĒ} 3b. Prodotto Logico (A AD Consideriamo l evento composto, AE, prodotto logico dei due eventi semplici A ed E, definito come l evento casuale consistente nel verificarsi sia dell uno che dell altro evento casuale, A AD E. A Ā E n 11 n 12 Ē n 21 n 22 n ( EA) f 11 n ( E A) f 12 n ( EA) f 21 n ( EA) f 22 8
9 Prodotto Logico (II) n + n12 f ( 11 f ( EA) + f ( E A ) A Ā E n 11 n 12 n + n21 f ( A) 11 f ( EA) + f ( E A ) Ē n 21 n 22 Passando al limite per, devono valere: p ( EA) E A) p ( A) EA) EA) p ( EA) E A) p ( A) E A) E A) 3c. Somma Logica (A OR Consideriamo l evento composto, A + E, somma logica degli eventi semplici A ed E, definito come l evento casuale consistente nel verificarsi o dell uno o dell altro di essi o di entrambi, A OR E. n + n12 + n ( A + ( n11 + n12) + ( n11 + n21) n f f ( + f ( A) f ( EA) A + A) EA) A Ā E n 11 n 12 Ē n 21 n 22 9
10 Legge della Probabilità Totale A + A) EA) el caso di due eventi mutuamente esclusivi (cioè per cui EA) 0 e n 11 0), vale la cosiddetta legge della probabilità totale: p ( A+ A) Per induzione, la probabilità della somma logica di più eventi mutuamente esclusivi è uguale somma delle probabilità degli eventi semplici: p ( A+ B Z) A) B) +... Z) 3d. Probabilità Condizionata Probabilità che si verifichi un evento E nel caso in cui si sia già verificato l evento A, E A). n11 n11 f ( E A) n + n n + n f ( EA) f ( E A) f ( A) Passando al limite: 21 f ( EA) f ( A) A Ā E n 11 n 12 Ē n 21 n 22 p ( EA) A)* E A) * A 10
11 3e. Probabilità Composta Supponiamo che il verificarsi o meno di un evento non alteri la probabilità di presentarsi dell altro, ovvero sia che risulti E A) e A A) A ed E si dicono eventi statisticamente indipendenti. Per essi vale la legge della probabilità composta: EA) A) * E A) A) * Generalizzando (per induzione completa) al caso di un evento composto costituito dal verificarsi contemporaneamente di un numero qualsiasi di eventi semplici statisticamente indipendenti tra loro AB Z) A) * B) * *Z) Indipendenza Statistica Eventi casuali appartenenti ad un insieme di dimensione ( > 2) si dicono tutti statisticamente indipendenti tra loro quando la probabilità del verificarsi di uno qualsiasi di essi non è alterata dal fatto che uno o più d uno degli altri si sia già presentato. Vediamo un esempio. Supponiamo di lanciare 2 dadi e di definire i seguenti 3 eventi casuali: A Uscita di un numero dispari sul primo dado; B Uscita di un numero dispari sul secondo dado; C Somma dei due dadi dispari. 11
12 Lancio di 2 Dadi (I) A Ā B 1/4 1/4 B 1/4 1/4 A Ā C 1/4 1/4 C 1/4 1/4 B B C 1/4 1/4 C 1/4 1/4 A) BA) BA) 1/ 2 B) AB) AB) 1/ 2 AB) A)* B) 1/ 4 A) CA) CA) 1/ 2 C) AC) AC) 1/ 2 AC) A)* C) 1/ 4 B) CB) CB) 1/ 2 C) BC) BC) 1/ 2 BC) B)* C) 1/ 4 Lancio di 2 Dadi (II) Evento A B C Possibile? Probabilità ABC D D D o 0 ABC D D P Sì 1/4 ABC D P D Sì 1/4 ABC D P P o 0 ABC P D D Sì 1/4 ABC P D P o 0 ABC P P D o 0 ABC P P P Sì 1/4 A) ABC) ABC) ABC ) ABC) 1/ 2 B) 1/ 2 C) 1/ 2 ABC) 0 A) B) C) 1/ 8 A, B e C non sono eventi casuali statisticamente indipendenti 12
13 Lancio di 2 Dadi (III) S {PP, PD, DP, DD} A {DP, DD} A) 1/2 B {PD, DD} B) 1/2 C {DP, PD} P(C) 1/2 AB {DD} 1/4 AB) A)B) 1/4 AC {DP} 1/4 AC) A)C) 1/4 BC {PD} 1/4 BC) B)C) 1/4 ABC {Ø} 0 ABC) A)B)C) 1/8 Esempio: 2 Figli Siano gli eventi casuali A {Avere figli di entrambi i sessi} e B {Avere al massimo un figlio maschio}. A e B sono statisticamente indipendenti? S {MM, MF, FM, FF} A {MF, FM}, A) 1/2 B {MF, FM, FF}, B) 3/4 AB {MF, FM} AB) 1/2 A Ā B 1/2 1/4 B 0 1/4 1/2 AB) A)B) 3/8 A e B non sono eventi casuali statisticamente indipendenti 13
14 Esempio: 3 Figli Siano gli eventi casuali A {Avere figli di entrambi i sessi} e B {Avere al massimo un figlio maschio}. A e B sono statisticamente indipendenti? S {MMM,MMF,MFM,MFF,FMM,FMF,FFM,FFF} A {MMF,MFM,MFF,FMM,FMF,FFM}, A) 3/4 B {MFF,FMF,FFM,FFF}, A Ā B) 1/2 AB {MFF,FMF,FFM} B 3/8 1/8 AB) 3/8 B 3/8 1/8 3/8 AB) A)B) 3/4 * 1/2 3/8 A e B sono eventi casuali statisticamente indipendenti Elementi di Statistica Lezione 3: 4. Convergenza Statistica 14
15 Convergenza non Matematica La definizione empirica di probabilità presuppone a priori una convergenza della frequenza relativa f, al crescere di, verso un valore ben definito, assunto essere la probabilità dell evento. La legge dei grandi numeri (o teorema di Bernoulli) non implica una convergenza stretta nel senso dell analisi matematica. Dato un numero ε > 0 piccolo a piacere, non possiamo determinare un intero M, tale che, se si effettuano > M prove, risulti sicuramente f( < ε Convergenza Statistica All aumentare del numero di prove, una grandezza x tende statisticamente al limite X quando, scelta una qualsiasi coppia di numeri positivi ε, δ > 0, si può in conseguenza determinare un numero intero M tale che, se si effettua un numero di prove > M, la probabilità che x differisca da X per più di ε sia inferiore a δ. se > M, Probabilità ( x X > ε) < δ Aumentando il numero di prove, si può rendere tanto improbabile quanto si vuole che la frequenza relativa e la probabilità di un evento casuale differiscano più di una qualsiasi quantità prefissata, ma non si raggiungerà mai la certezza matematica. 15
3.1 La probabilità: eventi e variabili casuali
Capitolo 3 Elementi di teoria della probabilità Abbiamo già notato come, per la ineliminabile presenza degli errori di misura, quello che otteniamo come risultato della stima del valore di una grandezza
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