Esercizi di Algebra Lineare - Fogli 1-2 Corso di Laurea in Matematica 2 ottobre 2016

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1 Esrizi i Algr Linr - Fogli 1-2 Corso i Lur in Mtmti 2 ottor Logi tori lmntr gli insimi Esrizio 1.1 Ngr un ssrzion. Espliitr l ngzion ll sgunti ssrzioni: (P ) ogni stunt i qust ul minornn, oppur nssun stuntss lo ; (Q) sist un stll piu grn piu rillnt i Alph Cnturi; (R) s l mor, l vit smpr un os mrviglios.! Attnzion, l ngzion i R non è (pr ortun): S non l mor, l vit un os mrviglios! Esrizio 1.2 In un ul i sono 30 rgzzi 30 rgzz. Si onsirino l sgunti ssrzioni: (A) ogni rgzzo nll ul è minornn nssun rgzz lo è; (B) ogni rgzzo nll ul è minornn qulh rgzz lo è. (i) Quli i sgunti nuniti quivlgono ll ngzion i (A)? (ii) Quli i sgunti nuniti quivlgono ll ngzion i (B)? Nll ul è lmno un rgzzo mggiornn lmno un rgzz minornn Nll ul non è lun rgzzo minornn oppur non è lun rgzz mggiornn Nll ul non è lun rgzzo minornn non è lun rgzz mggiornn S nll ul non è lun rgzzo mggiornn, llor non tutt l rgzz lo sono Nll ul non i sono rgzz minornni non tutti i rgzzi lo sono Nll ul tutti i rgzzi sono mggiornni qulh rgzz lo è Nll ul tutti i rgzzi sono mggiornni, o qulh rgzz lo è S nll ul non è lun rgzzo mggiornn, llor qulh rgzz lo è Nssuno gli nuniti prnti quivl ll ngzion i (A) Nssuno gli nuniti prnti quivl ll ngzion i (B) Esrizio 1.3 Pr isun ll sgunti proposizioni: (i) Srivrn l ngzion orml; (ii) quini pir os signii, spigrn il signiito nl moo più hiro possiil (pr s. no un isgno insimistio). (A) z z A z B z C ; (B) z X Y ( x X tl h z x oppur y Y tl h z y). 1

2 Esrizio 1.4 Dimostrr pr n h pr ogni A, B X si h smpr: (i) A \ B = A B (ii) (A B) = A B (iii) (A B) = A B (iv) A B B A Esrizio 1.5 Corrisponnz iunivoh inittiv. Nll sgunti igur srivt, utilizzno ll r, gli smpi i rlzioni tr gli insimi A B on l rttristih rihist (s possiil): g g A B A B A B (i) un rlzion tr A B h non è un pplizion (ii) pplizion : A B inittiv, non surittiv (iii) pplizion : B A surittiv, non inittiv g A B A B A B (iv) pplizion : A B né inittiv, né surittiv (v) pplizion : A B iunivo (vi) pplizion : B A inittiv Esrizio 1.6 Si E l insim i tutti gli ssri umni h hnno popolto l Trr, U il sottoinsim i tutti gli uomini D il sottoinsim i tutt l onn. Chimimo inoltr on P il sottoinsim ostituito tutti i pri on M qullo ll mri. Dit s l sgunti sono pplizioni, s sono inittiv /o surittiv: ) : U D h ssoi ogni uomo l prim mogli; ) : U N h ssoi ogni uomo l su tà; ) : U M h ogni uomo ssoi su mr; ) : P E h ogni pr ssoi il suo primo iglio; ) : P M h ogni pr ssoi l mr l suo primo iglio. 2

3 Esrizio 1.7 Si : X Y un pplizion A X, B Y. Dir quli ll sgunti inlusioni sono smpr vr quli, inv, in rti si sono ls (pr ogni inlusion vr srivr un imostrzion; pr ogni inlusion ls, portr un ontrosmpio). (i) 1 ((A)) A (ii) 1 ((A)) = A (iii) 1 ((A)) A (iv) ( 1 (B)) B (v) ( 1 (B)) = B (vi) ( 1 (B)) B Suggrimnto: non rgionr in moo purmnt orml, m iutrsi on gli smpi i pplizioni tipo qull ll srizio 1.5. Esrizio 1.8 Pr ognun ll sgunti pplizioni, s n trmini l immgin gli lmnti ll insim 1 (0). Si i quini s l unzioni sono inittiv, surittiv, iittiv. (i) g : R R, (x) = x ; (ii) h : R R, h(x) = x 3 x; (iii) l : Z R, p(x) = x sin( π 2 x); (iv) m : Z Z, q(x) = 2x + 1; (v) n : N N, r(x) = l somm ll ir i x (in s 10); (vi) p : Z Z Q, s(x, y) = x y ; (vii) q : Z Z Q, t(x, y) = x 2y ; Suggrimnto pr (ii): utilizzr l ontinuità ll unzion h. Esrizio 1.9 Dir quli ll sgunti rlzioni sui sgunti insimi sono rlzioni i quivlnz: (i) l rlzion su U = l umnità, init : x R y ss x onos y; (ii) l rlzion su U init : x R y ss x y hnno gli stssi mii su ook; (iii) l rlzion su U init : x R y ss x y hnno lo stsso pr iologio; (iv) l rlzion su R init : x R y ss x y; (v) l rlzion su N init : x R y ss MCD(x, y) 1; (vi) l rlzion su N init : x R y ss x y hnno un multiplo omun; (vii) l rlzion su Z Z init : (x 1, x 2 ) R (y 1, y 2 ) ss x 1 y 2 = x 2 y 1 ; (viii) l rlzion su S (Q) = {sussioni i Cuhy vlori rzionli}, init : (x n ) R (y n ) ss lim n x n = lim n y n ; (ix) l rlzion su X = tutti i possiili insimi ininiti, init : A R B ss A B sono quipotnti 1 ; (x) l rlzion su R 2 init : p R q ss (p, q) 1; (xi) l rlzion su P(R 2 ) init : A R B ss A B ; (xii) l rlzion su R = {rtt l pino}, init : r R s ss r è prlll s; (xiii) l rlzion su T = {tringoli}, init : T R T ss T T hnno stssi ngoli. 1 v. inizion nl Foglio 2. 3

4 Esrizio 1.10 Pr isun ll rlzioni i quivlnz (ii), (iii), (v), (vi), (vii), (viii), (xii) (xiii) ll srizio prnt: ) sglir un lmnto x ll insim X su ui sono init, srivr gli lmnti ll su lss [x] R ; ) provr srivr l insim quozint X/ R, mttnolo in iizion on un insim spliito. NOTA: l insim quozint X/ R ll rlzion i quivlnz l punto (ix) inis l insim i numri trnsiniti, i ui prlrmo nl Foglio 2. Du suoi lmnti sono ℵ 0 (l lss gli insimi numrili) ℵ 1 (l lss gli insimi on rinlità l ontinuo). 4

5 2. Elmnti ll Tori ll rinlità. Esrizio 2.1 L insim ll prti. (i) Si A = {,, }. Dsrivt l insim P(A). (ii) Sino A = {1, 2,..., n} S l insim ll squnz i numri, ostituit 0 1, i lunghzz ugul n. Dsrivt un pplizion iunivo tr P(A) S. (iii) S un insim A h n lmnti, qunti lmnti h P(A)? Esrizio 2.2 Il tutto è smpr più grn ll prt (Euli) (i) Esist un pplizion iunivo tr i primi ntomil numri nturli tutti i numri pri tr ? (ii) Esist un pplizion iunivo tr l insim N i numri nturli il suo sottoinsim proprio ostituito i numri pri? (L insim i numri pri si not on 2N). Cos può irsi llor ll rmzion i Euli, nl so i insimi ininiti? Si i h un insim A h l stss rinlità i un insim B, s sist un pplizion iunivo tr A B; si i nh h A B sono quipotnti. Qusto si sriv: r(a) = r(b). Si i h A h un rinlità inrior o ugul qull i B s sist un pplizion inittiv A in B. Si sriv llor: r(a) r(b). S sist un pplizion inittiv A in B, m non è possiil mttr in orrisponnz iunivo A B, si i inv h A h un rinlità inrior qull i B, si sriv r(a) < r(b).! Un priszion importnt: l rinlità i un insim A, nott r(a), non è un numro (lmno non nl snso usul...): r(a) può intiirsi on il numro gli lmnti i un insim A solo nl so i insimi initi! In gnrl, pr insimi ininiti, l srittur r(a) = r(b) è solo un moo pr ir rpimnt h sist un pplizion iunivo tr A B; osì om r(a) r(b) signii solo h sist un pplizion inittiv A in B. Attnti quini r oprzioni on r(a), r(b). Un insim A si i numril s h l stss rinlità ll insim N i numri nturli, ioè s r(a) = r(n). Quini un insim è numril s sist un moo i ostruir un list (ininit) 0, 1, 2, 3,..., iniizzt i numri nturli, h ontng tutti i suoi lmnti; in ltr prol s sist un moo pr numrr tutti i suoi lmnti. Qusto gnr i rinlità ininit si ini on ℵ 0 (ℵ si lgg l è l prim lttr ll lto rio). 5

6 Esrizio 2.3 Gli insimi Z, N N Q sono numrili. (i) Costruit un pplizion iunivo tr N Z. (ii) Si N N l insim i tutt l oppi (n, m) i numri nturli. Costruit un pplizion iunivo tr N N N. Suggrimnto: mttt gli lmnti i N N in un tll (ininit) om qull h sgu. Dt poi un lgg h prmtt i strrr uno uno gli lmnti ll tll, in moo h isun lmnto si psto in un tmpo inito. (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3).. ) Si Q l insim i numri rzionli, ioè i numri h si ottngono om quozint q = / i u numri intri,. Costruit un pplizion iunivo tr N Q.. Esrizio 2.4 r(n) < r(r). Esist hirmnt un pplizion inittiv N in R (qul?), pr ui r(n) r(r). Dimostrr or h non può sistr un pplizion iunivo tr N R, unqu l rinlità i N è inrior qull i R. Suggrimnto: pr ssuro. S un tl orrisponnz iunivo sistss, llor si potrro mttr i numri rli in un tll om qull h sgu, in moo h non n sppi nssuno: N R 1 0, n , n , n , n.... Consirt or il numro rl 0, x 1 x 2 x 3 x 4..., ottnuto prnno pr x 1 un qulsisi ir ivrs 1 9, pr x 2 un qulsisi ir ivrs 2 9, pr x 3 un ir ivrs 3 9, osì vi. Qusto numro pprtin ll tll? Dov è l ssuro? Esrizio 2.5 L intrvllo (0, 1) h l stss rinlità i R. (i) Mostrr h sist un pplizion iunivo tr (0, 1) un qulsisi ltro intrvllo prto (, ). (ii) Esiir un pplizion iunivo tr ( π, π) R. (iii) Durr () () h r((0, 1)) = r(r). Un insim A si i ontinuo s è quipotnt ll insim R i numri rli, ioè s r(a) = r(r). Qusto gnr i rinlità si ini on ℵ 1. Tutti gli insimi h imo visto hnno rinlità inrior o ugul qull l ontinuo: vin hirsi llor s sistno solo u tipi i ininito : l ininito numril ℵ 0 l ininito ontinuo ℵ 1. Non è osì: il prossimo torm i mostr om ostruir un insim on rinlità suprior qull i R. 6

7 Torm. Si X un qulsisi insim non vuoto: non sist lun orrisponnz iunivo tr P(X) X. Skth i imostrzion (h rmo in lss). Mostrimo h l sistnz i un pplizion iunivo tr X P(X) port un ssuro logio (imostrzion pr ssuro) ttrvrso i sgunti pssi: 1. supponimo h sist un pplizion iunivo S : X P(X), h ssoi ogni x X un sottoinsim S(x) P(X) (l slt l nom S pr tl pplizion srv riorri h S(x) è un Sottoinsim i X, ipnnt x); 2. onsirimo llor il sottoinsim i X osì inito: S = {x X tli h x S(x)}; 3. poihé S è un pplizion iunivo, in prtiolr surittiv, si v vr pr orz S = S(x 0 ) pr qulh x 0 X; 4. onlur mostrno h si trov un ssuro si s x 0 S, si s x 0 S... (os si u, intti, in isun so?) Quini l orrisponnz iunivo i ui vvmo supposto l sistnz non può sistr, il torm è imostrto. L rinlità i P(R) si ini on ℵ 2. L insim F(R, R) i tutt l unzioni i un vriil rl vlori rli è un ltro smpio i insim on rinlità ℵ 2. Allo stsso moo, è possiil ostruir un ininità i insimi i rinlità irnti, ioè un ininità i ininiti tutti irnti (i ositti numri trnsiniti). Esrizio 2.6 Un qurto h tnti punti qunti un suo lto? Pnsimo un qurto om sottoinsim l pino rtsino ov x y vrino ntrmi nll intrvllo hiuso (0, 1). Tl insim si intii quini on l insim (0, 1) (0, 1), un suo lto si intii on l intrvllo (0, 1). (i) Dsrivr un pplizion inittiv : (0, 1) (0, 1) (0, 1). (ii) Vivrs, trovr un pplizion inittiv g : (0, 1) (0, 1) (0, 1). D (i) sgu h r((0, 1)) r((0, 1) (0, 1)); (ii) h r((0, 1) (0, 1)) r((0, 1)). Possimo urr llor h r((0, 1)) = r((0, 1) (0, 1))? Riorimo h r non è un numro, quini non possimo rgionr om pr i numri: s u numri, vriino llor =. Il tto h r((0, 1)) = r((0, 1) (0, 1)) sgu ttivmnt (i) + (ii), m utilizzno un risultto non nl: Torm i Cntor-Brnstin. S sist un pplizion inittiv : A B (ioè r(a) r(b)) un ltr pplizion inittiv g : B A (ioè r(b) r(a)), llor sist un pplizion iunivo tr A B (ioè r(a) = r(b)).! Not: è omunqu possiil trovr un iizion spliit tr (0, 1) (0, 1) (0, 1), m qusto è un po più omplito. 7

8 Un importnt ongttur mtmti, ormult G. Cntor not om Ipotsi l Continuo, ssriv h non vi ossro ltri tipi i ininito tr l ininito numril ℵ 0 l ininito ontinuo ℵ 1 : ioè, h ogni insim ininito i rinlità strttmnt suprior N vss nssrimnt lmno l rinlità i R. Tl prolm vnn risolto nl 1963: il mtmtio P. Cohn imostrò h non è possiil urr l Ipotsi l Continuo gli ltri ssiomi ll tori gli insimi! Esttmnt om il V Postulto i Euli, h non è uiil gli ltri ssiomi ll gomtri uli, h h tto pnr gnrzioni i mtmtii ino ll soprt ll prim gomtri non-uli. Esrizio 2.7 Si I = R \ Q il sottoinsim i numri irrzionli, A R il sottoinsim i numri lgrii 2. Utilizzr tutto qullo h imo visto (I Torm i Cntor, Torm i Cntor-Brnstin., m non l ipotsi l ontinuo!) pr imostrr rigorosmnt: (i) r(a) = r(q) = ℵ 0 ; (ii) r([0, 1]) = r((0, 1)) = ℵ; (iii) r(r 2 ) = r(r) = ℵ; (iv) r(i) = r(r) = ℵ. 2 un numro rl r si i lgrio s sist un polinomio p(x) oiinti intri o rzionli i ui r è ri. Chirmnt, Q A (prhé?); inv, pr s. 2 è lgrio m non rzionl. 8

a b }. L insieme Q è pertanto l insieme delle frazioni.

a b }. L insieme Q è pertanto l insieme delle frazioni. I1. Insimisti I1.1 Insimi Il ontto i insim è un ontto primitivo, prtnto non n vin t un finizion rigoros. Si può ir, intuitivmnt, h un insim è un ollzion i oggtti pr ui vlgono lun proprità: Un lmnto i un

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