Esercitazione 6 - Dinamica del punto materiale e. del corpo rigido

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1 Università degli Studi di Bergamo Corso di Laurea in Ingegneria essile Corso di Elementi di Meccanica Esercitazione 6 - Dinamica del punto materiale e Esercizio n. del corpo rigido Studiare la dinamica del sistema al variare del rapporto tra le masse dei due corpi m e m. ra il piano inclinato e il corpo c è attrito statico di coefficiente f S e attrito radente di coefficiente f R. A α Analisi cinematica del sistema igura.a Il sistema è formato da due corpi dotati di massa connessi da una fune che si impegna su una carrucola nel punto A. Il corpo, quindi, è sospeso mediante la fune, mentre il corpo è sorretto sia dal piano inclinato che dalla fune stessa. Il sistema è dotato di un grado di libertà, ovvero i due corpi possono traslare lungo l asse della fune (nelle direzioni che questo assume in prossimità dei corpi, come mostrati nella figura.a). I due corpi, al variare del rapporto m m, possono essere sia in equilibrio che in moto accelerato. Data la presenza di attrito fra il piano inclinato e il corpo, esiste una gamma di valori per m m che soddisfano la condizione di equilibrio statico. Al di fuori di questa gamma il moto dei corpi è accelerato, ma con versi differenti a seconda del valore di m m. Possiamo esprimere la posizione del corpo rispetto alla sommità del triangolo che forma il piano inclinato mediante la variabile x, come indicato in figura.b. Così facendo assumiamo positive le velocità x e le accelerazioni x del corpo dirette verso il basso. Analogamente individuiamo la posizione del corpo rispetto allo stesso punto mediante la variabile y e le sue derivate y e ÿ.

2 ... y, y, y... x, x, x igura.b Considerando la fune inestensibile si può trovare un legame tra le velocità dei due corpi, ovvero x y Derivando questa relazione rispetto al tempo otteniamo la relazione tra le accelerazioni x ÿ Equazioni della statica La presenza di attrito fa sì che esistano più valori del rapporto m m che soddisfano la condizione di equilibrio. Infatti il modulo della forza di attrito in condizioni statiche può assumere valori compresi nell intervallo 0 f S dove è la componente perpendicolare alla superficie della forza scambiata tra il corpo e la superficie stessa. La forza è diretta parallelamente alla superficie di contatto con verso opposto alla componente, lungo la stessa direzione, della risultante delle altre forze agenti sul corpo. on conoscendo il valore delle masse, e di conseguenza il verso della risultante sul corpo, il verso della forza di attrito indicato in figura.c è puramente indicativo.

3 m g m gcosα m gsinα igura.c In questo caso le equazioni di equilibrio ci consentono di calcolare il valore del rapporto m m m g 0 m gcos 0 m g sin 0 Il valore della forza di attrito è però incognito, l unica relazione valida è fornita dalla legge di Coulomb f S Introducendo la relazione precedente il sistema può essere risolto fornendo m g m g cos m m sin f S m cos La discussione della disequazione ci consente di trovare gli estremi dell intervallo desiderato per il rapporto m m. Si devono affrontare due casi m m m m sin sin m m m m sin f S cos sin f S cos Il risultato ottenuto in caso di equilibrio statico può essere riassunto nel seguente diagramma 3

4 m m f S arctan f S arctan π f S α igura.d dove la linea rossa rappresenta l equazione m m sin f S cos, la linea verde m m sin (equilibrio statico in assenza di attrito) e la linea blu m m sin f S cos. L area tratteggiata rappresenta il luogo dei punti m m, in cui c è condizione di equilibrio statico (naturalmente, l area tratteggiata non include l area triangolare al di sotto dell asse delle ascisse poiché ciò implicherebbe m m 0, il che significa che una delle due masse avrebbe segno negativo). Si può facilmente determinare che il punto d intersezione della curva blu con l asse delle ascisse è pari a arctanf S ; quando l angolo assume valori minori di arctanf S, la condizione è tale per cui il corpo non ha bisogno della massa per rimanere in equilibrio, ma lo è già grazie alla forza d attrito. Equazioni della dinamica Analogamente a quanto fatto per la statica, possiamo supporre un verso per le velocità (in modo da stabilire il verso della forza di attrito radente) e calcolarne il valore in funzione del rapporto m m. Impiegando il principio di d Alembert si evidenziano le forze d inerzia, come mostrato in figura.e. m ẋ. m g m ẏ. R m gcosα m gsinα igura.e Dato che il sistema è inizialmente fermo, perché ci sia moto è necessario che il rapporto fra le 4

5 masse (per un certo angolo ) assuma valori diversi da quelli compressi nell area evidenziata in figura.d. Supponendo quindi che il corpo si stia muovendo verso il basso, quindi che valga la relazione m m sin f S cos, si può scrivere il sistema di equazioni m x m g 0 m ÿ m gsin R 0 m gcos 0 dove valgono le relazioni R f R ÿ x che sostituite nel sistema precedente portano a m x m g 0 m x m g sin f R 0 m gcos 0 x m m g m m sin f R cos m gcos g m m m m sin f R cos el caso in cui il corpo si stia muovendo verso l alto, ovvero che valga la disequazione m m sin f S cos, il verso della forza di attrito è invertito e il sistema di equazioni vale m x m g 0 m ÿ m gsin R 0 m gcos 0 Con le debite sostituzioni si giunge a m x m g 0 m x m g sin f R 0 m gcos 0 x m m g m m sin f R cos m gcos g m m m m sin f R cos 5

6 Esercizio n. Calcolare l accelerazione del disco di raggio R mostrato in figura, posto in un piano verticale e inizialmente fermo, considerando la presenza di attrito volvente di coefficiente f v. Il coefficiente di attrito statico è pari a f S, quello di attrito radente è pari a f R. Analisi cinematica del sistema igura.a Il sistema mostrato in figura presenta differenti gradi di libertà a seconda del tipo di moto. Se in ogni istante la velocità relativa tra la superficie e il punto di contatto del disco è nulla il moto è di puro rotolamento, quindi il sistema ha un grado di libertà. Questa condizione, nel nostro caso, si verifica quando f S. Altrimenti R f R il sistema presenta due gradi di libertà (la posizione del baricentro del disco e la sua posizione angolare) e il moto è detto di rotolamento con strisciamento. el caso in cui il moto sia di puro rotolamento è possibile scrivere una relazione che leghi le variabili x e (vedi figura.b) x R, ẍ R θ, ω, ω.... x, x, x igura.b Equazioni della dinamica Evidenziando le forze agenti sul corpo (vedi figura.c) possiamo scrivere tre equazioni di equilibrio dinamico mẍ 0 mg 0 I R u 0 6

7 dove, I è il momento d inerzia baricentrico di un disco di massa m e raggio R, e u è la quantità di cui risulta spostata, nella direzione di moto, la reazione del piano a causa della presenza dell attrito volvente; il legame tra u e f v é f v u. La soluzione di questo sistema dipende dal tipo R di moto del sistema. Iθ.. mg mẋ. u igura.c el caso di puro rotolamento valgono f S x R quindi il sistema può essere riscritto come m R 0 mg 0 I R u 0 I m Rgu I mr mg R mgu I mr E quindi necessario verificare che il valore ottenuto di sia inferiore a f S. Il momento di inerzia di un disco vale mr, di conseguenza mr m Rgu 3 mr f S mg mg 3f S u R el caso in cui la forza sia maggiore di questo valore il disco rotola con strisciamento, per cui il sistema ha due gradi di libertà e vale la relazione R f R e la relazione x R non è più valida. Il sistema di equazioni di equilibrio dinamico è 7

8 mx f R 0 mg 0 I f R R u 0 mg x m f R g mg f RR u I 8

9 Esercizio n.3 Calcolare l accelerazione del sistema inizialmente fermo mostrato in figura 3.a. Si consideri la presenza di attrito tra il piano inclinato e il corpo di coefficienti f R e f S. I diametri delle due pulegge solidali sulle quali si avvolgono le funi inestensibili sono R (per la puleggia più grande) e R (per la puleggia più piccola). Si considerino i corpi e di masse, rispettivamente m e m, mentre le due puleggie dotate di momento d inerzia complessivo pari a I. Il sistema giace in un piano verticale. Si supponga che il corpo cominci a muoversi verso il basso per effetto delle forze applicate. 3 α igura 3.a Analisi cinematica del sistema Il sistema è formato da tre corpi, collegati tra loro da funi inestensibili. Il corpo è sospeso mediante una fune che si avvolge sulla circonferenza esterna di raggio R della puleggia, la quale è incernierata a terra. Il corpo è anch esso collegato alla puleggia (sulla circonferenza interna di raggio R però) mediante fune. Il corpo è appoggiato ad un piano inclinato di angolo che presenta attrito (coefficienti f R e f S ). θ, ω, ω x, x, x... y, y, y igura 3.b La posizione dei corpi può essere descritta mediante le coordinate mostrate in figura 3.b. Il sistema presenta un grado di libertà, quindi è possibile trovare due equazioni che consentano di esprimere due coordinate in funzione della terza. Le suddette relazioni sono, utilizzando come 9

10 variabile indipendente, x R x R y R ÿ R Equazioni della dinamica A differenza degli esercizi precedenti, non verrà utilizzato il principio di d Alembert per la risoluzione ma verranno scritte le equazioni della dinamica: ma dt I Mdt dove I è il momento d inerzia del corpo e M è il momento di una forza rispetto al baricentro del corpo. Evidenziando le forze agenti su ogni singolo corpo (vedi figura 3.c) si possono scrivere le equazioni di conservazione m ẍ m g m ÿ m g sin R m gcos 0 I R R dove si è supposto che il corpo stia accelerando verso la direzione positiva dell asse y. 3 m gsinα m g m gcosα igura 3.c Supponendo movimento quindi la relazione che lega forza di attrito e reazione normale è R f R Sostituendo le relazioni cinematiche e la relazione tra R e si ottiene 0

11 m R m R m g m g sin f R m gcos 0 I R R m g R m R g sin f R cos m g cos g m R m R sin f R cos I m R m R Di conseguenza le accelerazioni dei corpi e possono essere calcolate come ẍ R ÿ R R g m R m R sin f R cos I m R m R R g m R m R sin f R cos I m R m R