1 prova in itinere - Fondamenti di segnali e sistemi - Prof. Bernasconi Sede di Como

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1 prova in itinr - Fondamnti di sgnali sistmi - Pro. Brnasconi Sd di Como Cognom: om: Matricola: Compilar la tablla coi dati anagraici d il numro di matricola. Esrcizio : sgnali sistmi Sia dato il sgnal w ( t 3sinc.. Disgnar w(t.. Calcolar nrgia E w potnza P w di w(t. 3. Disgnar il sgnal g ( t w( t. rct ll ipotsi ch w(t sia la risposta all impulso di un sistma LTI, dir s il sistma è causal/anticausal, stabil/instabil, giustiicando la risposta. Esrcizio : campionamnto Sia dato il sgnal s(t00 sinc (00 t cos(π 300 t Il sgnal s(t vin campionato con rqunza di campionamnto c 500Hz. Il sgnal campionato è s c (t.. Dir s è rispttato il torma dl campionamnto calcolar il priodo di campionamnto T.. Scrivr l sprssion dllo spttro S c ( dl sgnal campionato s c (t, disgnarlo nll intrvallo da -00Hz a 00Hz. 3. Scrivr la risposta all impulso h r (t dl iltro ricostruttor idal. Esrcizio 3: iltraggio Sia dato il sistma LTI in igura, costituito dalla cascata di du sottosistmi con risposta all impulso h (t sinc (00 t. cos(π 000 t h (tδ(t /00 h(t x(t (t h (t h (t. Scrivr l sprssion dlla risposta in rqunza H( dl sistma complssivo in unzion dll rispost in rqunza H ( d H ( di du sottosistmi.. Disgnar modulo as di H(. 3. Scrivr il sgnal (t in uscita dal sistma quando x(t + sin(π 950 t 3 cos(π 00 t. Calcolar la potnza P dl sgnal in uscita. 4. Scrivr la risposta all impulso h(t dl sistma. 5. Scrivr l uscita (t dl sistma quando l ingrsso è x(t5000 sinc(5000 t. 6. Scrivr l uscita (t dl sistma quando l ingrsso è x(txp(jπ 000 t. Calcolar (3. Esrcizio 4: DFT (acoltativo Ricavar l sprssion dl trmin X dlla trasormata discrta di Fourir dlla squnza x[n]0 cos(π 00 nt con Tms n0,,...- con 000 (Suggrimnto: ricordar l quivalnza tra trasormat di squnz, sgnali campionati idali, sgnali continui

2 prova in itinr - Fondamnti di sgnali sistmi - Pro. Brnasconi Sd di Como Formula di Eulro: + j +, j Formul di Wrnr: cos β sin β cos β [ cos( α β + cos( α + β ] [ cos( α β cos( α + β ] [ sin( α β + sin( α + β ] Proprità trasormata di Fourir:. linarità a x( t + b ( t a X ( + b Y (. simmtria x ( t X (, s x( t R x( t X ( 3. valori nll origin X ( 0 x( t dt, x( 0 X ( d, 4. dualità X ( t x( 5. scalatura x( at X 6. traslazion ni tmpi x( t t0 X ( xp( jπt 0 7. traslazion in rqunza x( t xp( jπ 0t X ( 0. drivazion dx( t jπ X ( 9. convoluzion ( t * x ( t X( X ( x ( t * x ( t dt a a x x( τ x 0. moltiplicazion x ( t x ( t X( X (. Parsval x( t dt X ( d ( t τ dτ Trasormat notvoli A rct A tri δ ( t xp ( x ( πx A jϕ jϕ ( π 0t + ϕ ( δ ( 0 + δ ( + 0. ( πt xp( π Acos AT sin c( T ; AT sin c ( T ; sinc sn πx - -

3 Soluzion :. w ( t 3sinc 3sinc ( t Sinc ritardato di ts, ampizza massima 3 zri ogni s. 3 0 Tmpo [s] Convin utilizzar il th. di Parsval E w w( t dt W ( d W ( 6 rct( xp( jπ ; W ( 6 rct( ; rttangolo di altzza 6 bas ½; E w W ( d 36 P w 0 poiché sgnal di nrgia 3. Risulta il sinc instrato nll intrvallo [-s, s], ch è il dominio dov il rttangolo ha ampizza unitaria. 3 0 tmpo [s] Il sistma non è causal, prché w(t 0 pr t<0. Il sistma è instabil, poiché w ( t dt Soluzion : 00 s(t00 sinc (00 t cos(π 300 t S( tri δ ( 300 c δ (

4 . Il sgnal s(t ha banda limitata (prima condizion dl th. dl campionamnto. La massima rqunza dl sgnal s(t è max 300 [Hz]. Poiché c 500 [Hz]< max (sconda condizion th. campionamnto il torma dl campionamnto non è rispttato. Il priodo di campionamnto val T/ c /500 [s]. Il campionamnto produc la riptizion priodica dllo spttro dl sgnal continuo di partnza. i Sc ( c 500 i S( i n n tri c c n n n500 δ 00 n tri 00 c δ ( 300 n δ ( n ( 300 n500 δ ( n500 S c ( c c [Hz] 3. La risposta all impulso dl iltro ricostruttor idal è l antitrasormata di un rttangolo nll rqunz di larghzza c, cntrato in 0, di ampizza T/ c, cioè H r ( / c rct(/ c (igura sotto. S c ( H r ( / [Hz] Quindi h r (tsinc(t c sinc(500t Soluzion 3: h (t sinc (00 t. cos(π 000 t h (tδ(t /00 è un iltro ritardator di /00 scondi. h(th (t*h (t H( H (. H ( H( 00 tri δ ( 00 H ( xp jπ δ ( tri H ( tri + tri xp jπ xp jπ H ( tri tri 00 [ ] tri H ( π π ; il trmin -π è dovuto al sgno mno (nota: si potva anch utilizzar +π

5 H( /00 H( π ota: disgni non in scala. [Hz] π 00 [Hz] 3. Sistma ral: sgnali sinusoidali vngono modiicati in modulo as. (th(0 + H(950 sin[π 950 t+ H(950] 3 H(00 cos[π 00 t+ H(00] (/400 sin[π 950 t π/] La costant d il cosno non passano prché sono uori dalla banda dl iltro P [potnza di sinusoidi] (/00 // h(th (t*h (t [h (t ritardato di /00 scondi] sinc [00 (t /00]. cos[π 000 (t /00] 5. x(t5000 sinc(5000 t; X ( rct ; X ( H ( H ( 5000 Quindi (th(t sinc [00 (t /00]. cos[π 000 (t /00] 6. Scrivr l uscita (t dl sistma quando l ingrsso è x(txp(jπ 000 t. (th(000 xp(jπ 000 t (/00. xp(jπ 5. xp(jπ 000 t (/00. xp(jπ 000 t (3 (/00 xp(jπ 3000 (/00 Soluzion 4: 000 campioni quivalgono ad s dl sgnal. Posso pnsar al sgnal discrto ottnuto com campionamnto idal (con c 000Hz dl sgnal continuo 0 cos(π 00 t instrato nll intrvallo [0s, s]. Cioè x(t0 cos(π 00 t. rct(t-0.5. La trasormata di x(t val X ( [ 5δ ( δ ( + 00 ] sinc( xp( jπ [ 5sinc( sinc( + 00 ] xp( jπ n La trasormata di x c (t è X ( 000 X ( n000 c n La trasormata continua di x[n] è ugual a X c ( La trasormata discrta (DFT di x[n] è la X c ( campionata in (0,...,-. c /, con 000. n n n n X 000 X ( 000/ n X ( n000, con 0,,... -, con 000 X n [ 5sinc( 00 n sinc( + 00 n000 ] xp[ j ( n000 ] n 000 π, con 0,,

6 Cognom: om: Matricola: Compilar la tablla coi dati anagraici d il numro di matricola. Esrcizio Sia dato il sistma LTI con risposta all impulso h( t 0sinc (00t.cos(000πt. Scrivr l sprssion dlla risposta in rqunza H( dl sistma.. Disgnar modulo as di H(. 3. Scrivr il sgnal (t in uscita dal sistma quando x( t sin(000π t 3cos(000πt. sin(00πt 4. Scrivr l uscita (t dl sistma quando l ingrsso è x( t. 00πt 5. Calcolar valor mdio, varianza potnza dll uscita (t quando l ingrsso è (solo un rumor bianco w(t con dnsita spttral di potnza S w ( / + 4δ(. 6. Dir s il sistma causal. 7. Calcolar l nrgia di h(t. Esrcizio La orma d onda x(t con spttro mostrato in igura vin campionata con rqunza c 500 Hz. X( [Hz]. Scrivr l sprssion analitica dllo spttro dl sgnal campionato X c (.. Disgnar lo spttro dl sgnal campionato X c ( nll intrvallo di rqunz [ ] Hz. 3. Calcolar il sgnal x r (t in uscita al iltro ricostruttor con risposta in rqunza 4. x(t è ral? Il sgnal ricostruito è ral? H ( rct. c c Esrcizio 3 Un sgnal s(t con dnsita di probabilita dll ampizz gaussiana, valor mdio nullo potnza 0dB, vin convrtito in ormato PCM tramit campionamnto a 0Hz quantizzazion.. Calcolar il numro di bit pr la quantizzazion in modo da avr un SQR maggior di 50 db (quantizzator uniorm.. Calcolar la larghzza dll intrvallo di quantizzazion. 3. Calcolar il bit rat R b [bit/s] dl sgnal PCM in uscita al campionator/quantizzator. 4. Calcolar il numro di campioni acquisiti in 30 minuti. Esrcizio 4 Calcolar i 4 campioni dlla squnza [n] ottnuta dalla convoluzion circolar su 4 campioni di x[n]{0,,0,0} h[n]{,0,0,} con n0,,, 3 Laboratorio Dscrivr una procdura pr misurar il priodo di un sgnal priodico utilizzando la trasormata di Fourir. - -

7 Formula di Eulro: + j +, j Formul di Wrnr: cos β sin β cos β [ cos( α β + cos( α + β ] [ cos( α β cos( α + β ] [ sin( α β + sin( α + β ] Proprità trasormata di Fourir:. linarità a x( t + b ( t a X ( + b Y (. simmtria x ( t X (, s x( t R x( t X ( 3. valori nll origin X ( 0 x( t dt, x( 0 X ( d, 4. dualità X ( t x( 5. scalatura x( at X 6. traslazion ni tmpi x( t t0 X ( xp( jπt 0 7. traslazion in rqunza x( t xp( jπ 0t X ( 0. drivazion dx( t jπ X ( 9. convoluzion ( t * x ( t X( X ( x ( t * x ( t a a dt x x( τ x ( t τ dτ t x t X X 0. moltiplicazion x ( ( ( (. Parsval x( t dt X ( d Trasormat notvoli A rct A tri δ ( t xp ( x ( πx A jϕ jϕ ( π 0t + ϕ ( δ ( 0 + δ ( + 0. ( πt xp( π Acos AT sin c( T ; AT sin c ( T ; sinc sn πx - -

8 Soluzion : 0 H ( tri δ ( tri tri [ ] δ ( H ( tri + tri [ H ( ] π H( as[h(] π / ota: graici non in scala (Hz -π [Hz] 3. ( t H (500 sin(π 500t + [ H (500] 3 H (000 cos(π 000t + [ H (000] 0 (3/0 cos(π000t + π 0 (3/0 cos(π 000t 4. X ( rct Y ( H (. X ( 0 Quindi (t0 H (0 5. μ H ( 0 0 μ w S ( S w ( H ( tri tri 00 P + σ P μ S ( d h(t non nulla pr t<0, il sistma non causal Pr il torma di Parsval E h h ( t dt H ( d Soluzion :. 500 X ( rct n500 X ( X ( -n 500rct ; rttangoli larghi 00 Hz, alti 500, cntrati in n500 c c c n X c ( (Hz 3. Vin ricostruito il rttangolo in banda bas, cio X r ( rct

9 x r ( t 00sinc(00t 4. x(t non è ral poiché il suo spttro non ha simmtria complssa coniugata. Il sgnal ricostruito è ral Soluzion 3:. Ps db 0dB Ps 00 μ S + σ S σ S 0 Considro com intrvallo di variazion dl sgnal [-3σ S ; +3σ S ], cio [-30; 30] 60 Δ 60 Δ P 60 SQRdB 0 0log0 P 0 0log SQR db > 50 > Δ R b c 00 [bit/s] 4. umro di campioni acquisiti in un ora 0000 [campioni/s] x 00[s] [Mcampioni]. Soluzion 4: Pr calcolar la convoluzion circolar occorr calcolar la convoluzion linar poi priodicizzarla con priodo pari al numro di campioni (in qusto caso 4. x[n]{0,,0,0} è un impulso (discrto nlla posizion n. Quindi la convoluzion linar da com risultato h[n-]{0,,0,0,} Occorr sommar i campioni ch suprano la quarta posizion (n3 ai primi campioni. Quindi [n]{,,0,0} Laboratorio La trasormata di Fourir di un sgnal priodico impulsiva. La distanza tra gli impulsi pari all invrso dl priodo, ch quindi puo ssr acilmnt valutato

10 Fondamnti di sgnali sistmi - Pro. Brnasconi Sd di Como Esrcizio (rcupro prova in itinr Sia dato il sgnal w ( t 3 rct. 0. Disgnar w(t.. Disgnar il sgnal ( t w( t 3tri( t + 0 g. 3. Dir s g(t è un sgnal di potnza /o di nrgia. Giustiicar la risposta. Esrcizio (rcupro prova in itinr Sia dato il sistma LTI in igura, costituito dal paralllo di du sottosistmi con risposta all impulso h (t 0000 sinc (500 t h (t 600 sinc(00 t. cos(π 000 t x(t h (t h (t (t. Scrivr l sprssion dlla risposta in rqunza H( dl sistma complssivo in unzion dll rispost in rqunza H ( d H ( di du sottosistmi.. Disgnar modulo as di H(. 3. Scrivr il sgnal (t in uscita dal sistma quando x(t 0 + cos(π 950 t + sn(π 700 t. Calcolar la potnza P dl sgnal in uscita. 4. Scrivr l uscita (t dl sistma quando l ingrsso è x(tδ(t Calcolar la potnza la varianza dl procsso in uscita quando x(t è un rumor bianco con valor mdio nullo dnsità spttral di potnza S x (/0000. Scrivr la unzion di autocorrlazion di x(t. Esrcizio 3 (rcupro prova in itinr prova in itinr Un canal dati vin gstito in modalità TDMA (accsso multiplo a division di tmpo pr la trasmission contmporana di 00 comunicazioni tlonich digitali. Ogni sgnal tlonico analogico ha una banda di 4KHz, dnsità di probabilità dll ampizz gaussiana con valor mdio nullo dviazion standard σ.. Scglir una rqunza di campionamnto c pr la discrtizzazion dl sgnal tlonico.. Ogni sgnal tlonico vin quantizzato in modo uniorm su 04 livlli. Calcolar il SQR in db. 3. Calcolar il bit rat in uscita dal convrtitor analogico/binario dl singolo sgnal tlonico. 4 Calcolar il bit rat sul canal ad accsso multiplo. Esrcizio 4 (solo prova in itinr Un procsso bianco w(t con dnsità spttral di potnza S w (/000 passa attravrso un iltro LTI con risposta in rqunza H ( rct + rct 3rct Calcolar valor mdio dl procsso (t in uscita.. Disgnar dnsità spttral di potnza dl procsso (t in uscita. 3. Calcolar potnza, unzion di autocorrlazion varianza dl procsso (t in uscita. Esrcizio 5 (rcupro prova in itinr prova in itinr. Disgnar la risposta all impulso dl iltro adattato all ondina g(t in igura g(t 3 5 t. Ch accorgimnti si possono prndr s il iltro adattato non è causal? - -

11 Fondamnti di sgnali sistmi - Pro. Brnasconi Sd di Como Formula di Eulro: + j +, j Formul di Wrnr: cos β sin β cos β [ cos( α β + cos( α + β ] [ cos( α β cos( α + β ] [ sin( α β + sin( α + β ] Proprità trasormata di Fourir:. linarità a x( t + b ( t a X ( + b Y (. simmtria x ( t X (, s x( t R x( t X ( 3. valori nll origin X ( 0 x( t dt, x( 0 X ( d, 4. dualità X ( t x( 5. scalatura x( at X 6. traslazion ni tmpi x( t t0 X ( xp( jπt 0 7. traslazion in rqunza x( t xp( jπ 0t X ( 0. drivazion dx( t jπ X ( 9. convoluzion ( t * x ( t X( X ( x ( t * x ( t dt a a x x( τ x 0. moltiplicazion x ( t x ( t X( X (. Parsval x( t dt X ( Trasormat notvoli A rct A tri δ ( t xp ( x ( πx A jϕ jϕ ( π 0t + ϕ ( δ ( 0 + δ ( + 0. ( πt xp( π Acos Filtraggio di procssi AT sin c( T ; AT sin c ( T ; [x(t ingrsso, (t uscita, h(t risposta iltro] sinc S ( S x ( H ( ; µ µ x H (0 sn πx d ( t τ dτ - -

12 Soluzion :. w ( t 3rct 3rct ( t Rttangolo di larghzza 0, cntrato in 0, altzza g ( t 3 rct ( t 0 3tri[ - (t -0] 3 3. Sgnal di nrgia (durata inita con valori initi. 0 t [s] Soluzion :. h (t 0000 sinc (500 t h (t 600 sinc(00 t. cos(π 000 t h(th (t+h (t H( H ( + H ( H H ( ( 0000 tri 0tri rct H ( 4rct rct 4rct rct 0tri H ( 4 rct + rct 0tri rct 00 π pr 500 < < 500 H ( ; il trmin π è dovuto al sgno mno 0 altrov H( 0 Fas[H(] π [Hz] 500 [Hz] ota: disgni non in scala. 3. Sistma ral: sgnali sinusoidali vngono modiicati in modulo as. (th(0 0 + H(950 cos[π 950 t+ H(950] + H(700 sn[π 700 t+ H(700] cos[π 950 t] P / - 3 -

13 4. (th (t-3+h (t sinc [500 (t 3]+ 600 sinc[00 (t 3]. cos[π 000 (t 3] 5. S ( S x ( H ( 4 rct + rct 0tri P S ( d ; σ 4 3 P µ ; R ( τ δ ( τ 0000 Soluzion 3:. c>b000hz. Pongo c9000hz.. 04 livlli corrispond ad una codiica con 0 bit. L ampizza dl sgnal varia tra circa 3σ a +3σ, cioè da -6 a +6. P σ 4 ; s s 6 P ; q 04 Ps SQR Pq ; SQR 0log Pq db 3. R b 9000 [campioni/s] 0[bit/campion] 90000[bit/s] 4 R 00[utnti] 90000[bit/s/utnt] 9[ Mb/s] b, TDMA Soluzion 4 H( H ( rct + rct 3rct µ w 0; µ H ( 0 µ w S ( Sw( H( rct + rct + rct S ( 9/ [Hz] 4/000 / [Hz] 3. P S ( d 5. 4 ; R ( τ.6sinc(600τ +.sinc(600τ + sinc(400τ ; σ P µ 5. 4 Soluzion 5. Il iltro adattato ha risposta all impuslo pari a g(-t g(-t t. g(-t è anticausal. Si può ritardar g(-t pr rndrla causal lggr l uscita dl iltro adattato dopo un ritardo quivalnt a qullo apllicata a g(-t

14 prova - Fondamnti di sgnali sistmi luglio Brnasconi Sd di Como Cognom: om: Matricola: Compilar la tablla coi dati anagraici d il numro di matricola. Esrcizio Sia dato il sistma LTI con risposta all impulso h(t sinc [00 (t 5] + sinc[00 (t 5]. Scrivr l sprssion dlla risposta in rqunza H( dl sistma.. Disgnar modulo as di H(. 3. Scrivr il sgnal (t in uscita dal sistma quando x(t sin(π 50 t 3 cos(π 00 t. 4. Scrivr l uscita (t dl sistma quando l ingrsso è x(t5000 sinc(5000 t. 5. Scrivr il valor dll uscita (t pr t0 quando l ingrsso è x(tδ(t Dir s sist un intrvallo di rqunz nl qual il sistma non è distorcnt. 7. Calcolar h ( t dt. Esrcizio sin(000πt La orma d onda x( t vin campionata con rqunza c πt. E possibil ricostruir sattamnt la orma d onda dai campioni? (giustiicar la risposta 3. E possibil ricostruir sattamnt la orma d onda ( t x( t + x( t 0 dai campioni? (giustiicar la risposta 3 3. (Facoltativo Calcolar la trasormata di ( t x( t + x( t 0. Esrcizio 3 Un sgnal s(t con valor mdio μ S 0, dviazion standard σ S 0, valor minimo s min 4, valor massimo s max 0, spttro mostrato in igura, dv ssr acquisito da un sistma di rgistrazion digital. S( [KHz]. Scglir una rqunza di campionamnto c in modo da non introdurr quivocazion.. Scrivr la risposta all impulso dl iltro di ricostruzion idal (con c dl punto. 3. Calcolar il numro di livlli M di quantizzazion in modo ch il rapporto tra la potnza dl sgnal qulla dl rumor di quantizzazion (SQR sia maggior di 53 db (quantizzator uniorm. 4. Calcolar il massimo valor dll rror di quantizzazion. 5. Calcolar il bit rat R b [bit/s] dl sgnal PCM in uscita al campionator/quantizzator. 6. Calcolar il numro di bit acquisiti in un ora. Esrcizio 4 Calcolar i 4 campioni dlla squnza [n] ottnuta dalla convoluzion circolar su 4 campioni di x[n]{0,0,,0} h[n]{,,0,0} con n0,,, 3 Laboratorio Dscrivr una procdura pr accordar una chitarra, avndo a disposizion la rgistrazion di una corda suonata su una nota (pr smpio 5 corda a vuoto quivalnt alla nota LA. - -

15 prova - Fondamnti di sgnali sistmi luglio Brnasconi Sd di Como Formula di Eulro: + j +, j Formul di Wrnr: cos β sin β cos β [ cos( α β + cos( α + β ] [ cos( α β cos( α + β ] [ sin( α β + sin( α + β ] Proprità trasormata di Fourir:. linarità a x( t + b ( t a X ( + b Y (. simmtria x ( t X (, s x( t R x( t X ( 3. valori nll origin X ( 0 x( t dt, x( 0 X ( d, 4. dualità X ( t x( 5. scalatura x( at X 6. traslazion ni tmpi x( t t0 X ( xp( jπt 0 7. traslazion in rqunza x( t xp( jπ 0t X ( 0. drivazion dx( t jπ X ( 9. convoluzion ( t * x ( t X( X ( x ( t * x ( t a a dt x x( τ x ( t τ dτ t x t X X 0. moltiplicazion x ( ( ( (. Parsval x( t dt X ( d Trasormat notvoli A rct A tri δ ( t xp ( x ( πx A jϕ jϕ ( π 0t + ϕ ( δ ( 0 + δ ( + 0. ( πt xp( π Acos AT sin c( T ; AT sin c ( T ; sinc sn πx - -

16 Soluzion :.. H ( 00 tri xp( jπ rct xp( jπ 5 00 xp( 00 H ( tri + rct [ H ( ] π /00 H( as[h(] π jπ 5 tri + rct (Hz -π /0 /0 [Hz] 3. ota: graici non in scala ( t H (50 sin(π 50t + [ H (50] 3 H (00 cos(π 00t + [ H (00] (3 00 sin(π 50t 500π 0 ( 00 (3 00 sin(π 50t 500π ( X ( rct 5000 Y ( H (. X ( H ( Quindi (th(t sinc [00 (t 5] + sinc[00 (t 5] 5. (th(t 0 sinc [00 (t 5] + sinc[00 (t 5] (0 sinc [00 (0 5] + sinc[00 (0 5] sinc [-500] + sinc[-000]0 H (0 6. on sist un intrvallo di rqunz nl qual il modulo di H( sia costant, quindi il sistma è distorcnt in ampizza su tutto lo spttro. La as è invc linar passant pr l origin, quindi il sistma non è distorcnt in as. 7. Pr il torma dl valor nll origin h ( t dt H (0 / 00. Soluzion : sin(000πt x ( t sinc(000t 000πt X ( rct Frqunza massima dl sgnal max 000Hz c > max, quindi è possibil ricostruir sattamnt la orma d onda dai campioni. 3. x ( t 0 ha la stssa banda di x(t, il trmin di ritardo inluisc solo sulla as. 3 Il sgnal ( t x( t + x( t 0 ha quindi una banda ch al massimo coincid con qulla di x(t. Quindi è possibil ricostruir sattamnt la orma d onda (t dai campioni

17 H( Soluzion 3: rct + rct xp xp xp xp -3 (-jπ (-jπ 0 / rct xp( jπ 0 / + rct xp( -jπ 0 / (-jπ 0 / rct cos( jπ 0 / (-jπ 0 / rct cos( jπ 0 / c > max Sclgo c 000Hz. H ( rct c c h( t sinc( c t sinc(000t 3. Ps μ S + σ S00 Δ 4 P PS 00 SQRdB 0log0 0log > 53 P 4 > ( / ; ; M 56 Δ 4 4. Quantizzator uniorm pr arrotondamnto, rror massimo val R b c 000 [bit/s] 6. umro di bit acquisiti in un ora 000 [bit/s] x 3600[s] [bit]. Soluzion 4: Pr calcolar la convoluzion circolar occorr calcolar la convoluzion linar poi priodicizzarla con priodo pari al numro di campioni (in qusto caso 4. x[n]{0,0,,0} è un impulso (discrto nlla posizion n. Quindi la convoluzion linar da com risultato h[n-]{0,0,,,0} Occorr sommar i campioni ch suprano la quarta posizion (n3 ai primi campioni. Quindi [n]{0,0,,} Laboratorio Vdr l dispns di laboratorio dl corso - 4 -

18 3 prova - Fondamnti di sgnali sistmi sttmbr Brnasconi Sd di Como Cognom: om: Matricola: ota: giustiicar l rispost. Rispost non giustiicat vngono considrat rrat.. Esrcizio Si considri il sistma linar tmpo invariant con risposta all impulso h ( t 500sinc 500( t 0 [ ] x(t h(t (t. Calcolar la risposta in rqunza H(. Rapprsntar graicamnt modulo as di H(. 3. Calcolar il sgnal in uscita (t quando l ingrsso x( t 3 + sin(π 50t + δ ( t 0 4. Calcolar la potnza dl sgnal in uscita quando l ingrsso (solo un procsso x(t con unzion di 0 autocorrlazion R x ( τ 0 δ ( τ. 5. Scrivr s puo sistr un sgnal x(t in ingrsso pr il qual l uscita sia (t500 sinc(500t. 6. Il sgnal (t in uscita dal sistma dv ssr campionato. Dtrminar una rqunza di campionamnto ch non introduca quivocazion. Esrcizio Si considri il sgnal s( t cos(π t rct( t. Disgnar s(t. Dir s s(t un sgnal priodico. 3. Disgnar il sgnal s ( t cos[ ( t ] rct( t Esrcizio 3 π. Una tlcamra acquisisc in squnza otogrammi in bianco nro. Ogni otogramma è digitalizzato su 04*76 pixl 5 livlli di grigio. La tlcamra acquisisc 50 otogrammi al scondo.. Calcolar il bit rat R b [bit/s] dl sgnal binario in uscita dalla tlcamra.. Calcolar il rapporto tra il sgnal d il rumor di quantizzazion (SQR nlla digitalizzazion dll immagini, ipotizzando pr il sgnal una dnsità di probabilità dll ampizz uniorm tra 5 d Calcolar la larghzza dll intrvallo di quantizzazion. Esrcizio 4 Calcolar il primo campion dlla DFT dlla squnza x[n] x[n]{-,,3,-5,0,} n0,,, 5 [suggrimnto: X xn xp( jπ n / ] n 0 Laboratorio Dscrivr una procdura pr sinttizzar il suono dll not di una chitarra, partndo dalla rgistrazion di una corda suonata su una nota (pr smpio 5 corda a vuoto quivalnt alla nota LA. - -

19 3 prova - Fondamnti di sgnali sistmi sttmbr Brnasconi Sd di Como Formula di Eulro: + j +, j Formul di Wrnr: cos β sin β cos β [ cos( α β + cos( α + β ] [ cos( α β cos( α + β ] [ sin( α β + sin( α + β ] Proprità trasormata di Fourir:. linarità a x( t + b ( t a X ( + b Y (. simmtria x ( t X (, s x( t R x( t X ( 3. valori nll origin X ( 0 x( t dt, x( 0 X ( d, 4. dualità X ( t x( 5. scalatura x( at X 6. traslazion ni tmpi x( t t0 X ( xp( jπt 0 7. traslazion in rqunza x( t xp( jπ 0t X ( 0. drivazion dx( t jπ X ( 9. convoluzion ( t * x ( t X( X ( x ( t * x ( t a a dt x x( τ x ( t τ dτ t x t X X 0. moltiplicazion x ( ( ( (. Parsval x( t dt X ( d Trasormat notvoli A rct A tri δ ( t xp ( x ( πx A jϕ jϕ ( π 0t + ϕ ( δ ( 0 + δ ( + 0. ( πt xp( π Acos AT sin c( T ; AT sin c ( T ; sinc sn πx - -

20 Soluzion :. H ( 3 tri xp( jπ (disgni non in scala H ( 3 tri 500 H( 3 [ H ( ] π 0 as[h(] π π 3. Uso la sovrapposizion dgli tti x ( t 3 ( t 3 H (0 9 3 x ( t sin(π 50t ( t H (50 sin(π 50t + ( H (50 sin(π 50t + 50π x ( t δ ( t 0 ( t h( t [ 500( t.0 ] t + 500sinc [ 500(.0 ] 3( t 500sinc 3 ( t ( t + ( t + 3( t 9 + sin(π 50 t 0 4. R ( τ 0 δ ( τ. x S x S ( 0 0 ; procsso bianco (S x costant 0 ( Sx( H ( 0 3tri S ( 9x P -500 S ( d Y ( X ( H ( Y ( rct 500 Dv ssr X ( rct H ( 500 H( non prsnta zri nlla banda di intrss (da -50Hz a 50Hz, possibil costruir X(/H( quindi un sgnal x(t [antitrasormata di X(] ch dia in uscita il sgnal dsidrato. 6. Indipndntmnt dal sgnal in ingrsso, il sgnal in uscita avra una rqunza massima di 500 Hz. La rqunza di campionamnto dv ssr quindi maggior di 000Hz

21 Soluzion :. Moltiplicar pr rct(t corrispond a slzionar la unzion cosno da -/6 s a /6 s tmpo [ms]. s(t non priodico poich non sist un valor T pr il qual s(t-ts(t 3. E ancora un rct cntrato in t0, di larghzza / s, ch moltiplica un cosno ritardato. Ma il ritardo pari ad un numro intro di priodi, quindi il disgno ugual a qullo dl punto. Soluzion 3:. 5 livlli di grigio corrispondono a 9 bit pr pixl R b 50 [oto/sc] [pixl/oto]. 9 [bit/pixl] 353'94'400 [bit/s]. Sgnal con dnsità di prob. dll ampizz uniorm: SQR db 6 54 db 0 3. Δ Soluzion 4: n 0 X x xp( jπ n / n Pr 0 (primo campion dlla DFT si ha X 0 x n n 0 Laboratorio Si vdano dispns laboratorio

22 prova - Fondamnti di sgnali sistmi 4 bbraio Brnasconi Sd di Como Cognom: om: Matricola: Compilar la tablla coi dati anagraici d il numro di matricola. Esrcizio Sia dato il sistma LTI con risposta all impulso h ( t 000sinc(000t rct(500t. Scrivr l sprssion dlla risposta in rqunza H( dl sistma.. Disgnar modulo as di H(. 3. Scrivr il sgnal (t in uscita dal sistma pr x( t 3 + sin(π 00t + 5cos(π 000t. 4. Scrivr l uscita (5 dl sistma quando l ingrsso è x( t δ ( t 0 5. Dir s il sistma è distorcnt in as /o in ampizza. Esrcizio Sia dato il sistma LTI con risposta in rqunza rapprsntata in igura. H( L ingrsso è un procsso x(t con dnsità spttral di potnza S x ( 0 -. L uscita (t (ipotizzar dnsità di probabilità dll ampizz gaussiana dv ssr convrtito in ormato PCM tramit campionamnto quantizzazion.. Calcolar valor mdio, varianza potnza dll uscita (t (Hz. Calcolar il numro di bit pr la quantizzazion di (t in modo da avr un SQR maggior di 50 db (quantizzator uniorm pr arrotondamnto. 3. Calcolar la larghzza dll intrvallo di quantizzazion. 4. Scglir una rqunza di campionamnto c pr (t in modo da non avr rror di quivocazion 5. Calcolar il bit rat R b dl sgnal PCM. Esrcizio 3 Sia data la squnza di simboli (ipotsi di sorgnt snza mmoria A B A B C B C B D B D B B A B A. Calcolar il numro mdio di bit di inormazion dlla squnza considrando com simboli l lttr (4 simboli: A, B, C, D.. Calcolar il numro mdio di bit di inormazion dlla squnza considrando com simboli l coppi di lttr, partndo dalla prima (4 simboli: AB, CB, DB, BA. 3. Pr il punto calcolar il numro mdio di bit pr simbolo ottnibil con una codiica di Human. ota: ntropia dlla sorgnt S, simboli: H S p ilog p( ( i i Laboratorio Dscrivr una procdura (lista di azioni pr vriicar s du strumnti musicali sono accordati, utilizzando Matlab (non è ncssario arrivar ai singoli comandi. - -

23 prova - Fondamnti di sgnali sistmi 4 bbraio Brnasconi Sd di Como Formula di Eulro: + j +, j Formul di Wrnr: cos β sin β cos β [ cos( α β + cos( α + β ] [ cos( α β cos( α + β ] [ sin( α β + sin( α + β ] Proprità trasormata di Fourir:. linarità a x( t + b ( t a X ( + b Y (. simmtria x ( t X (, s x( t R x( t X ( 3. valori nll origin X ( 0 x( t dt, x( 0 X ( d, 4. dualità X ( t x( 5. scalatura x( at X 6. traslazion ni tmpi x( t t0 X ( xp( jπt 0 7. traslazion in rqunza x( t xp( jπ 0t X ( 0. drivazion dx( t jπ X ( 9. convoluzion ( t * x ( t X( X ( x ( t * x ( t a a dt x x( τ x ( t τ dτ t x t X X 0. moltiplicazion x ( ( ( (. Parsval x( t dt X ( d Trasormat notvoli A rct A tri δ ( t xp ( x ( πx A jϕ jϕ ( π 0t + ϕ ( δ ( 0 + δ ( + 0. ( πt xp( π Acos AT sin c( T ; AT sin c ( T ; sinc sn πx - -

24 Soluzion :. H ( rct + sinc H ( rct + sinc rttangolo di larghzza 000 d altzza sommato ad un sinc con gli zri in pr [ H ( ] π pr sinc( 0 sinc( < 0 3. Sistma ral, ingrsso sinusoidal: ( t 3H (0 + H (00 sin(π 00t + [ H (00] + 5 H (000 cos(π 000t + [ H (000] sin(π 00t + π sin(π 00t 4. x( t δ ( t 0 ( t h( t sinc[000( t 0] rct[500( t 0] Quindi ( sinc[-5000] rct[-500] 0 5. Sistma distorcnt in ampizza (modulo non costant d in as (as non linar. Soluzion :. μ H ( 0 0, poichè il valor mdio di x(t è nullo (altrimnti S x ( avrbb un impulso in 0 μ x S ( S P x ( H ( S ( d σ P μ rct + 3rct ( P σ σ 0 Considro com intrvallo di variazion dl sgnal [-3σ ; +3σ ] - 3 -

25 6σ 36σ 3σ Δ σ SQR 3 σ Δ Pq 3 SQR db 6 4. > 50 > Δ c> 00 Hz, pr smpio c500hz 5. R b c 5000 [bit/s] Soluzion 3:. 4 simboli divrsi (A,B,C,D, sgnal di 6 lttr Prob. dl simbolo A 4/6/4 Prob. dl simbolo B /6/ Prob. dl simbolo C /6/ Prob. dl simbolo D /6/ H S log (4 + log( + log( + log( bit. 4 simboli divrsi (AB,CB,DB,BA, sgnal di coppi di lttr Prob. dl simbolo AB //4 Prob. dl simbolo CB //4 Prob. dl simbolo DB //4 Prob. dl simbolo BA //4 H S 4 log (4 bit 4 3. B: 0 A: 0 C: 0 D: B, A,4 C, D, umro total bit sgnal codiicato: (B + 4 (A + 3 (C + 3 (D bit r. mdio bit pr simbolo /

26 prova A.A Fondamnti di sgnali sistmi 6 marzo 007 Brnasconi Cognom: om: Matricola: Compilar la tablla coi dati anagraici d il numro di matricola. Esrcizio Sia dato il sistma LTI con risposta in rqunza h( t 000 sinc(000t 50 rct(50t. Scrivr l sprssion dlla risposta in rqunza H( dl sistma.. Disgnar modulo as di H(. 3. Scrivr il sgnal (t in uscita dal sistma pr x( t 3δ ( t + sin(π 50t + 0 calcolar (. 4. Dir s il sistma è causal. 5. Calcolar l uscita dl sistma quando l ingrsso è un sgnal priodico con priodo T 0 ms. 6. Calcolar h ( t dt Esrcizio Sia dato il sistma LTI con risposta in rqunza H( rapprsntata in H( igura. L ingrsso è un procsso x(t con unzion di autocorrlazion R x ( τ sinc(000t + 3cos(π 400t (Hz. Calcolar valor mdio, varianza potnza dl procsso x(t. -. Calcolar valor mdio, varianza potnza dll uscita (t. 3. Calcolar il numro di bit pr la quantizzazion di (t in modo da avr un SQR maggior di 40 db (ipotizzar dnsità dll ampizz di (t uniorm, quantizzator uniorm pr arrotondamnto. Esrcizio 3 pr un trno di impulsi di ara unitaria distanza tra gli impulsi T/500 s.. Scrivr l sprssion di X( di X c (, trasormat di Fourir rispttivamnt di x(t di x c (t.. Rapprsntar graicamnt X c ( tra Hz. 3. Scrivr l sprssion dlla risposta in rqunza H( dl iltro di ricostruzion ch prmtt di riottnr x(t da x c (t. Si considri il sgnal x c (t ottnuto moltiplicando il sgnal x( t 3sinc (000t + 4cos( π 500t Laboratorio La prssion di un tasto di un tlono a toni gnra la somma di du cosinusoidi a divrsa rqunza. Dscrivr una procdura Matlab (lista di azioni, non è ncssario arrivar ai singoli comandi pr idntiicar il tasto prmuto utilizzando la rgistrazion dl sgnal gnrato discutr com la durata dl sgnal rgistrato inluisc sulla corrtta idntiicazion. - -

27 Formula di Eulro: + j +, j Formul di Wrnr: cos β sin β cos β [ cos( α β + cos( α + β ] [ cos( α β cos( α + β ] [ sin( α β + sin( α + β ] Proprità trasormata di Fourir:. linarità a x( t + b ( t a X ( + b Y (. simmtria x ( t X (, s x( t R x( t X ( 3. valori nll origin X ( 0 x( t dt, x( 0 X ( d, 4. dualità X ( t x( 5. scalatura x( at X 6. traslazion ni tmpi x( t t0 X ( xp( jπt 0 7. traslazion in rqunza x( t xp( jπ 0t X ( 0. drivazion dx( t jπ X ( 9. convoluzion ( t * x ( t X( X ( x ( t * x ( t a a dt x x( τ x ( t τ dτ t x t X X 0. moltiplicazion x ( ( ( (. Parsval x( t dt X ( d Trasormat notvoli A rct A tri δ ( t xp ( x ( πx A jϕ jϕ ( π 0t + ϕ ( δ ( 0 + δ ( + 0. ( πt xp( π Acos AT sin c( T ; AT sin c ( T ; sinc sn πx - -

28 Soluzion :. H ( rct sinc H ( rct sinc Sinc con gli zri in.50 Hz ( intro Curva vrd: -sinc(/50; curva blu rct(/000 Attnzion: il modulo dlla somma non è ugual alla somma di moduli, prima bisogna sommar poi calcolar il modulo. Modulo di H( H( ral, quindi 0 s H( 0 [ H( ] π s H( < 0 Fas di H( - 3 -

29 3. ( t 3h( t + H(50 sin(π 50t + [ H(50] + 0 H(0 3h( t + sin(π 50t + 0 ( 3h(0 + sin(π sinc(0 750 rct( h ( t 0 pr t < 0, quindi il sistma non è causal. 5. La trasormata di un sgnal priodico è impulsiva, con gli impulsi mssi a multipli intri di /T 0, cioè in.000 Hz (con intro. Ma H( è nulla in.000 Hz. L uscita quindi è nulla. 6. Pr il torma dl valor nll origin h ( t dt H (0 0. Soluzion :. 3 3 Rx ( τ sinc(000t + 3cos(π 400t S x ( rct + ( ( δ δ Il valor mdio di x(t è nullo (altrimnti S x ( avrbb un impulso in 0 P x R x ( σ x Px μ x 5 μ H( 0 0 S μ x ( S x ( H ( (vdr disgno, ass vrtical non in scala H( 3/ 4 /500 S x ( 3/ (Hz P S ( d ( σ P μ.3 3. SQR db 6 > 40 7 Soluzion 3:. x c (t è il sgnal campionato idal di x(t, con rqunza di campionamnto c /T500 Hz n xc( t x( t. δ ( t nt X c( X ( δ ( T T n n 3 X ( tri + δ ( δ ( X c( tri δ ( 500 δ ( 500 δ ( T n n T 3 500n X c( 500 tri + δ ( n + δ ( n n - 4 -

30 . 7.5 X c ( (Hz 3. Risposta in rqunza dl iltro di ricostruzion idal: rttangolo di altzza T (pr compnsar /T dl campionamnto larghzza /T pr isolar la rplica spttral in banda bas. H ( 500 rct 500 X c ( H( (Hz - 5 -

31 A.A. 006/07 3 prova Fondamnti di sgnali sistmi 9 luglio 007 Brnasconi Cognom: om: Matricola: Compilar la tablla coi dati anagraici d il numro di matricola. Esrcizio Sia dato un sistma LTI con risposta in rqunza H ( tri xp( jπ 0 3. Disgnar modulo as di H(.. Calcolar la risposta all impulso h(t. Il sgnal priodico x(t è ottnuto riptndo il sgnal w(ttri(0t ogni 0.5 scondi. 3. Calcolar il priodo di x(t. 4. Calcolar X(, trasormata di Fourir di x(t. 5. Calcolar X( pr 0 Hz. 6. Scrivr il sgnal (t in uscita dal sistma quando l ingrsso è x(t. 7. Scrivr l uscita (0 dl sistma quando l ingrsso è x( t δ ( t + 0. L ingrsso al sistma LTI è un procsso x(t con dnsità spttral di potnza S x ( 0 -. Calcolar valor mdio, varianza potnza dll uscita (t. Esrcizio Un sgnal analogico con banda comprsa tra 0Hz 0000Hz vin acquisito da un sistma di rgistrazion digital. La rqunza di campionamnto val c d ogni campion vin quantizzato su 4 livlli.. Dopo avr nunciato il torma dl campionamnto, scglir una rqunza di campionamnto c opportuna.. Calcolar il bit rat Rb [bit/s] dl sgnal PCM in uscita al campionator/quantizzator. 3. Calcolar il rapporto sgnal rumor di quantizzazion (SQR nlla quantizzazion dl sgnal, ipotizzando pr il sgnal una dnsità di probabilità dll ampizz gaussiana con valor mdio nullo varianza unitaria. Esrcizio 3 Sia data la squnza di simboli (ipotsi di sorgnt snza mmoria A A B B C C D D A A B B C C D D. Calcolar il numro mdio di bit di inormazion dlla squnza considrando com simboli l lttr (4 simboli: A, B, C, D.. Considrando ancora l singol lttr com simboli, calcolar il numro mdio minimo di bit pr simbolo raggiungibil con una codiica ntropica (trascurar la codiica dl vocabolario. 3. Discutr ch cosa cambia s si considrano com simboli l coppi di lttr AA, BB, CC, DD. ota: ntropia dlla sorgnt S, simboli: H S p ilog p( ( i i Laboratorio Dscrivr una procdura (lista di azioni, non è ncssario arrivar ai singoli comandi Matlab pr calcolar l uscita di un sistma LTI (noti il sgnal di ingrsso la risposta all impulso dl sistma, laborando gli spttri di sgnali. - -

32 A.A. 006/07 3 prova Fondamnti di sgnali sistmi 9 luglio 007 Brnasconi Formula di Eulro: + j +, j Formul di Wrnr: cos β sin β cos β [ cos( α β + cos( α + β ] [ cos( α β cos( α + β ] [ sin( α β + sin( α + β ] Proprità trasormata di Fourir:. linarità a x( t + b ( t a X ( + b Y (. simmtria x ( t X (, s x( t R x( t X ( 3. valori nll origin X ( 0 x( t dt, x( 0 X ( d, 4. dualità X ( t x( 5. scalatura x( at X 6. traslazion ni tmpi x( t t0 X ( xp( jπt 0 7. traslazion in rqunza x( t xp( jπ 0t X ( 0. drivazion dx( t jπ X ( 9. convoluzion ( t * x ( t X( X ( x ( t * x ( t a a dt x x( τ x ( t τ dτ t x t X X 0. moltiplicazion x ( ( ( (. Parsval x( t dt X ( d Trasormat notvoli A rct A tri δ ( t xp ( x ( πx A jϕ jϕ ( π 0t + ϕ ( δ ( 0 + δ ( + 0. ( πt xp( π Acos AT sin c( T ; AT sin c ( T ; sinc sn πx - -

33 Soluzion :. H ( tri xp( jπ 0 3 H ( tri ; triangolo di larghzza 6 d altzza 3 [ H ( ] π 0 ; rtta passant pr l origin Disgni non in scala.. h ( t 3 sinc [3(t -0] 3. Onda triangolar, priodo 0.5 scondi. ( δ t : sgnal priodico visto com la convoluzion di un priodo [w(t] con un trno di impulsi. Calcolo la trasormata di Fourir: ottngo il prodotto dlla trasormata di un priodo con la trasormata dl trno di impulsi (ch ancora un trno di impulsi. 4. ( x t tri 0t X ( sinc δ ( sinc δ ( sinc δ ( X( è impulsiva. Gli impulsi sono posti posti a (con intro d hanno ara 0. sinc (/

34 5. 0 Hz non coincid con nssuna armonica di X(, quindi X(00; 6. Y(X(.H(: passano solo l armonich pr +Hz, -Hz 0 Hz. Y ( tri xp( jπ0 sinc δ ( tri sinc δ ( t + tri sinc cos[ π (t -0] + tri sinc cos[ π (t -0] Pr x( t δ ( t + 0 si ha in uscita ( t h( t sinc (3t Quindi (0 3 sinc (0 3. S ( S ( H ( 0 [ tri( / 3 ] x ( + + tri( 0 sinc (( 0 δ + tri sinc δ ( xp( jπ 0 μ H ( 0 0, poichè il valor mdio di x(t è nullo (altrimnti S x ( avrbb un impulso in 0 P μ x P S ( d σ + μ 0 σ Soluzion : 0. Si considri un sgnal s(t continuo la sua rapprsntazion discrta s(nt, ottnuta campionando il sgnal s(t ogni T scondi. S la banda di s(t limitata (con rq. massima max d c/t> max, è possibil ricostruir sattamnt il sgnal originario x(t dai campioni x(nt c > max 0000 Hz. Prndo pr smpio c 5000 Hz.. Ogni campion vin quantizzato su 4 6 livlli, cioè con 6 bit. Bit rat Rb5000 x [bit/s] 3. P σ σ Considro com intrvallo di variazion dl sgnal [-3σ ; +3σ ] - 4 -

35 σ Δ σ σ σ 6 6 Δ 36 3 P 6 q 3 3 P SQR P q σ 3σ SQR db 0 log( Soluzion 3:. 4 simboli divrsi (A,B,C,D, sgnal di 6 lttr Prob. dl simbolo A 4/6/4 Prob. dl simbolo B 4/6/4 Prob. dl simbolo C 4/6/4 Prob. dl simbolo D 4/6/4 H S log 4 (4 + log (4 + log (4 + log ( bit. Il minimo numro mdio pr simbolo nlla codiica ntropica è pari all ntropia dl sgnal, quindi bit. 3. I simboli sono 4, quiprobabili. on cambia nulla

36 A.A. 006/07 4 prova Fondamnti di sgnali sistmi 7 sttmbr 007 Brnasconi Cognom: om: Matricola: Compilar la tablla coi dati anagraici d il numro di matricola. Esrcizio Sia dato un sistma LTI con risposta in rqunza H ( rct + rct xp( jπ Disgnar modulo as di H(.. Dir s il sistma è ral. 3. Calcolar la risposta all impulso h(t. 4. Scrivr l uscita (t dl sistma quando l ingrsso è x( t cos(000πt + 3sinc(000t δ ( t. 5. Calcolar valor mdio, varianza potnza dll uscita (t quando l ingrsso dl sistma LTI è (solo un procsso x(t con dnsità spttral di potnza ( + 4δ ( 6. Scrivr l uscita (t dl sistma quando l ingrsso è x(txp(jπ 000 t. Calcolar (. S x Esrcizio Il sgnal in uscita al sistma LTI con risposta in rqunza mostrata in igura dv ssr campionato quantizzato. L ampizza dl sgnal varia uniormmnt in un intrvallo cntrato intorno al valor mdio nullo. H( H( π [Hz] π [Hz]. Scglir una rqunza di campionamnto c opportuna.. Ricavar il numro di bit utilizzati nlla quantizzazion di ogni campion, sapndo ch SQR>70 db. 3. Calcolar il bit rat Rb [bit/s] in uscita al convrtitor analogico/binario. Esrcizio 3 Sia data la squnza S riportata sotto (ipotsi di sorgnt snza mmoria. Considrar com simboli l singol lttr (4 simboli: A, B, C, D. A A A A B B C D A A A A B B C D. Calcolar il numro di bit di inormazion di ogni simbolo dlla squnza.. Calcolar il numro mdio minimo di bit pr simbolo raggiungibil con una codiica ntropica (trascurar la codiica dl vocabolario. 3. Ricavar la codiica di Humann dlla squnza. 4. Pr la codiica dl punto prcdnt ricavar il numro mdio di bit pr simbolo. ota: ntropia dlla sorgnt S, simboli: H S p( ilog i p( i inormazion (in bit di un simbolo I i log p( i Laboratorio Dscrivr una procdura (lista di azioni, non è ncssario arrivar ai singoli comandi Matlab pr calcolar l uscita di un sistma LTI (noti il sgnal di ingrsso la risposta all impulso dl sistma, laborando gli spttri di sgnali. - -

37 A.A. 006/07 4 prova Fondamnti di sgnali sistmi 7 sttmbr 007 Brnasconi Formula di Eulro: + j +, j Formul di Wrnr: cos β sin β cos β [ cos( α β + cos( α + β ] [ cos( α β cos( α + β ] [ sin( α β + sin( α + β ] Proprità trasormata di Fourir:. linarità a x( t + b ( t a X ( + b Y (. simmtria x ( t X (, s x( t R x( t X ( 3. valori nll origin X ( 0 x( t dt, x( 0 X ( d, 4. dualità X ( t x( 5. scalatura x( at X 6. traslazion ni tmpi x( t t0 X ( xp( jπt 0 7. traslazion in rqunza x( t xp( jπ 0t X ( 0. drivazion dx( t jπ X ( 9. convoluzion ( t * x ( t X( X ( x ( t * x ( t a a dt x x( τ x ( t τ dτ t x t X X 0. moltiplicazion x ( ( ( (. Parsval x( t dt X ( d Trasormat notvoli A rct A tri δ ( t xp ( x ( πx A jϕ jϕ ( π 0t + ϕ ( δ ( 0 + δ ( + 0. ( πt xp( π Acos AT sin c( T ; AT sin c ( T ; sinc sn πx - -

38 Soluzion : H ( rct + rct xp( jπ H ( rct + rct ; du rttangoli di larghzza 00 d altzza [ H ( ] π 5 ; rtta passant pr l origin Disgni non in scala.. H( ha modulo pari as linar passant pr l origin: il sistma è ral. 3. h( t 400sinc[00( t 5]. cos[π 000( t 5] 4. x( t cos(000πt + 3sinc(000t δ ( t. Sistma linar, posso considrar ogni componnt dll ingrsso sparatamnt sommar poi l uscit corrispondnti. Sistma ral (vdi punto : sgnali sinusoidali a rqunza 0 vngono modiicati in modulo as dat da H( 0. Quando invc l ingrsso è un impulso, l uscita è pari alla risposta all impulso h(t (vntualmnt scalata /o ritardata s l ingrsso è scalato /o ritardato. Il sinc ha com trasormata un rttangolo di larghzza 000 Hz, cntrato in 0 Hz, quindi (considrando il prodotto dlla tras. dl sinc dlla H( non passa. Riman dunqu 5. ( t H ( 000 cos( π 000t + H ( 000 h( t cos[π000( t 5] h( t cos(π000t h( t S ( S ( H ( μ μ x H ( 0 x 0 P S ( d P σ + μ 00 σ ( t H (000xp( jπ 000t xp[ jπ 000( t 5] ( xp[ jπ 3000] Soluzion :. Massima rqunza dl sgnal 500 Hz

39 c > max 5000 Hz. Sclgo pr smpio c 6000 Hz.. Dnsità di prob. dll ampizz uniorm: SQR6>70 >.6 bit 3. R b 6000 [campioni/s] [bit/campion]7000 [bit/s]. Soluzion 3:. 4 simboli divrsi (A,B,C,D, sgnal di 6 lttr Prob. dl simbolo A /6/ I A log ( Prob. dl simbolo B 4/6/4 I B log (4 Prob. dl simbolo C /6/ log ( 3 Prob. dl simbolo D /6/ I C I D log ( 3 bit bit bit bit. Il minimo numro mdio pr simbolo nlla codiica ntropica è pari all ntropia dl sgnal, quindi H S log ( + log(4 + log( + log( bit A B 4 C D Codiica A: 0 B: 0 C: 0 D: 4. ( bit + 4 bit + 3 bit + 3 bit /6.75 bit - 4 -

40 prova A.A Fondamnti di sgnali sistmi 4 bbraio 00 Cognom: om: Matricola: Compilar la tablla coi dati anagraici d il numro di matricola. Esrcizio Sia dato il sistma LTI con risposta all impulso h( t 000sinc(000t 4000 sinc (000t. Scrivr l sprssion dlla risposta in rqunza H( dl sistma.. Disgnar modulo as di H(. 3. Scrivr il sgnal (t in uscita dal sistma quando x( t sin(000π t 3cos(3000πt +. sin(5000πt 4. Scrivr l uscita (t pr t quando l ingrsso è x( t. 500πt 5. Calcolar valor mdio, varianza potnza dll uscita (t quando l ingrsso è (solo un rumor bianco w(t con dnsità spttral di potnza S w ( Dir s il sistma è causal. 7. Calcolar l nrgia di h(t. Esrcizio Il sgnal analogico s(t con spttro rapprsntato in igura, dnsità di probabilità dll ampizz gaussiana, valor mdio nullo potnza 30dB, dv ssr convrtito in ormato PCM tramit campionamnto quantizzazion. S( Scglir una rqunza di campionamnto c ch non produca quivocazion.. Disgnar lo spttro dl sgnal campionato (idal tra -.5 c +.5 c 3. Calcolar il sgnal ricostruito s (t (trascurar pr ora la quantizzazion utilizzando un iltro di ricostruzion con risposta in rqunza H ( rct. c 3 c 4. Calcolar il rapporto tra la potnza dl sgnal qulla dl rumor di quantizzazion, ipotizzando di utilizzar un quantizzator uniorm su 04 livlli. 5. Calcolar la larghzza dll intrvallo di quantizzazion. 6. Calcolar il bit rat R b [bit/s] dl sgnal PCM in uscita al campionator/quantizzator. 7. Calcolar il numro di campioni acquisiti in 0 minuti. Esrcizio 3 E data la trasormata discrta di Fourir (DFT X {-, 0, 3+3j, 0, 3-3j, 0} 0,,, 5. Calcolar il primo campion dlla trasormata invrsa (IDFT dlla squnza X. Calcolar la somma di campioni di x n. 3. Calcolar il valor dlla DFT pr c /. ota: c xn X xp( jπ n / ; n 0,.., X xn xp( jπn / ; 0,.., ; 0 Laboratorio Dscrivr una procdura pr valutar la dnsità di probabilità dll ampizz di un procsso (discrto x n, avndo a disposizion un numro (statisticamnt rilvant di campioni. n 0 [Hz] - -

41 prova A.A Fondamnti di sgnali sistmi 4 bbraio 00 Formula di Eulro: + j +, j Formul di Wrnr: cos β sin β cos β [ cos( α β + cos( α + β ] [ cos( α β cos( α + β ] [ sin( α β + sin( α + β ] Proprità trasormata di Fourir:. linarità a x( t + b ( t a X ( + b Y (. simmtria x ( t X (, s x( t R x( t X ( 3. valori nll origin X ( 0 x( t dt, x( 0 X ( d, 4. dualità X ( t x( 5. scalatura x( at X 6. traslazion ni tmpi x( t t0 X ( xp( jπt 0 7. traslazion in rqunza x( t xp( jπ 0t X ( 0. drivazion dx( t jπ X ( 9. convoluzion ( t * x ( t X( X ( x ( t * x ( t dt a a x x( τ x 0. moltiplicazion x ( t x ( t X( X (. Parsval x( t dt X ( Trasormat notvoli d ( t τ dτ A rct A tri δ ( t xp ( x ( πx A jϕ jϕ ( π 0t + ϕ ( δ ( 0 + δ ( + 0. ( πt xp( π Acos AT sin c( T ; AT sin c ( T ; sinc sn πx DFT IDFT xn X xp( jπ n / ; n 0,.., X xn xp( jπn / ; 0,.., ; 0 n 0 c - -

42 Soluzion : H ( rct tri 4 rct 4 tri H ( 4 rct 4 tri [ H ( ] 0; poiché H( è smpr ral > H( (Hz 3. x( t sin(000π t 3cos(3000πt + sin(π 500t 3cos(π 500t + Sistma ral, ingrsso sinusoidal ( t H (500 sin(π 500t + [ H (500] 3 H (500 cos(π500t + [ H (500] + 4sin(π 500t sin(π 500t sin(5000πt 4. x( t sinc(5000t X ( rct 500πt Y ( H (. X ( H ( 500 H( 4 H (0 /500 X( Quindi ( t h( t [ 000sinc(000t 4000sinc (000t] ( [ 000sinc( sinc (000] 0 (Hz 5. μ H ( 0 0 S μ w 3 ( S w ( H ( 0 H ( 6 H( (Hz 3 3 P S ( d h(t non è nulla pr t<0, il sistma non è causal.. ha la stssa ara di un (triangolo di bas 000 altzza 4 σ P μ 7. Pr il torma di Parsval E h h ( t dt H ( d Soluzion :. c > 00 Hz; pr smpio c 500 Hz

43 . S c ( [Hz] S c ( 500 /500 H ( [Hz] In uscita al iltro rimangono la copia in banda bas du copi cntrat in -500Hz +500Hz s ( t s( t + s( tcos(π500 t 4. P σ 000, cioè 30 db convrtiti in scala linar s P q Δ, con Δ 6σ 04 Ps SQR σ P 6σ ; SQR db 0 log q 6σ Δ R b campioni bit s campion bit s campioni 7. r. campioni acquisiti in 0 minuti s campioni s Soluzion 3: Il primo campion di x n è x 0 X X xn n j j c, con [0,,, 5] d 6 Ricavo quindi 0 0, c, c, c 3, c 5 4, 5 c Il campion corrispondnt a 3, X 3 0, quival alla DFT alla rqunza c/ Laboratorio - 4 -

44 prova A.A Fondamnti di sgnali sistmi bbraio 00 Cognom: om: Matricola: Compilar la tablla coi dati anagraici scrivr nom cognom sui ogli protocollo. Esrcizio Si considri il sistma linar tmpo invariant costituito dalla cascata di du sistmi LTI con risposta all impulso 4 h ( t 0 sinc(00t h ( t rct(50 t. Calcolar la risposta in rqunza (complssiva H(.. Rapprsntar modulo as dlla risposta in rqunza (complssiva H(. 3. Il sistma è distorcnt? Giustiicar la risposta. 4. Calcolar il sgnal (t in uscita quando l ingrsso è x(t3 j 5. Calcolar il sgnal (t in uscita quando l ingrsso è x(t5+cos(π75t 6. Calcolar valor mdio, potnza varianza dl sgnal (t in uscita quando l ingrsso è un procsso x(t con dnsità spttral di potnza S x ( 4δ ( + tri 5 + tri Calcolar il sgnal (t in uscita quando l ingrsso è un sgnal priodico x(t (gnrico con priodo Tms x ( t dt 3. Esrcizio T 0 Sia dato un sgnal continuo s(t di tipo passabasso, con banda B000Hz. Scglir una rqunza di campionamnto pr s(t ch non produca quivocazion.. Calcolar la banda dl iltro ricostruttor idal (congrunt col punto. 3. Calcolar l uscita dl ricostruttor idal pr t5/ quando l ingrsso è δ(t-. Esrcizio 3 Un trasmttitor (ipotsi di sorgnt snza mmoria invia 400 simboli al minuto, codiicati in binario. I simboli possono assumr solo i sgunti valori (con l rlativ probabilità AA Prob/4 BB Prob/ CC Prob/ DD Prob/. Calcolar il numro di bit di inormazion di ogni simbolo dlla squnza.. Calcolar il bit rat R b mdio (in bit/s ipotizzando di utilizzar una codiica ntropica a massima icinza (trascurar la codiica dl vocabolario. ota: Utilizzar l ormul sul rtro dl oglio Laboratorio Un sgnal (discrto è costituito dalla somma di du sinusoidi (a divrsa rqunza. Dscrivr una procdura pr idntiicar rqunza ampizza dll sinusoidi. x(t h (t h(t h (t (t --

45 Formula di Eulro: + j +, j Formul di Wrnr: cos β sin β cos β Proprità trasormata di Fourir: [ cos( α β + cos( α + β ] [ cos( α β cos( α + β ] [ sin( α β + sin( α + β ]. linarità a x( t + b ( t a X ( + b Y (. simmtria x ( t X (, s x( t R x( t X ( 3. valori nll origin X ( 0 x( t dt, x( 0 X ( d, 4. dualità X ( t x( 5. scalatura x( at X 6. traslazion ni tmpi x( t t0 X ( xp( jπt 0 7. traslazion in rqunza x( t xp( jπ 0t X ( 0. drivazion dx( t jπ X ( 9. convoluzion ( t * x ( t X( X ( x ( t * x ( t dt a a x x( τ x 0. moltiplicazion x ( t x ( t X( X (. Parsval x( t dt X ( Trasormat notvoli A rct A tri δ ( t xp ( x ( πx A jϕ jϕ ( π 0t + ϕ ( δ ( 0 + δ ( + 0. ( πt xp( π Acos AT sin c( T ; AT sin c ( T ; sinc sn πx d DFT IDFT xn X xp( jπ n / ; n 0,.., X xn xp( jπn / ; 0,.., ; 0 n 0 ( t τ dτ c CODIFICA DI SORGETE Entropia dlla sorgnt S (snza mmoria, simboli: Inormazion (in bit di un simbolo I i log p( i H S p ilog p( ( i i --

46 Soluzion 4. H ( 0 rct sinc rct sinc E un sinc con gli zri a multipli di 50 Hz instrato da un rttangolo di larghzza 00 Hz. 3. Sistma distorcnt in ampizza ( (H( non costant d in as (non è una rtta passant pr l origin o pr +π o -π. 4. x(t3 j è una costant (complssa. Quindi (t3 j H(0 6 j 5. Calcolar il sgnal (t in uscita quando l ingrsso è x(t5+cos(π75t ( t 5 H (0 + H (75 cos[ π 500t + H (75] 0 + sinc(75/50 cos[ π 500t + π ] cos(π 500t 6. S x ( 4δ ( + tri 5 + tri + 5 4δ ( + tri S x ( 4 H( tri Facndo il prodotto riman solo l impulso nll origin S ( S ( H ( 4δ ( H (0 6δ ( x

47 μ ±4 σ 0 P σ + μ 6 7. Sgnal x(t priodico ha trasormata impulsiva, cioè X ( W ( δ T con Tms W( trasormata di un priodo di x(t. Gli impulsi (armonich sono posti a multipli di /T000Hz. l prodotto Y ( X ( H( rsta solo l impulso nll origin (cioè il trmin pr 0, poiché H( è divrso da zro solo nll intrvallo -00 Hz<<00 Hz. L ara di qusto impulso val [W(0 H(0]/T. Pr il torma dl valor nll origin, T W ( 0 w( t dt [poiché w(t è un priodo di x(t] ( 3 x t dt, dato dl problma. 0 Quindi W (0 3 Y ( H (0 δ ( δ ( 6000δ ( ( t 6000 T 0.00 Soluzion :. Il sgnal s(t ha uno spttro com qullo rapprsntato in igura S ( -000 Pr non avr quivocazion dv ssr Sclgo pr smpio c4400 Hz c 000 > max 000 Hz 4000Hz. Filtro di ricostruzion idal ha risposta in rqunza H ( La banda dl iltro di ricostruzion è quindi pari a 00 Hz. 3. h ( t sinc(4400t Con ingrsso δ(t- l uscita val h ( t sinc[4400( t ] h ( 5/ sinc[4400(5/ ] sinc[00] 0 c rct c rct Soluzion 3:. Inormazion (in bit di un simbolo I i log p( i I AA log log[] 4 / 4 bit I BB log log[] 3 / bit -4-