Costruzioni in zona sismica

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1 Costruzioni in zona sismica Lezione 8 Sistemi a più gradi di liberà: Oscillazioni libere in assenza di smorzamento

2 N equazioni differenziali omogenee accoppiate tramite la matrice delle masse, la matrice delle rigidezze o entrambe N è il numero di gradi di libertà dinamici del sistema È necessario inserire delle condizioni iniziali per attivare il moto

3 Risposta del sistema Il moto di ogni massa non è un armonica semplice La configurazione deformata (u1/u2) varia nel tempo

4 Modi naturali di vibrazione: Rappresentano delle determinate distribuzioni degli spostamenti tale che, se il sistema viene posto in quella configurazione e lasciato libero di vibrare, il suo moto sarà un armonica semplice che conserva la forma della deformata. Entrambi i piani raggiungono lo spostamento massimo allo stesso istante e passano per la posizione di equilibrio allo stesso istante.

5 In queste condizioni è possibile individuare la pulsazione 1,ilperiodoT 1 come nel caso dei sistemi a un grado di libertà.

6 e la pulsazione 2, il periodo T 2 modo di vibrazione. corrispondente all altro

7 Il periodo naturale di vibrazione T n di un sistema a più gradi di libertà è il tempo richiesto per compiere un ciclo di un moto armonico semplice attivato da una configurazione deformata iniziale corrispondente a uno modi di vibrazione del sistema. La corrispondente pulsazione naturale di vibrazione è n la frequenza è f n,dove: e

8 Modi naturali corrispondenti alle due frequenze naturali di vibrazione o La più piccola delle due pulsazioni naturali è indicata con 1, e la più grande come 2 : corrispondono al primo e secondo modo di vibrazione. o Il più grande dei due periodi naturali di vibrazione è indicato con T 1 mentre il più piccolo con T 2

9 Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare Le vibrazioni libere di un sistema non smorzato possono essere descritte matematicamente dalla seguente relazione: La forma della configurazione deformata non varia nel tempo

10 Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare La variazione nel tempo degli spostamenti è descritta da una funzione armonica: Le costanti di integrazione dipendono dalle condizioni iniziali

11 Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare conseguentemente: Incognite del problema

12 Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare Considerando le equazioni del moto: Questa equazione può essere soddisfatta in due modi: q n (t)=0 u(t)=0 assenza di moto (soluzione banale)

13 Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare Oppure che n and n soddisfino la seguente equazione algebrica: Problema agli autovalori per determinare le quantità scalari n2 e n

14 Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare Riscrivendo il problema agli autovalori nella seguente forma: Si ha un set di N equazioni algebriche omogenee per gli N elementi Questo sistema non ammette soluzione banale se:

15 Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare sviluppando il determinante si ottiene un polinomio di ordine N in n2 : EQUAZIONE CARATTERISTICA. Dalla quale si ottengono N radici reali e positive di n2, poiché m and k simmetriche e definite positive.

16 Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare Ilfattocheksiadefinitapositivaderivadalfattoche si considera che le condizioni di vincolo non consentano moti rigidi. Ilfattochemsiadefinitapositivaderivadalfattoche non si hanno masse nulle per I gradi di libertà considerati proprio in seguito all operazione di condensazione statica.

17 Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare Le N radici determinano le N frequenze naturali di vibrazione: autovalori Per ogni frequenza naturale, il corrispondente vettore n può essere derivato a meno di una costante moltiplicativa:

18 Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare Il problema agli autovalori non fornisce l ampiezza di n ma solo la sua forma Ci sono N vettori indipendenti n noti come modi naturali di vibrazione, o forme modali (sono anche noti come autovettori)

19 Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare Un sistema con N GdL possiede N frequenze naturali di vibrazione spesso raggruppate in un vettore dalla più piccola alla più grande, con i corrispondenti periodi e modi naturali di vibrazione Il termine naturale è utilizzato per enfatizzare che essi dipendono solo dalla massa e dalla rigidezza del sistema Il primo modo viene spesso chiamato modo fondamentale

20 Matrici modali e spettrali gli N modi naturali e le N frequenze naturali possono essere assemblate in modo compatto tramite matrici. Matrice modale

21 Matrici modali e spettrali Matrice spettrale

22 Matrici modali e spettrali Una rappresentazione in forma compatta delle equazioni relative a tutti gli autovalori ed autovettori è la seguente:

23 Ortogonalità dei modi I modi naturali corrispondenti a differenti frequenze naturali, soddisfano le seguenti condizioni di ortogonalità: queste matrici quadrate sono diagonali e definite positive

24 Normalizzazione dei modi se n è un modo naturale, ogni vettore proporzionale a n è comunque lo stesso modo naturale. Normalizzazione: consiste nello scalare le ampiezze dei modi naturali tramite un fattore in maniera da poter confrontare direttamente I modi di vibrazione. Generalmente è conveniente normalizzare ogni modo tale che la sua componente maggiore sia pari ad uno.

25 Normalizzazione dei modi Un altra maniera per normalizzare i modi viene fatta affinché si abbia: T M I si ottiene: 1 M 1 M * 11 * dove: M * T M

26 Normalizzazione dei modi Ciò comporta che se: T M I segue: T K 2

27 esempi

28 esempi Con riferimento al telaio shear-type riportato in figura, si determinino: - Le pulsazioni naturali - I modi di vibrazione normalizzati rispetto la matrice delle masse - La risposta della struttura soggetta a vibrazioni libere con spostamenti iniziali sia diversi dai modi e sia uguali ai modi di vibrazione

29 esempi condizione iniziale generica condizione iniziale primo modo condizione iniziale secondo modo primo piano secondo piano

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