Analisi e Modelli Matematici

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1 Analisi e Modelli Matematici Marzo - Aprile 2014 Lezione 5

2 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche Vibrazioni meccaniche libere di un punto materiale P di massa m t x(t) rappresenta la posizione di P sulla retta e soddisfa l equazione mx (t) = kx(t) dove k è positivo ed è un coefficiente di elasticità.

3 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche Vibrazioni meccaniche libere di un punto materiale P di massa m t x(t) rappresenta la posizione di P sulla retta e soddisfa l equazione mx (t) = kx(t) dove k è positivo ed è un coefficiente di elasticità. L equazione precedente viene abitualmente scritta come x = ω 2 x dove ω := m k > 0

4 (Intermezzo) Equazioni Integrale Equazioni differenziali-soluzioni generale Ricerca equazioni integrali con generali lineari tecniche analitiche del secondo analitiche ordine a coefficienti costanti Studiamo equazioni del tipo y +2γy + δy =0 γ,δ R Cerchiamo soluzioni del tipo: y(t) =e λt λ R Sostituendo nell equazione si ottiene: (λ 2 +2γλ + δ)e λt =0 che è verificata per ogni t reale esattamente quando λ è una soluzione dell equazione: λ 2 +2γλ + δ =0 Questa equazione algebrica si dice equazione caratteristica dell equazione differenziale

5 (Intermezzo) Equazioni Integrale Equazioni differenziali-soluzioni generale Ricerca equazioni integrali con generali lineari tecniche analitiche del secondo analitiche ordine a coefficienti costanti Studiamo l equazione differenziale: y +2γy + δy =0 γ,δ R la cui equazione caratteristica è λ 2 +2γλ + δ =0 Se γ 2 δ>0 l equazione caratteristica ha le due soluzioni reali λ 1 = γ γ 2 δ, λ 2 = γ + γ 2 δ e l integrale generale dell equazione differenziale è y(t) :=c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t

6 (Intermezzo) Equazioni Integrale Equazioni differenziali-soluzioni generale Ricerca equazioni integrali con generali lineari tecniche analitiche del secondo analitiche ordine a coefficienti costanti Studiamo equazioni del tipo y +2γy + δy =0 γ,δ R con l equazione caratteristica Se γ 2 δ<0 λ 2 +2γλ + δ =0 avremmo due soluzioni complesse coniugate. Si potrebbe procedere come prima utilizzando esponenziali complessi. Se vogliamo evitarlo, basta osservare che le due funzioni y 1 (t) :=e γt sin( δ γ 2 t), y 2 (t) :=e γt cos( δ γ 2 t) sono entrambe soluzioni dell equazione differenziale e quindi, ponendo l integrale generale è ω := δ γ 2 y(t) :=e γt (c 1 sin(ωt)+c 2 cos(ωt))

7 (Intermezzo) Equazioni Integrale Equazioni differenziali-soluzioni generale Ricerca equazioni integrali con generali lineari tecniche analitiche del secondo analitiche ordine a coefficienti costanti Studiamo equazioni del tipo y +2γy + δy =0 γ,δ R con l equazione caratteristica λ 2 +2γλ + δ =0 Infine se γ 2 δ =0 cioè γ 2 = δ le funzioni y 1 (t) :=e γt, y 2 (t) :=te γt sono soluzioni e l integrale generale è y(t) :=e γt (c 1 + c 2 t)

8 (Intermezzo) Equazioni Integrale Equazioni differenziali-soluzioni generale Ricerca equazioni integrali con generali lineari tecniche analitiche del secondo analitiche ordine a coefficienti costanti Analogia con le successioni per ricorrenza del secondo ordine s0 = α, s 1 = β sono assegnati, s n := λ n 1 esattamente quando s n+1 = As n + Bs n 1 verifica la condizione: s n+1 = As n + Bs n 1 λ 1 è una soluzione dell equazione caratteristica λ 2 Aλ B =0 se λ 1, λ 2 sono soluzioni dell equazione caratteristica allora tutte le successioni della forma verificano la condizione: s n := c 1 λ n 1 + c 2 λ n 2 s n+1 = As n + Bs n 1 Le costanti c 1, c 2, possono essere determinate in modo che siano verificate le condizioni iniziali. verificano la condizione:

9 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche Vibrazioni meccaniche libere di un punto materiale P di massa m t x(t) rappresenta la posizione di P sulla retta e soddisfa l equazione mx (t) = kx(t) dove k è positivo ed è un coefficiente di elasticità. L equazione precedente viene abitualmente scritta come x = ω 2 x dove ω := m k > 0 Le soluzioni sono della forma t x(t) :=c 1 cos(ωt)+c 2 sin(ωt) per t R. c 1 = x(0) c 2 ω = x (0) posizione per t=0 velocità per t=0

10 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche Quindi l unica soluzione del problema di Cauchy x = ω 2 x x(0) = x 0 x (0) = v 0 è la funzione t x(t) :=x 0 cos(ωt)+ v0 ω sin(ωt)

11 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche Quindi l unica soluzione del problema di Cauchy x = ω 2 x x(0) = x 0 x (0) = v 0 è la funzione t x(t) :=x 0 cos(ωt)+ v0 ω sin(ωt) = A cos(ωt + ω 0) A =1, ω 0 =0 A =1, ω 0 = π/2

12 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche Quindi l unica soluzione del problema di Cauchy x = ω 2 x x(0) = x 0 x (0) = v 0 è la funzione A = x v2 0 ω 2 t x(t) :=x 0 cos(ωt)+ v0 ω sin(ωt) = A cos(ωt + ω 0 ) è l ampiezza del moto ω 0 = arccos x 0 A è la fase del moto. Nota che A>0 tranne che nel caso in cui P sia fermo nell origine.

13 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche Esercizio: scrivere c 1 cos(ωt)+c 2 sin(ωt) A cos(ωt + ω 0 ) come t x(t) :=x 0 cos(ωt)+ v0 ω sin(ωt) 2 = A cos(ωt + ω 0 )

14 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche Vibrazioni meccaniche con una forza esterna periodica y + ω 2 y =sin(δt) y(0) = y (0) = 0 ω 2 = δ 2 La soluzione è t y(t) := 1 δ ω 2 δ 2 sin ωt +sinδt ω 2 Se ω =1, δ =

15 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche Vibrazioni meccaniche con una forza esterna periodica y + ω 2 y =sin(δt) y(0) = y (0) = 0 ω 2 = δ 2 La soluzione è t y(t) := Se ω =1, δ =1.1 1 δ ω 2 δ 2 sin ωt +sinδt ω

16 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche 10 5 ω =1, δ = ω =1, δ =

17 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche Vibrazioni meccaniche libere di un punto P di massa m con resistenza viscosa t x(t) rappresenta la posizione di P sulla retta e soddisfa l equazione mx (t) = kx(t) βx (t) L equazione precedente viene abitualmente scritta come x +2γx + ω 2 x =0 dove ω := m k > 0eγ = 1 2 β m La forma delle soluzioni dipende dalla grandezza reciproca dei coefficienti

18 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche x +2γx + ω 2 x =0 γ>0 L equazione caratteristica è che ha le soluzioni λ 2 +2γλ + ω 2 =0 λ 1 = γ γ 2 ω 2 λ 2 = γ + γ 2 ω 2 reali o complessi

19 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche 0 <γ<ω (debole smorzamento) Le soluzioni dell equazione caratteristica sono: λ 1 = γ i ω 2 γ 2 λ 2 = γ + i ω 2 γ 2 Ponendo per semplicità ν = ω 2 γ 2 l integrale generale è x(t) :=e γt (c 1 cos(νt)+c 2 sin(νt)) oppure, in altra forma, x(t) :=Ae γt cos(νt + α) Continuano ad esserci oscillazioni però smorzate.

20 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche 0 <γ<ω (debole smorzamento) Esempi di soluzioni sono ω =2, γ =0.2 ω =2, γ =0.8

21 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche Se supponiamo γ>ω (forte smorzamento) allora λ 1, λ 2 sono entrambe reali e negative. L integrale generale dell equazione differenziale è: x(t) :=c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t per arbitrarie costanti reali c1 e c2. Tutte le soluzioni hanno limite zero per t tendente a + Non ci sono andamenti oscillatori.

22 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche γ>ω (forte smorzamento) Esempi di soluzioni sono: x(0) = 1, x (0) = 1 x(0) = 1, x (0) = 1

23 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Equazioni Ricerca del integrali secondo generali ordine- tecniche analitiche Esempio analitiche γ>ω (forte smorzamento) Le soluzioni possono anche cambiare segno: x(0) = 1, x (0) = 5

24 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca Isocrona integrali di con generali Leibniz tecniche analitiche analitiche Nel numero di Settembre 1687 della rivista Nouvelles de la République des lettres Leibniz pone il seguente problema: trovare una curva y(x) tale che, quando un corpo scivola lungo questa curva, la sua velocità verticale dy/dt sia in ogni istante uguale ad una costante assegnata -b 5 b b b 30

25 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca Isocrona integrali di con generali Leibniz tecniche analitiche analitiche La soluzione viene data un mese più tardi dal Vir Celeberrimus Christianus Hugenius, ma senza dimostrazione. Leibniz pubblica una dimostrazione nel 1689 che lascia insoddisfatti i contemporanei. Invece una dimostrazione che usa il moderno calcolo differenziale è pubblicata da Jacob Bernoulli (1690). Galileo aveva scoperto che se un corpo cade, a partire dall origine, la sua velocità quando raggiunge un quota y<0 è v = 2gy dove g è l accelerazione di gravità ed è una costante. Quindi se s(t)=(x(t),y(t)) rappresenta la traiettoria del punto in caduta ds dt 2 = 2gy(t)

26 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca Isocrona integrali di con generali Leibniz tecniche analitiche analitiche Cioè ds dt 2 = 2 dx + dt 2 dy = 2gy(t) dt utilizzando la condizione si ottiene 2 dx + dt e quindi 2 dy = dt dx dy 2 dy = b 2 dt 2 dy + dt dy dt 2 dx 2 = b +1 2 = 2gy(t) dy 2 dx = 1 2gy(x) dy b 2

27 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca Isocrona integrali di con generali Leibniz tecniche analitiche analitiche Cioè ds dt 2 = 2 dx + dt 2 dy = 2gy(t) dt utilizzando la condizione si ottiene 2 dx + dt e quindi 2 dy = dt dx dy 2 dy = b 2 dt 2 dy + dt dy dt 2 dx 2 = b +1 2 = 2gy(t) dy 2 dx = 1 2gy(x) dy b 2

28 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca Isocrona integrali di con generali Leibniz tecniche analitiche analitiche otteniamo infine dx dy = 1 2gy(x) b 2 ed equivalentemente dy dx = 1 1 2g b y(x) 2 Si tratta di una equazione a variabili separabili. Procedendo come al solito: 1 2g b 2 ydy= dx b 2 1 2g 3/2 3g b 2 y(x) = x + c

29 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca Isocrona integrali di con generali Leibniz tecniche analitiche analitiche con la condizione iniziale y(0) = b2 2g si ottiene c=0. Infine esplicitando y(x): 2/3 y(x) = b2 3g 1+ 2g b 2 x 2/3 Solutio sit linea paraboloeides quadrato cubica... (Leibniz) y(0) = b2 2g

30 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca integrali La Trattrice con generali tecniche analitiche analitiche Il famoso medico parigino Claude Perrault, altrettanto famoso per i suoi studi di meccanica e di architettura... e membro dell Accademia Reale Francese delle Scienze, propose questo problema a me e a molti altri prima di me, ammettendo chiaramente di non essere stato in grado di risolverlo... Leibniz (1693) Per quale curva la lunghezza del segmento di tangente, compreso fra la curva e l asse delle ascisse, è costante?

31 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca integrali La Trattrice con generali tecniche analitiche analitiche a = y(x) a x x y(x) y (x) y(x) y(x) y = a 2 (x)

32 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca integrali La Trattrice con generali tecniche analitiche analitiche y(x) y(x) y = a 2 (x) y y(x) (x) = a2 y(x) 2 Abbiamo scelto il segno meno compatibilmente con il disegno precedente. E ancora un equazione a variabili separabili, quindi a2 y 2 y a2 y 2 y dy = dx dy = x + c

33 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca integrali La Trattrice con generali tecniche analitiche analitiche a2 y 2 y dy = x + c La primitiva si calcola esplicitamente con la sostituzione a2 y 2 = v, a 2 y 2 = v 2, ydy = vdv e si ottiene v 2 a 2 v 2 dv = x + c che si integra con la tecnica dei fratti semplici (introdotta da Johann Bernoulli nel 1702) ottenendo v + a 2 log a + v a v = x + c

34 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca integrali La Trattrice con generali tecniche analitiche analitiche Quindi da si ottiene a2 y 2 y dy = x + c a 2 y 2 + a log( a + a 2 y 2 )=x + c y e con la condizione y(0)=a si ha c=0 x = a 2 y 2 + a log( a + a 2 y 2 ) y

35 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca integrali La Trattrice con generali tecniche analitiche analitiche x = a 2 y 2 + a log( a + a 2 y 2 ) y

36 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La integrali CATENARIA con generali tecniche analitiche analitiche Nel 1690 Jakob Bernoulli pose esplicitamente il problema di trovare la curva che rappresenta la forma di un cavo pesante, flessibile e inestendibile, appeso liberamente a due punti fissi. Questa curva è chiamata da Leibniz Catenaria. Il problema era stato trattato da Leonardo da Vinci nel XV secolo. Galileo nel 1638 aveva affermato che la forma assunta fosse simile a quella di una parabola la catenella cammina quasi ad unguem sopra la parabola. Nel 1646 Christiaan Huygens (16 anni) aveva mostrato, in una lettera a Padre Mersenne, con ragionamenti fisici, che la catenaria non poteva essere una parabola. Christiaan Huygens L Aia 1629-L Aia 1695 La catenaria in un manoscritto di Huygens

37 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La integrali CATENARIA con generali tecniche analitiche analitiche Negli <<Acta Eruditorum>> del giugno 1691, Leibniz, Huygens, Johann Bernoulli pubblicano, indipendentemente, le loro soluzioni....gli sforzi di mio fratello non ebbero successo; per parte mia fui più fortunato, perché trovai il modo di risolverlo... E vero che mi costò tanto sforzo da rubarmi il riposo per una intera notte... il mattino successivo corsi da mio fratello che stava lottando contro questo nodo gordiano pensando, come Galileo, che la catenaria fosse una parabola. Alt. Alt, gli dico... Johann Bernoulli (lettera a Pierre de Montmort del 1718)

38 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La integrali CATENARIA con generali tecniche analitiche analitiche A 1.0 V La pendenza in A è proporzionale alla massa M della catena nel tratto VA, la quale a sua volta è proporzionale ala lunghezza dello stesso tratto di catena x cy (x) = 0 1+y (t) 2 dt

39 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La integrali CATENARIA con generali tecniche analitiche analitiche cy (x) = x 0 1+y (t) 2 dt Sostituendo y (x)=p(x) che è a variabili separabili cy (x) = 1+y (x) 2 c cp = 1+p p 2 dp = dx

40 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La integrali CATENARIA con generali tecniche analitiche analitiche c 1 1+p 2 dp = dx c 1 dp = 1+p 2 dx c sinh 1 (p) =x + c 1 p(x) =y (x) =sinh( x c + c 1 c ) se poniamo la condizione y (0)=0 otteniamo c1=0 y (x) =sinh( x c )

41 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La integrali CATENARIA con generali tecniche analitiche analitiche y (x) =sinh( x c + c 1 c ) y(x) =c cosh( x c + c 1 c )+c 2 se poniamo la doppia condizione y (0)=0 e y(0)=1 otteniamo c1=c2=0 y(x) =c cosh( x c )

42 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La integrali CATENARIA con generali tecniche analitiche analitiche 4 3 Tre catenarie di diversa lunghezza con gli stessi estremi: (-1,4) e (1,4)

43 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La integrali CATENARIA con generali tecniche analitiche analitiche Confronto fra la catenaria (in rosso) e la parabola (in azzurro) con gli stessi estremi e lo stesso vertice

44 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La integrali CATENARIA con generali tecniche analitiche analitiche Confronto fra la catenaria (in rosso) e la parabola (in azzurro) con gli stessi estremi e lo stesso vertice. La differenza diventa più marcata quando le pendenze sono maggiori

45 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La integrali CATENARIA con generali tecniche analitiche analitiche Gateway Arch a St.Luis (1968) Eero Saarinen- Hannskarl Bandel Cattedrale di St Paul (Londra) Sir Christopher Wren Iraq- Ctesiphon IV sec A.C.

46 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La BRACHISTOCRONA integrali con generali tecniche analitiche analitiche Negli <<Acta Eruditorum>> del 1696 Johann Bernoulli propose, come sfida agli altri matematici, il problema in seguito diventato famoso come problema della brachistocrona. Johann Bernoulli Basilea Basilea 1748 Dati due punti A e B in un piano verticale, determinare il cammino AMB lungo il quale una particella M che parte da A ed è soggetta unicamente al proprio peso raggiunge B nel tempo minore. Joh. Bernoulli Il problema era già stato affrontato da Galileo nel Galileo aveva dimostrato, correttamente, che il segmento congiungente A e B non era la traiettoria ottimale, ma aveva poi concluso, in modo errato, che la traiettoria ottimale fosse un arco di circonferenza. Newton, Leibniz, de L Hospital, Johann Bernoulli e Jacob Bernoulli trovarono tutti la soluzione esatta. Tutte furono pubblicate nel numero di maggio di <<Acta Eruditorum>> del Con sorpresa, scoprirono che la curva soluzione era un arco di cicloide.

47 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La BRACHISTOCRONA integrali con generali tecniche analitiche analitiche Le tecniche di soluzione utilizzate sono differenti. Johann Bernoulli usa il Principio di Fermat, secondo il quale il percorso di massima velocità media (e minimo tempo di percorrenza) per un corpo che parte da A e raggiunge B e deve attraversare due regioni nelle quali si muove con velocità differenti A velocità v 1 v 1 <v 2 velocità v 2 B è caratterizzato dalla condizione seguente

48 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La BRACHISTOCRONA integrali con generali tecniche analitiche analitiche Principio di Fermat A α 1 velocità v 1 α 2 velocità v 2 B v 1 sin α 1 = v 2 sin α 2

49 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La BRACHISTOCRONA integrali con generali tecniche analitiche analitiche Considerando lo spazio diviso in tanti strati orizzontali in ciascuno dei quali la velocità di caduta è costante e uguale a v = 2gy, poiché y(x)< Johann Bernoulli osserva che il principio di Fermat implica la condizione: v sin α = costante dx α ds dy inoltre, poiché sin α = dx ds = 1 1+(dy/dx) o t t i e n e l e q u a z i o n e differenziale 3.0

50 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La BRACHISTOCRONA integrali con generali tecniche analitiche analitiche 2gy 1+(y ) 2 = K Che può essere riscritta come y 2gy + K = 2 2gy La scelta del segno della radice è motivata dal fatto che y (x)<0. e ponendo δ = K2 2g 2gy dy = dx 2gy + K2 si ottiene:

51 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La BRACHISTOCRONA integrali con generali tecniche analitiche analitiche integrando si ottiene Imponendo la condizione che il moto abbia inizio dall origine, cioè y(0)=0 si ottiene c=0. La soluzione assume i valori δ y(x) 0

52 Equazioni Equazioni differenziali-soluzioni Ricerca La BRACHISTOCRONA integrali con generali tecniche analitiche analitiche con M=4, otteniamo il grafico

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