Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/2008

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1 Analisi 1 Polo di Savona Analisi Matematica 1 (Modulo) Prove Parziali A.A. 1999/ PrA1.TEX []

2 Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998 Prima prova Parziale 21/10/1998 Si consideri l insieme A = { 1 x 2 + 9, x R }. A 3 Determinare sup A e inf A. B 3 Determinare max A e min A. Dimostrare, usando il principio di induzione, che n k 2 + 3k = k=1 (5 + n)n(n + 1) 3 Sia f : R R una funzione il cui grafico è quello in figura: C 2 Disegnare il grafico di f 1 (x) = f(x) D 2 Disegnare il grafico di f 2 (x) = f( x ) 2- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

3 Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998 E 2 Disegnare il grafico di f 3 (x) = f(x + a) F 2 Disegnare il grafico di f 4 (x) = f(x) + a 3- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

4 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 27/11/2000 Seconda prova Parziale 27/11/2000 Si consideri la successione definita da { a n+1 = 3 + a n 2 a 0 = 3 A 3 Verificare che a n è crescente ed superiormente itata. B 3 Calcolare il ite di a n C 2 Determinare la regola di ricorrenza che soddisfa la successione b n = a 2n e calcolare b 0 ed il ite di b n. D 2 Calcolare sin(x 1) + (1 cos(x 1)) x 1 tan(2x 2) E 2 Stabilire se f(x) = 1 1 x 2 è invertibile su [ 9, 3] ed in caso affermativo calcolarne l inversa. 4- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

5 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2000 Terza prova Parziale 20/12/2000 Si consideri la funzione definita da f(x) = e x ln x A 3 Calcolare f (x) e provare che f si annulla in un solo punto x 0, provare inoltre che risulta x 0 < 1 B 3 Stabilire il segno di f(x 0 ) e disegnare il grafico di f Si consideri la funzione { f(x) x > x0 g(x) = a(x x 0 ) 2 + b(x x 0 ) + c x x 0 C 2 Stabilire per quali valori di a, b, c g è continua D 2 Stabilire per quali valori di a, b, c g è derivabile 5- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

6 Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998 Prima prova Parziale 21/10/1998 Si consideri l insieme A = { 1 x 2 + 9, x R }. A 3 Determinare sup A e inf A. B 3 Determinare max A e min A. Dimostrare, usando il principio di induzione, che n k 2 + 3k = k=1 (5 + n)n(n + 1) 3 Sia f : R R una funzione il cui grafico è quello in figura: C 2 Disegnare il grafico di f 1 (x) = f(x) D 2 Disegnare il grafico di f 2 (x) = f( x ) 6- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

7 Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998 E 2 Disegnare il grafico di f 3 (x) = f(x + a) F 2 Disegnare il grafico di f 4 (x) = f(x) + a 7- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

8 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 27/11/2000 Seconda prova Parziale 27/11/2000 Si consideri la successione definita da { an+1 = a 3 n a 0 = 3 A 3 Verificare che a n 3. B 3 Verificare che a n è crescente. C 2 Calcolare il ite di a n. D 2 Calcolare sin(1 cos 2 (x)) x 0 x 2 E 2 Si consideri la funzione f(x) = ln(1 + x 2 ) F 3 Disegnare il grafico di f G 3 Calcolare l inversa di f ristretta all insieme A = {x R : x 0}. 8- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

9 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/2001 Terza prova Parziale 19/12/2001 A 3 Disegnare il grafico di f(x) = 1 x ln(x) B 3 Disegnare il grafico di al variare di a R f a (x) = a x ln(x) C 2 Stabilire se è possibile prolungare f per continuità nell origine. D 2 Stabilire se è possibile prolungare f nell origine in modo che risulti continua e derivabile. E 2 Calcolare f(1) e utilizzare il risultato per (f 1 ) (1) 9- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

10 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2000 Terza prova Parziale 20/12/2000 Si consideri la funzione definita da f(x) = e x ln x A 3 Calcolare f (x) e provare che f si annulla in un solo punto x 0, provare inoltre che risulta x 0 < 1 B 3 Stabilire il segno di f(x 0 ) e disegnare il grafico di f Si consideri la funzione { f(x) x > x0 g(x) = a(x x 0 ) 2 + b(x x 0 ) + c x x 0 C 2 Stabilire per quali valori di a, b, c g è continua D 2 Stabilire per quali valori di a, b, c g è derivabile 10- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

11 Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 21/10/1998 Prima prova Parziale 21/10/1998 Si consideri l insieme { x A = x 2 + x + 1, x R }. A Determinare i maggioranti di A B Determinare sup A B Determinare i minoranti di A C Determinare inf A D Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo C 2 Dimostrare, usando il principio di induzione, che 3(n)! > 2 n n N 11- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

12 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 25/11/1998 Seconda prova Parziale 25/11/1998 Si consideri la funzione ( x f(x) = 1 + x ) 2 A Calcolare f(x) x + B Disegnare il grafico di x 1+x C Disegnare il grafico di f(x) D Determinare un insieme su cui f è invertibile e calcolare l inversa di f nell insieme scelto E Calcolare F Calcolare x 0 sin(x 2 ) 1 (cos(x)) 4 x 1 x3 1 x PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

13 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998 Terza prova Parziale 19/12/1998 Si consideri la funzione f(x) = x 2 e x A Determinare campo di definizione, continuità, iti agli estremi del campo di definizione, crescenza, decrescenza di f B Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti. C Supponendo noto che f(x) x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x D Disegnare il grafico della funzione F tale che F (x) = f(x) ed F (0) = 0. (Non è richiesto di precisare nè il segno nè i valori degli eventuali zeri.) 13- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

14 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998 E Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da { an+1 = f(a n ) a 0 = PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

15 Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 22/10/2003 Prima prova Parziale 22/10/2003 Si consideri l insieme A = { 1 x + 1 }, x R, x 1. A Determinare i maggioranti di A B Determinare sup A C Determinare i minoranti di A D Determinare inf A E Stabilire se A ammette massimo o minimo e calcolarlo F Dimostrare, usando il principio di induzione, che n 2 k = 1 2 n n N k=1 15- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

16 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 25/11/1998 Seconda prova Parziale 25/11/1998 Si consideri la successione definita da A Disegnare il grafico della funzione { a n+1 = 6 5 a n a 0 = k f(x) = 6 5 x B Verificare che se k [2, 3], a n [2, 3] C Verificare che se k [2, 3], a n è decrescente D Stabilire se a n ammette ite ed, in caso affermativo, calcolarlo E Determinare al variare di k il comportamento della successione (non è richiesto dimostrare le affermazioni e si può procedere graficamente F Calcolare al variare di α e x cos(x) x 0 x α 16- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

17 Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova scritta 19/12/2003 Terza Prova scritta 19/12/2003 Si consideri la funzione f(x) = x ln(1 + x 2 ) A Determinare campo di definizione e calcolare i iti agli estremi del campo. D Calcolare f (x) ed f (x) E Disegnare il grafico di f E Disegnare il grafico di f 17- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

18 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 25/11/1998 Seconda prova Parziale 25/11/1998 Si consideri la funzione ( x f(x) = 1 + x ) 2 A Calcolare f(x) x + B Disegnare il grafico di x 1+x C Disegnare il grafico di f(x) D Determinare un insieme su cui f è invertibile e calcolare l inversa di f nell insieme scelto E Calcolare F Calcolare x 0 sin(x 2 ) 1 (cos(x)) 4 x 1 x3 1 x PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

19 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998 Terza prova Parziale 19/12/1998 Si consideri la funzione f(x) = x 2 e x A Determinare campo di definizione, continuità, iti agli estremi del campo di definizione, crescenza, decrescenza di f B Disegnare il grafico di f precisando i punti ed i valori di massimo e minimo relativi ed assoluti. C Supponendo noto che f(x) x per x > 0, disegnare sullo stesso grafico di f(x) e g(x) = x D Disegnare il grafico della funzione F tale che F (x) = f(x) ed F (0) = 0. (Non è richiesto di precisare nè il segno nè i valori degli eventuali zeri.) 19- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

20 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 19/12/1998 E Stabilire graficamente il comportamento della successione definita da { an+1 = f(a n ) a 0 = PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

21 Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 22/10/2003 Prima prova Parziale 22/10/2003 Sia f(x) = x x 2 1, g(x) = x + 2 2x 1 A Disegnare il grafico di g B Disegnare il grafico di f C Determinare sup{f(x) : x [1, + )} D Determinare inf{f(x) : x [1, + )} E Determinare, se esistono, max{f(x) : x [1, + )} min{f(x) : x [1, + )} 21- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

22 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 29/11/2004 Seconda prova Parziale 29/11/2004 A Calcolare x 0 sin(3x 3 ) ln(1 + x 3 ) B Calcolare C Calcolare D Calcolare E Calcolare al variare di α e di β e x2 cos(x) x 0 x 2 e x2 cos(x) x x 0 5x e x2 cos(x) x 0 x 2 + x 4 x 0 e xα 1 (ln(1 + x)) β 22- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

23 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004 Terza prova Parziale 20/12/2004 Si consideri f(x) = e x2 (1 4x 2 ) + 2 A Disegnare il grafico di f B Verificare che f(x) 0, x R Si consideri g(x) = x (e x2 + 2) C Assumendo vero che f(x) 0 x R, Disegnare il grafico di g D Dopo aver verificato che g(1) = e calcolare ( g 1 ) ( ) e ( ) E Disegnare il grafico di h(x) = x e x PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

24 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/ PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

25 Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 22/10/2003 Prima prova Parziale 22/10/2003 Sia ( π f(x) = tan 4 x2 π ) 4 A Disegnare il grafico di f per x [ 3, 3] B Disegnare il grafico di f 1 per f ristretta a ( 3, 2] C Determinare esplicitamente f 1 per f ristretta a ( 3, 2] D Determinare esplicitamente f 1 per f ristretta a [ 2, 3) E Determinare una espressione per la somma delle prime N potenze naturali di 5 e provarne, per induzione la validità. 25- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

26 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 24/11/2005 Seconda prova Parziale 24/11/2005 A Calcolare B Calcolare 1 x 1 x 0 x x 0 sin(x 6 ) x 2 ln(1 + 2x 4 ) C Calcolare D Calcolare sin(x) x + 5x x 4 + 2x + 1 x x 2 + 3x 4 E Verificare mediante la definizione di ite che (E(x) è la parte intera di x). E(x) = 1 x PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

27 Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005 Terza Prova Parziale 21/12/2005 Si consideri la funzione f(x) = 1 + be x2 2 A Disegnare il grafico di f B Per b = 2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g (x) = f(x) C Per b = 2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R\{0}, non continua in x = 0, tale che φ (x) = f(x) per x R \ {0} 27- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

28 Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005 D Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h (x) = f(x) ed h(0) = 1 E Per b = 1; calcolare (h 1 ) (1) 28- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

29 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004 Terza prova Parziale 20/12/2004 Si consideri f(x) = e x2 (1 4x 2 ) + 2 A Disegnare il grafico di f B Verificare che f(x) 0, x R Si consideri g(x) = x (e x2 + 2) C Assumendo vero che f(x) 0 x R, Disegnare il grafico di g D Dopo aver verificato che g(1) = e calcolare ( g 1 ) ( ) e ( ) E Disegnare il grafico di h(x) = x e x PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

30 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/ PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

31 Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 17/10/2006 Prima prova Parziale 17/10/2006 Si consideri l insieme { } 3 A = x2 2x + 2 : x R A Determinare maggioranti e minoranti di A. B Determinare estremo superiore ed inferiore di A C Determinare massimi e minimi di A, nel caso che esistano. D Si consideri il seguente teorema e la sua dimostrazione. Teorema La somma di un qualunque numero k di interi n 1, n 2,..., n k al quadrato è un quadrato. In altre parole k n 2 j = m 2 con m N, k N j=1 Dimostrazione Per n = 1 si ha che n 2 1 è un quadrato Supponiamo il teorema vero per k e verifichiamo che è vero per k + 1. Consideriamo k+1 k+1 n 2 j = n Per l ipotesi induttiva, quindi j=1 j=2 n 2 j k+1 n 2 j = m 2 1 con m 1 N j=2 n m 2 1 = m 2 2 con m 2 N e si conclude. Si chiede Il teorema è vero? La dimostrazione è corretta? Nel caso la dimostrazione non sia corretta, perchè non è corretta? 31- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

32 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 30/11/2006 Seconda prova Parziale 30/11/2006 A Un carrello si muove lungo l asse x con velocità costante uguale a 5 metri al secondo, partendo da fermo. Disegnare il grafico dello spazio percorso in funzione del tempo t. La temperatura lungo l asse x aumenta linearmente di 2 gradi per metro partendo da 10 gradi Disegnare il grafico della temperatura avvertita a bordo del carrello in funzione del tempo. B Calcolare x 0 1 cos(x 3 ) x 2 (1 e 2x4 ) C Calcolare (E(x) è la parte intera di x) arctan(e(x)) x + 5x D Calcolare, al variare di a x x 4 + 2x x 2 + ax PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

33 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 30/11/2006 E Verificare mediante la definizione di ite che sin(x) = 0 x π F Calcolare 2 4 x x 0 x 33- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

34 Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 20/12/2006 Terza Prova Parziale 20/12/2006 Si consideri la funzione x f(x) = a x 2 5x + 6 A Disegnare il grafico di f al variare di a B Determinare, se possibile, x 0 in modo che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f in x 0 valga 1 C Per a = 2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R \ {2, 3}, tale che φ (x) = f(x) per x R \ {2, 3} D Determinare, se possibile, l inversa di f ristretta a [0, 1] 34- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

35 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 24/11/2005 Seconda prova Parziale 24/11/2005 A Calcolare B Calcolare 1 x 1 x 0 x x 0 sin(x 6 ) x 2 ln(1 + 2x 4 ) C Calcolare D Calcolare sin(x) x + 5x x 4 + 2x + 1 x x 2 + 3x 4 E Verificare mediante la definizione di ite che (E(x) è la parte intera di x). E(x) = 1 x PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

36 Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005 Terza Prova Parziale 21/12/2005 Si consideri la funzione f(x) = 1 + be x2 2 A Disegnare il grafico di f B Per b = 2 disegnare il grafico di una funzione g continua e derivabile su R tale che g (x) = f(x) C Per b = 2 disegnare il grafico di una funzione φ continua e derivabile su R\{0}, non continua in x = 0, tale che φ (x) = f(x) per x R \ {0} 36- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

37 Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 21/12/2005 D Per b = 1; disegnare il grafico di una funzione h continua e derivabile su R tale che h (x) = f(x) ed h(0) = 1 E Per b = 1; calcolare (h 1 ) (1) 37- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

38 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/2004 Terza prova Parziale 20/12/2004 Si consideri f(x) = e x2 (1 4x 2 ) + 2 A Disegnare il grafico di f B Verificare che f(x) 0, x R Si consideri g(x) = x (e x2 + 2) C Assumendo vero che f(x) 0 x R, Disegnare il grafico di g D Dopo aver verificato che g(1) = e calcolare ( g 1 ) ( ) e ( ) E Disegnare il grafico di h(x) = x e x PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

39 Analisi 1 Polo di Savona Terza prova Parziale 20/12/ PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

40 Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 17/10/2007 Prima prova Parziale 17/10/2007 Si consideri l insieme { } 1 A = x4 + 2 : x R A Determinare maggioranti e minoranti di A. B Determinare estremo superiore ed inferiore di A C Determinare massimi e minimi di A, nel caso che esistano. 40- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

41 Analisi 1 Polo di Savona Prima prova Parziale 17/10/2007 D Dimostrare per induzione che n (n!) 2 = k=1 k PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

42 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 30/11/2006 Seconda prova Parziale 30/11/2006 A Un punto si muove lungo l asse x con velocità costante uguale a v metri al secondo, partendo da fermo. Disegnare il grafico dello spazio percorso in funzione del tempo t. La temperatura lungo l asse x aumenta linearmente di g gradi per metro partendo da 0 gradi Disegnare il grafico della temperatura del punto in funzione del tempo. 42- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

43 Analisi 1 Polo di Savona Seconda prova Parziale 30/11/2006 B Calcolare x + x 2 x 3x C Calcolare al variare di x 0 E(arctan(x)) x x 0 E Verificare mediante la definizione di ite che sin(x/2) = 0 x 0 F Calcolare x x 2 x PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

44 Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 20/12/2007 Terza Prova Parziale 20/12/2007 Si consideri la successione definita da { an+1 = a n + n a 0 = 0 <A> Dimostrare che la successione è positiva <B> Dimostrare che la successione è strettamente crescente 44- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

45 Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 20/12/2007 <C> Calcolare il ite della successione <D> Determinare una espressione esplicita di a n dimostrando poi, mediante il principio di induzione la sua validità. 45- PrA1.TEX [PrA10008.TEX]

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