ESAME di STATO Disegni a cura del prof. Cristiano DOMENICHELLI Testi della prof.ssa Tiziana LA TORELLA LICEO SCIENTIFICO GALILEO FERRARIS

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1 ESAME di STATO 00 Disegni a cura del prof. Cristiano DOMENICHELLI Testi della prof.ssa Tiziana LA TORELLA LICEO SCIENTIFICO GALILEO FERRARIS 1

2 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione 00 Indirizzo: SCIENTIFICO Tema di : MATEMATICA Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Si considerino le lunghezze seguenti: dove è una lunghezza nota non nulla ed è una lunghezza incognita. a) Determinare per quali valori di le lunghezze [1] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere. b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [1], ne esiste uno di area massima o minima. c) Verificato che per le [1] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ottusangolo. d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c), in modo che BC sia il lato maggiore, si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo : calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell ampiezza dell angolo formato dai due piani DBC e ABC. Breve spiegazione : Il problema presenta alcuni quesiti di geometria piana, in particolare: a) chiede le condizioni per l esistenza di un triangolo non degenere ( la lunghezza di ciascun lato positiva e il verificarsi delle disuguaglianze triangolari); b) si deve determinare l area di un triangolo, noti solo i lati ( formula di Erone) e la derivata per calcolare l area massima; c) è richiesta la costruzione con riga e compasso di triangoli (rettangolo, acutangolo e ottusangolo), considerando le relazioni tra triangoli e angoli alla circonferenza e al centro in una semicirconferenza. d) per calcolare l angolo tra due piani si determina l angolo tra le due altezze dei triangoli appartenenti ai due piani.

3 a) Determinare per quali valori di le lunghezze [1] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere. Le lunghezze, del triangolo non degenere ABC devono essere e ogni lunghezza deve verificare il teorema sulle disuguaglianze triangolari S1 = Esistenza dei lati #a + x < ( a $ x ) + ( a $ x ) S = "!a + x > ( a $ x ) $ ( a $ x ) S = S1! S Esistenza del triangolo non degenere & S = %(x ' R / 0 < x < $ 3 a# "! punto a)

4 b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze [1], ne esiste uno di area massima o minima. Per determinare l area di un triangolo ABC, noti solo i lati, è preferibile utilizzare la FORMULA DI ERONE A P & P $ % #& P! $ "% #& P! $ "% = ' a ' b ' c #! " ( a! a! x)( a! a + x)( a! a ) A = a + x y = a x! a x! 4ax 3 3 VALORE MASSIMO per x = 7 6! 1 a punto b) La formula classica dell area e la formula trigonometrica non possono essere applicate in modo immediato. 4

5 c) Verificato che per le [1] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ottusangolo. Un triangolo acutangolo non puo essere inscritto in una semicirconferenza avente il lato maggiore BC come diametro perché il vertice A risulta esterno. Ogni triangolo rettangolo è inscritto in una semicirconferenza avente il lato maggiore BC come diametro e il vertice A appartenente alla circonferenza Un triangolo ottusangolo non puo essere inscritto in una semicirconferenza avente il lato maggiore BC come diametro perché il vertice A risulta interno. Per la costruzione con riga e compasso determina un triangolo ABC ottusangolo punto c) 5

6 c) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c), in modo che BC sia il lato maggiore, si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo : calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell ampiezza dell angolo formato dai due piani DBC e ABC. Tracciate le altezze dei triangoli ABC e BCD si calcola l angolo AHD, considerando i teoremi sui triangoli rettangoli applicati al triangolo AHD. punto d) 6