Analisi Matenatica Lezione 5 1 ottobre 2013

Transcript

1 Dpartmento d Scenze Statstche Anals Matenatca Lezone 5 1 ottobre 2013 prof. Danele Rtell danele.rtell@unbo.t 1/13?

2 Fattorale d un numero naturale Sa n N {0}. Il fattorale d n, n! s defnsce nduttvamente come: 0! = 1, (F) n! = n (n 1)!, se n 1. 2/13?

3 Fattorale d un numero naturale Sa n N {0}. Il fattorale d n, n! s defnsce nduttvamente come: 0! = 1, (F) n! = n (n 1)!, se n 1. Il fattorale d n è l prodotto d n per tutt gl nter che lo precedono: n! = n (n 1) (n 2) /13?

4 Sa n N {0}. Il semfattorale d n, n!! s defnsce nduttvamente come: 0!! = 1, 1!! = 1, (S) n!! = n (n 2)!!, se n 2. 3/13?

5 Sa n N {0}. Il semfattorale d n, n!! s defnsce nduttvamente come: 0!! = 1, 1!! = 1, (S) n!! = n (n 2)!!, se n 2. Ad esempo 6!! = = 48, 7!! = = /13?

6 Sa n N {0}. Il semfattorale d n, n!! s defnsce nduttvamente come: 0!! = 1, 1!! = 1, n!! = n (n 2)!!, se n 2. Ad esempo 6!! = = 48, 7!! = = 105. Valgono le denttà: n! = n!! (n 1)!!, (2n)!! = 2 n n!, (2n + 1)!! = che possono essere provate usando l nduzone. (2n + 1)!, 2 n n! (S) 3/13?

7 Coeffcent bnomal Se n, m N l coeffcente bnomale n su m è: ( ) n! n se n m, = m!(n m)! m 0 se n < m. 4/13?

8 Coeffcent bnomal Se n, m N l coeffcente bnomale n su m è: ( ) n! n se n m, = m!(n m)! m 0 se n < m. Se m n: ( ) n m = n (n 1) (n m + 1). m! 4/13?

9 ropretà de coeffcent bnomal ( ) ( ) n n = 1, 0 n ( ) ( ) ( ) n n n =, m n m m ( ) n m+1 n ( ) ( ) n k 2n =, m m 1 n k=1 = 1, ( ) n 1 = + m n ( ) 2 n =, k k=0 ( ) n 1, m 1 5/13?

10 Teorema Se A, B R e se n N allora: n ( ) n (A + B) n = A n m B m. m m=0 6/13?

11 Teorema Se A, B R e se n N allora: n ( ) n (A + B) n = A n m B m. m m=0 Se n = 2, 3 abbamo formule per l quadrato e per l cubo d un bnomo: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2, (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3. 6/13?

12 Teorema Se A, B R e se n N allora: n ( ) n (A + B) n = A n m B m. m m=0 Se n = 2, 3 abbamo formule per l quadrato e per l cubo d un bnomo: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2, (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3. Caso partcolare mportante è quello n cu a = b = 1: n ( ) n 2 n =. (St) m m=0 La formula (St) è nota come teorema d Stfel 6/13?

13 Dsuguaglanze Teorema (Dsuguaglanze Trangolar) Se x, y R allora () x + y x + y () x y x y 7/13?

14 Dsuguaglanze Teorema (Dsuguaglanze Trangolar) Se x, y R allora () x + y x + y () x y x y Teorema (Dsuguaglanza d Bernoull) Sa x 1 un numero reale. Allora per ogn n N s ha: (1 + x) n 1 + n x. 7/13?

15 Successon 8/13?

16 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural 8/13?

17 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural a : N R 8/13?

18 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural a : N R S usa descrvere questa partcolare funzone con la notazone (a n ) n N o, semplcemente (a n ) 8/13?

19 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural a : N R S usa descrvere questa partcolare funzone con la notazone (a n ) n N o, semplcemente (a n ) Il termne n esmo della successone è l mmagne dell ntero n N. 8/13?

20 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural a : N R S usa descrvere questa partcolare funzone con la notazone (a n ) n N o, semplcemente (a n ) Il termne n esmo della successone è l mmagne dell ntero n N. Invece d rappresentare tale termne medante l usuale notazone a(n) s scrve a n 8/13?

21 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural a : N R S usa descrvere questa partcolare funzone con la notazone (a n ) n N o, semplcemente (a n ) Il termne n esmo della successone è l mmagne dell ntero n N. Invece d rappresentare tale termne medante l usuale notazone a(n) s scrve a n Dremo che a n è l termne n-esmo della successone (a n ) 8/13?

22 Termnologa Una successone (a n ) è detta stazonara (o costante) se esste k R tale che a n = k per ogn n N. 9/13?

23 Termnologa Una successone (a n ) è detta stazonara (o costante) se esste k R tale che a n = k per ogn n N. Una successone (a n ) è detta crescente se, per ogn n N s ha che a n a n+1. 9/13?

24 Termnologa Una successone (a n ) è detta stazonara (o costante) se esste k R tale che a n = k per ogn n N. Una successone (a n ) è detta crescente se, per ogn n N s ha che a n a n+1. Una successone (a n ) è detta decrescente se, per ogn n N s ha che a n a n+1. 9/13?

25 Termnologa Una successone (a n ) è detta stazonara (o costante) se esste k R tale che a n = k per ogn n N. Una successone (a n ) è detta crescente se, per ogn n N s ha che a n a n+1. Una successone (a n ) è detta decrescente se, per ogn n N s ha che a n a n+1. Una successone (a n ) è detta crescente strettamente se, per ogn n N s ha che a n < a n+1. 9/13?

26 Termnologa Una successone (a n ) è detta n N s ha che a n > a n+1. decrescente strettamente se, per ogn 10/13?

27 Termnologa Una successone (a n ) è detta n N s ha che a n > a n+1. decrescente strettamente se, per ogn Una successone (a n ) è detta lmtata nferormente se esste un reale α tale che, per ogn n N s ha che α a n. 10/13?

28 Termnologa Una successone (a n ) è detta n N s ha che a n > a n+1. decrescente strettamente se, per ogn Una successone (a n ) è detta lmtata nferormente se esste un reale α tale che, per ogn n N s ha che α a n. Una successone (a n ) è detta lmtata superormente se esste un reale ω tale che, per ogn n N s ha che a n ω. 10/13?

29 Termnologa Una successone (a n ) è detta n N s ha che a n > a n+1. decrescente strettamente se, per ogn Una successone (a n ) è detta lmtata nferormente se esste un reale α tale che, per ogn n N s ha che α a n. Una successone (a n ) è detta lmtata superormente se esste un reale ω tale che, per ogn n N s ha che a n ω. Una successone (a n ) è detta lmtata se essa è, sa lmtata nferormente, sa lmtata superormente. 10/13?

30 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; 11/13?

31 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; a n = n è una successone crescente strettamente e lmtata; n /13?

32 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; a n = n è una successone crescente strettamente e lmtata; n + 1 a n = 1 n è una successone decrescente strettamente e lmtata; 11/13?

33 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; a n = n è una successone crescente strettamente e lmtata; n + 1 a n = 1 n è una successone decrescente strettamente e lmtata; a n = n 2 è una successone crescente strettamente e lmtata nferormente; 11/13?

34 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; a n = n è una successone crescente strettamente e lmtata; n + 1 a n = 1 n è una successone decrescente strettamente e lmtata; a n = n 2 è una successone crescente strettamente e lmtata nferormente; a n = cos n è una successone lmtata; 11/13?

35 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; a n = n è una successone crescente strettamente e lmtata; n + 1 a n = 1 n è una successone decrescente strettamente e lmtata; a n = n 2 è una successone crescente strettamente e lmtata nferormente; a n = cos n è una successone lmtata; a n = ( 1) n n è una successone non lmtata. 11/13?

36 Defnzone Dremo che (a n ) converge a l R per n, se per ogn ε > 0 esste n ε N tale che per ogn n N, n n ε s ha: 12/13?

37 Defnzone Dremo che (a n ) converge a l R per n, se per ogn ε > 0 esste n ε N tale che per ogn n N, n n ε s ha: a n l < ε 12/13?

38 Defnzone Dremo che (a n ) converge a l R per n, se per ogn ε > 0 esste n ε N tale che per ogn n N, n n ε s ha: a n l < ε La defnzone prende atto, n modo formale, del fatto che una quando una successone converge n generale non arrva, per valor fnt d n, al valore lmte, ma c s avvcna ndefntamente. 12/13?

39 Defnzone Dremo che (a n ) converge a l R per n, se per ogn ε > 0 esste n ε N tale che per ogn n N, n n ε s ha: a n l < ε La defnzone prende atto, n modo formale, del fatto che una quando una successone converge n generale non arrva, per valor fnt d n, al valore lmte, ma c s avvcna ndefntamente. Cò è espresso dalla scelta arbtrara d ε > 0, parametro postvo che s avvcna allo zero. 12/13?

40 Esempo Verfchamo che lm n + 1 2n = 0 13/13?

41 1 Esempo Verfchamo che lm n + 2n = 0 Fssato un numero postvo ε, dobbamo trovare n corrspondenza un numero postvo p ε per cu rsult: 13/13?

42 1 Esempo Verfchamo che lm n + 2n = 0 Fssato un numero postvo ε, dobbamo trovare n corrspondenza un numero postvo p ε per cu rsult: 1 2n < ε n > p ε 13/13?

43 1 Esempo Verfchamo che lm n + 2n = 0 Fssato un numero postvo ε, dobbamo trovare n corrspondenza un numero postvo p ε per cu rsult: 1 2n < ε n > p ε oché n > 0, possamo toglere l valore assoluto, trovando 13/13?

44 1 Esempo Verfchamo che lm n + 2n = 0 Fssato un numero postvo ε, dobbamo trovare n corrspondenza un numero postvo p ε per cu rsult: 1 2n < ε n > p ε oché n > 0, possamo toglere l valore assoluto, trovando n > 1 2ε 13/13?

45 1 Esempo Verfchamo che lm n + 2n = 0 Fssato un numero postvo ε, dobbamo trovare n corrspondenza un numero postvo p ε per cu rsult: 1 2n < ε n > p ε oché n > 0, possamo toglere l valore assoluto, trovando n > 1 2ε Se ponamo p ε = 1 2ε, abbamo trovato che n > p ε rsulta 13/13?

46 1 Esempo Verfchamo che lm n + 2n = 0 Fssato un numero postvo ε, dobbamo trovare n corrspondenza un numero postvo p ε per cu rsult: 1 2n < ε n > p ε oché n > 0, possamo toglere l valore assoluto, trovando n > 1 2ε Se ponamo p ε = 1 2ε, abbamo trovato che n > p ε rsulta 1 2n 0 < ε 13/13?