Tipi di Processi Stocastici

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1 Processi Stocastici Definizione intuitiva: un processo stocastico è un insieme ordinato di variabili casuali, indicizzate dal parametro t, spesso detto tempo. Definizione rigorosa: dati uno spazio di probabilità (Ω, F, P ) e uno spazio parametrico T, un processo stocastico è una funzione X(t, ω) finita a valori reali che, per ogni t T, è una funzione misurabile di ω Ω (cioè una variabile casuale). 1

2 Tipi di Processi Stocastici 1. Processi discreti a parametro discreto (es.: numero di giorni di pioggia per mese a Milano) 2. Processi discreti a parametro continuo (es.: numero di particelle emesse da una sostanza radioattiva e registrate su modulo continuo da un contatore Geiger) 3. Processi continui a parametro discreto (es.: temperatura corporea ad intervalli prefissati) 4. Processi continui a parametro continuo (es.: tracciato di un sismografo) 2

3 Famiglia delle ripartizioni finite Un processo stocastico (a parametro discreto) è caratterizzato dalla sua famiglia delle ripartizioni finite, cioè dalla conoscenza di tutte le possibili funzioni di ripartizione F (x 1,..., x n ) = Pr(X t1 x 1,..., X tk x k ) per ogni valore di k e insieme di indici {t 1,..., t k }. 3

4 Serie storiche e processi stocastici D ora in poi considereremo ogni serie storica una parte finita di una realizzazione di un processo stocastico. Avremo a disposizione uno solo tra i possibili infiniti tracciati che il processo può generare. Siamo abituati a lavorare con campioni di diverse estrazioni di una medesima variabile casuale, ora abbiamo a disposizione, per ogni t T una sola realizzazione. Si potrà fare inferenza sulle future realizzazioni del processo solo stabilendo alcune propietà del processo ed ipotizzando una forma particolare di dipendenza temporale, per mezzo della quale dare forma ad un modello statistico per il processo. 4

5 Stazionarietà Forte: un p.s. {X t } si dice stazionario in senso forte se F (X t1 < x 1,..., X tk < x k ) = F (X t1 +h < x 1,..., X tk +h < x k ) {t 1,..., t k } T k, k, h Z. Debole: un p.s. {X t } si dice stazionario in senso debole o in covarianza se 1. E(X t ) = µ t T, 2. E(X t µ) 2 = σ 2 < t T, 3. E[(X t µ)(x t h µ)] = γ(h) t T h N γ(h) è detta funzione di autocovarianza. 5

6 Il Processo White Noise Il processo {a t } si dice white noise, e si indica con a t WN(0, σ 2 ) se 1. E(X t ) = 0 t T, 2. E(X t µ) 2 = σ 2 < t T, 3. E[(X t µ)(x t h µ)] = γ(h) = 0 t T h N 6

7 2 WNN WNt

8 L invertibilità Un p.s. si dice invertibile se può essere scritto in funzione dei suoi valori passati sommati ad un WN: X t = f(x t 1, X t 2,...) + a t. Le realizzazioni di a t possono essere quindi ottenute per mezzo di a t = X t f(x t 1, X t 2,...). 8

9 L ergodicità Un p.s. è ergodico rispetto ad una funzione momento E(ν(X t )) se la media temporale di tale funzione ν(x t ) converge in probabilità alla funzione momento E(ν(X t )): plim n n 1 n ν(x t ) = E(ν(X t )). t=0 Una condizione sufficiente per l ergodicità in media è che plim n n 1 n γ(k) = 0. k=0 Una condizione sufficiente per l ergodicità in covarianza è che plim n n 1 n γ(k) 2 = 0. k=0 9

10 Operatore ritardo B & co. BX t = X t 1, BBX t = BX t 1 = X t 2, in generale B k X t = X t k. Operatore anticipo F = B 1 : F k X t = B k X t = X t+k. Operatore differenza = (1 B): X t = X t X t 1. Operatore differenza stagionale s = (1 B s ): s X t = (X t X t s ). Operatori ritardo polinomiali α m (B) = 1 + α 1 B + α 2 B α m B m. L algebra degli operatori polinomiali C(B) è isomorfa all algebra delle funzioni polinomiali C(x), entrambe definite sul campo R dei numeri reali. Per esempio valgono: (1 B) 1 = 1 + B + B 2 + B , exp(b) = 1 + B B ! B

11 Teorema di Wold Ogni processo (debolmente) stazionario X t a valor medio µ può univocamente decomporsi come: X t = Z t + V t Cov(Z t, V t ) = 0 essendo V t = µ + Z t = [α j sin(ω j t) + β j cos(ω j t)] 0 ω j π j=1 ψ j a t j, ψ 0 = 1, j=1 ψj 2 <, a t W N(0, σ 2 ) j=1 11

12 Ancora sul teorema di Wold V t è una componente deterministica, nel senso che note α j, β j, µ e ω j è prevedibile senza errore. Z t è una componente stocastica, nel senso che noti i parametri ψ j, è possibile solo fare affermazioni probabilitstiche sul suo futuro. Z t si dice processo media mobile di ordine infinito, benché i pesi ψ j non sommino a 1. È possibile scrivere Z t come polinomio di ordine infinito in B: Z t = ψ (B)a t. Non è possibile fare inferenza sugli infiniti parametri ψ j di Z t (ci vorrebbero serie di lunghezza infinita), è qunidi necessario approssimare Z t con una para- 12

13 metrizzazione più parsimoniosa. Una buona approssimazione di un polinomio di ordine molto grande può essere ottenuta utilizzando il rapporto di due polinomi di ordine inferiore: ψ (B) θ q(b) φ p (B). Il processo che deriva dalla riparametrizzazione mostrata si dice autoregressivomedia mobile (ARMA): Y t = θ q(b) φ p (B) a t. Lo studio dei processi ARMA occuperà buona parte del corso. 13