Definizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie.

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1 SERIE NUMERICHE Defiizioe. Data ua successioe (a ) alla scrittura formale ) a + a a +, si dà il ome di serie. I umeri a, a 2,, a, rappresetao i termii della serie, i particolare a è il termie geerale della serie. La () si deota ache co a. Per dare sigificato alla () si utilizza la successioe (s ) co s = a k k=. La successioe (s ) è ota come successioe delle somme parziali. Defiizioe 2. i) Se la successioe (s ) è covergete, diremo che la serie () è covergete. Se s s, diremo che s è la somma della serie (). ii) Se la successioe (s ) diverge positivamete (risp. egativamete) diremo che la serie () è divergete positivamete (risp. egativamete). iii) Se la successioe (s ) o è regolare diremo che la serie () è idetermiata.

2 Osservazioe. Se la serie a è covergete allora il suo termie geerale coverge a zero, i simboli a 0. Tale affermazioe segue dall uguagliaza a = s - s -. Osservazioe 2. Se la serie a è a termii o egativi, cioè a 0 per ogi, allora è regolare. (Ua serie è detta regolare se è covergete o divergete). L affermazioe precedete segue dal fatto che la successioe (s ) delle somme parziali è o decrescete, i virtù del fatto che s + = s + a + s essedo a + 0. Osservazioe 3. Ua serie a termii positivi il cui termie geerale o coverge a zero è divergete positivamete. Esempio. La serie diverge positivamete dato che il = + suo termie geerale o coverge a zero. Osservazioe 4. (Criterio di Cauchy). Ricordiamo che ua successioe (s ) è covergete se e solo se è di Cauchy, cioè se ε> 0 (ε) tale che,m (ε) risulta s m s <. Se scegliamo m=+p co p IN, allora la successioe (s ) è covergete se e solo se per ogi (ε) e p IN risulta soddisfatta la codizioe s + p s <.

3 Se la successioe (s ) è quella delle somme parziali della serie a deduciamo il seguete criterio di Cauchy. La serie a è covergete se e solo se ( ) tale che + p ( ) e p IN risulta a k <. k=+ Esempio 2. Determiare il carattere della serie armoica. = Osserviamo che per ogi IN risulta 2 = k k= Il criterio di Cauchy permette di affermare che tale serie o è covergete, dato che la codizioe richiesta o è soddisfatta se ε < /2, ed essedo ua serie a termii positivi risulta divergete positivamete. Esempio 3. Determiare il carattere della serie Si osserva che k(k +) = k k + s = = k= k(k + ) k = k. = ( +) per ogi k IN e si ottiee che = k + k = +. Da s segue che la serie data è covergete ed ha per somma.

4 Criterio del Cofroto. Siao e b due serie a termii a o egativi co a b per ogi IN. Posto s = a e t = b, k = k= dalla relazioe lim s lim t (si ricordi che le successioi (s ), (t ) soo regolari), deduciamo che: i) se la serie a b ; è divergete positivamete lo è ache la serie ii) se la serie è covergete lo è ache la serie a. b Dal criterio precedete si deduce che se lim a b IR +, allora le serie e b hao lo stesso carattere (cioè soo etrambe a covergeti o etrambe divergeti positivamete). Esempio 4. Le serie Basta osservare che e hao lo stesso carattere. = ( +) = 2 ( + ) 2. Esempio 5. La serie +x+ +x - + è la serie geometrica di ragioe x.

5 Da s = x x se x e s = se x= deduciamo che la serie geometrica è covergete ed ha per somma x se x <, è divergete positivamete per x ed è idetermiata per x -. Criterio della radice. Sia a ua serie a termii o egativi. i) Se esiste x tale che a x per ogi IN la serie data è covergete, ii) se a per ogi IN la serie data è divergete positivamete. Dimostrazioe. La (i) segue dalla relazioe a x, che assicura che la serie cosiderata è miorate rispetto alla serie x geometrica di ragioe x che è covergete. La (ii) dalla relazioe a che implica che il termie geerale della serie o coverge a zero. Osservazioe 5 (Criterio della radice sotto forma di limite). Se lim a = l, la serie a è covergete se l<, è divergete positivamete se l>. Se l= a priori o possiamo dire ulla. Criterio del rapporto. Sia a ua serie a termii positivi.

6 i) Se esiste x tale che a + a x per ogi IN la serie data è covergete, ii) se a + a per ogi IN la serie data è divergete positivamete. Dimostrazioe. La (i) segue dalla relazioe a + xa che implica a x - a e quidi la serie data è miorate rispetto alla serie geometrica a x che è covergete. La (ii) dalla relazioe a + a che implica che il termie geerale della serie o coverge a zero. Osservazioe 6 (Criterio del rapporto sotto forma di limite). Se lim a + = l, la serie a a è covergete se l<, è divergete positivamete se l>. Se l= a priori o possiamo dire ulla. Criterio della serie di Cauchy. La serie a ha lo stesso carattere della serie 2 k a 2 k se a 0 o crescedo. k= Esempio 6. La serie armoica geeralizzata è covergete = se α> e divergete se α. Tale risultato si ottiee utilizzado il criterio della serie di Cauchy. Ifatti, la serie armoica ha lo stesso carattere della serie se e solo se α >. 2 k 2 k = 2 ( ) k che coverge se 2 <,

7 Utilizzado il criterio del cofroto e la serie armoica geeralizzata otteiamo il seguete: Criterio degli ifiitesimi. Sia Se esistoo, l IR + tali che a a ua serie a termii positivi. l, allora i) se la serie cosiderata è covergete, ii) se la serie data è divergete. Criterio di Leibiz. La serie ( ) + a co a 0 decrescedo è covergete e deotata co s la sua somma risulta s s a + per ogi IN. Esempio 7. La serie ( ) + è covergete, ifatti 0 decrescedo Defiizioe 3. Ua serie si dice assolutamete covergete a se è covergete la serie a. Utilizzado il criterio di Cauchy si deduce che ogi serie assolutamete covergete è covergete. Il viceversa i geerale o è vero. La serie cosiderata ell esempio 4 è covergete ma o è assolutamete covergete.

8 Esempio 8. Determiare la somma della serie. (3 2)(3 +) Si osserva che, per ogi k IN, risulta (3k 2)(3k + ) = 3 3k 2 3k +, per dedurre che s = 3 3k +. Dato che s cocludiamo che la serie ha somma. Esempio 9. Determiare il carattere della serie (e ), co IR +. Basta ricordare il limite otevole lim e =, per dedurre che la serie cosiderata ha lo stesso carattere della serie armoica geeralizzata. Ne segue che la serie è covergete se α> ed è divergete positivamete se α. Esempio 0. Determiare il carattere della serie ( se ). Per determiare il carattere di questa serie occorre ricordare che se x = x x 3 /6 + o(x 3 ). Per x =/ otteiamo se = o( 3 ) per cui se = o( 3 ). Quest ultima relazioe permette di cocludere che la serie cosiderata ha lo stesso carattere della serie e quidi è covergete. 3

9 Esempio. Determiare il carattere della serie, co = 2 lg IR +. Per determiare il carattere di questa serie utilizziamo il criterio della serie di Cauchy, che possiamo utilizzare i quato lg 0. Ne segue che la serie cosiderata ha lo stesso carattere della serie (- )k 2. Per determiare il carattere di questa serie utilizziamo il k lg2 k= criterio della radice, da 2( )k k 2 ( ) otteiamo che la serie è k covergete se α> e divergete positivamete se α<. Se α= la serie si scrive ed è divergete positivamete. I defiitiva k lg2 k= la serie è covergete se α> ed è divergete positivamete se α. ( ) Esempio 2. Determiare il carattere della serie +, co IR +. Il termie geerale della serie è u ifiitesimo, si tratta quidi di idividuare l ordie rispetto a (/). Da ( + ) = ( + + ) deduciamo che la serie ha lo stesso carattere della serie e 2 quidi è covergete se α>2 ed è divergete positivamete se α 2.

10 Esempio 3. Determiare per quali valori di x IR la serie x coverge assolutamete. + 2 I questo caso è opportuo stabilire per quali valori di x il termie geerale della serie coverge a zero. Sappiamo che x se e solo se x. Se x, allora x coverge assolutamete e la serie + Esempio 4. Determiare il carattere della serie ( ). + Si tratta di ua serie a segi alteri che coverge se la successioe tede a zero decrescedo. Risulta + + > ( + 2) > ( +) + elevado al quadrato i due membri dell ultima disequazioe otteiamo che essa è verificata per ogi. Segue che la successioe coverge a zero decrescedo. + Esempio 5. Determiare il carattere della serie. 3 2 lg(+) Per determiare il carattere di questa serie basta utilizzare l esempio. Essedo α = 3/2 la serie cosiderata è covergete.