LIMITI DI SUCCESSIONI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "LIMITI DI SUCCESSIONI"

Transcript

1 LIMITI DI SUCCESSIONI Formalmete, ua successioe di elemeti di u dato isieme A è u'applicazioe dall'isieme N dei umeri aturali i A: L'elemeto a della successioe è quidi l'immagie a = f) del umero secodo la fuzioe f. L'isieme A può essere ad esempio l'isieme dei umeri reali. A secoda di come sia defiito il codomiio A, le successioi possoo essere costituite da semplici umeri reali o complessi, le successioi umeriche; ma ache da fuzioi e i questo caso di parla di successioi di successioe di fuzioi, oppure acora da altri oggetti matematici, come matrici le matrici idetità di dimesioe ), figure geometriche poligoi regolari, piramidi regolari) o di strutture gruppi ciclici di ordii successivi, spazi vettoriali R ), ecc... Limite di ua successioe i U umero reale a è il ite di ua successioe di umeri reali {a } se la distaza fra i umeri a ed a è arbitrariamete piccola quado è sufficietemete grade. La distaza fra a ed a è data dal valore assoluto a a. I altre parole, a è il ite della successioe se Per ogi ε > 0 esiste u umero aturale N tale che a a < ε per ogi > N. I questo caso si scrive e si dice che la successioe coverge ad a. Se a = 0, la successioe è detta ifiitesima. La defiizioe di ite può essere estesa al caso el modo seguete: la successioe {a } ha ite se raggiuge valori arbitrariamete alti, cioè se Per ogi M > 0 esiste u umero aturale N tale che a > M per ogi > N. Aalogamete, ha ite se a < M per ogi > N. I etrambi i casi si dice che la successioe è divergete o covergete a. Per il teorema di uicità del ite, ua successioe può avere u ite fiito o ifiito) oppure essuo o può quidi avere più di uo).

2 Successioi itate Ua successioe a valori reali a si dirà: itata iferiormete se esiste u umero m tale che itata superiormete se esiste u umero M tale che itata se esiste u umero M tale che Ua successioe a valori i uo spazio metrico è itata se tutti i suoi valori soo iclusi u ua palla. Successioi mootoe Ua successioe {a } si dice: mootoa strettamete crescete se mootoa crescete se mootoa strettamete decrescete se mootoa decrescete se costate se è cotemporaeamete crescete e decrescete, ovvero Ua successioe mootoa è sempre covergete o divergete; o è mai idetermiata. Ua successioe mootoa e itata è sempre covergete. Permaeza del sego Per il teorema della permaeza del sego, se ua successioe {a } coverge ad u ite strettamete positivo a > 0 che può essere ache ), questa ha defiitivamete soltato termii positivi. I altre parole, esiste u N tale che a > 0 per ogi > N. Aalogamete, ua successioe che coverge ad u ite strettamete egativo ha defiitivamete soltato termii egativi. Ua successioe che coverge a zero può avere ifiiti termii di ambo i segi, ad esempio a = ) / : D'altro cato, o è vero i geerale che ua successioe {a } di termii positivi a > 0 covergete debba avere u ite strettamete positivo a > 0: ad esempio, la successioe a = / è fatta di termii positivi, ma coverge a zero.

3 Valori assoluti Se ua successioe {a } coverge ad u ite fiito o ifiito) a, la successioe dei valori assoluti { a } coverge al valore assoluto del ite a. No è vero l'euciato opposto: esistoo successioi o covergeti, i cui valori assoluti però covergoo. Ad esempio, la successioe a = ). Successioe mootoa Per il teorema di esisteza del ite di successioi mootoe, ua successioe mootoa {a } coverge sempre ad u ite che può essere ifiito). Il ite è dato dall'estremo superiore se è mootoa crescete) o iferiore se è decrescete) dei valori della successioe. I altre parole, el caso crescete: Tale ite è fiito quidi se e solo se la successioe è itata. Il fatto che a sia mootoa e coverga ad u ite a è spesso espresso co ua freccia oppure. Sottosuccessioi Ua sottosuccessioe di ua successioe {a } è otteuta prededo u sottoisieme ifiito di questa, e si idica co. Vale la proprietà seguete: Ua successioe è covergete se e solo se ogi sua sottosuccessioe è covergete. Teorema del cofroto o dei carabiieri) Il teorema del cofroto o dei carabiieri) per le successioi asserisce che ua successioe "stretta fra due successioi" covergeti allo stesso ite coverge ach'essa a questo ite. Formalmete, se {a },{b } e {c } soo tre successioi tali che per ogi, e se

4 allora ache Ad esempio, la successioe è "stretta" fra le successioi a = / e c = /, poiché per ogi. Poiché etrambe a e c soo ifiitesime covergoo cioè a zero), ache b è ifiitesima. Criterio di covergeza di Cauchy Ua successioe di Cauchy è ua successioe {a }, i cui valori "si avviciao sempre di più" fra loro. Formalmete, per ogi ε > 0 esiste N tale che: a a m < ε per ogi,m > N. Per il criterio di covergeza di Cauchy, ua successioe di umeri reali è covergete se e solo se è di Cauchy. Numero di Nepero Ua successioe di umeri razioali di Cauchy o è ecessariamete covergete ad u umero razioale ma lo è ad u umero reale). Ad esempio, è ua successioe di Cauchy di umeri razioali covergeti al umero irrazioale e di Nepero. La Fuzioe Fattoriale La fuzioe fattoriale può ache essere elegatemete defiita i modo ricorsivo:

5 Per questa ragioe, viee spesso utilizzata ell'isegameto dell'iformatica per forire il primo esempio di calcolo ricorsivo. I fattoriali iazitutto soo importati el calcolo combiatorio. I particolare vi soo! diverse sequeze formate da oggetti distiti, cioè vi soo! permutazioi di oggetti; i fattoriali quidi eumerao le permutazioi. Data l'importaza delle permutazioi, segue che i fattoriali si icotrao i umerosissime espressioi. Ad es., rimaedo el calcolo combiatorio, il umero di scelte di k oggetti fra quelli che costituiscoo u isieme di elemeti, cioè il umero dei sottoisiemi di k elemeti di u dato isieme di oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiete biomiale Disuguagliaza di Beroulli Successioi otevoli E opportuo cooscere u cogruo umero di successioi otevoli alle quali ricodursi, ove ciò sia possibile, per stabilire il carattere della successioe. Successioe armoica. E mootoa decrescete e itata quidi coverge a 0+ ) e il ite della successioe si ricava facilmete applicado la defiizioe. Successioe armoica geeralizzata. E mootoa decrescete e itata quidi coverge a 0+ ) p > 0. E mootoa crescete e ilitata quidi diverge a + ) p < 0. E costate e coverge a per p = 0. Successioe aritmetica. E mootoa il verso dipede dal sego di d ) ma o è itata quidi diverge.

6 Fots:

7 SUCCESSIONI Esercizi risolti. Calcolare i segueti iti: a) + ) b) 3 3 c) e) +3 d) log + ) +) g) ) + i) f) +3 l) 3 3 ) m) o) q) s) ) +) u). Verificare che per ) p) r) ) 3 t) + 3/ log log h) ) log +3 v) log 5 ) log +) log log ). a) + 3)!! + )! b) log + ). 3. Calcolare la parte pricipale per di a) ) 3 b) 3 + log. 5 + log 4. Sia d ua successioe covergete a l R, e sia a = ) d. Studiare l esisteza del a al variare di l i R. 5. Dimostrare che 3 é u ifiito di ordie iferiore a! per.

8 Soluzioi. a) + ) [ = + ) ] 3 /3 = e / Possiamo ache procedere utilizzado il ite fodametale + a/) = e a, [ + ) ] =e /3 ) = e /3. 3 b) c) d) e) + 3/ + = / 3/ ) / = /3 + 3 ) ) /3 + 3 ) =. ) = = ) + ) ) = =0. 3 log + ) +) = / log / + ) + ) = log =0. f) + log log = log + log log log = =0. g) Il ite vale zero perche la successioe ) è itata metre + è ifiitesima. h) Il ite o esiste perchè la successioe dei termii di idice pari tede a +, metre quella dei termii di idice dispari tede a. Se il ite esistesse = l) queste due successioi dovrebbero ivece tedere etrambe a l vedi ache esercizio 4). Notiamo che o è sufficiete dire che ) è oscillate e + + tede a + per cocludere che il ite o esiste. Per esempio la successioe a = ) +5) tede a + perchè a 4, pur essedo il prodotto di ua successioe oscillate per ua successioe ifiita. i) ) ) +3 = 3 + =3. 3

9 l) m) ) 3 + = 3 3 ) 3 3 ) 4 + = ) =. ) 3+ = 4/3) = log log 5 = log 3 ) log5 ) = ) 3 =+. o) ) +3 = + ) [ = ) + ] + = e. p) essedo /e <. q) ) [ = ] =e ) ) + =0, +) = + ) = [ + ) ] = e 0 =. r) Si ha e duque s) log +) log log +) log = log[ + )] log = log + log + log = + log log + )) =. ) 3 =0 + =0. ), t) È facile verificare che per ogi 3 vale log. Moltiplicado per abbiamo che log, e duque log ), 3.

10 Ricordado che e applicado il teorema del doppio cofroto otteiamo u) Si ha log =. = e log log log + log = e ) e =0. v) Si ha Ora e quidi. a) b) 3. a) Si ha b) = e log e log = e log e log log ). log + e ) log log = e log + log e =0, ) = e log =. + 3)!! + )! ) ) = 3 + 3) + ) +) = +) =. = log + ) [ = log + ) ] = log e =. )! 3! 4)! 3 + log 5 + log = ) ) 3) 6 = log + log È facile verificare dalla defiizioe di ite che ua successioe a tede a l R se e solo se le due successioi dei termii di idice pari e di idice dispari, b = a = {a 0,a,a 4,...} e c = a + = {a,a 3,a 5,...}, tedoo etrambe a l. Nel ostro caso a l metre a + l. Quidi se l = l cioè l = 0 allora a =0; se ivece l 0 il ite di a o esiste. 5. Scrivedo per esteso 3 /! possiamo effettuare la seguete maggiorazioe: 0 < 3! = = = 7. Passado al ite per eapplicado il teorema del doppio cofroto otteiamo 3! =0.

11 ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE Esercizio Calcolare i segueti iti facedo uso, se occorre, dei ti otevoli: ) i) ii) l + a, a l ) iii) +l + l ) 0 iv) +l + ) v) + ta vi) arcta cos π ) π ) vii) + 3+l + viii) cot 3 ) ix) + + cot 3 x) + ) xi) 3 xii) si + xiii) a ), a R + xiv) 3 + si +

12 xv) cos πx) determiare per quali x R la successioe coverge. xvi) si l ) +) [ ] xvii) + ) 3 3 xviii) xix) ) + ) + + xx) + 3 ) xxi) ) xxii) Esercizio Usado la defiizioe di ite dimostrare che: a) = + b) l + ) = 0 c) e + = e Esercizio 3 Dire per quali valori del parametro reale a IR la seguete successioe ammette ite fiito o ifiito: x = a ) + ) si. Esercizio 4 Teoremi di Cesaro: Teorema : Se la successioe di termie geerale a ha per ite l, fiito o ifiito, allora si ha a +...+a = l. Teorema : Se a > 0 é tale che a = l, fiito o ifiito, allora si ha a... a ) = l. Teorema 3 : Se a é tale che a + a ) = l, fiito o ifiito, allora a = l. Teorema 4 : Se a > 0 é tale che a + a a ) = l. Utilizzado i teoremi di Cesaro calcolare i segueti iti: a) b)!) = l, fiito o ifiito, allora

13 c)!) d)!) Esercizio 5 Verificare che ua successioe a coverge ad u umero l se e soltato se etrambe le sottosuccessioi a e a covergoo allo stesso ite l. Esercizio 6 Suppoiamo che le sottosuccessioi a e a estratte da ua successioe a siao etrambre mootoe. Dimostrare che, se a a ) = 0, allora a ammette ite. Esercizio 7 Verificare co u esempio che l euciato dell esercizio precedete o é ivertibile, ovvero esistoo successioi a che ammettoo ite, tali che a e a soo mootoe ma a a ) 0. 3

14 ESERCIZI SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE-SOLUZIONI Esercizio ) i) Razioalizziamo: ) ) ) = + [ = ) ] + + ) ) + ) = + + [ + )[ + ) ] ) ] + + ) + ) = = + )[ + ) ] + ) ) + ). Dividiamo umeratore e deomiatore per 3, e la frazioe diveta: ) + ) ) + ) + passado a ite si ottiee. ii) l [ + a = l a = l a + l )] a + ) a + Il primo termie é esattamete l a, metre il secodo tede a zero, dato che a, quidi l a + ) < l. l ) iii) +l + l ) e = +l ) l ) +l + e..

15 Il termie ) l ) +l e tede a zero perché < e. D altra parte, studiado separatamete la radice espoete di e : l ) + l = l Quidi e l ) +l + Quidi il ite iiziale é 0. l ) +l e l + 0. l ) l ) + l l ) = l. 0 iv) + Questo ite e molto simile al precedete, c e u 0 al posto di, ma i realta il risultato e molto diverso perche e +, quello che quidi cota e il rapporto tra la base dell espoeziale, 0 oppure e e che ivece e la base del logaritmo aturale a cui tede la radice all espoete. Si procede come el ite precedete per cui il termie ) l ) 0 +l e metre l altro termie tede a zero co lo stesso ordie di. Ci troviamo di frote ad ua forma idetermiata. Poiche la radice l ) + l ha lo stesso adameto di l, come spiegato ell esercizio precedete, si puo riscrivere il ite come: ) l 0 e ) lg 0 0e l 0 e e e l + = ) l 0 e 0 = l e + l ultimo passaggio tiee coto del fatto che l 0 e >. + = + ) v) + ta ) = + ta ta ta = e. Si e teuto coto dei iti otevoli + a ) a = e se a = 0, e si =. vi) arcta cos π ) π = π 0 ) vii) + 3+l = + e 3 e l e 3. + viii) cot 3 = + cos 3 si. ) cot ix) Utilizzado il risultato dell esercizio precedete si ottiee: ) 3 ) ) + l ) = + cos si =

16 + + 3 ) cot e. x) risultato = xi) risultato = 0 xii) risultato = xiii) risultato = 0 xiv) risultato = + xv) risultato: per x Z la successioe é ideticamete uguale ad, metre per tutti gli altri x reali tede a 0. xvi) riscriviamo il ite per sfruttare i iti otevoli: si l ) + ) = si + l ) + = = si + l ) + = 0 = 0. xvii) utilizziamo il prodotto otevole a 3 b 3 = a b)a + ab + b ) co a = + ) 3 e b = 3. Quidi il ite diveta + ) + ) )) =. + ) )) Abbiamo otteuto u quoziete di poliomi di grado al umeratore e 3 deomiatore, quidi il ite é 0. al xviii) riscriviamo il ite per sfruttare i iti otevoli: ) + = + ) + = + ) ) + = ) = e + = +. ) xix) vogliamo ricodurci ad ua forma del tipo + a a co a = ) +, e poi usare il ite otevole + a a e. Risolviamo quidi l equazioe = + a +, che é verificata se a = + per ). Quidi ) [ + = + ) a ] a = e + a = e. + 3

17 xx) riscriviamo il ite come Usiamo i teorema dei carabiieri: ) + 3 ) = 3 + ) ) + ) 3 + ) 3 3 Pertato tutta la successioe tede a 3. xxi) riscriviamo il ite come ) = ) + ) = e e =. xxii) usiamo il Teorema dei Carabiieri per provare che il ite é = = 0. D altra parte si ha + 4 < = + ). Quidi: > + + ) = 0. Esercizio Richiamiamo la defiizioe di ite: L fiito: a = L ε > 0 : a L < ε >. L ifiito: a = + M > 0 : a > M > a) = + M > 0 : > M per > 4) > M 4M, risolvedo l equazioe di secodo grado, troviamo che la disuguagliaza é verificata per valori di esteri all itervallo delle radici, che chiameremo x e x, quidi se > x = se x > x ) sicuramete la disuguagliaza é verificata e cosí la defiizioe di ite. b ) l + ) = 0 ε > 0 : l + ) < ε >. 4

18 Teedo coto che l + ) > 0, questa disuguagliaza é verificata se + < eε > e ε =. c) e + = e ε > 0 : e + e < ε. Teedo coto che e + > e, si ha e + ε e < ε e < + e < l + ε ) e > l ) + ε =. e Esercizio 3 Cosideriamo la successioe: x = a ) + ) si la frazioe tede a ), per cui il ite é sicuramete idetermiato se a. Ifatti se a = ± x = ), se se a > x = ±. Ivece se a < il ite é 0. Esercizio 5 Se la successioe a ammette ite, tutte le successioi estratte devoo ammettere lo stesso ite, quidi u implicazioe é ovvia. D altra parte, se a k e a k covergoo allo stesso ite l, si avrá: a k l < ε >, a k l < ε >. Quidi, se > max, ), risulta a l < ε, quidi a tede a l. Osservazioe importate: i geerale se due sottosuccessioi estratte da ua successioe data tedoo al medesimo ite l, o é affatto detto che la successioe di parteza coverga ad l. Peró, se le successioi estatte soo tali da esaurire tutti i possibili idici aturali, come accade per le successioi degli idici pari e dispari, allora si puó cocludere che la successioe di parteza tede allo stesso ite delle due sottosuccessioi. Esercizio 6 Essedo mootoe, le due successioi a e a sicuramete ammettoo ite, fiito o ifiito. Per ipotesi a a ) = 0 a = a = l IR {, + }, quidi grazie all esercizio precedete, a ammette ite ed esso é uguale ad l. 5

19 Esercizio 7 Vogliamo trovare ua successioe a che ammette ite, ma le due sottosuccessioi degli idici pari e dispari, pur essedo mootoe, quidi ammettedo ite, o verificao la proprietá a a ) = 0. Basta scegliere a =, essa ha ite +, ma a a ) = +. 6

ESERCIZI SULLE SERIE

ESERCIZI SULLE SERIE ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare

Dettagli

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c)

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c) SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Calcolare la somma delle segueti serie telescopiche: a) b). Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergeza) che le segueti serie o covergoo: a) c) ) log

Dettagli

Le successioni: intro

Le successioni: intro Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto!

Dettagli

1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ;

1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ; . Serie umeriche Esercizio. Studiare il carattere delle segueti serie: ;! ;! ;!. Soluzioe.. Serie a termii positivi; cofrotiamola co la serie +, che è covergete: + + + 0. Pertato, per il criterio del cofroto

Dettagli

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n. SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....

Dettagli

1 + 1 ) n ] n. < e nα 1 n

1 + 1 ) n ] n. < e nα 1 n Esercizi preparati e i parte svolti martedì 0.. Calcolare al variare di α > 0 Soluzioe: + ) α Per α il ite è e; se α osserviamo che da + /) < e segue che α + ) α [ + ) ] α < e α Per α > le successioi e

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioi di Matematica 1 - I modulo Luciao Battaia 4 dicembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 1 / 28 -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti

Dettagli

Definizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie.

Definizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie. SERIE NUMERICHE Defiizioe. Data ua successioe (a ) alla scrittura formale ) a + a 2 + + a +, si dà il ome di serie. I umeri a, a 2,, a, rappresetao i termii della serie, i particolare a è il termie geerale

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim.

Esercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim. Esercizi svolti. Calcolare i segueti iti: a log + + c ± ta 5 + 5 si π e b + si si e d + f + 4 5 g + 6 4 6 h 4 + i + + + l ± + log + log 7 log 5 + 4 log m + + + o cos + si p + e q si s e ta cos e u siπ

Dettagli

2.5 Convergenza assoluta e non

2.5 Convergenza assoluta e non .5 Covergeza assoluta e o Per le serie a termii complessi, o a termii reali di sego o costate, i criteri di covergeza si qui visti o soo applicabili. L uico criterio geerale, rozzo ma efficace, è quello

Dettagli

SUCCESSIONI DI FUNZIONI

SUCCESSIONI DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI LUCIA GASTALDI 1. Defiizioi ed esempi Sia I u itervallo coteuto i R, per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R. Il simbolo f } =1 idica ua successioe di fuzioi, cioè l applicazioe

Dettagli

Esercizi su serie numeriche - svolgimenti

Esercizi su serie numeriche - svolgimenti Esercizi su serie umeriche - svolgimeti Osserviamo che vale la doppia diseguagliaza + si, e quidi la serie è a termii positivi Duque la somma della serie esiste fiita o uguale a + Ioltre valgoo le diseguagliaze

Dettagli

1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge.

1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge. Le successioi A parole ua successioe é u isieme ifiito di umeri disposti i u particolare ordie. Piú rigorosamete, ua successioe é ua legge che associa ad ogi umero aturale u altro umero (ache o aturale):

Dettagli

Analisi Matematica I

Analisi Matematica I Uiversità di Pisa - orso di Laurea i Igegeria Edile-rchitettura alisi Matematica I Pisa, febbraio Domada La derivata della fuzioe f) log ) si è ) log )si B) log )cos ) log ) si cos loglog ) + si ) log

Dettagli

Esercizi sui limiti di successioni

Esercizi sui limiti di successioni AM0 - AA 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sui iti di successioi Esercizio svolto a) Usado la defiizioe di ite, dimostare che: + 3 si π cos e ) e b) 0 Soluzioe Comiciamo da a) Vogliamo dimostrare che: ε

Dettagli

Soluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5.

Soluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5. 60 Roberto Tauraso - Aalisi Calcolare la somma della serie Soluzioi + 3 R La serie può essere riscritta el modo seguete: + 4 3 9 Il umero può essere raccolto fuori dal sego di sommatoria: + 4 3 9 Si tratta

Dettagli

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti 6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo

Dettagli

Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 AA Dott.ssa Sandra Lucente Successioni numeriche

Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 AA Dott.ssa Sandra Lucente Successioni numeriche Corso di laurea i Matematica Corso di Aalisi Matematica -2 AA. 0809.. Cooscere. Dott.ssa Sadra Lucete. Successioi umeriche Defiizioe di successioe, isieme degli elemeti della successioe, successioe defiita

Dettagli

n 1 = n b) {( 1) n } = c) {n!} In questo caso la successione è definita per ricorrenza: a 0 = 1, a n = n a n 1 per ogni n 1.

n 1 = n b) {( 1) n } = c) {n!} In questo caso la successione è definita per ricorrenza: a 0 = 1, a n = n a n 1 per ogni n 1. Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 0: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale - Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Successioi umeriche:

Dettagli

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 42-57

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 42-57 Tracce di soluzioi di alcui esercizi di matematica - gruppo 42-57 4. Limiti di successioi Soluzioe dell Esercizio 42.. Osserviamo che a = a +6 e duque la successioe prede valori i {a,..., a 6 } e ciascu

Dettagli

Serie numeriche. Paola Rubbioni. 1 Denizione, serie notevoli e primi risultati. i=0 a i, e si indica con il simbolo +1X.

Serie numeriche. Paola Rubbioni. 1 Denizione, serie notevoli e primi risultati. i=0 a i, e si indica con il simbolo +1X. Serie umeriche Paola Rubbioi Deizioe, serie otevoli e primi risultati Deizioe.. Data ua successioe di umeri reali (a ) 2N, si dice serie umerica la successioe delle somme parziali (S ) 2N, ove S = a +

Dettagli

SERIE NUMERICHE. Test di autovalutazione. 1+a 2

SERIE NUMERICHE. Test di autovalutazione. 1+a 2 SERIE NUMERICHE Test di autovalutazioe. E data la serie: dove a R. Allora: ( ) 3a +a (a) se a = la serie coverge a (b) se a = 3 la somma della serie vale 5 (c) se a = 5 la serie diverge a (d) se a 0 la

Dettagli

Serie numeriche e di funzioni - Esercizi svolti

Serie numeriche e di funzioni - Esercizi svolti Serie umeriche e di fuzioi - Esercizi svolti Serie umeriche Esercizio. Discutere la covergeza delle serie segueti a) 3, b) 5, c) 4! (4), d) ( ) e. Esercizio. Calcolare la somma delle serie segueti a) (

Dettagli

16 - Serie Numeriche

16 - Serie Numeriche Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 6 - Serie Numeriche Ao Accademico 03/04 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S.

Dettagli

1 Esponenziale e logaritmo.

1 Esponenziale e logaritmo. Espoeziale e logaritmo.. Risultati prelimiari. Lemma a b = a b Lemma Disuguagliaza di Beroulli per ogi α e per ogi ln a k b k. k=0 + α + α Teorema Disuguagliaza delle medie Per ogi ln, per ogi upla {a

Dettagli

15 - Successioni Numeriche e di Funzioni

15 - Successioni Numeriche e di Funzioni Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 15 - Successioi Numeriche e di Fuzioi Ao Accademico 2013/2014 M Tummiello, V Lacagia,

Dettagli

x n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma

x n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma 1 Serie di poteze È stato dimostrato che la serie geometrica x (1.1) coverge se e solo se la ragioe x soddisfa la disuguagliaza 1 < x < 1. I realtà c è covergeza assoluta i ] 1, 1[. Per x 1 la serie diverge

Dettagli

Esercizi sulle successioni

Esercizi sulle successioni Esercizi sulle successioi 1 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 2 3. a := 2 + 3 3 7 2 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 0. a := 4 + 3 3 5 + 7

Dettagli

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 4

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 4 4. Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorezo Giacomelli Aalisi Matematica 2 a edizioe Svolgimeto degli esercizi del Capitolo 4 Il limite segue dal teorema del cofroto: e / 0 per. 4.2 0

Dettagli

Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1

Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1 Corso itegrato di Matematica per le scieze aturali ed applicate Materiale itegrativo Paolo Baiti Lorezo Freddi Dipartimeto di Matematica e Iformatica, Uiversità di Udie, via delle Scieze 206, 3300 Udie,

Dettagli

1 Successioni numeriche

1 Successioni numeriche Aalisi Matematica 2 Successioi umeriche CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 5 SERIE NUMERICHE Chiamiamo successioe di umeri reali ua fuzioe a valori reali defiita su N oppure

Dettagli

II-9 Successioni e serie

II-9 Successioni e serie SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La

Dettagli

Programma dettagliato del Corso di Analisi 1

Programma dettagliato del Corso di Analisi 1 Programma dettagliato del Corso di Aalisi Ig. per l Ambiete e il Territorio, Ig. Civile, Ig. dei Trasporti a.a. 2006-2007 http://www.dmmm.uiroma.it/persoe/capitaelli I NUMERI E LE FUNZIONI REALI Itroduzioe

Dettagli

Corso di Istituzioni di Matematiche I, Facoltà di Architettura (Roma Tre) Roma, 3 Novembre Le successioni. Versione preliminare

Corso di Istituzioni di Matematiche I, Facoltà di Architettura (Roma Tre) Roma, 3 Novembre Le successioni. Versione preliminare Corso di Istituzioi di Matematiche I, Facoltà di Architettura (Roma Tre) Roma, 3 Novembre 2005 Le successioi Versioe prelimiare Uo dei cocetti fodametali dell aalisi modera é il cocetto di limite. Per

Dettagli

Esercizi di Analisi II

Esercizi di Analisi II Esercizi di Aalisi II Ao Accademico 008-009 Successioi e serie di fuzioi. Serie di poteze. Studiare la covergeza della successioe di fuzioi (f ) N, dove f : [, ] R è defiita poedo f (x) := x +.. Studiare

Dettagli

Matematica I, Limiti di successioni (II).

Matematica I, Limiti di successioni (II). Matematica I, 05102012 Limiti di successioi II) 1 Le successioi elemetari, cioe α, = 0, 1, 2, α R), b, = 0, 1, 2, b R), log b, = 1, 2, b > 0, b 1), si, = 0, 1, 2,, cos, = 0, 1, 2,, per + hao il seguete

Dettagli

Esercizi di approfondimento di Analisi IA

Esercizi di approfondimento di Analisi IA Esercizi di approfodimeto di Aalisi IA 4 geaio 017 1 Estremo superiore/iferiore, classi cotigue, archimedeità 1.1. Mostrare che A = {x R : x > 0, x < } ha u estremo superiore ξ, ed è ξ =. 1.. Siao A, B

Dettagli

Insiemi numerici. Sono noti l insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, }, l insieme dei numeri interi relativi:

Insiemi numerici. Sono noti l insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, }, l insieme dei numeri interi relativi: Isiemi umerici Soo oti l isieme dei umeri aturali: N {1,, 3,, l isieme dei umeri iteri relativi: Z {0, ±1, ±, ±3, N {0 ( N e, l isieme dei umeri razioali: Q {p/q : p Z, q N. Si ottiee questo ultimo isieme,

Dettagli

2 Criteri di convergenza per serie a termini positivi

2 Criteri di convergenza per serie a termini positivi Uiversità Roma Tre L. Chierchia 65 (29//7) 2 Criteri di covergeza per serie a termii positivi I questo paragrafo cosideriamo serie a termii positivi ossia serie a co a > 0. Si ricordi che ua serie a termii

Dettagli

Algoritmi e Strutture Dati (Elementi)

Algoritmi e Strutture Dati (Elementi) Algoritmi e Strutture Dati (Elemeti Esercizi sulle ricorreze Proff. Paola Boizzoi / Giacarlo Mauri / Claudio Zadro Ao Accademico 00/003 Apputi scritti da Alberto Leporati e Rosalba Zizza Esercizio 1 Posti

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:

Dettagli

Facoltà di Architettura Corso di Laurea in Architettura UE 1 I NUMERI E LE FUNZIONI REALI. Istituzioni di Matematica 1 (Canale A-L) a.a.

Facoltà di Architettura Corso di Laurea in Architettura UE 1 I NUMERI E LE FUNZIONI REALI. Istituzioni di Matematica 1 (Canale A-L) a.a. Facoltà di Architettura Corso di Laurea i Architettura UE Istituzioi di Matematica (Caale A-L) a.a. 200-20 http://www.dmmm.uiroma.it/persoe/capitaelli I NUMERI E LE FUNZIONI REALI Itroduzioe al corso.

Dettagli

Principio di induzione: esempi ed esercizi

Principio di induzione: esempi ed esercizi Pricipio di iduzioe: esempi ed esercizi Pricipio di iduzioe: Se ua proprietà P dipedete da ua variabile itera vale per e se, per ogi vale P P + allora P vale su tutto Variate del pricipio di iduzioe: Se

Dettagli

Università degli Studi della Calabria Facoltà di Ingegneria. 26 giugno 2012

Università degli Studi della Calabria Facoltà di Ingegneria. 26 giugno 2012 Uiversità degli Studi della Calabria Facoltà di Igegeria Correzioe della Secoda Prova Scritta di alisi Matematica 2 giugo 202 cura dei Prof. B. Sciuzi e L. Motoro. Secoda Prova Scritta di alisi Matematica

Dettagli

Michela Eleuteri ANALISI MATEMATICA. Serie numeriche (teoria ed esercizi)

Michela Eleuteri ANALISI MATEMATICA. Serie numeriche (teoria ed esercizi) Michela Eleuteri ANALISI MATEMATICA Serie umeriche (teoria ed esercizi) A Giulia co la speraza che almeo ella matematica o assomigli al papà Idice Serie 5. Deizioe di serie e prime proprietà........................

Dettagli

Richiami sulle potenze

Richiami sulle potenze Richiami sulle poteze Dopo le rette, le fuzioi più semplici soo le poteze: Distiguiamo tra: - poteze co espoete itero - poteze co espoete frazioario (razioale) - poteze co espoete reale = Domiio delle

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica 1 utili per la preparazione all esame scritto. File con soluzioni.

Esercizi di Analisi Matematica 1 utili per la preparazione all esame scritto. File con soluzioni. Esercizi di Aalisi Matematica. Paola Gervasio Es. Esercizi di Aalisi Matematica utili per la preparazioe all esame scritto. File co soluzioi. a.5.5.5.5 b 4 3.5 3.5.5.5 5 5 Figura 5 5.5 a 3 b 4 5.5 6 5

Dettagli

Prova scritta di Analisi Matematica I 15/09/2010

Prova scritta di Analisi Matematica I 15/09/2010 Prova scritta di Aalisi Matematica I VO 5/09/00 ) Data la fuzioe f ( ) + a) disegare il grafico illustrado i passaggi fodametali b) Euciare e dimostrare il Teorema di Rolle e se possibile applicarlo a

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Limiti di successioi Ricordiamo che si chiama successioe (umerica) ua qualsiasi fuzioe a : N a () R. Per evideziare il fatto che i valori assuti dalla fuzioe a si possoo umerare (cioè cotare), si preferisce

Dettagli

Una raccolta di esercizi

Una raccolta di esercizi Corso di Aalisi matematica per Fisici (aa 007-08) (prof Alfoso Villai) Ua raccolta di esercizi (aggiorameto: maggio 008) Risolvere le segueti equazioi ell icogita : a) ( + ) = ( ); b) ( 8) = 9; c) 4 =

Dettagli

Matematica 5. Dipartimento di Matematica. ITIS V.Volterra San Donà di Piave. Versione [12/13][S-All]

Matematica 5. Dipartimento di Matematica. ITIS V.Volterra San Donà di Piave. Versione [12/13][S-All] Matematica 5 Dipartimeto di Matematica ITIS V.Volterra Sa Doà di Piave Versioe [/3][S-All] Idice I Itegrazioe Itegrazioe impropria. Geeralità............................................. Criteri di itegrabilità......................................

Dettagli

Esercizi svolti su successioni e serie di funzioni

Esercizi svolti su successioni e serie di funzioni Esercizi svolti su successioi e serie di fuzioi Esercizio. Calcolare il limite putuale di f ) = 2 +, [0, + ). Dimostrare che o si ha covergeza uiforme su 0, + ), metre si ha covergeza uiforme su [a, +

Dettagli

Esercizi proposti. f(x), f(x), f(x), f(x + 1), f(x) + 1. x 2 x 1 se x 1, 4 x se x > 1 2, 2).

Esercizi proposti. f(x), f(x), f(x), f(x + 1), f(x) + 1. x 2 x 1 se x 1, 4 x se x > 1 2, 2). Esercizi proposti 1. Risolvere la disequazioe + 1.. Disegare i grafici di a) y = 1 + + 3 ; b) y = 1 ; c) y = log 10 + 1). 3. Si cosideri la fuzioe f) = ; disegare i grafici di f), f), f), f + 1), f) +

Dettagli

Successioni di numeri reali

Successioni di numeri reali CAPITOLO Successioi di umeri reali. Defiizioi ed esempi. Limite di ua successioe. Nell ultimo paragrafo del capitolo precedete abbiamo itrodotto alcue fuzioi elemetari da sottoisiemi di) R a valori i R,

Dettagli

Programma (orientativo) secondo semestre 32 ore - 16 lezioni

Programma (orientativo) secondo semestre 32 ore - 16 lezioni Programma (orietativo) secodo semestre 32 ore - 6 lezioi 3 lezioi: successioi e serie 4 lezioi: itegrali 2-3 lezioi: equazioi differeziali 4 lezioi: sistemi di equazioi e calcolo vettoriale e matriciale

Dettagli

Precorso di Matematica, aa , (IV)

Precorso di Matematica, aa , (IV) Precorso di Matematica, aa 01-01, (IV) Poteze, Espoeziali e Logaritmi 1. Nel campo R dei umeri reali, il umero 1 e caratterizzato dalla proprieta che 1a = a, per ogi a R; per ogi umero a 0, l equazioe

Dettagli

Quarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4

Quarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4 Quarto Compito di Aalisi Matematica Corso di laurea i Iformatica, corso B 5 Luglio 016 Soluzioi Esercizio 1 Determiare tutti i umeri complessi z tali che z = 3 4 i. Soluzioe. Scrivedo z = a + bi, si ottiee

Dettagli

Def. R si dice raggio di convergenza; nel caso i) R = 0, nel caso ii)

Def. R si dice raggio di convergenza; nel caso i) R = 0, nel caso ii) Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi : Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale. -Si cosiglia vivamate di fare gli esercizi del testo. Cap. 9.5 - Serie di poteze,

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica A utili per la preparazione all esame scritto. File con soluzioni.

Esercizi di Analisi Matematica A utili per la preparazione all esame scritto. File con soluzioni. Esercizi di Aalisi Matematica A: soluzioi Es. Esercizi di Aalisi Matematica A utili per la preparazioe all esame scritto. File co soluzioi. PSfrag replacemets a.5.5.5.5 PSfrag replacemets 5 5 a b 4 3.5

Dettagli

Il Teorema di Markov. 1.1 Analisi spettrale della matrice di transizione. Il teorema di Markov afferma che

Il Teorema di Markov. 1.1 Analisi spettrale della matrice di transizione. Il teorema di Markov afferma che 1 Il Teorema di Marov 1.1 Aalisi spettrale della matrice di trasizioe Il teorema di Marov afferma che Teorema 1.1 Ua matrice di trasizioe regolare P su u isieme di stati fiito E ha ua uica distribuzioe

Dettagli

Elementi di calcolo combinatorio

Elementi di calcolo combinatorio Appedice A Elemeti di calcolo combiatorio A.1 Disposizioi, combiazioi, permutazioi Il calcolo combiatorio si occupa di alcue questioi iereti allo studio delle modalità secodo cui si possoo raggruppare

Dettagli

POLITECNICO di BARI - I Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA MECCANICA (Corso B) A.A. 2011/2012. per ogni n N

POLITECNICO di BARI - I Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA MECCANICA (Corso B) A.A. 2011/2012. per ogni n N POLITECNICO di BARI - I Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea i INGEGNERIA MECCANICA Corso B) A.A. / ) Dimostrare, utilizzado il pricipio di iduzioe, che a) b) c) d) k= log + ) = log + ) per ogi N k k

Dettagli

Consideriamo un insieme di n oggetti di natura qualsiasi. Indicheremo questi oggetti con

Consideriamo un insieme di n oggetti di natura qualsiasi. Indicheremo questi oggetti con Calcolo Combiatorio Adolfo Scimoe pag 1 Calcolo combiatorio Cosideriamo u isieme di oggetti di atura qualsiasi. Idicheremo questi oggetti co a1 a2... a. Co questi oggetti si voglioo formare dei gruppi

Dettagli

( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) LE DERIVATE ( ) ( ) (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 1. GENERALITÀ

( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) LE DERIVATE ( ) ( ) (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 1. GENERALITÀ LE DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe A) Ituitiva. La derivata, a livello ituitivo, è u operatore tale che: a) ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe; b) obbedisce alle segueti regole di derivazioe: () D a

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO Che cosa sigifica cotare Tutti coosciamo la successioe dei umeri iteri Naturali N = {0, 1,,, } si tratta di ua struttura metale fodametale, chiaramete presete alla ostra ituizioe che

Dettagli

1 Congruenze. Definizione 1.1. Siano a, b, n Z con n 2, definiamo a b (mod n) se n a b.

1 Congruenze. Definizione 1.1. Siano a, b, n Z con n 2, definiamo a b (mod n) se n a b. 1 Cogrueze Defiizioe 1.1. Siao a, b, Z co 2, defiiamo a b (mod ) se a b. Proposizioe 1.2. 2 la cogrueza mod è ua relazioe di equivaleza su Z. a a () perché a a a b () b a () a b () b c () a b b c a c =

Dettagli

Cenni di topologia di R

Cenni di topologia di R Cei di topologia di R. Sottoisiemi dei umeri reali Studieremo le proprietà dei sottoisiemi dei umeri reali, R, che hao ad esempio la forma: = (, ) (,) 6 8 = [,] { ;6;8} { } = (, ) (,) [, + ) Defiizioe:

Dettagli

2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33)

2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33) Defiizioe di umero reale come allieameto decimale co sego. Numeri reali positivi. Numeri razioali: defiizioe e proprietà di desità Numeri reali Defiizioe: U umero reale è u allieameto decimale co sego,

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1. (Il logaritmo si intende in base naturale e dove non specificato. Il risultato comunque non dipende dalla scelta della base)

Foglio di esercizi N. 1. (Il logaritmo si intende in base naturale e dove non specificato. Il risultato comunque non dipende dalla scelta della base) Foglio di esercizi N. 1 (Il logaritmo si itede i base aturale e dove o specificato. Il risultato comuque o dipede dalla scelta della base) 1. Determiare il domiio della fuzioe 2. Determiare il domiio della

Dettagli

1 Congruenze. Definizione 1.1. a, b, n Z n 2, allora definiamo a b (mod n) se n a b.

1 Congruenze. Definizione 1.1. a, b, n Z n 2, allora definiamo a b (mod n) se n a b. 1 Cogrueze Defiizioe 1.1. a, b, Z 2, allora defiiamo a b (mod ) se a b. Proposizioe 1.2. 2 la cogrueza mod è ua relazioe di equivaleza su Z. a a () perché a a a b () b a () a b () b c () a b b c a c =

Dettagli

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di calcolo combinatorio. anno acc. 2009/2010

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di calcolo combinatorio. anno acc. 2009/2010 elemeti di calcolo combiatorio ao acc. 2009/2010 Cosideriamo u isieme fiito X. Chiamiamo permutazioe su X u applicazioe biuivoca di X i sè. Ad esempio, se X = {a, b, c}, le permutazioi distite soo 6 e

Dettagli

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Seconda lezione

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Seconda lezione Aritmetica 06/07 Esercizi svolti i classe Secoda lezioe Dare ua formula per 3 che o coivolga sommatorie Dato che sappiamo che ( + e ( + ( + 6 vogliamo esprimere 3 mediate, e poliomi i U idea possibile

Dettagli

Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN

Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica Zaichelli (Bologa), 998, ISBN 88-8-69- Capitolo 3 LIMITI E CONTINUITÀ Soluzioe dei problemi posti al termie di alcui paragrafi 3. Fuzioi umeriche

Dettagli

Analisi Matematica 1. Anno Accademico Roberto Monti. Versione del 31 Ottobre 2013

Analisi Matematica 1. Anno Accademico Roberto Monti. Versione del 31 Ottobre 2013 Aalisi Matematica Ao Accademico 203-204 Roberto Moti Versioe del 3 Ottobre 203 Cotets Chapter. Numeri aturali e reali 5. Numeri aturali e pricipio di iduzioe 5 2. Numeri reali 7 3. R come spazio metrico

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO 0. Itroduzioe Oggetto del calcolo combiatorio è quello di determiare il umero dei modi mediate i quali possoo essere associati, secodo prefissate regole, gli elemeti di uo stesso

Dettagli

GLI INSIEMI NUMERICI

GLI INSIEMI NUMERICI GLI INSIEMI NUMERICI R 2 π 2, _ -,8 2,89 Q Z N -2 2 28-87 -87 _, 7,76267 7 - e 2,7-7 -,6 _ -,627 7 6 R Numeri Reali Q Numeri Razioali Z Numeri Iteri Relativi N Numeri Naturali Dal diagramma di Eulero-Ve

Dettagli

Materiale didattico relativo al corso di Matematica generale Prof. G. Rotundo a.a.2009/10

Materiale didattico relativo al corso di Matematica generale Prof. G. Rotundo a.a.2009/10 Materiale didattico relativo al corso di Matematica geerale Prof. G. Rotudo a.a.2009/10 ATTENZIONE: questo materiale cotiee i lucidi utilizzati per le lezioi. NON sostituisce il libro, che deve essere

Dettagli

Studio di funzione. Rappresentazione grafica di una funzione: applicazioni

Studio di funzione. Rappresentazione grafica di una funzione: applicazioni Studio di fuzioe Tipi di fuzioi Le fuzioi si possoo raggruppare i alcue tipologie di base: Razioali: se le operazioi che vi si effettuao soo addizioe, sottrazioe, prodotto, divisioe ed elevameto a poteza

Dettagli

LEGGE DEI GRANDI NUMERI

LEGGE DEI GRANDI NUMERI LEGGE DEI GRANDI NUMERI E. DI NARDO 1. Legge empirica del caso e il teorema di Beroulli I diverse occasioi, abbiamo mezioato che la ozioe ituitiva di probabilità si basa sulla seguete assuzioe: se i sperimetazioi

Dettagli

Cosa vogliamo imparare?

Cosa vogliamo imparare? Cosa vogliamo imparare? risolvere i modo approssimato equazioi del tipo f()=0 che o solo risolubili i maiera esatta ed elemetare tramite formule risolutive. Esempio: log( ) 1= 0 Iterpretazioe grafica Come

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 1. Funzioni elementari

ANALISI MATEMATICA 1. Funzioni elementari ANALISI MATEMATICA Fuzioi elemetari Trovare le soluzioi delle segueti disequazioi ) x + 4 5 > 8 + 5x 0 ) 5x + 0 > 0, x 4 < 0 3) x x 3 4) x + x + > 3 x + 4 5) 5x 4x x + )x ) 6) x x + > 0, x + 5x + 6 0,

Dettagli

Per approssimare la funzione, occorre determinare la derivata prima e seconda:

Per approssimare la funzione, occorre determinare la derivata prima e seconda: Esercizi sul Poliomio di Taylor Approssimare lafuzioe f() = l(+si) coilpoliomio di Taylor di ordie = e puto iiziale 0 = 0. Soluzioe Per approssimare la fuzioe, occorre determiare la derivata prima e secoda:

Dettagli

DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE

DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE DETERMINANTI (SECONDA PARTE). NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2010-11 MARCO MANETTI: 21 DICEMBRE 2010 1. Sviluppi di Laplace Proposizioe 1.1. Sia A M, (K), allora per ogi idice i = 1,..., fissato vale lo sviluppo

Dettagli

RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI

RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI L itelletto, duque, che o è la verità, o comprede mai la verità i modo così preciso da o poterla compredere (poi acora) più precisamete, all ifiito, perché sta alla

Dettagli

Successioni. Grafico di una successione

Successioni. Grafico di una successione Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario

Dettagli

3 Limiti e continuità

3 Limiti e continuità 3 Limiti e cotiuità I questo corso ci occuperemo prevaletemete del calcolo ifiitesimale, disciplia matematica che affoda le sue radici ella Grecia del III secolo a.c. Euclide, Archimede), ha u grade sviluppo

Dettagli

****** FUNZIONI MISURABILI E INTEGRAZIONE ******

****** FUNZIONI MISURABILI E INTEGRAZIONE ****** ****** FUNZIONI MISURABILI E INTEGRAZIONE ****** 1 2 1. Fuzioi misurabili. I questo umero estediamo la ozioe di misurabilità alle fuzioi. Defiizioe 1. Siao u isieme o vuoto, Y uo spazio topologico e µ

Dettagli

Riassunto delle Esercitazioni di Analisi Matematica II

Riassunto delle Esercitazioni di Analisi Matematica II Riassuto delle Esercitazioi di Aalisi Matematica II C.d.L. i Matematica e Matematica per le Applicazioi - A. A. 2006-2007 Prof. Kevi R. Paye e Dott. Libor Vesely 1 Serie Numeriche - Mer. 28 marzo - due

Dettagli

Esercizi sul principio di induzione

Esercizi sul principio di induzione Esercitazioi di Aalisi I, Uiversità di Trieste, lezioe del 0/0/008 Esercizi sul pricipio di iduzioe Esercizio Dimostrare per iduzioe che + + + ( + ), Risoluzioe Le dimostrazioi di ua proprietà P() per

Dettagli

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria Esercizi svolti a lezioe e o proveieti dal Marcellii Sbordoe La preseza della lettera C idica u esercizio da fare a casa. La capacità di svolgere tali esercizi è parte del bagaglio ecessario i sede di

Dettagli

3. Calcolo dei limiti e confronti asintotici

3. Calcolo dei limiti e confronti asintotici Lezioi di Aalisi Matematica per Iformatici a.a. 009/00) Capitolo 3 Prof. Paolo Caldiroli 3. Calcolo dei iti e cofroti asitotici 3. Itroduzioe La teoria delle serie umeriche sviluppata el capitolo ci forisce

Dettagli

Istituzioni di Matematiche (CH-CI-MT) V o foglio di esercizi

Istituzioni di Matematiche (CH-CI-MT) V o foglio di esercizi Istituzioi di Matematiche (CH-CI-MT) V o foglio di esercizi ESERCIZIO. Si determiio le soluzioi dell equazioe x x + 5 = 0. Idicata co z 0 la soluzioe co parte immagiaria positiva, si disegi el piao di

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE

ESERCIZI SULLE SERIE ESERCIZI SULLE SERIE Studiare la atura delle segueti serie. ) cos 4 + ; ) + si ; ) + ()! 4) ( ) 5) ( ) + + 6) ( ) + + + 7) ( log ) 8) ( ) + 9) log! 0)! Studiare al variare di x i R la atura delle segueti

Dettagli

Lezione 4. Gruppi di permutazioni

Lezione 4. Gruppi di permutazioni Lezioe 4 Prerequisiti: Applicazioi tra isiemi Lezioi e Gruppi di permutazioi I questa lezioe itroduciamo ua classe ifiita di gruppi o abeliai Defiizioe 41 ia X u isieme o vuoto i dice permutazioe su X

Dettagli

Radicali. Esistenza delle radici n-esime: Se n è pari: ogni numero reale non negativo (cioè positivo o nullo) ha esattamente una radice n-esima in R.

Radicali. Esistenza delle radici n-esime: Se n è pari: ogni numero reale non negativo (cioè positivo o nullo) ha esattamente una radice n-esima in R. Radicali Radici quadrate Si dice radice quadrata di u umero reale a, e si idica co a, il umero reale positivo o ullo (se esiste) che, elevato al quadrato, dà come risultato a. Esisteza delle radici quadrate:

Dettagli

APPUNTI ANALISI MATEMATICA SABO

APPUNTI ANALISI MATEMATICA SABO APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA SABO FUNZIONI cocetto: legame tra due (o più) variabili costituito da relazioi matematiche Fuzioe: Razioale: o è sotto radice Algebrica: le operazioi che costituiscoo il legame

Dettagli

1. ESERCIZI sui NUMERI REALI. Determinare l estremo superiore e inferiore, il massimo e il minimo, se esistono, dei seguenti insiemi.

1. ESERCIZI sui NUMERI REALI. Determinare l estremo superiore e inferiore, il massimo e il minimo, se esistono, dei seguenti insiemi. . ESERCIZI sui NUMERI REALI Determiare l estremo superiore e iferiore, il massimo e il miimo, se esistoo, dei segueti isiemi.. A = { R apple }. B = {

Dettagli

2T(n/2) + n se n > 1 T(n) = 1 se n = 1

2T(n/2) + n se n > 1 T(n) = 1 se n = 1 3 Ricorreze Nel caso di algoritmi ricorsivi (ad esempio, merge sort, ricerca biaria, ricerca del massimo e/o del miimo), il tempo di esecuzioe può essere descritto da ua fuzioe ricorsiva, ovvero da u equazioe

Dettagli

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Applicado la defiizioe di covergeza di ua serie stabilire il carattere delle segueti serie, e, i caso di covergeza, trovare la somma: = + b) = + +. Verificare utilizzado

Dettagli