Esercizi sulle fibre ottiche

Transcript

1 Esercizi sulle fibre ottiche 1) Si consideri una fibra ottica di tipo step-index con raggio di all interfaccia con il cladding pari a 5 micron ed apertura numerica pari a 0,1. Per quale lunghezza d onda opera in condizioni monomodali? A quale lunghezza d onda si attiverà il 6 modo LP? (si utilizzino le tabelle dei cut-off) Il parametro di fibra V per una step-index è V # a n $ n cladd # ana Dalla tabella di cut-off per la step-index, si osserva che il valore di V per il secondo modo (LP11) vale,405. Per operare in condizioni di monomodalità deve essere V <,405 e quindi ana ana <,405 ovvero per # > #,405 $ 5$10%6 $ 0,1,405 1,31$10 %6 m Per eccitare il 6 modo (LP 1 ) si deve superare il valore di cut-off pari 5,5 per cui deve essere ana ana > 5,5 ovvero per # < # 5,5 $ 5$10%6 $ 0,1 0,57$10 %6 m 5,5

2 ) Si desidera utilizzare una fibra ottica in terza finestra (a 1,5 micron di lunghezza d onda) ma si vuole garantire che anche in seconda finestra sino a 1,6 micron essa si mantenga monomodale. La fibra è di tipo graded-index con un raggio di di 4 micron. Con quale salto d indice si deve scegliere la fibra (si assuma 1,45 l indice di rifrazione sull asse della fibra)? (si utilizzino le tabelle dei cut-off) Il parametro di fibra V per una graded-index ( parabolico e cladding infinito) è V # a n 0 $ n cladd # a n 0 $ n 0 ( 1$ %) # an 0 % Dalla tabella di cut-off per la graded-index, si osserva che il valore di V per il secondo modo (LP 11 ) vale 3,51. Per operare in condizioni di monomodalità deve essere V < 3,51 anche per λ pari a 1,6 micron, quindi # an 0 $ < 3,51 ovvero per # 1,6%10 &6 $ < 3,51 # 1 3,51 1,6%10&6 an 0 1 4%10 &6 %1,45 4,4 36,44 0,1 che comporta un salto Δ fra i quadrati di indice di rifrazione pari a 0,0144. Il salto d indice tra l asse della fibra ed il cladding è poi (essendoci guida debole cioè piccolo salto) % n n 0 # n clad n 0 # n 0 1# $ n 0 # n 0 1# ( ' * n 0 & ) e quindi n 1,45 0,0144 0,01044 Il salto d indice in termini relativi è cioè circa lo 0,7%.

3 3) Si desidera utilizzare una fibra ottica in tutto lo spazio di frequenze del Coarse WDM restando in condizioni di propagazione monomodale. Per facilitare l accoppiamento si desidera altresì avere, a parità di apertura numerica, il più grande parametro di a possibile: conviene usare fibre step-index o graded-index? Se a vale 5 micrometri, qual è il salto d indice della fibra? Il parametro V per entrambe le fibre è sempre una espressione del tipo V # ana Il valore di V cut-off per la fibra graded-index (con parabolico e cladding infinito) è 3,51, mentre per le fibre step-index,405. Siccome per garantire la monomodalià deve essere V # ana < V modo cut$off % a < V modo cut$off # NA V modo cut$off &1,6&10 $6 NA mi conviene quindi considerare una fibra graded-index. Per quest ultima fibra valuto NA che sarà modo & # V # ana < V modo cut$off % NA < V cut$off a da cui, essendo per una fibra graded-index 3,51&1,6&10$6 & 5&10 $6 0,141 NA n 0 n cladd n 0 n 0 ( 1 #) n 0 # ed assumendo per n 0 1,45, questo comporta un salto fra i quadrati dell indice di rifrazione Δ 0,00946 Il salto relativo d indice è dello 0,47% e risulta anche n 1,45 0, ,00686

4 4) In una fibra ottica di tipo step-index (indice di cladding pari a 1,450 indice di pari a 1,456 e raggio di di 4,5 micron) il modo fondamentale di propagazione monomodale presenta un β l 1 per mille superiore a quello pertinente al valore di primo cut-off (cut-off del modo LP 11 ). Lo stesso modo fondamentale in corrispondenza del 6 cut-off (cut-off del modo LP 1 ) presenta un β l 1 per mille più piccolo del vettore d onda di. Si stimi l estensione del campo evanescente nei due regimi di propagazione. (si utilizzino le tabelle dei cut-off) Per stimare l estensione del campo evanescente debbo stimare il valore di γ nei due regimi sapendo che # $ k clad Debbo quindi recuperare i valori di β e k nei due regimi, cioè la lunghezza d onda a cui opero. Per fare questo utilizzo l espressione del parametro V di cui conosco i valori di cut-off V # a n $ n clad Utilizzando i dati del testo conosco V a meno di λ, infatti ho che n n clad 1,456 1,450,1199,105 0,0174 0,13 e quindi essendo V di cut-off per il modo pari a,40 e per il 5 modo 5,5 modo # V a n $ n clad #,40 4,5%10$6 0,13 1,53 micron 5modo # V a n $ n clad Avrò quindi che # 5,5 4,5%10$6 0,13 0,67 micron k modo clad # n clad 1,53 1,45$106 5,95$10 6 m %1 k modo # n clad 1,53 1,456$106 5,98$10 6 m %1 ( ) $10 6 m %1 5,956$10 6 m %1 & ' modo fond 5,95 + 0,00595

5 da cui # $ k clad ( 5,956) $ ( 5,950) 35,47 $ 35,40 0,6%10 6 m $1 & il campo decade di 1 in 3,77 micron e Sarà poi k 5modo # n 0,67 1,456$106 13,65$10 6 m %1 5modo k cladding # n 0,67 1,450$106 13,59$10 6 m %1 & ' 5modo fond ( 13,65 % 0,01365) , m %1 da cui # $ k clad ( 13,63) $ ( 13,59) 185,77 $184,68 1,044 %10 6 m $1 & il campo decade di 1 in 0,95 micron e

6 5) In una fibra ottica di tipo graded-index (con apertura numerica pari a 0,10, parametro radiale di pari a 5 micrometri ed indice al centro pari ad 1,46), in corrispondenza del cut-off del modo (modo LP 11 ), il modo fondamentale LP 01 presenta un β del per mille superiore al β di cut-off stesso. La caratteristica dispersiva della fibra è tale che alla lunghezza d onda di 0,5 micron, il β del modo fondamentale è solo per mille inferiore all asintoto di. Si stimi il valore del vettore d onda traverso κ nei due regimi di propagazione. Per stimare il valore di κ debbo risolvere la relazione pitagorica k # $ debbo quindi ricavare i valori di κ e β nei due regimi. Ricavo la lunghezza d onda di cut-off del secondo modo sapendo che V3,51 ho che V # E poi ana $ # V NA n 0 n 0 # n 0 ( 1# ) $ n clad % 5% 0,14 ana 10 &6 1,5%10 &6 m 3,51 n 0 ( 1# ) n 0 # ( NA) 1,46 # ( 0,14),1316 # 0,0196,110 $ n clad 1,4533 avrò quindi che k modo clad # n clad 1,5 1,4533$106 7,30$10 6 m %1 k modo # n clad 1,5 1,46$106 7,34$10 6 m %1 ( ) $10 6 m %1 7,314$10 6 m %1 & ' modo fond 7,30 + 0,0146 da cui k # $ modo fond 7,34 # 7,314 53,87 # 53,49 0,61%10 6 m #1

7 Sarà poi a 0,5 micrometri k pienaprop # n 0,50 1,46$106 18,34 $10 6 m %1 k pienaprop cladding # n cladd 0,50 1,453$106 18,5$10 6 m %1 & ' pienaprop fond ( 18,34 % 0,0367) ,30$10 6 m %1 da cui k Noto che # % $ k & ( ' modo # $ modo fond 18,34 #18,30 336,35# 334,89 1,0%10 6 m #1 0,61 7,34 0,08 > # & % ( $ ' k pienaprop 1,0 18,34 0,065

8 6) Considerata la fibra ottica dell esercizio precedente caratterizzata dal valore di β del modo fondamentale a 1,53 micron pari a 5, m -1, si valuti quale dimensione di waist di fascio Gaussiano di ingresso permette il miglior accoppiamento e quale lente lo può produrre a partire da un fascio Gaussiano di raggio 0,5 mm. Debbo fare si che modo fondamentale ( ingresso )n (siccome non sono nello stesso mezzo, il β in ingresso va valutato nel vetro della fibra, cioè nel vetro del ). L espressione del β di ingresso per un fascio gaussiano nel suo waist è in k # 1 z r $ % # % $w 0 da cui & # # $ % ) ( in+ ' * w 0 e quindi siccome dai dati del problema ottengo che in modo 5,956#106 4,090#10 6 n 1,456 ho che & # # $ % ) ( in+ ' * 1,53 & #( # ' 1,53 $ 4,09 ) + * 1,53 #( 4,11$ 4,09) 1,53 0,053 10$1 5,40,10 $6 Una lente che agisce su un fascio Gaussiano collimato produce uno spot del diametro di w fuoco da cui #w lente f f w fuoco w lente # $ 5,40$ 0,5$10%9 1,53$10 %6 5,54 mm

9 7) Se la stessa lente dell esercizio precedente (f 5,54 mm) viene usata per raccogliere il fascio in uscita dalla fibra ottica a gradiente d indice dell esercizio (a 4 micron): quanto risulta la divergenza del fascio così prodotto? Per trovare la divergenza del fascio prodotto dalla lente debbo conoscere la dimensione del fascio stesso sulla faccia di uscita della lente, cioè applico ancora la espressione approssimata w fuoco e ricavo w lente #w lente f #w fuoco f dove adesso w fuoco sarà la dimensione del modo fondamentale di propagazione, cioè w 0,8a 3,8 micron da cui w lente e quindi f 1,53 #w fuoco # $ 3,8 5,54 $10%3 0,8mm div 1,5310$6 0,59 mrad $3 #w lente #0,810

10 8) Si consideri una fibra step-index con raggio di a 5 micron. L indice di cladding vale Trovare il salto d indice in modo che a 1550 nm il secondo modo (LP 11 ) sia a cut-off. Con il salto d indice trovato, vedere poi quanti modi LP propagano a 633 nm. Il parametro di fibra vale V # a dove n $ n cladd # a ( n + n cladd) ( n $ n cladd ) an %n # n n + n cladd è il valore medio degli indici, mentre n n # n cladd è il salto d indice. Dall espressione di V otteniamo n 1 % #V ( ' * & $an ) Essendo il salto d indice piccolo nelle fibre ( guida debole ), possiamo considerare n n n cladd 1.46 Imponendo che il secondo modo sia a cut-off (quindi solo il modo fondamentale LP 01 è guidato), si ottiene V,405 e quindi il salto d indice è n 1 % 1,55#,405( ' * 0,0033 & $ # 5#1,46) L indice di è pertanto 1,4633. Si vede che il salto d indice è effettivamente molto piccolo, in termini relativi pari a poco più del per mille.

11 Passiamo ora alla lunghezza d onda di 633 nm. Dobbiamo calcolarci il nuovo valore di V, a parità di fibra. Il parametro di fibra V è una frequenza normalizzata ed è inversamente proporzionale alla lunghezza d onda. Conoscendo il V a 1550 nm, si ottiene quello a 633 nm semplicemente come ( ) 1550 V 633 nm 633 V ( 1550 nm),45,405 5,89 Quindi riducendo la lunghezza d onda il V aumenta e la fibra diventa multi-modale. Dalla tabella dei cut-off per la fibra step-index si ottengono i seguenti 6 modi LP (tra parentesi c è il corrispondente V di cut-off): LP 01 (0) LP 11 (,405) LP 1 (3,83) LP 0 (3,83) LP 31 (5,13) LP 1 (5,5)

12 9) Si consideri una fibra step-index con indice di cladding 1,46 e indice di 1,4633. Determinare il valore del raggio di a per avere propagazione monomodale alle lunghezze d onda rispettivamente di 633 nm e 1310 nm. Invertendo l espressione di V si ottiene per il raggio di V a #n $n Per la monomodalità deve essere V,405, quindi # $,405 a % $1,46 $ 0,0033 A 633 nm si ottiene a,04 µm e a 1310 nm a 4,3 µm

13 10) Si consideri una fibra graded-index ( parabolico e cladding infinito) tale che a 1550 nm il secondo modo sia a cut-off. Determinare quanti modi LP propagano in fibra rispettivamente a 160 nm e a 633 nm. Per questo tipo di fibra graded-index la V di cut-off del secondo modo è 3,51. Quindi a 1550 nm sappiamo che V ( 1550 nm) 3,51 A 160 nm otteniamo ( ) 1550 V 160 nm 160 V ( 1550 nm) 1,3 3,51 4,3 Dalla tabella dei cut-off si hanno a 160 nm due modi LP: LP 01 (0) LP 11 (3,51) A 633 nm risulta ( ) 1550 V 633 nm 633 V ( 1550 nm),45 3,51 8,60 e dalla tabella dei cut-off si vede che ci sono 6 modi LP: LP 01 (0) LP 11 (3,51) LP 0 (5,06) LP 1 (5,74) LP 1 (7,45) LP 31 (7,84)