STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 3 VARIABILI QUANTITATIVE Indici di centralità, dispersione e forma

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1 Matematca e statstca: da dat a modell alle scelte Resposabl scetfc M.P. Rogat e E. Sasso (Dpartmeto d Matematca Uverstà d Geova) STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 3 VARIABILI QUANTITATIVE Idc d cetraltà, dspersoe e forma Esstoo altr dc che forscoo formazo sulla dstrbuzoe de dat osservat, oltre a quell basat su quatl, vst ella scheda.. I seguto dcheremo co l umero de dat osservat e co, l -esmo dato osservato (o ecessaramete ordato).. Idc d cetraltà (o poszoe) Forscoo dcazo sulla poszoe de dat, ovvero dcao toro a qual valor umerc s dstrbusce la varable osservata X. meda emprca (mea) meda sputata (trmmed mea) moda/e medaa (meda) Q = = Meda de dat calcolata cosderado solo l 90% de dat cetral, coè compres fra l 5% e l 95% de dat ordat Valore/ co frequeza massma l mmo valore osservato tale che almeo l 50% de dat è more o uguale a questo Soffermamoc sulla meda. Scrvamo la formula della meda utlzzado la dstrbuzoe della varable X. Rcordamo che la dstrbuzoe della varable è l seme delle coppe ( k, f k ), per k da a m, avedo dcato co k gl m dfferet valor assut dalla varable e co f k le corrspodet frequeze relatve: m = f k k = Osservamo che se valor assut dalla varable soo tutt dvers, la frequeza d cascu dato è / e s rtrova la formula precedete. La meda gode delle seguet propretà:. la somma degl error che s commettoo sosttuedo l valore della meda a tutte le osservazo (scarto) è ullo, ovvero ( ) = 0 ; =. la meda rede mma la somma de quadrat degl scart, coè, se sceglamo qualuque altro umero a e cosderamo quadrat degl scart de dat da a, abbamo la seguete dsuguaglaza = ( ) k = ( a) La meda vee ache detta barcetro de dat. Ifatt se terpretamo dvers valor assut dalla varable come pes attaccat all asse reale, la meda è l puto d equlbro de dat. Propro quato barcetro de dat, la meda rsete molto della poszoe de valor estrem, la meda trocata ovva parte questo problema. La medaa o è fluezata da valor estrem.

2 ESEMPIO. Cosderamo l peso e l altezza d 9 studet. Fgura. Dotplot Altezza Varable Mea TrMea Meda Altezza Peso Fgura. Dotplot Peso NB: per determare la meda sputata, s cacellao prm 5 (5% d 9) e gl ultm 5 de valor ordat e s calcola la meda de rmaet. Ua propretà smle a quella sopra cosderata per la meda che rguarda la medaa è la seguete. La medaa rede mma la somma degl scart assolut, coè, se sceglamo qualuque altro umero a e cosderamo gl scart assolut de dat da a, abbamo la seguete dsuguaglaza Q a = = La meda è preferble molte crcostaze come dce d poszoe perché ha buoe propretà che permettoo d costrure modell statstc prevsoal a partre da dat osservat. D altra parte la medaa è u dce d poszoe che è meo fluezato da valor estrem e qud può rsultare pù stable, come possamo vedere el seguete esempo. ESEMPIO (cotua) Suppoamo e 9 dat dell eserczo precedete per u errore d batttura, sa stata dgtata u altezza.905 azché Il tal caso la medaa resta varata (75.6), metre la meda dmusce (7.49). Suppoamo che dat delle Altezze dell eserczo precedete sao gà stat suddvs 9 class. S può acora determare u valor medo e ua medaa, approssmado og classe co l suo valore cetrale. tervall cotegg Valore cetrale Fgura 3. Istogramma Altezze Fgura 4. Cumulata Altezze Il valore medo de dat raggruppat class è dato da: = La medaa de dat raggruppat class s ottee dalla fuzoe d dstrbuzoe cumulata calcolata a partre da valor cetral delle class.

3 . Idc d dspersoe Esamamo prcpal. varaza σ σ = ( ) = scarto quadratco medo σ radce quadrata postva della varaza ter quartle rage IQR Q3-Q tervallo d varazoe R valore massmo valore mmo I alcu cotest s usa ua defzoe leggermete dfferete d varaza, dove al deomatore s sosttusce co (-). Osservamo che el caso cu dat osservat sao umeros, le due defzo cocdoo. Ache la varaza può essere espressa utlzzado la dstrbuzoe della varable X: σ m = fk( k ) k = La varaza può essere scrtta modo pù semplce per calcol, svolgedo l quadrato: m σ = oppure σ = fk k = k = ovvero come la dffereza fra la meda de dat al quadrato e la meda al quadrato. La varaza gode d alcue propretà mportat. la varaza è sempre postva;. σ vale 0 se e solo se la varable quattatva osservata è costate, coè dat osservat cocdoo co u uco valore (la meda). Queste propretà spegao perché la varaza msura quato la varable osservata s dscosta dal suo valor medo. I partcolare tato è maggore la varaza tato pù la varable è dspersa, metre valor bass della varaza corrspodoo a varabl co valor maggormete cocetrat attoro alla meda. La radce quadrata postva della varaza è detta scarto quadratco medo (o devazoe stadard). Osservamo che se dat soo espress kg, la varaza sarà kg, metre lo scarto sarà acora kg. Qud, etramb gl dc rsetrao della scelta delle utà d msura. Spesso s usa lo scarto quadratco medo come dce d dspersoe vece della varaza propro perché ha lo stessa utà d msura de dat. Vale al seguete relazoe fra lo scarto quadratco medo e l tervallo d varazoe: σ NB: Esstoo altr mod (poco utlzzat e meo effcac da u puto d vsta matematco) per msurare la dstaza fra la varable e la sua meda. Ad esempo, s può defre lo scarto assoluto medo. Come abbamo gà osservato, lo scarto medo vale sempre 0. = R = ESEMPIO (cotua) Co dat dell esempo precedete, s ha Varable StDev Varace Rage IQR Altezza Peso Grafcamete pù la varaza è grade pù l dotplot rsulta schaccato o dsperso, pù la varaza è pccola pù l dotplot rsulta cocetrato su poch valor, come s può osservare comparado dotplot delle varabl Pes e Altezze. 3

4 ESEMPIO. Rpredamo l Esempo della Scheda rguardate le rlevazoe delle pulsazo cardache, Dotplot della varable Pulsazo rspetto alla varable Corsa Varable Corsa Mea StDev Varace Pulsazo s o corsa s o pulsazo Come abbamo gà commetato precedeza, coloro che hao effettuato la corsa hao ua dstrbuzoe molto pù dspersa rspetto a ch o ha corso; lo scarto quadratco medo delle pulsazo per ch ha corso è crca l doppo d quello per ch o ha corso. Fgura 5. Dotplot delle pulsazo suddvso per sottogrupp I Appedce è rportato l calcolo della meda e della varaza dell tera popolazoe a partre dalle mede e varaze e sottogrupp. ESEMPIO 3. Nell esempo seguete mostramo come varao la poszoe e la forma della dstrbuzoe de dat al varare de valor umerc della meda e della varaza. X Varable Mea Varace X Y Z Y Osservamo che le varabl X e Z hao crca la stessa meda ma varaze molto dverse; vece le varabl X e Y hao crca la stessa varaza ma mede molto dverse. Z Data 4 36 Fgura 5. Dotplot d tre varabl 3) Idc d forma Forscoo formazo sulla forma della dstrbuzoe e qud del dotplot. Alcue formazo possoo essere tratte dal cofroto fra la poszoe della meda, della meda sputata e della medaa. Ad esempo, se la dstrbuzoe è smmetrca tre dc cocdoo, vece (completare co more e maggore). - se valor soo pù cocetrat a sstra, la medaa è della meda - se valor soo pù cocetrat a destra, la medaa è della meda 4

5 Idcate approssmatvamete la meda e la medaa delle dstrbuzo rportate a faco. X X X3 X4 X5 Q Idcate per qual dstrbuzo la meda trocata assume valor molto dvers dalla meda. Esstoo, oltre, alcu dc che dao formazoe sulla smmetra della dstrbuzoe, ache se a volte soo d dffcle terpretazoe. Rportamo due pù semplc. cofroto meda, medaa e scarto quadratco cofroto fra quartl ( Q3 Q σ Q) ( Q Q3 Q Q) Etramb gl dc assumoo valor compres fra e ; rsultao postv se dat soo pù cocetrat a sstra e valor egatv se dat soo pù cocetrat a destra. NB: Gl dc trodott soo stes dell formazoe coteuta ella totaltà de dat e se esamat sgolarmete possoo far perdere formazo essezal de dat. APPENDICE U approfodmeto: meda e varaza e sottogrupp e el gruppo totale. Talvolta la popolazoe studata è suddvsble sottogrupp (ad esempo M e F), questo caso è teressate studare legam fra la meda e la varaza de sottogrupp e corrspodet dc ella popolazoe complessva. Suppoamo per semplctà d avere due sottogrupp A e B d umerostà A e B, frequeza relatva f A e f B, mede A e B, varaze σ A e σ B. Avremo che tot = f A A + f B B coè la meda totale è la meda pesata delle mede de sottogrupp (aalogo al caso de profl vsto ella scheda. ) σ tot = (f A σ A + f B σ B ) + (f A ( A - tot ) + f B ( B - tot ) ) coè la varaza totale è la meda (pesata) delle varaze de sottogrupp sommata alla varaza (pesata) delle mede de sottogrupp. Naturalmete rsultat precedet s estedoo ache al caso d u umero maggore d sottogrupp. 5

6 ESERCIZI ) Sotto soo rportat pes d bamb d a espress kg: a) Costrure ua tabella co le frequeze assolute, la dstrbuzoe de pes, la cumulata assoluta e la fuzoe d dstrbuzoe cumulata. b) Determare valor de quartl Q, Q e Q3 e la lughezza dell'tervallo terquartle. c) Calcolare la meda e lo scarto quadratco medo del peso. ) Nell'stogramma qu sotto è rportato l umero d vas che ua dtta artgaale ha veduto quotdaamete. a) Qual è l umero mmo d vas che soo stat prodott u gor? e l umero massmo? b) Per quat gor soo stat prodott 8 vas? c) Quat gor soo stat cosderat? d) Completare la tabella a faco. e) Determare valor de quartl Q, Q e Q3 e la lughezza dell'tervallo terquartle. f) Calcolare la meda e lo scarto quadratco medo del umero d vas vedut quotdaamete da quella dtta, el perodo d tempo esamato TOTALI k k k k k k k 3) S effettuao 50 msure d ua quattà e s regstra la somma de valor e la somma de quadrat de valor: 50 = Calcolare meda e scarto quadratco medo de dat. = = = 6

7 4) Qu sotto è rportata la fuzoe d dstrbuzoe cumulata per le altezze d alcu studet masch e a faco s trova ua sua rappresetazoe grafca. 00 Nota: soo rportat solo valor d F calcolata e valor delle altezze osservate. F ( ) Percet a) Calcolare la meda delle altezze degl studet b) Calcolare la medaa delle altezze degl studet. 5) Sotto soo rportat pes d bamb d a espress kg: a) Costrure ua tabella co le frequeze assolute, la dstrbuzoe de pes, la fuzoe cumulata assoluta e la fuzoe d dstrbuzoe cumulata. b) Determare valor de quartl Q, Q e Q3 e l ampezza dell'tervallo terquartle. c) Calcolare la meda e lo scarto quadratco medo del peso. 7