Alcune strutture, seppur adeguatamente dimensionate dal punto di vista della resistenza, raggiungono il cedimento per fenomeni di instabilità.

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1 lcune strutture, seppur adeguatamente dimensionate dal punto di vista della resistenza, raggiungono il cedimento per fenomeni di instabilità. osservazione diretta mostra che il comportamento delle travi caricate assialmente cambia radicalmente se la forza è di trazione o di compressione. Nel caso di forze di compressione, infatti, si nota che oltre alla configurazione rettilinea sono possibili infinte altre configurazioni equilibrate, corrispondenti a deformate anche rilevanti della struttura partire da un certo valore del carico, detto carico critico, l equilibrio comincia a diventare instabile 1

2 Se la trave assume una deformata curva η(), la forza produrrà un momento flettente pari a η. b f = spostamento trasversale della trave f = freccia massima omento flettente a linea elastica della trave è data dalla equazione: d '' d dipende da b f a a a 0 C1 sin a C cos a ac1 cos a ac sin a a C1 sin a a C cos a a C a C cos a 1 sin a

3 b f a a 0 C1 sen a C cos a per =0 =0 0 C1 sen 0 C cos0 C 0 C sen a per = =0 C sen a C 1 0 a trave non si inflette sen a 0 a n b C1 sen a C cos a C1 sen a a f C 0 a n per n =1 cr a a a a cr n a 0 n, intero: rappresenta le configurazioni equilibrate curve

4 b Posto: m b1 50mm 0. 05m b 0mm 0. 0m b b J 1 1 E 00GPa cr m per n =1 cr 00E9.E 8.E 8m n N b Posto: m b1 50mm 0. 05m b 0mm 0. 0m b b J 1 1 E 00GPa cr n cr m per n = 00E9.E E 8m N

5 =100 kn d Sezione dell asta Posto: 000mm d 18mm d 5,7 mm J d 515 mm 6 cr per n =1 E Pa cr n 1676 N 1 Supporto 11 5

6 PER CONDIZIONI DI VINCOO DIVERSE C 1 cr C C 1 I coefficienti si riferiscono al primo carico critico C C Per maggior sicurezza, si assume al massimo C = 1. Si consideri l espressione generica del carico critico cr C introducendo il raggio d inerzia minimo ρ J E cr C /ρ è detta snellezza della trave λ E cr C Carico critico unitario cr C E cr C E 6

7 Carico critico unitario Carico critico unitario [Pa] σ cr C E Sostituendo σ al posto di cr / si trova λ cr d esempio, per un acciaio avente tensione di snervamento di 500 pa, si calcola una snellezza critica pari a 6.8 curva di Eulero CE cr λ cr =6.8 Snellezza λ Se una trave ha λ > λ cr Se una trave ha λ < λ cr Cedimento avviene per carico di punta Cedimento avviene per snervamento b Posto: m b1 50mm 0. 05m b 0mm 0. 0m b b J 1 1 E 00GPa m cr per n =1.E 8m cr 00E9.E 8 n J / 0,00577 / 6 CE cr 6,8 N cr 7

8 Carico critico unitario 1000 Carico critico unitario [Pa] σ cr C E T Purtroppo la formula di Eulero funziona bene sono nel caso di travi molto snelle; l esperienza ha infatti mostrato rotture inaspettate in travi a media snellezza Per questo si ricorrere talvolta ad una formulazione parabolica, tangente alla curva di Eulero in un punto T prestabilito, ad esempio σ / T CE CE cr λ cr =6.8 λ T = Snellezza λ Se una trave ha λ > λ T Si dimensiona seconda formula di Eulero Se una trave ha λ < λ T cr Si dimensiona seconda formula quadratica di Johnson: b dove b T 1 CE Carico eccentrico: carico non applicato in corrispondenza del baricentro della sezione, ma spostato di una quantità «e» f ma e equazione differenziale diventa: la cui soluzione, dopo aver imposto le condizioni al contorno (0)=0 e ()=0, è: etan sin cos 1 e ma f ma esec e f ma esec 1 a sollecitazione di compressione sarà data dalla somma dei contributi flessionale e normale c J h ma h ma 8

9 Carico eccentrico: carico non applicato in corrispondenza del baricentro della sezione, ma spostato di una quantità e f ma e In mezzeria si avrà la freccia massima e la sollecitazione massima: e ma f ma esec c J h ma h ma cma eh 1 sec Imponendo la resistenza a compressione come valore massimo per σ c si ottiene la formula della secante: ma E ehma 1 c sec E 700 Carico eccentrico: carico non applicato in corrispondenza del baricentro della sezione, ma spostato di una quantità e f ma e ehma 1 c sec E Carico critico unitario [Pa] Eulero Johnson Secante 0.1 secante 0. Secante 0.6 eh ma è detto rapporto di eccentricità Snellezza λ 9

10 Carico eccentrico: carico non applicato in corrispondenza del baricentro della sezione, ma spostato di una quantità e 700 Carico critico unitario / [Pa] / Eulero Johnson Secante 0.1 secante 0. Secante 0.6 eh ma λ Snellezza λ : Esercitazione 1 Costruzione di acchine (D.. 70/0) / Elementi Costruttivi delle acchine Prova scritta del

11 : Esercitazione 1 Costruzione di acchine (D.. 70/0) / Elementi Costruttivi delle acchine Prova scritta del Esercitazione 1: Traccia alla soluzione e T C eh ma 0, o 9,0 Costruzione di acchine (D.. 70/0) / Elementi Costruttivi delle acchine Prova scritta del