Corso di Costruzioni in Zona Sismica

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1 Corso di Costruzioi i Zoa Sismica Uiversità degli Studi di Cassio e del Lazio Meridioale Eresto Grade

2 Corso di Costruzioi i Zoa Sismica Lezioe 2 Sistema a u grado di libertà: equazioi del moto

3 Lezioe 2 Sistemi a u GdL I sistemi a u grado di libertà soo rappresetativi di strutture che possoo essere schematizzate come ua massa m cocetrata sosteuta da ua struttura priva di massa co rigidezza k. examples m m k k 2k telaio serbatoio (cosiderado solo gli spostameti laterali)

4 Lezioe 2 Sistemi a u GdL Quali soo le proprietà fisiche del sistema che ifluezao la risposta a carichi diamici? Risposta sperimetale (massa spita lateralmete e rilasciata istataeamete)

5 Lezioe 2 Sistemi a u GdL osservazioi il moto varia co il tempo si hao oscillazioi attoro la posizioe iiziale (quiete) si ha u degrado del moto (smorzameto)

6 Lezioe 2 Sistemi a u grado di libertà Le proprietà fisiche che ifluezao la risposta soo: rigidezza k (forze elastiche) massa m (forze di ierzia) smorzameto c (meccaismi di dissipazioe di eergia) m u(t) c k/2 k/2 È ammessa solo la traslazioe orizzotale: u(t) completamete defiito dalla posizioe el tempo della massa. Tutte le compoeti soo ecessarie per lo studio del problema.

7 Lezioe 2 Sistemi a u GdL m Massa cocetrata (forze d ierzia) Elemeti privi di massa (rigidezza) c k/2 k/2 Smorzatore viscoso (dissipazioe) Ogi compoete della struttura cotribuisce all ierzia (massa), alla rigidezza e alla dissipazioe eergetica (smorzameto). I u sistema idealizzato ogua di queste proprietà è cocetrata i tre compoeti separati: massa, rigidezza, smorzameto*.

8 Lezioe 2 SDOF systems m c k/2 k/2 Dissipatore viscoso resposabile del degrado del moto *dove lo smorzameto riguarda l eergia del sistema che viee dissipata tramite differeti meccaismi (l attrito ei collegameti i acciaio, la formazioe di microfessureel cls, l attrito che si sviluppa el cotatto di due strutture, etc). È molto difficile da modellare!

9 Lezioe 2 Sistemi a u GdL I molti casi esso viee idealizzato tramite u dissipatore viscoso a coportameto lieare. c f D (t) f D (t): forza di smorzameto c: coefficiete di smorzameto Dissipatore viscoso f ( ) ( ) D t cu t velocità Il coefficiete di smorzameto viee selezioato i modo che l eergia dissipata dallo smorzatore viscoso è equivalete a quella dissipata tramite tutti I meccaismi preseti ella struttura reale

10 Lezioe 2 Sistemi a u GdL Forza resistete o elastica: f s (t) m c k/2 k/2 f ( t) ku( t) s fs fs( u) sistema lieare f f ( u, u ) sistema o lieare s s Nel caso di sistemi a comportameto lieare, questa compoete dipede sia dalla rigidezza sia dallo spostameto subito dal sistema.

11 Lezioe 2 Sistemi a u GdL Forza d ierzia: f I (t) m m c k/2 k/2 f ( t) mu( t) I Accelerazioe del sistema Questa compoete dipede sia dalla massa sia dall accelerazioe del sistema

12 Lezioe 2 Sistemi a u GdL Forza di smorzameto: f D (t) m m c k/2 k/2 f ( ) ( ) D t cu t Velocità del sistema Questa compoete dipede sia dal coefficiete di smorzametosia dalla velocità del sistema

13 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto Eccitazioe diamica m P(t) m c k/2 k/2 c k/2 k/2 Forza estera u(t) Moto alla base (sisma)

14 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto Le equazioi del moto possoo essere derivate attraverso: La secoda legge di ewto il pricipio di D Alambert Equazioi di Lagrage altri metodi d dt fi T q d ( mut ( )) P dt m u() t k Q k Q Q Q Q k k, es k, el k, d U 1 Q kq kq i 2 kel, k k qk qk 2 D 1 Q cq cq 2 kd, k k qk qk 2 d T d 1 2 mqk mq dt q dt q 2 k k k

15 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto Utilizzado la secoda legge di Newto: se P è la forza totale applicata su u puto massa che si muove co velocità v, vale la relazioe P=d/dt (mv) f S m f D p(t) La forza risultate agete sulla massa all istate t comprede: la forza resistete (o di richiamo elastico) fs, la forza di smorzameto f D e la forza estera P. L equazioe del moto che govera la deformazioe o lo spostameto u(t) della struttura soggetta alla forza diamica estera p(t) Cosiderado la secoda legge di Newto: p f f m u s D D mu f f p s

16 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto Utilizzado il pricipio di D Alambert : icludedo la forza d ierzia, si può scrivere l equilibrio del sistema ad ogi istate t. mu f S m f I f D p(t) Cosiderado la forza d ierzia come ua forza fittizia: mu f f p D s u u( t) du( t) u dt u dt 2 dut ( ) 2 spostameto velocità accelerazioe Sostituedo la forza di smorzameto e la forza di richiamo elastico si ottiee: mu cu ku pt ( )

17 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto el caso di moto alla base? m m f I p(t) f S c k/2 k/2 ug(t) Spostameto totale: f D t u ( t) u( t) u ( t) dove: u g è il moto del suolo u è lo spostameto della struttura g Dall equilibrio: f I fd fs 0

18 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto el caso di moto alla base? m c k/2 k/2 u g è la compoete dello spostameto rigido e iflueza solo la forza d ierzia t f mu ( t) mut ( ) mu ( t) I g Metre la forza di richiamo elastico e la forza di smormzameto soo legati solo a u ug(t) f ( t) cu ( t) ; f ( t) ku( t) D s Equazioe del moto: mut ( ) mu ( t) cut ( ) kut ( ) 0 g

19 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto el caso di moto alla base? m Equazioe del moto: mu cu ku mu g k/2 c k/2 Assumedo : peff ( t) m ug forza sismica effettiva ug(t) mu cu ku peff ( t) L equazioe del moto el caso di moto alla base o alla forza effettiva equivalete è la stessa

20 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto Nel caso di moto alla base? m c k/2 k/2 m c k/2 k/2 P eff (t) u(t) mu cu ku peff ( t) Nota che la forza effettiva dipede dalla massa della struttura e agisce el verso opposto all accelerazioe.

21 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto solutioe dell equazioe del moto È u equazioe differeziale del secodo ordie a coefficieti costati mu cu ku pt ( ) m, c, k, p(t) [u ( ) g t ] ut ( ), ut ( ), ut ( ) Dati di iput Dati di output Comprese le forze itere

22 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto soluzioe dell equazioe del moto Quali soo i metodi? soluzioe classica itegrale di Duhamel (metodo el domiio del tempo) metodo el domiio della frequeza metodi di risoluzioe umerici

23 Lezioe 2 ESERCIZI

24 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto Esercizio 1 Scrivere l equazioe del moto dei sistemi riportati i figura

25 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto esercizio Assumedo la trave priva di massa e cosiderado come uico grado di libertà u, determiare la rigidezza del sistema e scrivere l equazioe del moto. P(t)

26 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto esercizio Scrivere l equazioe del moto del sistema riportato i figura.

27 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto esercizio Scrivere l equazioe del moto del sistema riportato i figura. c

28 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto esercizio Scrivere l equazioe del moto del sistema riportato i figura c u ( ) g t

29 Lezioe 2 Sistemi a u GdL: equazioi del moto esercizio Scrivere l equazioe del moto riportata i figura cosiderado la compoete rotazioale del moto del suolo.

30 Costruzioi i Zoa Sismica Lezioe 3 Sistema a u GdL: Vibrazioi Libere o Smorzate

31 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate La posizioe iiziale di equilibrio del sistema viee perturbata. Il sistema iizia a oscillare seza che sia perete ua forza estera applicata : P(t)=0 Ioltre si cosidera il caso di asseza di smorzameto: c=0 L equazioe del moto diveta: mu ku 0 Codizioi iiziali (t=0) devoo essere itrodotte per attivare il moto: u(0) u (0) spostameto velocità Almeo ua delle due!

32 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate soluzioe dell equazioe del moto: 2 mu ku 0 u u 0 dove : è la frequeza (aturale) circolare di vibrazioe k m soluzioe: u Acos t B si t t 0 u( t) u(0) A u(0) Codizioi al cotoro: u (0) t 0 u( t) u (0) B La soluzioe assume la forma: u(0) u u(0)cost sit

33 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate soluzioe dell equazioe del moto: u(0) u u(0)cost sit u(0) B T u(0) A C E u 0 D U ciclo di vibrazioi libere

34 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate soluzioe dell equazioe del moto: u(0) T B u(0) u u(0)cost sit u(0) A C E u 0 D ote: Il sistema oscilla attoro la posizioe di equilibrio statico

35 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate soluzioe dell equazioe del moto: u(0) T B u(0) u u(0)cost sit u(0) A C E u 0 D ote: Il moto è periodico e si ripete ogi 2/ secodi

36 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate u(0) solutio of the equatio of motio: u u(0)cost sit u(0) T B u(0) A C E u 0 D Notes: È u moto armoico co pulsazioe

37 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate parametri caratterizzati il sistema: u(0) u(0) T B C A D E u 0 Il tempo richiesto al sistema o smorzato per completare u ciclo completo di vibrazioi libere viee detto periodo aturale T [s]: T 2 (il sistema esegue 1/T cicli i 1 secodo)

38 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate parametri caratterizzati il sistema: u(0) u(0) T B C A D E u 0 La frequeza aturale di vibrazioe f [Hz] or [cps]: f 1 T 2

39 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate parametri caratterizzati il sistema: u(0) u(0) T B C A D E u 0, f, T Dipedoo solo dalla massa e dalla rigidezza del sistema: o dipedoo dall eccitazioe estera (da qui il termie aturale )

40 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate Esempi: Alcoa Buildig acciaio, 26 piai. Periodi di vibrazioe: trasversale (est-ovest): 2.21 sec (f=0.45 Hz) logitudiale (ord-sud): 1.67 sec (f=0.60 Hz) torsioale: 1.12 sec (0.89 Hz) [Chopra 1996, p. 38]

41 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate esempi: Golde Gate Bridge accio, campata cetrale (1280 m) Periodi di vibrazioe: trasversale: 18.2 sec verticale: 10.9 sec logitudiale: 3.81 sec torsioale: 4.43 sec [Chopra 1996, p. 40]

42 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate Espressioi alterative delle proprietà aturali: dove: g 1 g ; f ; T 2 2 st st st mg k Rappreseta lo spostameto della massa sospesa ad ua molla di rigidezza k oppure Rappreseta lo spostameto laterale i seguito all applicazioe statica di ua forza pari a mg st g

43 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate parametri caratterizzati il sistema : u(0) u(0) T B C A D E u 0 u o è l ampiezza del moto dipedete dalle codizioi iiziali.

44 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate Rappresetazioe vettoriale: u(0) u u(0)cost sit u(0)cos t u (0) si t ta u (0)/ u(0) 2 u (0) u(0) umax u0 2 u o è l ampiezza del moto che dipede dalle codizioi iiziali.

45 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate Rappresetazioe vettoriale: u(0) u u(0)cost sit u(0)cos t u (0) si t u u0 cos( t ) u t 0 u u max max 0

46 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate Rappresetazioe vettoriale: u u0 cos( t ) u(0)cos t u (0) si t ut ( ) u si( t) u cos( t /2) 0 0 ut ( ) u cos( t) u cos( t ) u u u max 0 u max 0 2

47 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate Rappresetazioe vettoriale: 0 u ut ( ) u si( t) u cos( t /2) ut ( ) u cos( t) u cos( t ) u u 0 Velocità ed accelerazioe variao el tempo co legge armoica ma risultao sfasate i aticipo rispetto allo spostameto di /2 e rispettivamete Velocità i quadratura co lo spostameto Accelerazioe i opposizioe co lo spostameto

48 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate Per attivare il moto bisoga trasferire eergia al sistema i termii di eergia cietica e/o di eergia elastica. 1 2 T0 mu (0) 2 1 Ui 0 ku(0) 2 2 u (0) u u0 cos( t ) u(0) cos( t ) u t 0u u T 0 max max k 2 Ui,max kumax ku(0) u (0) U 0 2 i T L eergia iiziale rimae icamerata el sistema i modo idefiito

49 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate esempi Il periodo aturale del sistema i figura risulta pari a 0.5 s. Quado sul sistema viee fissato u carico pari a 50 kn, il periodo aturale diveta pari a 0.75 s. qual è il peso del sistema e la sua rigidezza laterale?

50 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate esempi U sistema è costituito da u corpo del peso di 400 N appeso ad ua molla di rigidezza 100 N/mm. Al corpo viee fissato u ulteriore corpo del peso di 200 N che viee poi successivamete rimosso istataeamete. Scrivere l equazioe del moto quado il corpo viee rimosso e determiare la massima ampiezza del moto e il periodo aturale di vibrazioe.

51 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate esempio Il peso del telaio i figura è 200N. Esso viee posto i oscillazioi libere impoedo uo spostameto al tempo t=0 pari a 1.2mm. Trascurado lo smorzameto, se lo spostameto massimo ella fase ritoro si attige all istate t = 0.64 s, determiare: (a) rigidezza k m (b) Il periodo aturale di vibrazioe T (c) La frequeza aturale di vibrazioe f k/2 k/2 (d) La pulsazioe aturale (e) La soluzioe dell equazioe del moto

52 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate esercizio Assumedo che la massa e la rigidezza del sistema soo: m=2n s 2 /mm, k=40 N/mm, e che esso viee posto i oscillazioi libere co codizioi iiziali u(0) = 0.7 i ad v(0) = 5.6 i/sec, determiare lo spostameto e la velocità all istate t= 1.0 s trascurado lo smorzameto. m k/2 k/2

53 Lezioe 3 Sistema a u GdL: vibrazioi libere o smorzate esercizio Si assuma che che la massa e la rigidezza del sistema soo m=5 Ns 2 /mm, k=20 N/mm, e il sistema è o smorzato. Se lo spostameto iiziale è u(o)=1.8 mm e lo spostameto all istate t=1.2 s è comuque pari a 1.8mm, determiare: -lo spostameto all istate t=2.4 s -l ampiezza del moto m k/2 k/2

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