LA TEORIA IN SINTESI LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO

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1 ESERCII CAPIOLO 6. LA GEOMERIA ANALIICA DELLO SPAIO LA EORIA IN SINESI LA GEOMERIA ANALIICA DELLO SPAIO. LE COORDINAE CARESIANE NELLO SPAIO La disana fra due puni A e B è: AB = ( - + ( - + ( -. Le coordinae del puno medio M di un segmeno AB sono: M A+ B A+ B A+ B =, M =, M =. A B A B A B. IL PIANO L equaione di un generico piano è: a + b + c + d = 0 forma implicia; = m + n + q forma esplicia. Condiioni di parallelismo e di perpendicolarià ra piani. Due piani di equaioni a + b + c + d = 0 e al + bl + cl + dl = 0 sono paralleli se e solo se: a = kal, b = kbl, c = kcl, con k! R ; sono perpendicolari se e solo se: aal + bbl + ccl = 0. La disana h del puno A( A ; A ; A dal piano di equaione a + b + c + d = 0 è: aa+ ba+ ca+ d h =. a + b + c. LA REA Equaioni generali: a+ b+ c+ d = 0 al + bl + cl + dl= 0 Equaioni ridoe: = g+ p = k+ r = m+ ( = h+ q = l+ s = n+ u rea non parallela al piano O rea non parallela al piano O rea non parallela al piano O Equaione della rea passane per due puni A( ; ; e B( ; ; = = : 4. ALCUNE SUPERFICI NOEOLI Una superficie cilindrica rea ha equaione del ipo: F(; = 0 se le generarici sono parallele all asse ; F(; = 0 se le generarici sono parallele all asse ; 0 Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4

2 LA EORIA IN SINESI ESERCII F( ; = 0 se le generarici sono parallele all asse ; con F polinomio di secondo grado in due variabili. Una superficie conica circolare rea con semiaperura d ha equaione: + - k = 0, g d = k se l asse coincide con l asse ; + - k = 0, g d = k se l asse coincide con l asse ; + - k = 0, g d = k se l asse coincide con l asse. La superficie sferica di cenro C( 0 ; 0 ; 0 e raggio r ha equaione: ( ( ( - 0 = r. La sua equaione si può scrivere anche nella forma: a + b + c + d = 0, con a + b + c - d $ Si ha ; ; a b c Cb- - - l a b c e r = d Abbiamo esaminao le caraerisiche di alcune quadriche, di equaioni: ellissoide a + + = b c iperboloide a una falda paraboloide elliico a a + - = iperboloide b c a due falde + = b paraboloide iperbolico a a + b - =- c - =- b 5. LE FUNIONI DI DUE ARIABILI Funione reale di due variabili reali: è una relaione che associa a ogni coppia ordinaa di numeri reali (;, apparenene a un sooinsieme S di R R, uno e un solo numero reale. La indichiamo con = f(;, oppure con f: (; 7, con (;! S R R,! R. Il sooinsieme S è deo dominio della funione e l insieme dei valori corrispondeni è deo codominio della funione. Dominio naurale: è il più ampio dominio che si può scegliere per la funione. Il grafico di una funione = f(; è l insieme dei puni di coordinae (; ; per cui = f(;. La rappresenaione grafica di una funione di due variabili è, in genere, una superficie e viene faa per puni o mediane linee di livello che sono seioni della superficie con piani paralleli al piano O. O O a. Grafico di = f(;. b. Linee di livello di = f(;. Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4 0

3 ESERCII CAPIOLO 6. LA GEOMERIA ANALIICA DELLO SPAIO. LE COORDINAE CARESIANE eoria a pag. 08 NELLO SPAIO 4 5 Rappresena i segueni puni in un riferimeno orogonale nello spaio: A(- ; ;, B(; - ; -, C(- ; - ; -, D(- ; - ; - 4, E(- ; ; -. Disegna le segueni figure piane: a il riangolo di verici P(- ; ; 0, Q(; ;, R(; ; 0; b il riangolo di verici A(- ; ; -, B(; - ;, C(; - ; - ; c il reangolo di verici H(; 0;, K(; 0;, L(; 5;, M(; 5;. Disegna il prisma che ha i segueni verici: A(- ; 0;, B(- ; 0; 5, C(- ; 0; 5, D(- ; 0;, Al(; 4;, Bl(; 4; 5, Cl(0; 4; 5, Dl(0; 4;. Disegna i coni circolari rei che hanno per base comune il cerchio giacene nel piano O di raggio, cenro C(0; ; e alea 4. Disegna il cilindro circolare reo con le basi di raggio, parallele al piano O e per cenri i puni M(- ; - ;, N(; - ;. Calcola la disana fra le segueni coppie di puni. 6 7 A( ; ;, O(0; 0; 0. P(- ; ; -, Q(0; - ; 0. [ 6 ; 0 A(- ; 4;, B(- 4; ;. C(- ; 8; 0, D(- ; 5; -. [ ; 4 Deermina le coordinae dei puni medi dei segmeni che hanno per esremi le segueni coppie di puni A(0; - 6;, B(4; 8; -. [(; ; 0 A( ; - ;, B(4 ; ; -. [( ; 0; A(- 4; 6; 4, B(8; 6; - 4. [(; 6; 0 rova le coordinae dell esremo B del segmeno AB, sapendo che A( ; - ; 0 e che il puno medio di AB è M( - ; 4;. [(- 4; ; 6 rova un puno sull asse equidisane da A( - ; ; e B(, - ; -. : b 4 0; 0; ld Deermina l espressione per la disana di un puno H(; ; dagli assi coordinai. [ d = +, d = +, d = + Dao il riangolo di verici A(4; - ;, B(- ; ;, C(; ; 6, verifica che è isoscele, calcola l area e deermina gli angoli alla base. ; 70 AC = BC = 4; 70; g CAB = E 7 erifica che il riangolo di verici A( - ; - ;, B( - ; ;, C b ; - ; l è isoscele e calcola l area. ; 77 5 AC = BC = ; E erifica che il riangolo di verici P (6; 0; -, Q(- ; 0;, R (- ; 4; è reangolo e deermina l angolo acuo minore. 4 ; caei: PQ = 65, QR = 4; g P = E Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4

4 PARAGRAFO. IL PIANO ESERCII Sia dao un riangolo nello spaio ridimensionale. I suoi verici hanno coordinae (0; 0; 0, (; ; 4 e (- ; ; 4. rova l area del riangolo. (USA Ba Area Mah Mee, Bowl Sampler, 995 [5 erifica che il riangolo di verici A(4; 0; 0, B(0; - 4; 0, C (0; 0; - 4 è equilaero. Deermina l angolo a che l alea CH forma con il piano O. ; lao = 4 ; cosa = E Deermina l equaione del luogo dei puni P(; ; equidisani da A(4; - ; e da B(0; 4; -. [ = 0 Un puno P con coordinae posiive ha disana 8 dall origine. Sapendo che la rea OP forma 60 con l asse e 60 con l asse, rova le coordinae di P. [(4 ; 4; 4 Deermina il quaro verice dei possibili eraedri regolari che hanno per base il riangolo di verici P (- ; 0; 0, Q(0; ; 0, R(0; 0;. : S( - ; ;, Slb ;- ;- ld re verici di un cubo nello spaio hanno coordinae (; ; 0, (0; 5; 4 e (4; ; 8. Calcola le coordinae del cenro del cubo. (USA Florida Alanic Universi, Suvesan Alumni Mahemaics Compeiion, 000 [(; ; 4 Daa la piramide di verici A(- ; - ;, B(- ; 5;, C(- ; 5; 5, D(- ; - ; 5, E(7; - ;, calcola l area della superficie laerale, il volume, l angolo c formao dallo spigolo CE con il piano di base. : 56 Sl = ; = ; senc = D. IL PIANO eoria a pag. 08 L equaione del piano 4 Indica quali delle segueni equaioni rappresenano piani paralleli ai piani coordinai, piani paralleli agli assi coordinai, piani passani per l origine: a - = 0; c + 7 = 0; e =- 8; b = 4- ; d + + = 0; f - 4 = Scrivi l equaione dei piani che hanno le segueni caraerisiche. a Passa per il puno A(; ; 8 ed è parallelo al piano O. b Passa per il puno B(; 4; ed è parallelo al piano O. c Passa per il puno C(; 0; ed è parallelo al piano O. d Passa per il puno D(7; ; 5 ed è perpendicolare all asse. Scrivi l equaione dei piani che hanno le segueni caraerisiche. a Passa per il puno A(; ; 0 ed è perpendicolare all asse. b Passa per il puno B(; ; 6 ed è perpendicolare all asse. c Passa per il puno C(; ; 5 ed è parallelo al piano O. d Passa per il puno D(0; ; ed è perpendicolare all asse. [ a = 8; b = 4; c = ; d = 7 [ a = ; b = 6; c = 5; d = Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4 05

5 ESERCII CAPIOLO 6. LA GEOMERIA ANALIICA DELLO SPAIO 7 erifica se il puno P appariene al piano, indicao a lao, nei segueni casi. a P(5; 7;, =. c P(4; ;, = 0. b P(; ;, - + = 0. d P(; -;, + = 0. [a no; b sì; c no; d sì 8 ESERCIIO GUIDA Disegniamo il piano a di equaione = 0. Per rappresenare il piano a nello spaio O deerminiamo i suoi puni di inerseione con gli assi coordinai. Le coordinae di ali puni sono le soluioni dei sisemi: = = 0 = 0 = 0 ; = 0 = 0 ; = 0 [ = 0 = 0 \ * *. Risolvendo ciascun sisema, oeniamo i puni A( ; 0; 0 ; 8 B( 0; 4; 0 ; Cb0; 0; l. ali puni individuano il piano a. C 8 A B 4 9 Rappresena i piani che hanno le segueni equaioni: a = 0; c = 0; b 4- + = 0; d = ESERCIIO GUIDA Scriviamo l equaione del piano passane per i puni: A(0; ; 0, B(; - ; e C( - ; 0;. L equaione di un piano generico nello spaio è del ipo a + b + c + d = 0, con a, b, c, d! R e con a, b, c non ui nulli. Imponiamo il passaggio per i puni A, B e C e oeniamo il sisema: b+ d = 0 [ a- b+ c+ d = 0 \- a+ c+ d = 0 Abbiamo un sisema di re equaioni in quaro incognie che risolviamo ricavando a, b, c in funione di d: b =-d b =-d b =-d [ a+ d+ c+ d = 0 " [ a+ c+ d = 0 " [ a = -c- d " - a+ c+ d = 0 - a+ c+ d = 0 \ \ \ -(- c- d + c+ d = 0 06 Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4

6 PARAGRAFO. IL PIANO ESERCII b d b =-d b =-d =- " [ a =-c- d " a =-c- d " a =- d [ [ 4 \ 8c+ 7d = 0 7 c =- d 7 8 c =- d \ \ 8 Poiché i parameri a, b, c non possono essere ui nulli, deve essere d! 0. Sosiuiamo nell equaione di parena e oeniamo: 7 - d- d- d+ d = Poiché d! 0, dividiamo enrambi i membri per d, ricavando l equaione del piano passane per A, B, C: = 0. Scrivi l equaione del piano passane per i puni indicai A(; 0; 0, B(0; -;, C(; -; 0. [ = 0 A(; 5; -, B(0; -;, C(0; 0; 0. [9 - - = 0 A(; ;, B(0; ;, C(; -;-. [ - + = 0 A(-; ;, B(; 0; -, C(0; -;. [ = 0 A(; ;, B(0; 0; 0, C(; ; -. [7-5 + = 0 A(-; 0;, B(; 4;, C(5; ;. [ = 0 I piani paralleli e perpendicolari 7 Indica se i piani con le segueni equaioni sono paralleli o perpendicolari. a = 0, - + = 0; b = +, = 0; c = 0, = 0. Deermina, se esisono, i valori del paramero per i quali i piani rappresenai dalle segueni coppie di equaioni sono paralleli e i valori per i quali i piani sono perpendicolari ( - k k = 0; = 0. [ k =- ; k = 7 + ( k - 5k + ( k+ - = 0; - + = 0. ; 7! 7 k = ; k = E ( a+ + ( a- + = 0; 4 =- +. : a = ; a =- D 4 ESERCIIO GUIDA roviamo l equaione del piano a passane per il puno P( - ; ; e parallelo al piano b di equaione = 0. Scriviamo l equaione generale di un piano: a + b + c + d = 0. Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4 07

7 ESERCII CAPIOLO 6. LA GEOMERIA ANALIICA DELLO SPAIO Per la condiione di parallelismo fra piani, i coefficieni delle variabili corrispondeni delle loro equaioni devono essere proporionali: a = b = c = k, da cui a= k, b=- k, c = k. Sosiuiamo nell equaione - generale: d d k- k+ k+ d = 0, = 0 " q = 0, con q =. k k Applichiamo la condiione di apparenena di P ad a sosiuendo le sue coordinae nell equaione: $ (- - $ + $ + q = 0 " q =. L equaione del piano a è quindi = 0. Nei segueni esercii, scrivi l equaione del piano parallelo al piano assegnao e passane per il puno indicao = 0; P(; - ; -. [ = = 0; M(- ; - ; -. [ = = 0; R(0; ; - 7. [ = = 0; O(0; 0; 0. [7 - = 0 La disana di un puno da un piano 46 ESERCIIO GUIDA Calcoliamo la disana del puno A( - ; 5; dal piano di equaione = 0. aa+ ba+ ca+ d Uiliiamo la formula della disana di un puno da un piano d =. a + b + c Sosiuiamo i coefficieni delle variabili, le coordinae del puno e calcoliamo: 4 $ (- - $ 5+ $ d = = =. 4 + (- + 6 La disana cercaa è quindi 6. Nei segueni esercii, calcola la disana fra il piano e il puno indicai = 0; O(0; 0; 0. [ = 0; A(- ; 4;. ; E = 0; P(- ; 0;. [ = 0; M(5; ; 7. [ - + = 0; Q(; 5; 4. ; E 4-4 = 0; B(; 0; - 5. [ 5 54 Scrivi l equaione del piano passane per P( - ; ; 0 e parallelo al piano passane per i puni A( ; 0;, B( 0; 0; - e C( - ; ; - 4. [ = 0 Scrivi l equaione del piano perpendicolare al piano di equaione - + = e passane per i puni A( ; 0; - e B( - ; 4;. [ = 0 08 Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4

8 PARAGRAFO. LA REA ESERCII Scrivi l equaione di un piano perpendicolare ai piani di equaioni 4- + = e + + = 6 e passane per l origine. [ = 0 Scrivi l equaione di un piano perpendicolare al piano di equaione = - + e passane per A( - ; - 4; e B( - ; 6; 0. [+ + + = 0 ESERCII ARI Il piano Deermina il perimero del riangolo che ha per verici i puni di inerseione del piano = 0 con gli assi. [ Dimosra che le inerseioni del piano = 0 con gli assi sono verici di un riangolo equilaero. Calcola il volume della piramide che ha per verici l origine e le inerseioni del piano = 0 con gli assi. [ Deermina il puno P equidisane dai puni A(; ;, B(; 0;, C (0; 0; e apparenene al piano di equaione - + = 0. : b ;- ;- ld erifica che i puni A( 0; ; -, B( ; 0; 0, C( - ; ; - e D( - ; ; sono complanari e scrivi l equaione del piano su cui giacciono. [ = 0 Sudia la posiione reciproca dei due piani di equaioni: a = + - ; = 0; b - + = 0; = 0. [a paralleli; b incideni erifica che i piani di equaioni = - + e = 0 sono paralleli e rova la loro disana. ; 5 6 E Deermina il puno di inerseione dei piani di equaioni: - + =, = 0, = 0. [(- ; ; 6 Find he equaion of he plane passing hrough he poin A( 0; ;, B( ; 0;, C( ; ; 0. [ = 0. LA REA eoria a pag. 086 Le equaioni ridoe 66 ESERCIIO GUIDA = 0, deerminiamo il sisema di equaioni in forma rido = 0 Daa la rea di equaioni a che la rappresenano. Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4 09

9 ESERCII CAPIOLO 6. LA GEOMERIA ANALIICA DELLO SPAIO Prima di uo verifichiamo se la rea è parallela a uno dei piani coordinai deerminando due puni a caso: = 0 = 0 = 0 = 0 " [ - + = 0 " [ = + " [ = = = 0 =- \ \ \ =- =- =- =- " [ - = 0 " [ - - = 0 " [ = = 0 = + = \ \ \ Poiché i due puni hanno differeni l ascissa, l ordinaa e la quoa, la rea non è parallela ad alcuno dei piani coordinai; perano possiamo scegliere uno qualsiasi dei re sisemi di equaioni ridoe. Scriviamo le equaioni ridoe nella forma: = g+ p = h+ q Nel sisema dao raiamo la variabile come se fosse un ermine noo e risolviamo: + = - - =-- " =- + - =- + - " * " ( =-- = = [ = - \ 5 5 Quese sono le equaioni cercae e rappresenano una coppia di piani, il primo parallelo all asse e il secondo all asse. Deermina un sisema di equaioni ridoe delle ree di cui sono dae le equaioni generali = = = = = = 0 = 0 = G =- R 8 = + S [ = + R = - S 4 4 [ 7 5 = = 0 ( - 5 = = = = 0 ( - = 0 =- + < ( F = 5 =- + < ( F = 9- =- + < ( F = Le equaioni fraionarie 7 ESERCIIO GUIDA Daa la rea di equaioni = = 0 deerminiamo un sisema di equaioni fraionarie. 0 Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4

10 PARAGRAFO. LA REA ESERCII Dai due puni disini A( ; ;, B( ; ; di una rea ali che -! 0, -! 0, -! 0, le equaioni fraionarie hanno la forma: = = l m n, con l = -, m = -, n = -. Deerminiamo quindi due puni, ad arbirio, che rispeino le condiioni precedeni: + + = 0 =- = 0 "[ - - = 0 " A = [ =- ; \ = 0 \ = 0 Calcoliamo i coefficieni l, m, n: l =, m =, n =. = 0 = 0 "[ - + = 0 " B = [ = 0 \ \ Sosiuiamo quesi valori e le coordinae di A nelle equaioni fraionarie generali: + = + = " + = + =. Quese sono le equaioni cercae. Le equaioni fraionarie non sono univocamene deerminae. Puoi verificarlo scegliendo un alra coppia di puni, per esempio A e un nuovo puno Bl con ascissa. = 0 = 0 = Deermina un sisema di equaioni fraionarie delle ree aveni le caraerisiche indicae La rea inerseione dei piani di equaioni: = 0, + - = 0. (Suggerimeno. Uilia i puni A(- ; ; e B( ; 0;. La rea passane per i puni M(0; - 4; 5, N(- ; 5; -. La rea passane per i puni A(- ; - 4; -, B(; ;. La rea passane per i puni A(4; - 4;, B(- ; 5; 7. ESERCIIO GUIDA + - ; = = E ; - 5 = = E ; + = = E ; - = = E = 0 La rea di equaioni:. (Suggerimeno. Uilia i puni A(0; ;, B ( ; ; = 0 > - = 4 6 = + 5 H - Le equaioni parameriche Daa la rea passane per i puni A(; 0;, B(0; 4; -, deerminiamo una erna di equaioni parameriche che la descrivano. Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4

11 ESERCII CAPIOLO 6. LA GEOMERIA ANALIICA DELLO SPAIO Scriviamo le generiche equaioni parameriche di una rea: = + l [ = + m, con! R. \ = + n Essendo noi due puni, possiamo calcolare una erna di coefficieni direivi: l = - = -, m = - = 4, n = - = - 5. Ora sosiuiamo quesi valori e le coordinae di A nelle equaioni generiche: = - [ = 4, con! R. \ = - 5 Quese sono le equaioni cercae. Come nel caso delle equaioni fraionarie osserviamo che quese equaioni non sono univocamene deerminae. In paricolare, una vola deerminaa una erna (l; m; n di coefficieni direivi, sono valide ue le erne del ipo (kl; km; kn, con k! 0. Scrivi una erna di equaioni parameriche delle ree indicae La rea passane per il puno P(5; - 4; - 5 e con coefficieni direivi -,,. R = 5- S[ =- 4+ =- 5+ La rea passane per i puni L(- 6; 0; 4 e M(4; - ; 0. R = S[ =- = 4-4 La rea passane per il puno G(8; - 5; 4 e parallela all asse. R = 8 S[ =-5 = La rea passane per i puni R(- 7; ; e S(4; - ;. R =- 7+ S[ = - 5 = La rea passane per il puno A(- 4; ; e parallela a quella passane per i puni P(- ; ;, Q(6; 0; 4. R = S[ = - = + ESERCII ARI La rea erifica che i puni A( ; ;, B( ; 0; 4, C( 5; - ; 7 sono allineai. rova un sisema di equaioni ridoe della rea passane per il puno M(8; - 5; 9 e parallela all asse. =-5 < ( F = = 0 erifica che la rea di equaioni giace sul piano di equaione = = 0 Deermina il luogo dei puni equidisani dai re puni A(; 0; 0, B(5; 0; 6, C(0; 4; = = = 0 = oppure oppure G = = = 0 Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4

12 ESERCII ARI LA REA ESERCII Deermina le inerseioni del piano = con il piano O di equaione = 0. [rea = + 5 nel piano O Sabilisci se il puno A(0; ; appariene all inerseione del piano = con il piano O di equaione = 0. [sì erifica se i puni A( - ; 4; - 5 e B( 0; ; apparengono alla rea r di equaioni: * = - = + =-- rova, se esise, il puno di inerseione ra la rea r di equaioni * = + = - + = - + e il piano di equaione = 0. [( 0; - ; = 0 erifica se la rea r di equaioni ( è parallela al piano di equaione = = 0 = - rova due piani aveni per inerseione la rea di equaioni * = -. [ = 0; = 0 = Se i re puni (; a; b, (a; ; b, (a; b; sono allineai nello spaio, qual è il valore di a+ b? (USA Harvard-MI Mahemaics ournamen, 005 [4 = + erifica che le ree di equaioni - + = 0 96 ( e * = + sono complanari e non parallele. - - = 0 = 4- Daa la rea r di equaioni = 0 97 (, scrivi le equaioni fraionarie e parameriche della rea = 0 R 5 5 S 5 4 =- ; 4 + S S = = =,!R [ 5 S = = + erifica se le ree di equaioni = 0 98 ' e * = sono parallele. =- = - = + erifica che le ree di equaioni = 0 99 ( e * = + sono sghembe. + =- = 00 he poins P, Q, and S have posiion vecors (; ;, (; 4; 0, and (- ; 0; 4 respecivel. a Find he equaion of he sraigh line passing hrough P and Q. b Do he poins P, Q, and S lie on he same sraigh line? Jusif our answer. (UK Universi of Esse, Firs Year Eaminaion, 00 a - + = 0 < ( = 0 ; b es F Bergamini, rifone, Baroi Maemaica.blu.0 anichelli 0 olume 4