Pianificazione dei progetti

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1 1/11/ Pianificazione dei progetti aniele Vigo..I.S. - Università di ologna dvigo@deis.unibo.it Rev. 1.2, 1/ Tecniche reticolari Metodologie per la risoluzione di problemi di pianificazione di progetti Progetto: insieme di attività i aventi durata d i ( i=1,,n ) insieme di relazioni di precedenza tra attività: s. i = scavo fondamenta,, j = costruzione struttura i % j j non può iniziare prima del termine di i Problema: determinare l istante di inizio di ogni attività in modo che la durata totale del progetto (makespan) sia minima PRO.2 1

2 1/11/ Tecniche PRT-PM Se risorse infinite probl. facile (polinomiale) PM = ritical Path Method (durate deterministiche) PRT = Program valuation and Review Technique (durate aleatorie) Stesse basi concettuali sistono numerose varianti (generalmente NP): richiesta di risorse (scarse) associate alle attività durate dipendenti dall assegnazione di risorsa PRO.3 Rappresentazione del progetto Paradigma ctivity on rcs (O), ctivity Network: Progetto un grafo orientato pesato aciclico (rete): archi h = (v i, v j ) rappresentano attività non interrompibili vertici rappresentano fine o inizio di attività pesi d(v i, v j ) sono la durata dell attività (v i, v j ) il grafo rappresenta relazioni di precedenza: i % j evento finale di i evento iniziale di j cammino contenente i prima di j PRO.4 2

3 1/11/ attività fittizie archi di durata nulla usati per imporre relazioni di precedenza s. {,,,, } % % % % PRO.5 ctivity Network: assunzioni un attività non può essere interrotta un evento ha durata nulla nessuna attività uscente da un evento v i può essere iniziata prima che siano terminate tutte le attività entranti in v i il grafo deve essere aciclico: %, %, % impossibile!!! PRO.6 3

4 1/11/ sempio costruzione rete (1) Progetto: {,,,, } %, %, %, %, % PRO.7 sempio Progetto: {,,,, } %, %, %, %, % PRO.8 4

5 1/11/ Precedence Network Rappresentazione alternativa: Paradigma ctivity on Nodes (ON), Precedence Network: vertici i = v i rappresentano attività pesi d(v i ) sono la durata dell attività v i archi (v i, v j ) relazioni di precedenza le due rappresentazioni sono equivalenti PRO.9 Precedence Network: sempio Progetto: {,,,, } %, %, %, % PRO.1 5

6 1/11/ ctivity Network: convenzioni (1) Il grafo non può contenere archi multipli PRO.11 ctivity Network: convenzioni (2) Il grafo deve avere un solo vertice iniziale (semigrado entrante nullo) PRO.12 6

7 1/11/ ctivity Network: convenzioni (3) Il grafo deve avere un solo vertice finale (semigrado uscente nullo) PRO.13 Numerazione dei vertici I vertici devono essere numerati in modo che: arco (v i, v j ), si abbia i < j Sempre possibile il grafo è aciclico lgoritmo: cerca un vertice senza archi entranti etichetta il vertice con il prossimo indice rimuovi gli archi uscenti PRO.14 7

8 1/11/ Procedure NUMR begin aggiungi a G i vertici fittizi v e v n+1 e gli archi relativi; := ; k := ; while k n+1 do { Γ - e Γ + sono relativi al grafo (V,) } scegli vertice v V : Γ - (v) = ; attribuisci a v il numero k; := \ { (v, v i ) : v i Γ + (v) }; k := k+1; end end. PRO.15 sempio v 3 v 4 v 8 v v 1 v 2 v 6 v 7 PRO.16 8

9 1/11/ efinizione della rete Per ogni attività bisogna stabilire: quali attività devono precederla quali attività devono seguirla P = {,,,,,F,G } %, %, %, %, %, %, % F, % G, % G, F % G pred succ -,,,, F, G, G F G G,,F - PRO.17 sempio costruzione rete (1) P = {,,,,,F,G } %, %, %, %, %, %, % F, % G, % G, F % G G F PRO.18 9

10 1/11/ sempio costruzione rete (2) %, %, %, %, %, %, % F, % G, % G, F % G G F PRO.19 sempio costruzione rete (3) %, %, %, %, %, %, % F, % G, % G, F % G G F PRO.2 1

11 1/11/ sempio costruzione rete (4) %, %, %, %, %, %, % F, % G, % G, F % G G F PRO.21 sempio costruzione rete (5) %, %, %, %, %, %, % F, % G, % G, F % G F G PRO.22 11

12 1/11/ sempio costruzione rete (6) P {,,,,, F, G} %, %, %, %, %, %, % F, % G, % G, F % G v 1 v 2 v 4 v 8 v v 3 F v 6 G v 7 PRO.23 ritical Path Method ammino: sequenza di attività non sovrapponibili Makespan lunghezza di ogni cammino da v a v n+1 v 3,5,7 v 4 v 8,7 v v 1 v 2,8,4 v 6 v 7 PRO.24 12

13 1/11/ ritical Path Method (2) Makespan = lunghezza del cammino più lungo (LPP) dall evento iniziale al finale LPP : algoritmo polinomiale per grafici aciclici Per ogni evento v k, k =,, n+1 si determina: TMIN k = istante minimo in cui v k può accadere TMX k = istante massimo in cui v k può accadere senza ritardare l istante di completamento del progetto (=TMIN n+1 ) PRO.25 alcolo di TMIN TMIN k = istante minimo in cui v k può accadere dipende dagli eventi e le attività che lo precedono v i 5 v j 7 TMIN := ; for k := 1 to n+1 do TMIN k := max i:(vi, v k ) { TMIN i + d(v i, v k ) }; 5 v k 7 PRO.26 13

14 1/11/ alcolo di TMX TMX k = istante massimo in cui v k può accadere senza ritardare il completamento del progetto dipende dagli eventi e le attività che lo seguono 5 5 v k v i v j 14 TMX n+1 := TMIN n+1 ; for k := n downto do TMX k := min i:(vk, v i ) { TMX i - d(v k, v i ) }; PRO.27 Procedure PM begin TMIN := ; for k := 1 to n+1 do TMIN k := max i:(vi, v k ) { TMIN i + d(v i, v k ) }; TMX n+1 := TMIN n+1 ; for k := n downto do TMX k := min i:(vk, v i ) { TMX i - d(v k, v i ) }; end. PRO.28 14

15 1/11/ procedure PM begin TMIN := ; for k := 1 to n+1 do TMIN k := max i:(vi, v k ) { TMIN i + d(v i, v k ) }; TMX n+1 := TMIN n+1 ; for k := n downto do TMX k := min i:(vk, v i ) { TMX i - d(v k, v i ) }; end. sempio v 3,5,7 v 4 v 8,7 v v 1 v 2,8,4 v 6 v 7 PRO.29 Inizializzazione TMIN procedure PM begin TMIN := ; for k := 1 to n+1 do TMIN k := max i:(vi, v k ) { TMIN i + d(v i, v k ) }; TMX n+1 := TMIN n+1 ; for k := n downto do TMX k := min i:(vk, v i ) { TMX i - d(v k, v i ) }; end. v 3,5,7 v 4 v 8,7 v v 1 v 2,8,4 v 6 v 7 PRO.3 15

16 1/11/ alcolo dei TMIN procedure PM begin TMIN := ; for k := 1 to n+1 do TMIN k := max i:(vi, v k ) { TMIN i + d(v i, v k ) }; TMX n+1 := TMIN n+1 ; for k := n downto do TMX k := min i:(vk, v i ) { TMX i - d(v k, v i ) }; end. 7 14,5,7 v 3 v 4 v 8 14,7 v v 1 v 2 7,8,4 v 6 v PRO.31 Inizializzazione TMX procedure PM begin TMIN := ; for k := 1 to n+1 do TMIN k := max i:(vi, v k ) { TMIN i + d(v i, v k ) }; TMX n+1 := TMIN n+1 ; for k := n downto do TMX k := min i:(vk, v i ) { TMX i - d(v k, v i ) }; end. 7 14,5,7 v 3 v 4 v 8 14,7 v v 1 v 2 7,8,4 v 6 v PRO.32 16

17 1/11/ alcolo dei TMX procedure PM begin TMIN := ; for k := 1 to n+1 do TMIN k := max i:(vi, v k ) { TMIN i + d(v i, v k ) }; TMX n+1 := TMIN n+1 ; for k := n downto do TMX k := min i:(vk, v i ) { TMX i - d(v k, v i ) }; end ,5,7 v 3 v 4 v 8 14,7 v v 1 v 2 7 7,8,4 v 6 v PRO.33 Informazioni caratteristiche v i d ij v j ttività h = (v i, v j ) = ij arly Start Time: ST ( h ) = TMIN i Late Start Time: LST ( h ) = TMX j - d(v i, v j ) Float (slittamento): S ( h ) = LST ( h ) - ST ( h ) ttività critica = h : LST ( h ) = ST ( h ) ammino critico = cammino da v a v n+1 formato da sole attività critiche PRO.34 17

18 1/11/ Informazioni caratteristiche tt. v i v j ST(v i, v j ) LST(v i, v j ) S(v i, v j ) ttività critiche ,5,7 v 3 v 4 v 8 ammino critico: { v, v 1, v 2, v 4, v 8, } 14 14,7 v v 1 v 2 7 7,8,4 v 6 v PRO.35 iagramma di Gantt La soluzione può essere rappresentata con il diagramma di Gantt PRO.36 18

19 1/11/ Soluzione del problema v 3,5,7 v 4 v 8,7 v v 1 v 2,8,4 v 6 v v 3,5,7 v 4 v 8 14,7 v v 1 v tt. i j ST(v i, v j ) LST(v i, v j ) S(v i, v j ) ,8,4 v 6 v Grafo Numeraz. vertici Makespan Informaz. Gantt PRO.37 ostruzione di una casa (1) Scavo fondamenta ostruzione struttura onnessione tubature Tubi acqua e riscaldamento Posa cavi F Pavimenti e scarichi G Muri interni HTetto e grondaie I Finiture interne J Pittura esterna K Pulizia finale PRO.38 19

20 1/11/ ostruzione di una casa (2) ttività escrizione urata (gg) Predecessori Scavo fondamenta 4 - ostruzione struttura 12 onnessione tubature 3 Tubi acqua e riscaldamento 6 Posa cavi 4 F Pavimenti e scarichi 3, G Muri interni 3 H Tetto e grondaie 2,F I Finiture interne 5 G J Pittura esterna 3 H K Pulizia finale 1 I,J PRO.39 ostruzione di una casa (3) v 3,6 G,3 v 7,12 I,5,4 v 1 v 2,4 K,1 v 1,3 J,3 v 4 v 6 v F,3 H,2 v 11 v 8 PRO.4 2

21 1/11/ Soluzione ,6 G,3 v 3 v 7,12,4 v 1 v 2 4 4,4 3 3 I, K,1 v 1,3 J,3 16 v 4 22 v 6 v 8 F,3 H, PRO.41 Realizzazione prodotto Z Z si ottiene assemblando X ed Y realizzati in due reparti diversi prima dell inizio della produzione: acquisto materie prime addestramento del personale (diverso per X e Y) prima dell assemblaggio i prodotti Y sono ispezionati i prodotti Z sono collaudati e poi stoccati in aree preventivamente predisposte la predisposizione delle aree non puo precedere l inizio dell assemblaggio di Z PRO.42 21

22 1/11/ Realizzazione prodotto Z (2) ttività urata Pred. ) cquisto materie prime ) ddestramento rep. X ) ddestramento rep. Y ) Realizzazione parte X 8, ) Realizzazione parte Y 7, F) Ispezione parte Y 4 G) ssemblaggio 6,F H) ollaudo prodotto 5 G I) Predisposizione stoccaggio 8,F L) Stoccaggio 2 H,I PRO.43 Realizzazione Prodotto Z (3) ttività urata Pred. ) ) ) ) 8, ) 7, F) 4 G) 6,F H) 5 G I) 8,F L) 2 H,I,1 v 3,9 v 1 v 2,8 F,4 v 6 G,6 I,5 v 7 v 8 H,5,5 L,2 v 4,7 PRO.44 22

23 1/11/ Realizzazione Prodotto Z (4) 1 v 3 12, v 6 G,6 v 7,1,9 v 1 v 2 F,4 I,5 v 8 H, ,5 9 9 L,2 v 4, PRO.45 Modello matematico PM t i = istante in cui si verifica l evento i min t n t j - t i d ij (v i,v j ) t i i = 1,, n modello continuo PRO.46 23

24 1/11/ PM Tempi-osti In alcuni casi la durata di una attività può essere diminuita utilizzando maggiori risorse maggiori risorse maggiori costi costo c d N,c N d,c durata e costo Normali durata e costo ccelerati c N d d N tempo PRO.47 osto di accelerazione c c N d d N c ij = (c ij - c ij N ) (d ij - d ij N ) PRO.48 24

25 1/11/ Modello PM Tempi-osti t i = istante in cui si verifica l evento i y ij = riduzione della durata dell attività (i,j) T = durata desiderata del progetto min Σ (i,j) ( c ij N + c ij y ij ) t n T t j - t i d N ij -y ij (v i,v j ) y ij d N ij - d ij (v i,v j ) t i i = 1,, n PRO.49 25