Meccanica. Meccanica studia il moto dei corpi spiegandone relazioni tra le cause che lo generano e le sue caratteristiche leggi quantitative

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1 Meccanica Meccanica sudia il moo dei corpi spiegandone relazioni ra le cause che lo generano e le sue caraerisiche leggi quaniaie Se il corpo è eseso la descrizione è complessa. Iniziamo sudiando il caso più semplice la dinamica del puno maeriale o paricella parendo dalla sua cinemaica Cinemaica, fa pare della Dinamica, una delle branche della fisica sudia il moo dei corpi senza occuparsi delle cause che lo generano Definisce quanià necessarie a descriere il moo quali spazio percorso, elocià, accelerazione A. Romero Fisica I - Cinemaica

2 CINEMATICA Alcuni concei fondamenali: ) EVENTO fenomeno che accade in un puno dello spazio ed in un isane (empo) ; spazio e empo caraerizzano un eeno. ) PUNTO MATERIALE corpo prio di dimensioni o le cui dimensioni sono piccole o rascurabili rispeo alle alre in gioco sudia il moo dei corpi senza occuparsi delle cause che lo generano Moo di un puno maeriale Per la raazione del moo cominciamo dal caso più semplice consideriamo un oggeo le cui dimensioni si possono rascurare, la cui posizione possa essere descria localizzando un puno: parleremo di puno maeriale o paricella A. Romero Fisica I - Cinemaica

3 La cinemaica si occupa del moo dei sisemi descriendone la posizione al ariare del empo. Si dee definire operaiamene il conceo di posizione SISTEMI DI RIFERIMENTO La posizione di un puno maeriale ha senso solo se definia rispeo alla posizione di alri corpi presi come riferimeno. Per descriere il moo occorre serirsi di un sisema di riferimeno rispeo al quale si definisce la posizione del corpo sudiao e il suo moimeno. Esempio la sanza nella quale ci roiamo. La scela del sisema di riferimeno è del uo arbiraria e si fa in base al ipo di problema. A. Romero Fisica I - Cinemaica 3

4 Sisema di coordinae permee la descrizione maemaica del moimeno rispeo al sisema di riferimeno. Il sisema di coordinae può essere pensao come ancorao al sisema di riferimeno. Possiamo scegliere fra sisemi di coordinae quello che meglio si presa alla descrizione del problema. I più usai anche per la loro semplicià maemaica sono: Sisema di coordinae caresiane orogonali Sisema di coordinae polari SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE assi coordinai caresiani nello spazio (sisema desrorso) 3D î z o kˆ ĵ z La posizione di un puno P, si può descriere araerso le sue caresiane P, P,z P P(,,z) ersori degli assi: A. Romero Fisica I - Cinemaica 4 iˆ ˆj kˆ

5 . Cilindriche ALTRI SISTEMI DI RIFERIMENTO z r r h cos sin ϕ ϕ r h ϕ π. Polari sferiche z o r ϕ h P(r, ϕ,h) z r ϑ ϕ r r r sin sin cos π π ϑ ϑ ϑ cos sin ϕ ϕ o z θ r ϕ h P(r, θ, ϕ) A. Romero Fisica I - Cinemaica 5

6 CONCETTI FONDAMENTALI in CINEMATICA Traieoria: è il luogo dei puni occupai successiamene dal puno in moimeno. In genere è una linea cura coninua. Se la linea è chiusa il moo è limiao e il puno percorre coninuamene la sessa raieoria, come nel caso delle orbie planearie. z Lo sudio della ariazione della posizione in P funzione del empo pora a definire il conceo di elocià, lo sudio della ariazioni della elocià con il empo inroduce l accelerazione. O r Le grandezze fondamenali in cinemaica sono dunque lo spazio, la elocià, l accelerazione ed il empo; Il empo iene soene uilizzao come ariabile indipendene, in funzione del quale si esprimono le alre grandezze. Il empo non è mai negaio. A. Romero Fisica I - Cinemaica 6

7 MOTO UNIDIMENSIONALE O indica l origine del Sisema di Riferimeno unidimensionale Il moo più semplice da sudiare è il moo reilineo. Esso si solge lungo una rea sulla quale engono fissai arbirariamene un origine e un erso Un auo (che assimilo ad un puno) P si muoe lungo l asse. Il suo moo è descriibile uilizzando una sola coordinaa () L insieme dei puni occupai successiamene iene indicao con () La funzione del empo () definisce la legge oraria del moo A. Romero Fisica I - Cinemaica 7

8 MOTO UNIDIMENSIONALE La legge oraria del moo può essere ricaaa sperimenalmene ponendo lungo la rea dei raguardi con disposiii a foocellula collegai ad un cronomero. In queso modo si possono oenere coppie di alori i i e cercare una relazione ra e, cioè la funzione (). Le misure possono essere riporae su un grafico per oenere così il diagramma orario del moo, che corrisponde al grafico della funzione (). Esempio A. Romero Fisica I - Cinemaica 8

9 Posizione e sposameno nel moo reilineo Si supponga che il puno (nella figura un auomobile) sia nella posizione in un isane e nella posizione in un isane successio. - La ariazione di posizione dell auo, - rappresena lo spazio percorso nell inerallo di empo - A. Romero Fisica I - Cinemaica 9

10 Velocià media in una dimensione E possibile caraerizzare la rapidià con cui aiene lo sposameno ramie il conceo di elocià media Definizione di elocià media: rapporo fra lo sposameno compiuo in un inerallo di empo - e l inerallo di empo sesso. media lo sposameno e la elocià media possono essere posiii o negaii, a seconda che sia maggiore o minore di : un alore posiio indica un moo erso desra e un alore negaio un moo erso sinisra. e hanno lo sesso segno L unià di misura SI è il m/s. Km/ora /36 m/s /3,6 m/s.78 m/s A. Romero Fisica I - Cinemaica - Dimensione della grandezza elocià: [ ] [ ] LT

11 Significao della elocià media -4 m m s 4 s (-(-4))6m 4-3 s 6m m 3s s 6m La posizione iniziale P e quella finale P sono congiune da un segmeno reilineo; la elocià media è la pendenza / di queso segmeno e dipende dall inerallo di empo considerao. 3 s La elocià media fornisce un informazione complessia, ma non dà quasi nessuna indicazione sulle caraerisiche del moo A. Romero Fisica I - Cinemaica

12 Dalla elocià media alla VELOCITÀ ISTANTANEA Per aere maggiori informazioni sulla legge oraria () e sulle sue ariazioni, l inerallo può essere suddiiso in numerosi piccoli ineralli ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 4. ( ) n percorsi nei empi ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 4. ( ) n ( ) Le corrispondeni elocià: i i ( ) i in generale non sono uguali alla elocià media m Il processo di suddiisione in spazi sempre più piccolo può essere coninuao fino a considerare spazi infiniesimi, arriando così alla definizione di elocià isananea: all isane : ( ) lim d d è deriaa di spazio rispeo al empo media A. Romero Fisica I - Cinemaica

13 VELOCITÀ ISTANTANEA Rappresena la rapidià di ariazione emporale della posizione nell isane Definizione di elocià isananea: rapporo fra lo sposameno compiuo in un inerallo di empo - e l inerallo di empo sesso quando l inerallo di empo ( ) d d Inerpreazione geomerica della elocià scalare isananea: coefficiene angolare della angene alla cura () nel puno di ascissa angene alla cura nel puno P P La elocià isananea è, per definizione, la pendenza di quesa rea. Dal grafico si capisce immediaamene il segno di Il segno della elocià indica il erso del moo sull asse. P Se > Coordinaa cresce Se < Coordinaa decresce A. Romero Fisica I - Cinemaica 3

14 Cinemaica: moo reilineo uniforme Il caso più semplice di moo è quello reilineo uniforme. In queso caso il moo aiene lungo una rea con elocià cosane. cosane Esempio: Supponendo in prima approssimazione che l auosrada Torino-Piacenza sia reilinea (a pare i laori in corso..) e iaggiando di moo reilineo uniforme con elocià di km/h, quano empo ci orrà per compiere il ragio che è di circa 6 km? 3 6 m 3 3,6 3,6 5,76 s 96 min 6ore, 3,6 A. Romero Resauro - Cinemaica 4

15 Daa () () VELOCITÀ e SPAZIO La elocià isananea può essere funzione del empo (). Se è noa la legge oraria del moo, oero la funzione (), si può oenere la funzione elocià isananea con un operazione di deriazione che sappiamo sempre fare Daa () () ( ) d() d E possibile risolere il problema inerso, oero ricaare la funzione (), se è noa la dipendenza dal empo della elocià isananea (). Per farlo è necessario uilizzare l operazione inersa cioè l inegrazione d ()d d () d () + () d Quesa relazione permee il calcolo dello spazio percorso qualunque sia il ipo di moo. Il ermine rappresena la posizione iniziale del puno, occupaa nell isane A. Romero Fisica I - Cinemaica 5

16 Velocià: ordini di grandezza Luce 3. 8 ms - Recessione di una quasar.7 8 ms - Elerone aorno al nucleo. 6 ms - Terra aorno al Sole 3. 4 ms - Aereo supersonico 7. ms - Roazione della Terra( equaore) 4.6 ms - Moo casuale delle molecole di aria 4.5 ms - suono in aria 3.3 ms - Ghepardo 8 ms - Uomo (ma) ms - chiocciola -3 ms - ghiacciaio -6 ms - A. Romero Fisica I - Cinemaica 6

17 Accelerazione media Quando la elocià isananea di una paricella aria nel empo si dice che la paricella accelera. L accelerazione è la rapidià di ariazione della elocià. L accelerazione media per un paricolare inerallo di empo è definia come il rapporo / : ( ) ( ) a media [ ] [ ] a LT Dimensione della grandezza accelerazione: L unià di misura SI è il m/s. L accelerazione può essere posiia o negaia (decelerazione) Se a> Se a< Velocià aumena Velocià diminuisce A. Romero Fisica I - Cinemaica 7

18 Accelerazione isananea Con un procedimeno analogo a quello usao per passare dalla elocià media alla elocià isananea, si può arriare alla definizione di accelerazione isananea: L accelerazione isananea è il limie a cui ende l accelerazione media quando ende a zero: a() lim d d Impossibile isualizzare l'immagine. Inerpreazione geomerica della accelerazione isananea: coefficiene angolare della angene a cura () nel puno di ascissa a( ): pendenza della angene alla cura all isane. L accelerazione isananea ad un cero isane è la pendenza della rea angene alla cura in quell isane. d a() lim d d d A. Romero Fisica I - Cinemaica 8

19 Da () a() ACCELERAZIONE, VELOCITÀ e SPAZIO Si può oenere la funzione accelerazione con un operazione di deriazione della funzione elocià, oero con una doppia deriazione della funzione spazio Da a() () d a() lim d E possibile ricaare la funzione (), se è noa la dipendenza dal empo della elocià isananea a(). Per farlo è necessario uilizzare operazioni di inegrazione d d d a()d d a() d () + a()d Operando con un uleriore inegrazione ho la funzione spazio: () + ()d A. Romero Fisica I - Cinemaica 9

20 Moo reilineo uniforme P P P P P P P P P (m) Il caso più semplice di moo unidimensionale è il moo reilineo uniforme in cui il puno maeriale ha elocià cosane. elocià isananea e elocià media coincidono l accelerazione è nulla d d d a a d A. Romero Fisica I - Cinemaica c : cosane c (s)

21 Moo reilineo uniforme: da elocià spazio () d d + ()d () + ( ) Legge oraria del moo reilineo uniforme Inerpreazione grafica dell espressione per lo spazio percorso in funzione del empo Si considera lo spazio percorso in un - : ( ) () Lo spazio percorso è pari all area soesa dalla cura che esprime la elocià in funzione del empo (in queso caso una rea parallela all asse ). A. Romero Fisica I - Cinemaica

22 Un alea corre i m su una pisa reilinea in s e poi riorna comminando al puno di parenza in 8 s. Quano algono la elocià nei primi secondi? Quano ale la elocià negli ulimi 8 secondi? Quano ale la elocià media percorso? Esempio 8 6 su uo il Tra e s il moo è reilineo uniforme media 9.ms Tra s e 9 il moo è reilineo uniforme media 8 media ms ms A. Romero Fisica I - Cinemaica

23 Moo con accelerazione cosane P P P P P P P Un alro caso noeole di moo unidimensionale è il moo uniformemene accelerao, in cui l accelerazione è cosane. accelerazione isananea e accelerazione media coincidono la elocià aria linearmene con il empo. a(m/s ) a d() a() a d d a()d (s) cosane () () + a ( ) + a A. Romero Fisica I - Cinemaica 3 + a()d

24 Moo con accelerazione cosane elocià media spazio (m) Ricaiamo la legge oraria del moo uniformemene accelerao (s) a()a () + a ( ) d ()d () + [ + a ( )] d + d+ a ( )d () + ( ) + a ( ) () + + a Se : A. Romero Fisica I - Cinemaica 4

25 Riassumendo:VELOCITÀ e SPAZIO con a cosane () + a()d () + a( ) Operando con un uleriore inegrazione ho la funzione spazio: () + ()d () + ( + a)d () + ( ) + a( ) A. Romero Fisica I - Cinemaica 5

26 Grafici di Spazio, Velocià e Accelerazione a- m/s m/s, m Moo uniformemene accelerao a m/s - m/s, m Accelerazione cosane negaia Accelerazione cosane posiia Velocià lineare (coeff. ang. negaio) Velocià lineare (coeff. ang. posiio) Equazione oraria parabolica discendene Equazione oraria parabolica acendene A. Romero Fisica I - Cinemaica 6

27 A. Romero Fisica I - Cinemaica 7 Velocià e spazio nel moo ad accelerazione cosane + a () a () + + a () (assumendo che l isane iniziale sia, ricao il empo dalla ) + + a ) ( a a + + ) ( ) a( + + ) a( + + ) a( + ) a( ) a( ) a( + Sosiuendo il empo

28 Velocià e accelerazione in funzione della posizione d d a [ () ] d d d d d d a d d ad d ad d ad Relazione che nel caso di a cosane si riconduce a quella già isa A. Romero Fisica I - Cinemaica 8

29 Esercizio Un auo si muoe con elocià cosane pari a 5 km/h e passa daani un auo della polizia ferma. La polizia pare con un a,44m/s. Dopo quano empo raggiunge l auo? A P A cosane p a km A 5 h 5 3,6 m s 9,7 m s Auo A () A A () + A A () A 9,7 Polizia P () + + p () a P, P a P (),44, A () 9,7 P (), A () P () 9,7, A. Romero Fisica I - Cinemaica 9 3,9s

30 (s) (m) Esempio di diagramma orario E il grafico della posizione in funzione del empo. In figura ne è riporao un esempio, oenuo dall equazione oraria ( in meri, in secondi): Aribuendo dei alori arbirari al empo, sono sai calcolai i corrispondeni alori di, oenendo così una abella oraria. Riporando in grafico i alori della abella, abbiamo oenuo il diagramma orario del moo in quesione. Lo sesso risulao si oiene aluando il alore dell accelerazione e della elocià iniziale, uilizzando: () Per confrono con l equazione: () + Si oiene che: + a d ( ) ( ) d d a 4.9 9,8 d A. Romero Fisica I - Cinemaica 3.4 m m 3 s m a 9.8 s m 3 s m s

31 Sia daa la legge oraria di un animale grandezze in unià del SI, sia: () Esempio Calcolare la elocià e l'accelerazione nell isane in moimeno, che, esprimendo ue le Sapendo che la elocià isananea è d/d () Quindi, la elocià nell'isane è () m/s L'accelerazione, essendo la deriaa della elocià rispeo al empo è daa da a()d/d 6 m/s (in queso caso paricolare, a è una cosane, cioè non dipende da. Però è bene soolineare che nel caso generale anche a dipende dal empo) Un errore da eiare... Non deriae il risulao oenuo per la elocià isananea in un dao, in quel caso, derierese non la funzione elocià, bensì una funzione cosane che assume per ogni il paricolare alore della elocià nell'isane considerao, perciò oerrese banalmene che la osra accelerazione è sempre uguale a zero, ma queso è sbagliao! A. Romero Fisica I - Cinemaica 3

32 Esercizio (m) 8 A Per una paricella che si muoe con un moo descrio in figura, deerminare () negli isani: Sol.: s, 3s, 3 4,5s, 4 7,5s B C m (OA) 5 s (AB) 7 ( ) 5 m m s B A 3,5 B s A ( ) 3,5 m s O 4 6 D 8 E (s) C B (BC) ( 3 ) C B E D ( 4) 4 m (DE) 4 s E D ( 4 ) m 4 s A. Romero Fisica I - Cinemaica 3

33 Esercizio (m/s) 4 5 A B Per una paricella che si muoe con un moo descrio in figura, roare lo spazio percorso in 5 secondi Nel rao OA: OA () O + a OA () a - - > roo a 3 Per 5 s (5) A m 5 a 5 a 3,3 s Spazio percorso nel rao OA: Per 5s m 5 s () a A m 6 6 Spazio percorso nel rao AB: AB 5s () 3 A. Romero Fisica I - Cinemaica 33 O 6 m AB cosan e 5 () 5 AB m s 3 4 C 5 (s)

34 Esercizio (m/s) A B coninuazione 4 5 Nel rao BC: BC () B + a( B ) 3 Per C BC ( C ) B + a( C B ) 5+ a(5 4) m 5+ a a 5 s O 3 4 C 5 (s) Spazio oale: () B + B( B) + a( B) Per C (5) (375+ 5) + 5(5 4) + a(5 4) (5) 875 m A. Romero Fisica I - Cinemaica 34

35 Sesso es. o modo Nel rao OA edi sopra : (4) (4 5) Spazio percorso nel rao BC: () Spazio percorso nel rao AB: () + 5( ) () ( 5) (4) m 5 () ( 4) ( 4) (5) m X OA 375m + ( ) + a( ) (m/s) O A 3 5 (5) (5 4) (5 4) Logicamene sesso risulao di prima B 4 C 5 (s) Più eloce è fare area soesa alla cura area rapezio (spazio inegrale di in d ) () (AB+ OC) alezza/ (5 + 5) 5/ m A. Romero Fisica I - Cinemaica 35

36 Esercizio Il Jumbo Je decolla quando raggiunge sulla pisa la elocià di 36 km/h. Se la lunghezza della pisa è di,8 km qual è l accelerazione minima, supposa cosane, che i moori deono imprimere all aereo che pare da fermo? Condizioni iniziali: 36 km / h m / s a 8 + a( ) a 36,7m / s Oppure uso le equazioni in funzione del empo a f f f a f f f Il empo necessario a percorrere gli,8 km di pisa ale: L accelerazione minima perano ale: a f f f f f m/s 36 s 36 m m s 36s m,7 s A. Romero Fisica I - Cinemaica 36

37 Esercizio Un auo che si muoe con elocià iniziale pari a 36 km/h aumena la elocià con accelerazione cosane pari a m/s, il moo è reilineo. Calcolare lo spazio percorso quando la elocià finale è pari a 7 Km/h e il empo impiegao. A acosane km 36 h km 7 F h 36 3,6 7 3,6 m m s s m m s s Sol.: Auo f + a f ( ) - - f a f - + a 5s 4 4 a 75m A. Romero Fisica I - Cinemaica 37

38 Moo ericale: moo in cadua libera Un caso paricolare di moo uniformemene accelerao: il moo in cadua libera Se si rascura la resisenza dell aria, un corpo lasciao libero di cadere icino alla superficie erresre si muoe erso il basso con un accelerazione cosane che ale in modulo g9,8 ms - Si considera un sisema di riferimeno con origine al suolo e asse m riolo erso l alo come in figura. In queso sisema a g - 9,8 s - g non dipende dalla naura dei corpi (corpo umano, animali,oggei in ferro, alluminio, legno, ecc.) e dalla loro forma ; all inerno di un olume limiao g non dipende dalla posizione del corpo; g è indipendene dal empo (cosane); se il olume non è limiao: g dipende dalla quoa g dipende dalla laiudine: è più grande ai poli, ed è più piccola all equaore alle nosre laiudini g ale circa g 9.8 m/s. A. Romero Fisica I - Cinemaica 38

39 Equazioni del moo ad accelerazione cosane (caso paricolare graià) acosane (assumendo che l isane iniziale sia ) a g () + a () g () + + a () + g + a( ) g( ) A. Romero Fisica I - Cinemaica 39

40 Legge oraria del moo in cadua libera Un aso di fiori, nell isane cade da un balcone parendo da fermo. Il puno di parenza del corpo sia l origine del sisema m m/s a -g -9,8 m/s Voglio roare () e () usiamo: () + a( ) g( ) () g + g () g Deerminare la posizione e la elocià del corpo dopo s, s, 3s. Soluzione A. Romero Fisica I - Cinemaica 4

41 Esercizio Una piera cade da 3 m. Con che elocià arria al suolo? Soluzione h3 m a g () g( ) g m/s a -g -9,8 m/s () h g ( ) h g con h3 m ( ) g h g 4.73 s da cui Quando arria al suolo ( ) g 4.6 m/s 873 Km/h Più elocemene usando legame ra elocià e spazio g( ) g( 3) 9, ,49 m/s A. Romero Fisica I - Cinemaica 4

42 Esercizio Un uomo sala da erra con erso l alo. Fin doe arria? g o ( ma ma g ) () g g () g g Più elocemene usando legame ra elocià e spazio g A. Romero Fisica I - Cinemaica 4 () Nel puno più alo g ma ma gma g g g ma g g ma g( ) g( ) g ma ma ma g

43 Esercizio Se un oggeo cade da con quale elocià arria a erra? posso parire da equazione oraria g () () + g g () g () g o Dao che non iene richieso il empo impiegao uso relazione ra spazio e elocià g( ) g( ) g( ) Quando arria a erra g g ma V è anche la elocià con cui dee parire da erra per arriare a A. Romero Fisica I - Cinemaica 43

44 Esercizio Da un alezza di 5 m lancio piere A e B (B è lanciaa s dopo A), A m/s erso il basso. Arriano a erra insieme. Troare B, finale, Af, Bf. h5m A A A m/s A + ( ) g( - ( ) + ) B B B B B B g A A g Prendo asse riolo erso l alo con origine a erra g Af 5 A ± s ( ) 4.9( - ) 5 + B B B ob 9.8 ( ) 33.36m / s (.) B.95m / s B ,5m / s Bf B Bf A. Romero Fisica I - Cinemaica 44

45 () () + a()d + ()d Esempi: se a non è cosane Spazio, Velocià e Accelerazione se a k () + k d () k () + + d se e : k( + ) se : () () + + k k 6 3 a, m/s Quindi k, - m/s, m a-, m/s m/s, m A. Romero Fisica I - Cinemaica 45

46 Moo periodico Il moo di una paricella si dice periodico quando ad ineralli di empo uguali la paricella orna a passare nella sessa posizione con la sessa elocià. Se immaginiamo una pallina che cade ericalmene e rimbalza in modo perfeamene elasico su un piano orizzonale, oppure una biglia che rimbalza fra le sponde di un biliardo urandole perpendicolarmene, così da muoersi aani e indiero lungo un segmeno di rea, abbiamo due esempi (anche se solo ideali) di moo periodico unidimensionale. Quali sono le leggi orarie e come sono fai i grafici di ()? A. Romero Fisica I - Cinemaica 46

47 Moo armonico semplice Moo armonico semplice: paricolare ipo di moo periodico lungo un asse reilineo, che ha noeole imporanza anche perché alla sua descrizione si rifanno numerosi alri fenomeni fisici, non limiai al solo campo della meccanica. Si ha un moo armonico semplice lungo un asse quando la sua legge oraria è del ipo: ( ) A sen (ω + φ) Doe A e φ sono dei parameri che dipendono dalle condizioni iniziali e ω dalla fisica -A A - comunemene chiamaa ampiezza. O A ω - si chiama frequenza angolare o pulsazione, ed ha dimensione dell inerso di un empo. φ - è l'argomeno del seno al empo ; quindi cambiare la fase è equialene a ridefinire l'origine dei empi. A. Romero Fisica I - Cinemaica 47

48 Moo armonico semplice ( ) A sen (ω + φ) Caraerisiche spaziali del moo armonico semplice. -A O A Il alore di sen (ω + φ ) aria ra - e, quindi l'ampiezza dell'inerallo in cui si muoe l'oggeo è A con cenro nell origine. Al empo, il puno occupa la posizione ()A sen(φ). Le cosani A e φ definiscono la posizione iniziale del puno. La funzione seno è una funzione periodica, quindi anche la funzione () che definisce il moo armonico è periodica. Se si fa rascorrere un empo π /ω, l'argomeno del seno cambia di π e dunque () riassume gli sessi alori, Ad esempio: se per ( ) A sen (ω + φ) per +π/ω ( + π ω) Asen( ω( + π ω) + φ) Asen ω + ω + φ A. Romero Fisica I - Cinemaica 48 π ω Asen Dunque T π esprime la duraa di un'oscillazione complea. ω T è il periodo del moo. ( ω + φ)

49 Moo armonico semplice π T ω La relazione sopra fa capire il significao della pulsazione ω: il moo si ripee elocemene (T piccolo) se la pulsazione è grande, menre la ripeizione è più lena (T grande) per bassi alori della pulsazione. La quanià che iene indicaa generalmene con f o con ν è uguale all'inerso di T. Essa si chiama frequenza e descrie il numero di oscillazioni al secondo, oero quani angoli giri compie l'argomeno del coseno nell'unià di empo. Quesa relazione può essere consideraa come definizione di frequenza e pulsazione (una ola definio il periodo), o di periodo e frequenza (una ola definia la pulsazione) ecc. Il periodo e quindi la frequenza di un moo armonico semplice sono indipendeni dall ampiezza del moo. Fissao il alore della pulsazione ( legao alla fisica) si ha una classe di moi armonici, caraerizzai dallo sesso periodo, che differiscono per i diersi alori dell ampiezza e della fase. f ν T ω π T ω π A. Romero Fisica I - Cinemaica 49

50 Moo armonico semplice: Velocià e accelerazione Funzione elocià. Se si deria rispeo al empo la legge oraria si oiene: Conrollo delle dimensioni: [][A][ω] [LT - ] Deriando ancora si oiene la funzione accelerazione: Da cui risula: () a() d d ω Aωcos( ω () + φ) a() d d Aω sen( ω + φ) Quesa paricolarià, in base alla quale l'accelerazione è proporzionale ed opposa allo sposameno dalla posizione di equilibrio, conraddisingue e caraerizza i moi armonici. quando roeremo dei sisemi nei quali si può affermare che accelerazione e sposameno sono legai in queso modo, poremo dire che ali sisemi si muoono di moo armonico. E anzi, dalla cosane di proporzionalià sarà possibile dedurre T (oero f, oero ω) A. Romero Fisica I - Cinemaica 5

51 Moo armonico semplice: spazio, elocià e accelerazione A ( ) A sen (ω + φ) con φ: ( ) A sen (ω) -A ωa () d d Aωcos( ω) -ωa ω A -ω A La elocià ha il alore massimo nel cenro di oscillazione () doe ale ωa e si annulla agli esremi (A, -A) doe si inere il senso del moo a() d d Aω sen( ω) L accelerazione si annulla nel cenro di oscillazione e assume il alore massimo (ω A in modulo) agli esremi, doe si inere la elocià NOTA: A pare il alore dell ampiezza, le re funzioni (), (), a() mosrano lo sesso andameno emporale: la forma ed il periodo sono uguali, c è solo uno sposameno di una rispeo all alra lungo l asse del empo, oero sono sfasae. La elocià è sfasaa di π/ rispeo allo sposameno. [sen(θ+π/)cos(θ)] L accelerazione è sfasaa di π rispeo allo sposameno [sen(θ+π)-sen(θ)] A. Romero Fisica I - Cinemaica 5

52 Moo armonico semplice: l equazione differenziale del moo armonico si è ricaao che a() ω () Essendo l accelerazione definia come Si ricaa dunque: d + ω d a () d d Equazione differenziale del moo armonico La condizione necessaria e sufficiene affinché un moo sia armonico è che alga quesa equazione differenziale A. Romero Fisica I - Cinemaica 5

53 A. Romero Fisica I - Cinemaica 53 Velocià e accelerazione in funzione della posizione nel moo armonico a ω Dalla relazione ra accelerazione e elocià ω d - a()d ) ( ) ( ω ω ) ( ) ( ω ) ( + ω ad Eguagliano le due espressioni per l inegrale di a() oeniamo

54 Moo in due e in re dimensioni Nel caso in cui il moo non sia incolao a solgersi lungo una rea ma aiene su una linea cura in un piano o nello spazio, la descrizione del moo diiene più complessa necessia di un numero più grande di informazioni. Non basa ad esempio specificare il alore numerico dello spazio percorso, ma occorre precisare in quale direzione ed in quale erso aiene. Dunque nel caso più generale di moo in due o re dimensioni, lo sposameno, la elocià e l accelerazione sono grandezze eoriali. z P r P r Si consideri una corpo puniforme che si muoe percorrendo una cura nello spazio.all isane, si roa nel puno P (siuazione rappresenaa dal eore posizione r ) O Ad un isane successio la paricella si roa nel puno P ; il eore r rappresena quesa posizione A. Romero Fisica I - Cinemaica 54

55 Moo in due e in re dimensioni La posizione di un puno P può essere quindi indiiduaa per mezzo di un raggio eore che congiunge l origine con il puno P: r()op()u +()u +z()u z z P P Con: (), (), z():coordinae del puno P u,u,u z : ersori degli assi caresiani O r r( ) r r( ) ( ) z Se è noa la dipendenza dal empo di r, cioè la funzione r(), è indiiduao il moo del puno P: conoscere r() in 3 dimensioni significa conoscere () e () e z() oppure r() e θ() e ϕ() z ( ) ( ) ( ) r r r ( ) r r θ θ ϕ ϕ ( ) ( ) ( ) La legge oraria (eoriale) è sempre equialene a re equazioni scalari Equazioni parameriche della raieoria A. Romero Fisica I - Cinemaica 55 r r

56 P() P(+ ) Velocià e sposameno O r() r r(+ ) s La posizione del puno può anche essere indiiduaa da un coordinaa curilinea s, misuraa a parire da un origine arbiraria. Il eore sposameno è la ariazione del eore posizione: r r r Non è deo che il modulo del eore sposameno sia uguale alla lunghezza della raieoria. L incremeno del raggio eore r è in genere dierso dallo spazio effeiamene percorso. Esempio: un puno che percorrere un orbia chiusa riornando al puno di parenza: il raggio eore non cambia ma il puno ha percorso una raieoria finia ( r, s ) Si considerino le due posizioni occupae dal puno P al empo e +, si può definire il eore elocià media, dao da: media r Dalla elocià media alla elocià eoriale isananea: r( + ) r() r dr per d è la deriaa del raggio eore rispeo al empo A. Romero Fisica I - Cinemaica 56

57 O r() P() r(+ ) r s P(+ ) dr d Velocià è la deriaa del raggio eore rispeo al empo L incremeno dr del raggio eore risula: in direzione angenziale alla raieoria nel puno P in modulo eguale allo sposameno infiniesimo ds lungo la raieoria, dr dsu T con u T : ersore della angene alla cura, ariabile nel empo man mano che il puno aanza La elocià diiene quindi: ds d ut Perano la elocià eoriale indiidua in ogni isane con la sua direzione e il suo erso la direzione ed il erso del moo e con il suo modulo ds/d, la elocià isananea con cui è percorsa la raieoria A. Romero Fisica I - Cinemaica 57

58 Velocià in componeni La posizione di un puno P può essere indiiduaa per mezzo di un raggio eore che congiunge l origine con il puno P: r()op()u +()u +z()u z Velocià in componeni caresiane (esempio in dimensioni) r()()u +()u φ dr d d u+ d d d u u+ u + g φ modulo di angolo ra e l asse A. Romero Fisica I - Cinemaica 58

59 Velocià in componeni Velocià in componeni polari (esempio in dimensioni) u Τ u θ u r Si inroducano i ersori: u r : ersore parallelo alla direzione del raggio eore r u θ : ersore perpendicolare al raggio eore r O r può essere espresso come r r u r dr dr du ur + r d d d dθ r ur + r uθ r + θ dr d La elocià che è sempre angene alla raieoria, può essere scomposa in due componeni: r : elocià radiale, direa lungo r e di modulo dr/d, dipende dalle ariazioni del modulo del raggio eore θ : elocià rasersa, orogonale a r e di modulo rdθ/d, collegaa alla ariazione di direzione del raggio eore d A. Romero Fisica I - Cinemaica 59 θ

60 Accelerazione in due e in re dimensioni Il eore accelerazione media è dao da: a media Δ Δ φ L accelerazione nel moo piano o nello spazio dee esprimere le ariazioni della elocià sia come modulo che direzione e quindi si può esprimere con due componeni, una legaa alla ariazione del modulo della elocià e l alra legaa al cambiameno di direzione del moo u N : ersore orogonale a u T direo erso la concaià della raieoria u T u T d a d d d r a ( ut ) ut + ut + un d d d d du d T d d dφ d u N dφ u N componene parallela a che esprime la ariazione del modulo della elocià: accelerazione angenziale componene orogonale a che esprime la ariazione della direzione della elocià. dφ/d dice quano rapidamene aria la direzione di u T accelerazione cenripea A. Romero Fisica I - Cinemaica 6

61 Accelerazione in due dimensioni u T d dφ a u T + u N d d Si consideri la figura. Per d, le ree normali alla raieoria in due puni molo icini ra di loro, si inconrano nel puno C, che coincide con il cenro della circonferenza angene alla raieoria nel puno P C: cenro di curaura CP R: raggio di curaura della raieoria nel puno P u N ds dφ u N u T Al ariare della posizione di P sulla raieoria, aria R, che diiene infinio nei rai reilinei. ds Rdφ dφ/ds/r Dunque l accelerazione diiene: dφ dφ ds d ds d R a d u d T dφ + u d N d u d T + R u N d a ut + un at + a d R A. Romero Fisica I - Cinemaica 6 N

62 Esercizio La elocià di una paricella in moo sul piano è daa da [ 6,- 4, ] i +(8,)j. Con > A. Quano ale l accelerazione all isane 3 s? B. In che momeno l accelerazione lungo si annulla? C. In che momeno la elocià assume il alore di m/s? d a d ( 6, 4, ) d 8, i + j d m ( 6, 8, ) i s NOTA: Il eore accelerazione non ha componene j in quano in quesa direzione la elocià è cosane nel empo Sol. : A. All isane 3s a( 3s) 6, 8, 3 6, 4, 8,m/s A. Romero Fisica I - Cinemaica 6

63 Esercizio -coninuazione B. L accelerazione si annulla nell isane in cui è soddisfaa la seguene relazione: a 6, 8, 6,,75s 8, C. La elocià ale m/s nell isane in cui: () ( ) () + () (6, 4, ) + (8,) 64 (6, 4, ) (6, 4, ) ± 6 6, 4, + 6 Soluzioni immaginarie 6, 4, ± ± 5,6 8,6,3s A. Romero Fisica I - Cinemaica 63

64 Moo circolare Il puno P percorre una raieoria circolare. Il modulo di r è cosane. r cosane + r cosθ r sinθ A. Romero Fisica I - Cinemaica 64

65 Moo circolare uniforme La raieoria è una circonferenza Modulo della elocià è cosane. Nonosane il modulo di sia cosane, la elocià (come eore) non è cosane, in quano la sua direzione cambia l accelerazione non è nulla. r d a ut + un at + an d R La componene angenziale è nulla in quano il modulo di non cambia (d/d), menre a N a a N u N R Il moo circolare uniforme è un moo accelerao con accelerazione cosane, orogonale alla raieoria A. Romero Fisica I - Cinemaica 65

66 Moo circolare uniforme Il moo può essere descrio facendo riferimeno allo spazio percorso s() oppure uilizzando l angolo θ() soeso all arco s() (θ()s()/r), oero laorando in un sisema di coordinae polari, in cui r()cosaner e θ θ() Siamo ineressai alle ariazioni di angolo nel empo e perano si definisce la elocià angolare: ω R ωr dθ ω d R ds La elocià angolare è proporzionale alla elocià con cui è percorsa la circonferenza d R θ Uilizzando la definizione di elocià angolare può essere ridefinia l accelerazione: a an un ω RuN R Nel moo circolare uniforme il puno percorre una circonferenza di lunghezza πr nel empo T (chiamao periodo di rioluzione o semplicemene periodo): T π r A. Romero Fisica I - Cinemaica 66 π ω

67 Moo circolare non uniforme Nel caso di moo circolare non uniforme, il modulo della elocià con cui è percorsa la circonferenza non è cosane e quindi: - l accelerazione cenripea a N /R non è cosane aria modulo di - l accelerazione angenziale non è nulla (a T d/d ) Siccome in modulo non è cosane, non lo è neanche la elocià angolare ω e si può definire l accelerazione angolare: d θ dω α d d R d d a Nel moo circolare, se è noa la legge oraria θ(), con due deriazioni si possono ricaare le espressioni per la elocià ω e l accelerazione α angolare in analogia con quano fao per ω dθ d α A. Romero Fisica I - Cinemaica 67 T R il moo accelerao d θ Viceersa se è noa la funzione α() si può inegrare oenendo: d ω ω θ dω α() d dθ ω() d θ θ

68 ω() ω Relazioni ra accelerazione, elocià angolare e angolo con α cosane + αd ω( ) ω + α( ) θ dθ ω() d θ Operando con un uleriore inegrazione ho la funzione angolo: θ() θ + ω In analogia con il caso lineare oengo θ( ) θ + ()d θ() θ + [ ω + α( )] d ( ω α( ) + ω( ) ω + α ) ω θ() θ Se è uguale a zero ω + ω + α + θ α( θ ) A. Romero Fisica I - Cinemaica 68

69 Equazioni del moo ad accelerazione lineare cosane e angolare cosane (assumendo che l isane iniziale sia ) acosane () + a α cos ω( ) ω + α () + + a + a( ) θ() ω θ ω + ω α + + θ α( θ ) A. Romero Fisica I - Cinemaica 69

70 ω r Noazione eoriale Si può definire la elocià angolare come il eore ω con modulo dθ/d è perpendicolare al piano della circonferenza percorsa dal puno e erso ale che dalla fine del eore ω moo appaia in erso aniorario. il a d d ( ω r) d d dω r d + ω dr d a α r + ω A. Romero Fisica I - Cinemaica 7

71 Esempio La Terra si muoe aorno al Sole descriendo un orbia circolare di raggio r.5 8 Km. Quano ale la elocià media della Terra (rispeo al Sole)? Quano ale la elocià angolare? T anno s Circonferenza: s π*.5 8 Km π*.5 m Velocià π Km s 9.8 Km s 3.6 h 3 s Km h m s ω R Velocià angolare 98 7,,5 rad s A. Romero Fisica I - Cinemaica 7

72 Esercizio Un enilaore fa giri/minuo, di raggio R,5m. Quana srada fa P in un giro?quano ale? ed a? θ giri f min giri s T,5s f T π r π ω π ω T π,5 5,6 rad s Srada compiua in un giro πr π, 5 S,94 m Velocià del puno: ωr 5,6,5 m 8,84 s Accelerazione: a m a 366 R 8,84,5 s A. Romero Fisica I - Cinemaica 7

73 Accelerazione: ordini di grandezza Prooni accelerari a FNAL 9 3 ms - Palla da baseball 3 4 ms - Pallone da calcio 3 3 ms - auomobile a Km/h conro os. fisso 3 ms - Paracaduisa all aperura del paracadue 3. ms -. Accelerazione di graià sul Sole.7 ms - Aiogeo in risalia dopo una picchiaa 8 ms - Perdia di coscienza dell uomo 7 ms - Accelerazione di graià sulla Terra 9.8 ms - Frenaa di un auomobile 8 ms - Accelerazione di graià sulla Luna.7 ms - Roazione della Terra ( Equaore) ms - Rioluzione della Terra.6 - ms - A. Romero Fisica I - Cinemaica 73

74 Moo parabolico dei corpi Uno degli esempi più noi di moo in due dimensioni è quello del moo del proieile, doe per proieile si inende qualunque oggeo puniforme lanciao con una elocià iniziale e che subisce poi l effeo della graià. ( es. pallina da ennis, pallone ec) Assunzioni: θ il proieile può essere approssimao con un puno maeriale; la resisenza dell aria è rascurabile e non ha nessun effeo sul moo; nel moo del proieile le componeni orizzonale (lungo l asse ) e ericale (lungo l asse ) sono indipendeni fra loro. Esempio di raieoria A. Romero Fisica I - Cinemaica 74

75 Moo del proieile: elocià iniziale Si può sempre roare un sisema di riferimeno ale per cui il moo si solge in un piano. La elocià iniziale ha due componeni, i +, j In generale è noo l angolo θ formao dal eore rispeo al erso posiio dell asse. Da queso e dal modulo della elocià iniziale si possono ricaare le componeni iniziali del eore elocià:, o θ o,, cosθ sinθ, A. Romero Fisica I - Cinemaica 75

76 Moo del proieile Moo orizzonale Lungo la componene orizzonale del moo non i è alcuna accelerazione. Il moo è perano reilineo uniforme con elocià,. Se è la componene orizzonale della posizione iniziale (a ), la coordinaa del puno maeriale al empo sarà daa da:, o () () + +, cosθ θ o, A. Romero Fisica I - Cinemaica 76

77 Moo del proieile Moo lungo la direzione ericale Lungo la componene ericale il moo è uniformemene accelerao con accelerazione pari a - g (accelerazione di graià). La elocià in direzione (erso posiio: quello erso l alo) è daa da : ( ) g ( ) sin θ g, Infine, se è la componene ericale della posizione iniziale (a ), la coordinaa del puno maeriale al empo è daa da: ( ) + ( sinθ ) g sin θ g se ( ) ( ) A. Romero Fisica I - Cinemaica 77

78 Moo del proieile Traieoria La raieoria di un puno maeriale è daa dall insieme delle posizioni successie occupae dal puno. Essa iene scria in queso caso come una cura (), oero come una relazione fra le coordinae del puno maeriale che ale ad ogni isane. Per ricaare la raieoria nel caso del proieile dalla legge oraria per la componene ricaiamo (), () cosθ Sosiuiamo nell espressione della legge oraria per la componene ( sinθ ) + g ( ) + ( sinθ ) ( ) cosθ A. Romero Fisica I - Cinemaica 78 ( ) g cos θ

79 Moo del proieile Traieoria La raieoria del proieile è quindi una parabola sul piano, la cui equazione è la seguene: g ( cosθ ( ) + anθ ( ) ( ) Se a il puno è nell origine ( e ): ( ) ) anθ g ( cosθ ) A. Romero Fisica I - Cinemaica 79

80 Moo del proieile Puno di massima alezza Si possono calcolare le coordinae M e M del puno di alezza massima raggiuno dal proieile. () sinθ g sin θ ( M ) sin θ g M M g e inserendo M nelle leggi orarie () e () si oengono le coordinae cercae: Il puno di massima alezza è il puno in cui la componene della elocià è nulla: M M Se + cosθ + sinθ M M M M g cosθ sinθ + g M sinθ g sin θ g A. Romero Fisica I - Cinemaica 8 sin θ + g sinθ + g sinθ g g sin θ + g

81 Moo del proieile Giaa Si può calcolare infine la giaa del proieile, oero la disanza alla quale il proieile ripassa per la quoa di lancio. Per fare queso si può uilizzare l equazione della raieoria e imponendo che la quoa () sia pari a : g ( cosθ ) ( ) + anθ ( ) ( ) Oero: g anθ ( ) ( ) ( cosθ ) A. Romero Fisica I - Cinemaica 8

82 Giaa G L equazione precedene ha due soluzioni: Soluzione : Posizione iniziale Soluzione : ( cosθ ) cosθ sinθ sinθ anθ g g g G è massima quando sin θ quindi θ π/ 4 G ( ma, ma ) (, ) ( +G, ) A. Romero Fisica I - Cinemaica 8

83 Esercizio Una palla iene lanciaa con una elocià 5 m/s che forma un angolo θ37 con l orizzonale. Troare dopo quano empo cade a erra e il alore della giaa o θ g Lungo la componene ericale il moo è uniformemene accelerao con accelerazione pari a g. Velocià in direzione : ( ) g ( ) sinθ g, Quando il puno raggiunge la massima alezza la componene della elocià è nulla: sinθ ( M ) sinθ gm M g Tempo in cui il corpo raggiunge erra: T M sinθ 5sen37 6,4 s g 9,8 Giaa: sinθ 5 sin( 37 ) G 45,m g 9,8 Oppure G cosθ M A. Romero Fisica I - Cinemaica 83

84 Esercizio Un aereo iaggia a 3 meri di alezza con una elocià di 75m/s. Se sgancia una bomba a che disanza arria? o 75m/s g () () 75 o 3m B Moo della bomba, g ( ) g ( ) la bomba raggiunge il suolo a g 6 4,7s g 9,8 Disanza percorsa in direzione : (4,7) 75 4,7 684 m A. Romero Fisica I - Cinemaica 84