Collana di Fisica e Astronomia

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1 Collana di Fisica e Astronomia A cura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guida Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi

2 Maurizio Gasperini Manuale di Relatività Ristretta Per la Laurea Triennale in Fisica 123

3 MAURIZIO GASPERINI Dipartimento di Fisica Università di Bari ISBN ISBN (ebook) DOI / Springer-Verlag Italia 2010 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore, e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. Riprodotto da copia camera-ready fornita dall Autore Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampa: Grafiche Porpora, Segrate, Milano Stampato in Italia Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I Milano Springer fa parte di Springer Science+Business Media (

4 A mia moglie e mia figlia

5 Prefazione Questo manuale è stato preparato come specifico testo di riferimento per gli studenti che seguono le lezioni di relatività ristretta durante i corsi del secondo/terzo anno del nuovo ordinamento di laurea in Fisica. Nell ambito del vecchio ordinamento di laurea tali lezioni facevano parrelatività generale. Erano lezioni rivolte a studenti in fase di preparazione te del corso annuale di Relatività, che comprendeva la relatività ristretta e la avanzata, e potevano essere svolte in modo dettagliato e approfondito. Con l introduzione della nuova Laurea Triennale (o Laurea di I Livello) le nozioni di relatività ristretta vengono invece impartite nell ambito di un breve modulo didattico (che normalmente fa parte del corso di introduzione alla fisica teorica e alla meccanica quantistica). Si è reso quindi necessario un adeguamento non solo dei contenuti ma anche dei tempi e dei modi di insegnamento. Questo testo è frutto di un impegno più che decennale nell insegnamento della relatività (ristretta e generale) per il corso di laurea in Fisica (attualmente a Bari e in precedenza a Torino). Avendo vissuto in prima persona il passaggio dal vecchio al nuovo ordinamento ho potuto direttamente constatare e constato tuttora il disagio degli attuali studenti nei confronti dei vecchi libri di relatività. Ho quindi cercato di preparare un testo che contenesse le nozioni necessarie per i programmi del nuovo ordinamento, che seguisse la traccia e lo stile delle lezioni che vengono impartite al giorno d oggi, e che fosse possibilmente conciso, compatto, essenziale, di facile consultazione e di immediato utilizzo. Assumendo che lo studente possieda già le nozioni di base della meccanica Newtoniana e dell elettromagnetismo classico, questo testo si focalizza sull introduzione alle trasformazioni di Lorentz, sulla formulazione covariante delle equazioni elettromagnetiche, e sulle nozioni elementari di cinematica e dinamica relativistiche. Sono state inoltre inserite due brevi appendici su argomenti che esulano dagli obiettivi di un approccio introduttivo alla relatività, ma che possono risultare utili in vista dei corsi da affrontare in seguito. Queste appendici riguardano infatti la cinematica dei processi d urto e l effetto

6 VIII Prefazione Cherenkov. Si informano infine i lettori interessati alla fisica relativistica che possono trovare una continuazione naturale di questo testo in un altro libro dedicato alla relatività generale, alla teoria della gravitazione, e alle sue moderne problematiche di tipo teorico e fenomenologico 1. Cesena, gennaio 2010 Maurizio Gasperini 1 M. Gasperini: Relatività Generale e Teoria della Gravitazione (Springer-Verlag, Milano, 2010).

7 Notazioni, convenzioni e unità di misura In questo testo usiamo le lettere latine minuscole per gli indici che variano da 1a3, i,j,a,b,...=1, 2, 3; chiamiamo x 4 la coordinata temporale, x 4 = ct (dove c èlavelocità della luce nel vuoto), e usiamo le lettere greche minuscole per gli indici che variano da 1 a 4: μ, ν, α, β,... =1, 2, 3, 4. La metrica di Minkowski η μν ha componenti: η ij = δ ij, η i4 =0=η 4i, η 44 = 1. Adottiamo inoltre la convenzione della sommatoria, secondo la quale indici ripetuti, in posizione verticale opposta, si intendono sommati: 4 x μ x μ x μ x μ, μ=1 3 x i x i x i x i, i=1 Le componenti di un vettore, quando indicate in modo esplicito, vengono incluse in parentesi tonde e separate da una virgola (spesso raggruppando le componenti di tipo spaziale con un solo simbolo). Ad esempio: x i = ( x 1,x 2,x 3), x μ = ( x 1,x 2,x 3,x 4) ( x i,x 4), oppure, usando la notazione vettoriale, x = ( x 1,x 2,x 3), x μ = ( x,x 4).

8 X Notazioni, convenzioni e unità di misura Il prodotto scalare tra due vettori A e B dello spazio euclideo tridimensionale viene indicato con un punto, A B = A i B i, il prodotto vettoriale con il simbolo moltiplicativo, o anche, in componenti, C = A B, C i = ɛ ijk A j B k, dove ɛ ijk è il simbolo completamente antisimmetrico di Levi-Civita, normalizzato con la convenzione ɛ 123 = +1, e definito da: ɛ ijk = { +1, ijk permutazione pari di 123, 1, ijk permutazione dispari di 123, 0, due indici uguali. L operatore gradiente ha componenti x i i = ( x 1, e l operatore D Alembertiano è definito da x 2, 2 1 c 2 2 t 2, dove 2 = è l operatore Laplaciano. ) x 3, Le notazioni e convenzioni relative al formalismo tensoriale verranno esplicitamente introdotte nel Capitolo 3. Infine, il sistema di unità usatoè il sistema di unità Gaussiane CGS non razionalizzato, nel quale le dimensioni del campo elettrico E e del campo magnetico B sono le stesse, [E] =[B] =M 1/2 L 1/2 T 1, e le equazioni di Maxwell assumono la forma E =4πρ, B =0, E = 1 B c t, B = 4π c J + 1 c dove c èlavelocità della luce nel vuoto, c = cm/s. E t,

9 Notazioni, convenzioni e unità di misura XI Anche le dimensioni del potenziale vettore A e del potenziale scalare φ sono le stesse, [A] =[φ] =M 1/2 L 1/2 T 1, e la relazione tra campi e potenziali assume la forma: E = φ 1 c A t, B = A. Qualunque altra notazione e convenzione non compresa in questa sezione verrà esplicitamente introdotta nel testo, ove necessario.

10 Indice Prefazione...VII Notazioni, convenzioni e unità di misura... IX 1 Introduzione alle trasformazioni di Lorentz Le trasformazioni di Galilei Relatività Galileiana ed equazioni di Maxwell Un principo di relatività solo per la meccanica? Interferometri e trascinamento dell etere Aberrazionedellalucestellare Trascinamentoparzialeneidielettriciinmovimento Il principio di relativitàdieinstein Un semplice esempio di trasformazione di Lorentz Il gruppo di Lorentz ristretto FormalismomatricialeemetricadiMinkowski Il gruppo pseudo-ortogonale O(3, 1) Scomposizione del gruppo ristretto in boosts erotazioni Trasformazioni di Poincarè Calcolo tensoriale nello spazio-tempo di Minkowski Tensoricontrovarianti Tensoricovariantieprodottoscalare Interpretazionegeometrica Proprietàdeltensoremetrico Sempliciregoledicalcolotensoriale Quadrivettoriditipotempo,spazioeluce Il cono-luce relativistico Cinematica relativistica Contrazione delle lunghezze

11 XIV Indice 4.2 Dilatazionetemporaleetempoproprio Composizione relativistica delle velocità IlcoefficientediFresnel Il fenomeno dell aberrazione Quadrivettori velocità ed accelerazione Quadrivettoreimpulsoequadrivettored onda Effetto Doppler relativistico Moto relativistico uniformemente accelerato ParametrizzazionecovarianteespaziodiRindler Elettromagnetismo in forma covariante EquazionidiMaxwellinformatensoriale Trasformazioni di Lorentz del campo elettrico e magnetico Campodiunaparticellacaricainmotouniforme Quadrivettore potenziale ed invarianza di gauge Quadrivettore densitàdicorrente Esempio:caricapuntiforme Divergenza covariante e conservazione della carica Lagrangiana di Maxwell: formalismo variazionale covariante Dinamica relativistica Particellalibera,massivaepuntiforme Formalismoesplicitamentecovariante Relazioni tra impulso, velocitàedenergia Illimitedimassanulla Ilquadrivettoreforza Particellacaricainuncampoelettromagneticoesterno Formalismoesplicitamentecovariante Componenti spaziali e temporali della forza di Lorentz Motoinuncampomagneticocostanteeduniforme Motoinuncampoelettricocostanteeduniforme Conservazionedelquadrivettoreimpulso:effettoCompton Appendice A. Cinematica dei processi d urto e di decadimento 107 A.1 Massa invariante e velocità del centro di massa A.2 Energienelcentrodimassa A.3 Trasformazionedegliangolididiffusione A.4 Energiadisoglia A.5 Decadimentoaduecorpi A.5.1 Angolididecadimentonellaboratorio Appendice B. Effetto Cherenkov B.1 Potenza irraggiata da una carica in moto in un dielettrico B.2 Campielettromagneticiinundielettricoinmovimento...124

12 Indice XV Esercizi Soluzioni Bibliografia Indice analitico...157