Cariche in campo magnetico: Forza magnetica

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1 Lezione 18

2 Campo magnetico I Stoicamente, i geci sapevano che avvicinando un pezzo di magnetite a della limatua di feo questa lo attaeva. La magnetite ea il pimo esempio noto di magnete pemanente. Come abbiamo visto una caica elettica puo geneae un campo elettico E. Ci si potebbe aspettae che esistano delle caiche magnetiche (o monopòli) che geneano il campo magnetico B. In ealta, sebbene pevisti da molte teoie, i monopòli non sono mai stati ossevati. Vedemo che chi genea il campo sono o caiche elettiche in moto (coente elettica) o potatoi di momento magnetico intinseco, come gli elettoni. Questi ultimi sono i esponsabili del magnetismo nei magneti pemanenti (calamite), mente con le coenti elettiche si ceano i cosiddetti elettomagneti. Comunque ceato, le linee di foza del campo magnetico si chiudono sempe, e sono tali che esistono sempe due poli, un polo Nod e un polo Sud. Poli omologhi di un magnete si espingono, poli opposti si attaggono. Le linee si chiudono sempe peche non esistono i monopoli Nod o Sud, bensi sempe dipoli Nod-Sud. Come in un dipolo elettico, le linee escono dalla caica positiva e si chiudono sulla negativa, in un dipolo magnetico esse escono dal Nod e si chiudono sul Sud. Una volta ceato un campo magnetico, e un fatto speimentale che una caica elettica in moto in esso, isolata o in un flusso (coente), sente una foza quando e in pesenza di campo.

3 Campo magnetico II

4 Caiche in campo magnetico: Foza magnetica

5 Caica in campo magnetico: moto cicolae ω v q B m Fequenza ciclotonica 1 2 mv qv v 2qV m x 2 2mv qb 2 B 2mV q Ex: S p e t t o m e t o d i m a s s a m B qx 8V

6 F F qv B qv Caica in campo magnetico: moto elicoidale Se la velocita della paticella caica ha una componente non nulla nella diezione del campo magnetico, la paticella si muovea nella diezione del campo con un pecoso a elica, dato dalla combinazione di un moto cicolae e un moto ettilineo unifome. T p B qvsin( φ) B mv qb 2πm qb v cos( φ) T 2 v m

7 Caica in campi elettico e magnetico combinati Se sono pesenti contempoaneamente un campo elettico E e un campo magnetico B, una paticella caica e soggetta alla foza F F + F qe + qv B q( E + v B) Nomalmente e a questa foza totale che si da il nome di Foza di Loentz. Quando i campi E e B sono disposti pependicolai ta di loo ed entambi nomali alla velocita v della paticella caica, si dice che essi sono incociati. In tal caso la foza elettica e quella magnetica hanno stessa diezione. Scegliendo oppotunamente il veso di B, si puo fae anche in modo che le foze abbiano segno opposto. Si puo infine annullae la foza se ta i moduli dei campi e la velocita della paticella vale la elazione: qe qvb v E B (*) In queste condizioni, la egione in cui i campi sono incociati agisce da selettoe di velocita, ovveo passano solo paticelle con la velocita data da (*), mente le alte vengono deflesse. I campi incociati si usano nei tubi a aggi catodici (come quello della TV). Thomson uso un tubo a aggi catodici pe misuae il appoto ta la caica e la massa dell elettone.

8 ee ev B Effetto Hall Quando una lamina conduttice (o semiconduttice) pecosa da coente e posta in un campo magnetico pependicolae alla lamina, ai bodi della lamina nasce un campo elettico tasveso associato a una diffeenza di potenziale. Questo fenomeno e noto come effetto Hall e la diffeenza di potenziale nella diezione pependicolae alla densita di coente e nota come tensione Hall. Il campo elettico tasveso e oiginato dalla foza di Loentz agente sulle caiche in moto con velocita di deiva v d.. Con ifeimento alla figua, la foza magnetica deflette potatoi con caica negativa (come quelli di un metallo) veso il bodo desto della lamina, causando un accumulo di caica negativa su tale bodo e un eccesso di caica negativa sul bodo sinisto. Questo, dopo un tansiente, pota a una situazione stazionaia in cui si stabilisce un campo elettico E che impedisce un ulteioe movimento di caiche. In tale situazione la foza elettica bilancia quella magnetica, e il campo elettico Hall saa icavato da da cui possiamo icavae la tensione Hall come J i i ib VH Ed vd Bd Bd Bd Bd R ne Ane tdne tne Come si vede dalla figua, se i potatoi hanno caica positiva, come puo succedee in un semiconduttoe dogato, il segno della tensione Hall e opposto a quello ossevato pe un metallo. La tensione Hall e popozionale al campo magnetico applicato. Pe questo si usa l effetto pe misuae il campo magnetico, nelle cosiddette sonde Hall. A tal scopo si usano semiconduttoi, dove la tensione Hall, invesamente popozionale alla densita di potatoi, e piu facilmente misuabile. H i

9 Foza magnetica su un filo pecoso da coente Se un filo in cui scoe coente i e immeso in un campo magnetico, esso e soggetto a un foza che lo deflette. Ovviamente tale foza e oiginata dalla foza di Loentz agente sugli elettoni che si muovono nel filo con velocita di deiva v d. Gli elettoni sono spinti a un bodo del filo, e, non potendo uscie, la foza e tasmessa al filo stesso. La foza agente su un tatto di filo ettilineo di lunghezza L, si puo tovae sommando le foza di Loentz che agiscono sui vai elettoni. F B Nev d B nalev d B JAL B il B Il vettoe L ha la stessa diezione del tatto di filo, modulo la lunghezza del filo, veso quello data dalla coente che scoe nel filo. Se il filo non e ettilineo, di puo tovae la foza elementae agente su un piccolo tatto dl di filo e poi integae tale foza su tutto il filo. Pe il tatto elementae di filo avemo: df B idl B

10 Momento tocente su una spia pecosa da coente Una spia, assunta igida, pecosa da coente e immesa in un campo magnetico e soggetta a un momento tocente. Questo effetto meccanico è alla base dei motoi elettici. Pe endesi conto dell esistenza di questo momento, ci si ifeisca alla figua al lato. Pe questa specifica configuazione, i lati coti della spia sono paalleli al campo, quindi non sono soggetti a foza magnetica, mente i lati lunghi speimentano una coppia di foze, che causano appunto un momento tocente che fa uotae la spia intono al popio asse. Pe una oientazione geneica della spia di lati a e b e aea A, il contibuto dei lati coti si elide, mente i lati lunghi danno un momento tocente b b τ iab sin( θ ) + iab sin( θ ) iabb sin( θ ) iab sin( θ ) 2 2

11 µ ianˆ Momento di dipolo magnetico Pe una spia di foma geneica si puo definie un vettoe momento di dipolo magnetico della spia, il cui modulo e il podotto dell aea della spia e della coente cicolante nella spia ed e dietto come la nomale estena all aea spia. In funzione di questo vettoe, il momento tocente cui e sottoposta una spia quando e immesa in un campo magnetico si puo scivee come: τ µ B In analogia con il momento di dipolo elettico, pe il quale ea τ Si puo anche qui definie una enegia potenziale che e minima quando il dipolo e allineato col campo magnetico come U ( θ ) µ B µ B cos( θ ) p E un momento di dipolo magnetico uota pe allineasi al campo magnetico. Quanto detto pe la spia vale pe ogni tipo di dipolo magnetico, anche quelli N-S natuali come le calamite o quelli intinseci associati agli elettoni, che vedemo in seguito. La tea e un enome dipolo magnetico, col polo Sud vicino al polo Nod geogafico. Il polo Nod dell ago di una bussola e attatto e quindi punta veso il polo magnetico Sud della tea, ovveo punta veso il polo Nod geogafico.

12 Applicazione: motoe elettico dc Come abbiamo visto, una spia pecosa da coente e sottoposta a un momento tocente quando e immesa in un campo magnetico unifome. Se usiamo il momento di dipolo pe descivee la spia, il momento tocente e τ µ B ianˆ B Tale momento tocente tende ad allineae il momento di dipolo al campo. Se volessimo fae un motoe elettico, con tale momento potemmo fa uotae la spia da una configuazione anti paallela a una paallela al campo. Ovveo possiamo fae solo mezzo gio. Pe fae un gio completo, dobbiamo invetie il momento di dipolo ogni mezzo gio. Ricodando che il momento di dipolo e popozione alla coente i che cicola nella spia, dobbiamo semplicemente invetie i ogni mezzo gio. Nei motoi elettici questo e fatto usando dei contatti stiscianti che ealizzano appunto una invesione della polaita della tensione e quindi della coente che cicola nella spia ogni mezzo gio.

13 Campo magnetico geneato da coente: Legge di Biot-Savat Il campo magnetico geneato da un distibuzione di coenti e tovato con una legge analoga alla legge di Coulomb pe il campo elettico. Pe il campo magnetico si usa la legge di Biot-Savat. Si calcola il campo elementae db al punto dato da un elemento di coente ids e poi si intega sulla lunghezza del filo. Poiche il campo elementae e dato come un podotto vettoe, pe il veso del campo vale la solita egola della mano desta. Il pollice e nel veso dell elemento di coente, mente le dita indicano il veso del campo.

14 Esempio: campo al cento di una spia cicolae

15 Campo magnetico geneato da coente: Legge di Ampèe Come in elettostatica spesso in situazioni di simmetia conviene usae la legge di Gauss invece della legge di Coulomb, in magnetostatica si usa aamente la legge di Biot-Savat pe calcolae i campi magnetici e invece si usa allo scopo l equivalente della legge di Gauss, che in magnetostatica e la legge di Ampee. La legge di Ampee affema che l integale su una linea chiusa di B moltiplicato scalamente pe un elemento di linea ds (cicuitazione di B) e popozionale alla somma algebica delle coenti che fluiscono da una supeficie avente come contono quella linea. Scelto un veso di integazione antioaio, le coenti sono positive se sono diette come la nomale estena alla supeficie.

16 Legge di Ampèe: Campo di un filo ettilineo infinito

17 Legge di Ampèe: Campo in un solenoide (bobina)

18 Foza magnetica ta due fili ettilinei: definizione elettodinamica dell Ampèe Due fili pecosi da coenti esecitano una foza uno sull alto. Pe due fili paalleli e ettilinei a e b questa foza si puo tovae notando intanto che F ba -F ab. Oa, il tatto L del filo b sente il campo dovuto al filo a posto a una distanza d, pe cui su esso agisce una foza di Loentz. Il campo B a e pependicolae al tatto di filo L, pe cui la foza punta veso il filo a. F ba i b L B a i b LB a µ 0L 2πd i b i a B µ i 2πd Coenti equivese si attaggono, coenti opposte si espingono. Foza pe u n i t a d i l u n g h ezza

19 P1 Una bobina ha lunghezza L1.23 m, un diameto inteno d3.55 cm. con cinque stati di 850 spie ognuno. Se nella bobina scoe una coente i5.57 A, quale e il campo al suo cento? Il Gauss e spesso usato come unita di misua del campo magnetico. 1G10^-4T. Quale e il campo al cento della bobina espesso in G? B µ 0 in 4π T 24mT 240G 1.23

20 P2 Come va il campo magnetico all inteno di un filo di aggio R in cui scoe una coente i con densita J costante? J i πr i JA Jπ π i πr

21 Come e dietta la foza di Loentz? V 1

22 R1 F qv B a) +z b) -x c) 0

23 V 2 L oientamento del campo B e tale che la foza sul filo sia massima. Come e dietto il campo?

24 df B idl B R 2 Come y.

25 V 3 Un elettone e un potone (molto piu pesante) seguono le taiettoie cicolai in campo B mostate in figua. Hanno la stessa velocita v. a) Quale delle due taiettoie e seguita dall elettone? b) L elettone pecoe la sua taiettoia in senso oaio o antioaio?

26 R 3 mv q B a) Quella con aggio minoe b) Oaio

27 V 4 Dispoe i quatto casi in odine decescente di enegia potenziale del dipolo.

28 U (θ ) 1,4 poi 2,3 µ B R 4

29 V 5 Nella figua al lato abbiamo te fili pecosi da una coente con la stessa intensita i. Si odinino la quatto linee chiuse secondo i valoi decescenti del modulo della cicuitazione di B lungo ciascuna di esse.

30 B ds µ 0 iint R 5 d, poi a,c (pai) poi b.

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