26 - La linea elastica e le strutture a telaio

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1 26 - a linea elastica e le strutture a telaio ü [A.a : ultima revisione 7 maggio 201] In questa Esercitazione si estende il metodo della linea elastica alle strutture a telaio, in cui ogni elemento e' soggetto a momento flettente, taglio e sforzo normale. a procedura evolve secondo i seguenti passi: 1. si esamina la struttura, e si identificano tutti i punti (d'ora in poi nodi) in cui si abbia una discontinuita' nello spostamento (assiale o trasversale), nellla rotazione o nelle caratteristiche della sollecitazione interna. 2. Per ciascun tratto compreso tra due nodi (d'ora in poi elemento) si fissa un sistema di riferimento con origine in uno dei due nodi, l'asse x diretto secondo l'asse dell'elemento, l'asse x 2 tale che la rotazione che porta x 2 in x sia antioraria e di p/2.. Per il generico elemento i-mo, si scrive l'equazione differenziale del quarto ordine nello spostamento trasversale v i e l'equazione differenziale del second'ordine nello spostamento assiale w i 4. si scrivono le opportune condizioni ai limiti. In particolare, in ciascun estremo si dovranno scrivere tre condizioni, in ciascun nodo interno che connette due elementi (nodo semplice) si scrivono sei condizioni, in ciascun nodo che connette k elementi (nodo di grado k) si scrivono (k+1) condizioni 5. risolvendo le condizioni ai limiti, si ottengono gli spostamenti assiali e trasversali di ciascun tratto, e quindi per derivazione si ottengono le caratteristiche 6. e' spesso opportuno esaminare l'influenza delle deformazioni da sforzo assiale, ed a cio' fare si puo' facilmente ottenere il caso limite di strutture assialmente rigide, portando la rigidezza assiale ad infinito. Cio' permette di semplificare le formule, e di stimare numericamente l'influenza degli sforzi assiali Si avverte esplicitamente che i sistemi di equazioni algebriche cui si giunge negli esercizi di questa sezione hanno dimensioni tali da escludere una agevolmente risoluzione manule. D'altro canto, la capillare diffusione di software di algebra simbolica ha ampliato enormemente le possibilita' operative, ed e' quindi sembrato opportuno inserire anche alcuni esempi piu' complessi. Il lettore interessato agli aspetti piu' computazionali puo' leggere la seconda parte delle Esercitazioni, che sara' interamente dedicato all'utilizzo di Mathematica in Scienza delle Costruzioni. Esempio n.1 Si consideri il semplice telaio di Figura 1, costituito da un traverso di luce soggetto ad un carico q uniformemente distribuito, ed un ritto di altezza H. A sinistra il telaio e' vincolato con un incastro, al piede si ha una cerniera. Si identificano subito tre nodi, e due elementi, sicche' si definiscono le linee elastiche v 1 Hx e w 1 Hx ), relativamente al traverso, e v 2 Hx ) e w 2 Hx relativamente al ritto, scegliendo le origini in A ed in B, rispettivamente, e col sistema di assi locali definito in Figura 2.

2 a linea elastica e le strutture a telaio.nb q A B H C Figura 1 - Un semplice telaio zoppo Si potra' scrivere, ipotizzando che le sezioni del ritto e del traverso siano costanti: e quindi si ha : EIv 1 '''' Hx = q EA w 1 '' Hx = 0 EIv 2 '''' Hx = 0 EA w 2 '' Hx = 0 v 1 Hx = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a x + qx 4 w 1 Hx = b 0 + b 1 x v 2 Hx = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c x w 2 Hx = d 0 + d 1 x 24 EI (1) (2) A x x 2 B x 2 x H C Figura 2 - I due sistemi di riferimento locale per il traverso ed il ritto Si sono quindi introdotte 12 costanti di integrazione, che dovranno essere definite attraverso l'imposizione di opportune condizioni ai limiti. Nella fattispecie, si avra': - in A l'incastro detta l'annullarsi di spostamento assiale, spostamento trasversale, e rotazione, ossia le tre

3 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 489 equazioni di congruenza: w 1 H0 = 0 v 1 H0 = 0 v 1 ' H0 = 0 - in B si deve imporre la congruenza degli spostamenti, e l'equilibrio del nodo. Per la congruenza, si potranno imporre le tre condizioni: w 1 H = v 2 H0 v 1 H = w 2 H0 v 1 ' H = v 2 ' H0 a prima impone che lo spostamento assiale del traverso sia pari allo spostamento trasversale del ritto, mentre la seconda impone che lo spostamento trasversale del traverso sia pari allo spostamento assiale del ritto. 'ultima condizione impone l'uguaglianza delle rotazioni e condizioni di equilibrio possono leggersi dal diagramma delle forze di Figura : () (4) N BA T BA M BA T BC M BC N BC Figura - Il concio in B e le forze su di esso agenti N BA T BC = 0 T BA + N BC = 0 M BA + M BC = 0 ossia, in termini di spostamenti e successive derivate : (5) EA w 1 ' H+EI v 2 ''' H0 = 0 EI v 1 ''' H+EA w 2 ' H0 = 0 EI v 1 '' H EI v 2 '' H0 = 0 - in C la cerniera detta l'annullarsi di spostamento assiale e spostamento trasversale, mentre la rotazione e' libera, e quindi si annulla il momento: (6) w 2 HH = 0 v 2 HH = 0 EIv 2 '' HH = 0 (7)

4 a linea elastica e le strutture a telaio.nb à a soluzione del sistema di equazioni e dodici equazioni (), (4), (6) e (7) si scrivono, utilizzando le soluzioni (2): b 0 = 0 a 0 = 0 a 1 = 0 b 0 + b 1 = c 0 a 0 + a 1 +a a + q4 24 EI = d 0 a a 2 + a 2 + q 6 EI = c 1 EA b EI c = 0 6 EI a + q + EA d 1 = 0 (8) a 2 + a + q2 4 EI c 2 = 0 d 0 + d 1 H = 0 c 0 + c 1 H+c 2 H 2 + c H = 0 2 c c H = 0 ossia, matricialmente : con soluzione : EI EA EI EA H H H 2 H H a 2 a c 0 c 1 c 2 c b 1 d 0 d 1 = 0 q 4 24 EI q 6 EI 0 q q 2 4 EI (9) a 0 = 0 a 1 = 0 a 2 = q 2 8 EI a = q 12 EI 72 EI 2 H +EA 2 H 2 H2 H++6 EA EI I4 H H + 4 M 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H4 H+ +12 EA EI IH 4 + H + 4 M EA I EI +EA H 2 HH+M 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H4 H+ +12 EA EI IH 4 + H + 4 M c 0 = 2

5 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 491 q 4 4 H I 24 EI H+EA M 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H4 H+ +12 EA EI IH 4 + H + 4 M c 1 = q 12 EI IEA H + EI M I 24 EI H+EA M 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H4 H+ +12 EA EI IH 4 + H + 4 M c 2 = q 8 EI EA H 2 I 24 EI H+EA M 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H4 H+ +12 EA EI IH 4 + H + 4 M c = q 24 EI EA H I 24 EI H+EA M b 0 = 0 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H4 H+ +12 EA EI IH 4 + H + 4 M b 1 = q d 0 = q 4 4 H I24 EI H EA M I6 EI 2 H +EA 2 H 2 H4 H+ +12 EA EI IH 4 + H + 4 MM H I EI +EA H 2 HH+M 72 EI 2 H +2 EA 2 H 2 H4 H+ +24 EA EI IH 4 + H + 4 M d 1 = q 4 I EI +EA H 2 HH+M 72 EI 2 H +2 EA 2 H 2 H4 H+ +24 EA EI IH 4 + H + 4 M Ne segue l' espressione degli spostamenti trasversali sul traverso: v 1 Hx = qx 4 24 EI I12 EA EI H4 + 6 EI 2 H +6 EA EI H +4 EA 2 H + 12 EA EI 4 + EA 2 H 2 4 MëI12 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M +4 EA 2 H + EA I4 EI+EA H 2 M 4 M+ qx 24 EI I 48 EA EI H4 144 EI 2 H EA EI H 2 10 EA 2 H 4 0 EA EI 5 6 EA 2 H 2 5 Më I12 EA EI H 4 + (11)

6 a linea elastica e le strutture a telaio.nb e sul ritto : qx 2 6 EI H IEI+EA H 2 M +4 EA 2 H + EA I4 EI+EA H 2 M 4 M+ 24 EI I72 EA EI H EI H I EI+2 EA H 2 M + 6 EA 2 H 5 + EA I6 EI+EA H 2 M 6 Më I12 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M +4 EA 2 H + EA I4 EI+EA H 2 M 4 M v 2 Hx = q 24 EI IHH x HEA H H2 H x x 6 EI I 24 EI H+EA MMë I12 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M + 4 EA 2 H + EA I4 EI+EA H 2 M 4 M Gli spostamenti assiali sono invece forniti da : (12) w 1 Hx = q 4 IH x I24 EI H EA MMë I12 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M + 4 EA 2 H + EA I4 EI+EA H 2 M 4 M (1) w 2 Hx = q 4 I HH x IEA H +I EI+EA H 2 M MMëI24 EA EI H 4 + (14) 72 EI H IEI+EA H 2 M +8 EA 2 H + 6 EA I4 EI+EA H 2 M 4 M e caratteristiche della sollecitazione interna si ottengono invece tramite derivazione successiva : N 1 Hx = q 4 IEA H I24 EI H EA MMëI12 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M + 4 EA 2 H + EA I4 EI+EA H 2 M 4 M N 2 Hx = q 4 I EA IEA H +I EI+EA H 2 M MMëI24 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M +8 EA 2 H + 6 EA I4 EI+EA H 2 M 4 M (15) (16) M 1 Hx = qx 2 4 I24 EA EI H EI 2 H +72 EA EI H +8 EA 2 H + 24 EA EI EA 2 H 2 4 MëI12 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M +4 EA 2 H + EA I4 EI+EA H 2 M 4 M qx q 4 I 48 EA EI H EI 2 H EA EI H 2 10 EA 2 H 4 0 EA EI 5 6 EA 2 H 2 5 MëI12 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M +4 EA 2 H + EA I4 EI+EA H 2 M 4 M 4 I24 EA EI H EI 2 H + 48 EA EI H + 2 EA 2 H 5 + EA I6 EI+EA H 2 M 6 MëI12 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M +4 EA 2 H + EA I4 EI+EA H 2 M 4 M (17)

7 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 49 M 2 Hx = q 4 IEA H HH x I 24 EI H+EA MMë I12 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M +4 EA 2 H + EA I4 EI+EA H 2 M 4 M T 1 Hx = q x I 24 EA EI H 4 72 EI 2 H 72 EA EI H 8 EA 2 H 24 EA EI 4 6 EA 2 H 2 4 MëI24 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M +8 EA 2 H + 6 EA I4 EI+EA H 2 M 4 M+ q I24 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M EA 2 H 4 + EA I5 EI+EA H 2 M 5 MëI24 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M +8 EA 2 H + 6 EA I4 EI+EA H 2 M 4 M (19) T 2 Hx = q IEA H I 24 EI H+EA MMë I4 I12 EA EI H EI H IEI+EA H 2 M + 4 EA 2 H + EA I4 EI+EA H 2 M 4 MM (20) Se si vogliono trascurare le deformazioni assiali, occorre far tendere la rigidezza assiale EA ad infinito, ottenendo: v 1 Hx = q H x x 2 H H2 H+ H4 H+ x 24 EI H4 H+ v 2 Hx = q HH x H2 H x x 24 EI H H4 H+ M 1 Hx = q I2 H2 H+ 2 H5 H+ x +H8 H+6 x 2 M 4 H4 H+ M 2 Hx = q HH x 4 H H4 H+ T 1 Hx = q H H5 H+ 2 H4 H+ x 8 H+6 (21) (22) (2) (24) (25) T 2 Hx = q 16 H H (26) In Figura 4 e' riportato il diagramma degli spostamenti trasversali, mentre il diagramma dei momenti e' consegnato in Figura 5. à I valori notevoli Il massimo valore assoluto del momento si raggiunge in corrispondenza dell' incastro, e vale: M A = q2 4 o, al limite per EA che va ad infinito : 72 EI 2 H +EA 2 H 2 H2 H++6 EA EI I4 H H + 4 M 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H4 H+ +12 EA EI IH 4 + H + 4 M (27)

8 a linea elastica e le strutture a telaio.nb M A = q2 4 H2 H+ H4 H+ (28) A B H C Figura 4 - Gli spostamenti per il telaio di Figura 1 A B H C Figura 5 - I momenti flettenti per il telaio di Figura 1 E' anche interessante il valore del momento nel nodo B : M B = EA H 2 I 24 EI H+EA M q 4 I6 EI 2 H +EA 2 H 2 H4 H+ +12 EA EI IH 4 + H + 4 MM che trascurando le deformazioni assiali diviene: q M B = 4 H4 H+ (29) (0)

9 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 495 Esempio n.2 Si considera ora un telaio costituito da una traverso di luce 2, supportato in mezzeria da un ritto di altezza H. 'estremo sinistro del ritto e' vincolato con una cerniera, mentre l'estremo di destra e' libero, e caricato da una forza F. Infine, si suppone che il ritto sia incastrato al piede. F A B C H D Figura 6 - Un telaio costituito da tre elementi Si possono identificare tre elementi, e quindi si scrivera': v 1 Hx = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a x w 1 Hx = d 0 + d 1 x v 2 Hx = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b x w 2 Hx = e 0 + e 1 x v Hx = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c x w Hx = f 0 + f 1 x (1) Il pedice 1 si riferisce al tratto AB, con origine in A, il pedice 2 si riferisce al tratto BC, con origine in B, il pedice descrive il tratto BD, con origine in B. Occorre imporre 18 condizioni ai limiti, 9 in corrispondenza dei tre estremi, ed altre 9 in corrispondenza del nodo triplo. Negli estremi si ha, banalmente: in A : v 1 H0 = 0 w 1 H0 = 0 v 1 '' H0 = 0 (2) in C : w 2 ' H = 0 v 2 '' H = 0 EIv 2 ''' H = F () in D :

10 a linea elastica e le strutture a telaio.nb v HH = 0 w HH = 0 v ' HH = 0 Nel nodo triplo la congruenza degli spostamenti detta le sei condizioni: v 1 H = v 2 H0 = w H0 w 1 H = w 2 H0 = v H0 v 1 ' H = v 2 ' H0 = v ' H0 (5) mentre l' equilibrio del nodo triplo in B permette di scrivere le restanti tre equazioni di equilibrio. Dalla Figura 7 si trae: N BA + N BC T BD = 0 T BA + T BC + N BD = 0 M BA + M BC + M BD = 0 ossia, in termini di spostamenti e derivate successive : EA w 1 ' H+EAw 2 ' H0+EI v ''' H0 = 0 EI v 1 ''' H EIv 2 ''' H0+ EAw ' H0 = 0 EI v 1 '' H EIv 2 '' H0 EIv '' H0 = 0 (6) (7) N BA T BA N BC M BA T BC M BC T BD M BD N BD Figura 7 - Il nodo triplo ed il suo equilibrio a soluzione puo' essere ottenuta come: a 0 = 0 a 1 = F H I EA 2 H + 6 EI 2 H4 H++12 EA EI IH 4 + H 4 MM 2 EI I6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 MM a 2 = 0 a = F H I 12 EI 2 +EA 2 H 2 4 EA EI IH MM (8) 2 EI I6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 MM b 0 = b 1 = 2 F H 2 I6 EI H6 H++EA H H H+2 M 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M

11 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 497 F H IEA H + 12 EI M I6 EI H+EA M EI I6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 MM b 2 = F 2 EI b = F 6 EI 6 F H 2 2 I6 EI H+EA M c 0 = 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M c 1 = F H IEA H + 12 EI M I6 EI H+EA M EI I6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 MM c 2 = 2 F IEA H + EI M I6 EI H+EA M EI I6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 MM c = EA F H 2 I6 EI H+EA M (40) EI I6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 MM d 0 = d 1 = 6 F H 2 2 I6 EI H+EA M 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M 6 F H 2 I6 EI H+EA M 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M (41) 6 F H 2 2 I6 EI H+EA M e 0 = 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M e 1 = 0 2 F H 2 I6 EI H6 H++EA H H H+2 M f 0 = 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M 2 F 2 I6 EI H6 H++EA H H H+2 M f 1 = 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M Gli spostamenti trasversali lungo i tre tratti sono allora forniti da : v 1 Hx = F H x I12 EI 2 I12 H + 2 x 2 M+EA 2 H 2 I 2 + x 2 M+4 EA EI I H x 2 + H I 2 x 2 MMMëI2 EI I6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 MMM (42) (4) (44) v 2 Hx = 1 6 F 12 H 2 I6 EI H6 H++EA H H H+2 M 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M +

12 a linea elastica e le strutture a telaio.nb I6 H IEA H + 12 EI M I6 EI H+EA M x Më IEI I6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 MMM+ x 2 EI x EI v Hx = F I6 EI H+EA M HH x 2 I6 EI EA H 2 x M EI I6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 MM mentre gli spostamenti assiali sono pari a : (46) w 1 Hx = F 6 H 2 I6 EI H+EA M x 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M (47) w 2 Hx = 6 H 2 2 I6 EI H+EA M F 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M w Hx = 2 2 I6 EI H6 H++EA H H H+2 M HH x F 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M Ne segue che gli sforzi assiali sono pari a : N 1 Hx = 6 EA H 2 I6 EI H+EA M F 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M N 2 Hx = 0 N Hx = 2 EA 2 I6 EI H6 H++EA H H H+2 M F 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M mentre momenti e tagli possono scriversi come : (48) (49) (50) (51) (52) M 1 Hx = F H I 12 EI 2 +EA 2 H 2 4 EA EI IH MM x 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M (5) M 2 Hx = F H +x M Hx = 2 I6 EI H+EA M I6 EI +EA H 2 H2 H x M F 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M (54) (55)

13 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 499 T 1 Hx = H I 12 EI 2 +EA 2 H 2 4 EA EI IH MM F 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M T 2 Hx = F T Hx = 6 EA H 2 I6 EI H+EA M F 6 EI 2 H +EA 2 H 2 H H EA EI IH 4 + H + 4 M (56) (57) (58) Trascurando le deformazioni da sforzo assiale si ha invece (EA Ø ): v 1 Hx = F H x I 2 + x 2 M EI H6 H+8 v 2 Hx = F x I6 H 2 + H H+4 x H H+4 x 2 M 6 EI H H+4 (59) (60) v Hx = F 2 HH x 2 x EI H H H+4 (61) M 1 Hx = F H x H+4 M Hx = 2 F 2 H2 H x H H H+4 T 1 Hx = F H H+4 (62) (6) (64) 6 F 2 T Hx = H H (65) Il diagramma degli spostamenti e' riportato in Figura 8, notevolmente esagerato, mentre il diagramma del momento e' consegnato in Figura 9 à I valori notevoli ' abbassamento in corrispondenza della forza puo' ottenersi valutando la funzione v 2 Hx per x pari ad. Trascurando l'effetto dello sforzo assiale si ha: v 2 max = F EI 6 H + 4 H+4 Nel nodo triplo si hanno invece i tre momenti : (66) M BA = F M BC = F H H+4 (67) (68)

14 a linea elastica e le strutture a telaio.nb M BD = F 4 H+4 (69) A B C H D Figura 8 - Gli spostamenti per il telaio di Figura 6 Si noti che nel nodo triplo e' rispettato l'equilibrio dei momenti A B C H D Figura 9 - I momenti flettenti per il telaio di Figura 6 Esempio n. Si riporta un esempio gia' risolto col metodo del rilassamento in V.Franciosi "Problemi di Scienza delle Costruzioni", Vol.II, pagg Si tratta di un telaio formato da quattro aste ortogonali tra di loro, concorrenti in un punto, e vincolate come in Figura 10 Il carico agisce sulle due aste orizzontali, costante e di valore q.

15 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb E q A B C D Figura 10 - Un telaio con un nodo quadruplo Si possono identificare quattro elementi, e quindi si scrivera': v 1 Hx = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a x + q x 4 w 1 Hx = e 0 + e 1 x 24 EI v 2 Hx = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b x + q x 4 w 2 Hx = f 0 + f 1 x v Hx = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c x w Hx = g 0 + g 1 x v 4 Hx = d 0 + d 1 x + d 2 x 2 + d x w 5 Hx = h 0 + h 1 x 24 EI (70) Il pedice 1 si riferisce al tratto AB, con origine in A, il pedice 2 si riferisce al tratto BC, con origine in B, il pedice descrive il tratto EB, con origine in E, il pedice 4 infine e' relativo al tratto BD, con origine in B. Occorre imporre 24 condizioni ai limiti, 12 in corrispondenza dei tre estremi, ed altre 12 in corrispondenza del nodo quadruplo. Negli estremi si ha, banalmente: in A si ha un incastro: v 1 H0 = 0 w 1 H0 = 0 v 1 '' H0 = 0 in C si ha un incastro assialmente scorrevole: (71)

16 a linea elastica e le strutture a telaio.nb w 2 ' v 2 v 2 ' 2 = 0 2 = 0 2 = 0 in D si ha un incastro: v 4 H = 0 w 4 H = 0 v 4 ' H = 0 in E si ha un carrello: v 4 H = 0 w 4 ' H = 0 v 4 '' H = 0 Nel nodo quadruplo la congruenza degli spostamenti detta le nove condizioni: (72) (7) (74) v 1 H = v 2 H0 = w H = w 4 H0 w 1 H = w 2 H0 = v H = v 4 H0 v 1 ' H = v 2 ' H0 = v ' H = v 4 ' H0 = 0 (75) mentre l' equilibrio del nodo quadruplo in B permette di scrivere le restanti tre equazioni di equilibrio. Come puo' leggersi dalla Figura 11 si ha: M BE N BE T BE N BA T BA N BC M BA T BC M BC T BD M BD N BD Figura 11 - Il nodo quadruplo ed il suo equilibrio N BA + N BC T BD + T BE = 0 T BA + T BC + N BD N BE = 0 M BA + M BC + M BD M BE = 0 ossia, in termini di spostamenti e derivate successive : (76)

17 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 50 EA w ' 1 H+EAw ' 2 H0+EI v ''' 4 H0 EI v ''' H = 0 EI v ''' 1 H EIv ''' 2 H0+ EA w ' 4 H0 EA w ' H = 0 EI v '' 1 H EIv '' 2 H0 EIv '' 4 H0+EIv '' H = 0 a soluzione del risultante sistema di equazioni fornisce le costanti di integrazione: a 0 = 0 a 1 = 0 a 2 = EI 2 q+60 EA 4 q EI EA EI 2 a = I EI+141 EA 2 M q 48 EI I5440 EI+69 EA 2 M (78) b 0 = q 8 I5440 EI+69 EA 2 M b 1 = 2500 EI q+45 EA 5 q EI EA EI 2 b 2 = EI 2 q+2961 EA 4 q 96 EI I5440 EI+69 EA 2 M (79) b = 7960 EI q+1077 EA q EI EA EI 2 c 0 = 0 c 1 = 5 I500 EI+9 EA 2 M q 2 EI I5440 EI+69 EA 2 M c 2 = 0 c = d 0 = 0 5 I500 EI+9 EA 2 M q 2 EI I5440 EI+69 EA 2 M d 1 = 2500 EI q+45 EA 5 q EI EA EI 2 d 2 = 5 2 I500 EI+9 EA 2 M q 8 EI I5440 EI+69 EA 2 M (80) (81) d = 2500 EI q+45 EA q EI EA EI 2 e 0 = 15 2 I500 EI+9 EA 2 M q 16 EA I5440 EI+69 EA 2 M e 1 = 7500 EI q+15 EA q EA EI+5904 EA 2 2 f 0 = 0 f 1 = 0 (82) (8)

18 a linea elastica e le strutture a telaio.nb q g 0 = 8 I5440 EI+69 EA 2 M g 1 = 0 h 0 = q 8 I5440 EI+69 EA 2 M 765 q h 1 = 8 I5440 EI+69 EA 2 M Gli spostamenti trasversali sono allora forniti da : q v 1 Hx = 48 EI x 2 I9 EA 2 I x + 82 x 2 M+10 EI I x x 2 MMë I5440 EI+69 EA 2 M q v 2 Hx = 96 EI IH 2 x 2 I EA 2 x H x + 20 EI I x x 2 MMMë I5440 EI+69 EA 2 M (85) (86) (87) v Hx = q 2 EI 5 I500 EI+9 EA 2 M x I 2 x 2 M I5440 EI+69 EA 2 M (88) q 5 I500 EI+9 EA 2 M H x 2 x v 4 Hx = 16 EI I5440 EI+69 EA 2 M mentre gli spostamenti assiali sono ricavabili come : (89) q w 1 Hx = 16 EA w 2 Hx = 0 15 I500 EI+9 EA 2 M H x I5440 EI+69 EA 2 M (90) (91) w Hx = q I5440 EI+69 EA 2 M (92) w 4 Hx = q H x I5440 EI+69 EA 2 M Ne seguono le caratteristiche della sollecitazione interna : N 1 Hx = q 15 I500 EI+9 EA 2 M EI+5904 EA 2 N 2 Hx = 0 N Hx = 0 (9) (94) (95) (96) N 4 Hx = q 765 EA 8 I5440 EI+69 EA 2 M (97)

19 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 505 M 1 Hx = Iq I9 EA 2 I x x 2 M+ 10 EI I x x 2 MMMë I24 I5440 EI+69 EA 2 MM M 2 Hx = Iq I80 EI I x 162 x 2 M 9 EA 2 I x x 2 MMMë I48 I5440 EI+69 EA 2 MM (99) M Hx = 15 I500 EI+9 EA 2 M q x EI+5904 EA 2 M 4 Hx = 5 I500 EI+9 EA 2 M q H2 x 8 I5440 EI+69 EA 2 M T 1 Hx = q I80 EI H x +9 EA 2 H x M 8 I5440 EI+69 EA 2 M T 2 Hx = q I40 EI H x + EA 2 H x M 4 I5440 EI+69 EA 2 M T Hx = 15 I500 EI+9 EA 2 M q EI+5904 EA 2 T 4 Hx = 15 I500 EI+9 EA 2 M q 8 I5440 EI+69 EA 2 M (100) (101) (102) (10) (104) (105) à a soluzione in assenza di deformazioni assiali Come usuale, la soluzione si semplifica molto se si ipotizza che la rigidezza assiale EA sia tale da trascurare le deformazioni assiali. In tal caso si ha subito: v 1 Hx = q x 2 I x + 82 x 2 M 1968 EI v 2 Hx = q H 2 x 2 x H x EI v Hx = 5 q x I 2 x 2 M 112 EI (106) (107) (108) v 4 Hx = 5 q H x 2 x 656 EI mentre si annullano le quattro linee elastiche assiali. Analogamente si ha : M 1 Hx = q I x x 2 M (109) (110)

20 a linea elastica e le strutture a telaio.nb M 2 Hx = q I x x 2 M 1968 M Hx = q x (111) (112) M 4 Hx = 5 28 q H2 x (11) T 1 Hx = 149 q 28 q x (114) T 2 Hx = 59 q q x 492 T Hx = 15 q 656 (115) (116) T 4 Hx = 15 q 28 (117) Gli spostamenti sono riportati in Figura 12. Si noti che il nodo centrale ruota, ma non si sposta, permettendo l'implementazione dei metodi caratteristici dei cosiddetti telai a nodi fissi. Il diagramma dei momenti e' invece riportato in Figura 1. Si noti la corrispondenza tra i punti di flesso del diagramma degli spostamenti ed i punti di nullo del diagramma dei momenti. 1.5 E A B C D Figura 12 - Gli spostamenti per il telaio con nodo quadruplo

21 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb E A B C D Figura 1 - I momenti flettenti per il telaio con nodo quadruplo à I valori notevoli imitandosi al caso di rigidezza assiale infinita si ha: M A = 67 M BA = q 2 12 q 2 M BC = q 2 (118) (119) (120) M BE = q 2 (121) M BE = 15 M D = q 2 28 q 2 M C = q 2 confermando i risultati ottenuti nel libro citato in precedenza. (122) (12) (124)

22 a linea elastica e le strutture a telaio.nb Esempio n. 4 Si consideri ora il telaio a due piani di Figura 14, incastrato al piede in corrispondenza dei tre ritti inferiori, e soggetto ai carichi di figura. I momenti di inerzia dei due ritti superiori GE ed HF sono pari ad I, i momenti d'inerzia dei tre ritti inferiori DA, EB ed FC e' pari a 2I, mentre per i traversi DE, EF e GH si e' assunto un momento di inerzia pari a 5I. 'area di ciascun elemento e' invece genericamente indicata con A, in quanto si vogliono evidenziare i risultati per rigidezze assiali infinite. F 1 G H q 2 H 2 q 1 F 2 D E F H 1 A B C Figura 14 - Un telaio a due piani 1 2 Si hanno quindi otto elementi, e si adottano otto sistemi di riferimento con origine nell'estremo di sinistra - per ciascun traverso - e nell'estremo superiore - per ciascun ritto. Sara' allora, per le deformate flessionali: v DA Hx = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a x v EB Hx = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b x v FC Hx = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c x x4 v DE Hx = d 0 + d 1 x + d 2 x 2 + d x + q EI v EF Hx = e 0 + e 1 x + e 2 x 2 + e x v GE Hx = f 0 + f 1 x + f 2 x 2 + f x v HF Hx = g 0 + g 1 x + g 2 x 2 + g x x4 v GH Hx = h 0 + h 1 x + h 2 x 2 + h x + q EI (125) (126) (127) (128) (129) (10) (11) (12)

23 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 509 mentre per la deformate assiali : w DA Hx = m 0 + m 1 x w EB Hx = n 0 + n 1 x w FC Hx = o 0 + o 1 x w DE Hx = p 0 + p 1 x w EF Hx = q 0 + q 1 x w GE Hx = r 0 + r 1 x w HF Hx = s 0 + s 1 x (1) (14) (15) (16) (17) (18) (19) w GH Hx = t 0 + t 1 x (140) e 48 costanti di integrazione si ottengono scrivendo 48 condizioni ai limiti, tre per ogni incastro, sei in ciascuno dei nodi D, G ed H, nove nel nodo triplo in F, e 12 nel nodo quadruplo in E. Piu' in dettaglio, sara' quindi: - in A: - in B: - in C: - in D: - in G: v DA HH 1 = 0 v ' DA HH 1 = 0 w DA HH 1 = 0 v EB HH 1 = 0 v ' EB HH 1 = 0 w EB HH 1 = 0 v FC HH 1 = 0 v ' FC HH 1 = 0 w FC HH 1 = 0 v DA H0 = w DE H0 w DA H0 = v DE H0 φ DA H0 = φ DE H0 T DA H0+N DE H0+F 1 = 0 N DA H0+T DE H0 = 0 M DA H0+M DE H0 = 0 v GE H0 = w GH H0 w GE H0 = v GH H0 φ GE H0 = φ GH H0 T GE H0+N GH H0+F 2 = 0 N GE H0+T GH H0 = 0 M GE H0+M GH H0 = 0 (141) (142) (14) (144) (145) (146) (147)

24 a linea elastica e le strutture a telaio.nb - in H: - in F: - in E: v HF H0 = w GH H 2 w HF H0 = v GH H 2 φ HF H0 = φ GH H 2 N GH H 2 T HF H0 = 0 T GH H 2 +N HF H0 = 0 M GH H 2 +M HF H0 = 0 v EF H 2 = w HF HH 2 v EF H 2 = w FC H0 w EF H 2 = v HF HH 2 w EF H 2 = v FC H0 φ EF H 2 = φ HF HH 2 φ EF H 2 = φ FC H0 N EF H 2 T FC H0+T HF HH 2 = 0 T EF H 2 N HF HH 2 +N FC H0 = 0 M EF H 2 M HF HH 2 +M FC H0 = 0 v DE H 1 = w GE HH 1 v DE H 1 = w EB H0 v DE H 1 = v EF H0 w DE H 1 = v GE HH 1 w DE H 1 = v EB H0 w DE H 1 = w EF H0 φ DE H 1 = φ GE HH 1 φ DE H 1 = φ EB H0 φ DE H 1 = φ EF H0 (148) (149) (150) (151) (152) N DE H 1 T EB H0+T GE HH 1 +N EF H0 = 0 T DE H 1 N HF HH 2 +T EF H0+N FC H0 = 0 M DE H 1 M GE HH 2 +M EF H0+M FC H0 = 0 Tenendo conto che momenti saranno forniti da: M GE Hx = EI v GE Hx M HF Hx = EI v HF Hx M DA Hx = 2 EI v DA Hx M EB Hx = 2 EI v EB Hx M FC Hx = 2 EI v FC Hx (15) (154) (155) M DE Hx = 5 EI v DA Hx M EF Hx = 5 EI v EB Hx M GH Hx = 5 EI v FC Hx (156) si giunge ad un sistema di 48 equazioni in altrettante incognite, che puo' essere risolto con un qualsiasi programma di calcolo simbolico. Tuttavia, piuttosto che riportare le relative formule, molto lunghe e poco significative, si preferisce illustrare il comportamento del telaio in ipotesi di rigidezza assiale infinita. a deformata e' riportata in Figura 15, nelle ipotesi H 1 = H 2 = H, 1 = 2 = 1.5 H, q 2 = q, q 1 = 2 q, F 1 = F 2 = q H. 'infinita rigidezza assiale delle aste impedisce ai nodi di subire spostamenti verticali, ed

25 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 511 impone che gli spostamenti orizzontali dei nodi del primo livello, D,E,F, dovranno essere uguali, cosi' come gli spostamenti orizzontali dei nodi G ed H del secondo livello. F G H q 2q F D E F A B C Figura 15 - Gli spostamenti per il telaio a due piani di Figura 14 G H D E F A B C Figura 16 - I momenti flettenti per il telaio a due piani di Figura 14 Per la particolare geometria, e per i particolari carichi, di Figura, si ha uno spostamento orizzontale pari a: w 1 = qh 4 EI qh4 EI (157)

26 a linea elastica e le strutture a telaio.nb per i nodi del primo piano, e : w 2 = per quelli del secondo piano. qh 4 EI qh4 EI (158) Il diagramma dei momenti e' riportato in Figura 16 Esempio n. 5 Si consideri il semplice telaio di Figura 17, gia' studiato in precedenza attraverso la scrittura diretta delle equazioni di congruenza. Si definiscono le linee elastiche v 1 Hx e w 1 Hx ), relativamente al ritto AB, v 2 Hx ) e w 2 Hx relativamente al tratto BC, e v Hx ) e w Hx relativamente al tratto CD scegliendo le origini in A, B e C, rispettivamente, e col solito sistema di assi locali F B C D H A Figura 17 - Un semplice telaio zoppo Si potra' scrivere, ipotizzando che le sezioni del ritto e del traverso siano costanti: e quindi si ha : EIv 1 '''' Hx = 0 EA w 1 '' Hx = 0 EIv 2 '''' Hx = 0 EA w 2 '' Hx = 0 EIv '''' Hx = 0 EA w '' Hx = 0 (159) v 1 Hx = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a x w 1 Hx = b 0 + b 1 x

27 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 51 w 1 x b 0 b 1 x v 2 Hx = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c x w 2 Hx = d 0 + d 1 x v Hx = e 0 + e 1 x + e 2 x 2 + e x w Hx = f 0 + f 1 x Si sono quindi introdotte 18 costanti di integrazione, che dovranno essere definite attraverso l'imposizione di opportune condizioni ai limiti. Nella fattispecie, si avra': - in A l'incastro detta l'annullarsi di spostamento assiale, spostamento trasversale, e rotazione, ossia le tre equazioni di congruenza: w 1 HH = 0 v 1 HH = 0 v 1 ' HH = 0 (161) - in B si deve imporre la congruenza degli spostamenti, e l'equilibrio del nodo. Per la congruenza, si potranno imporre le tre condizioni: w 1 H0 = v 2 H0 v 1 H0 = w 2 H0 v 1 ' H0 = v 2 ' H0 (162) a prima impone che lo spostamento assiale del traverso sia pari allo spostamento trasversale del ritto, mentre la seconda impone che lo spostamento trasversale del traverso sia pari allo spostamento assiale del ritto. 'ultima condizione impone l'uguaglianza delle rotazioni e condizioni di equilibrio del nodo in B dettano: T BC N BC M BC T BA M BA N BA Figura 18 - Il concio in B e le forze su di esso agenti N BA + T BC = 0 T BA + N BC = 0 M BA + M BC = 0 (16) ossia, in termini di spostamenti e successive derivate : EA w 1 ' H EI v 2 ''' H0 = 0 EI v 1 ''' H+EA w 2 ' H0 = 0 EI v 1 '' H EI v 2 '' H0 = 0 (164) - in C la presenza dell'appoggio introduce una discontinuita' nel diagramma del taglio, mentre gli spostamenti

28 a linea elastica e le strutture a telaio.nb trasversali si annullano: v 2 H = 0 v H0 = 0 w 2 H = w H0 v 2 ' H = v ' H0 EIv 2 '' H = EIv '' H0 EAw 2 ' H = EAw ' H0 (165) - in D, infine, il bipendolo impone che siano nulle le rotazioni e gli spostamenti orizzontali, mentre lo spostamento trasversale e' libero. 'equilibrio del concio impone infine l'uguaglianza tra il taglio e la forza applicata: w H = 0 v ' H = 0 EIv ''' H = F (166) à a soluzione del sistema di equazioni e diciotto equazioni ai limiti si scrivono, utilizzando le (160): con soluzione : a 0 + H a 1 + H 2 a 2 + H a = 0 a H a 2 + H 2 a = 0 b 0 + H b 1 = 0 b 0 = c 0 a 0 = d 0 a 1 = c 1 EA b 1 6 EI c = 0 6 EI a + EA d 1 = 0 EI H2 a 2 2 EI c 2 = 0 c 0 + c 1 +c c = 0 e 0 = 0 d 0 + d 1 = f 0 c c 2 + c 2 = e 1 2 c c = 2 e 2 d 1 = f 1 f 0 + f 1 = 0 e e 2 + e 2 = 0 6 EI e = F (167) a 0 = 6 EI F + EA F 5 72 EI EA EI 2 + EA 2 4 a 1 = F 2 I 144 EI EA EI 2 + EA 2 4 M 6 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M a 2 = 6 EI 2 F +EA 2 F 5 18 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M

29 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 515 EA 2 I 6 EI F+EA F 2 M a = 6 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M F I12 EI+EA 2 M c 0 = 48 EI EA EI EA 2 4 c 1 = F 2 I 144 EI EA EI 2 + EA 2 4 M 6 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M c 2 = c = e 0 = 0 6 EI 2 F EA 2 F 5 42 EI + 06 EA EI EA 2 EI 4 EA F 2 I12 EI+EA 2 M 12 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M e 1 = F 2 I144 EI EA EI EA 2 4 M 18 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M e 2 = F I72 EI EA EI EA 2 4 M 6 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M e = F 6 EI F I12 EI+EA 2 M b 0 = 48 EI EA EI EA 2 4 b 1 = d 0 = d 1 = F 2 I12 EI+EA 2 M 48 EI EA EI EA 2 4 F I6 EI EA 2 M 72 EI EA EI 2 + EA I 6 EI F+EA F 2 M 6 I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M F I 6 EI+EA 2 M f 0 = 6 I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M f 1 = 2 I 6 EI F+EA F 2 M 6 I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M Ne segue l' espressione degli spostamenti trasversali sul ritto:

30 a linea elastica e le strutture a telaio.nb v 1 Hx = 6 EI F + EA F 5 72 EI EA EI 2 + EA 2 4 F 2 I 144 EI EA EI 2 + EA 2 4 M 6 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M x + 6 EI 2 F +EA 2 F 5 18 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M x 2 (169) e sul traverso : EA 2 I 6 EI F+EA F 2 M 6 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M x v 2 Hx = F I12 EI+EA 2 M 48 EI EA EI EA 2 4 F 2 I 144 EI EA EI 2 + EA 2 4 M 6 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M x + 6 EI 2 F EA 2 F 5 42 EI + 06 EA EI EA 2 EI 4 x 2 + EA F 2 I12 EI+EA 2 M 12 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M x v Hx = F 2 I144 EI EA EI EA 2 4 M 18 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M x + F I72 EI EA EI EA 2 4 M 6 EI I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M x 2 F 6 EI x Gli spostamenti assiali sono invece forniti da : w 1 Hx = F I12 EI+EA 2 M 48 EI EA EI EA 2 + F 2 I12 EI+EA 2 M 4 48 EI EA EI EA 2 x 4 w 2 Hx = F I6 EI EA 2 M 72 EI EA EI 2 + EA I 6 EI F+EA F 2 M 6 I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M x (170) (171) (172) (17) w Hx = F I 6 EI+EA 2 M 6 I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M + 2 I 6 EI F+EA F 2 M 6 I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M x e caratteristiche della sollecitazione interna si ottengono invece tramite derivazione successiva : (174)

31 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 517 N 1 Hx = N 2 Hx = N Hx = EA F 2 I12 EI+EA 2 M 48 EI EA EI EA 2 4 EA 2 I 6 EI F+EA F 2 M 6 I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M EA 2 I 6 EI F+EA F 2 M 6 I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M (175) (176) M 1 Hx = F I 6 EI+EA 2 M I12 EI+2 EA 2 EA x M 18 I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M M 2 Hx = F I 72 EI2 + 2 EA EA I12 EI+EA 2 M x M 18 I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M M Hx = 1 18 F 72 EI EA EI + 7 EA x 24 EI EA EI 2 + EA 2 4 (177) (178) T 1 Hx = EA 2 I 6 EI F+EA F 2 M 6 I24 EI EA EI 2 + EA 2 4 M (179) EA F 2 I12 EI+EA 2 M T 2 Hx = 48 EI EA EI EA 2 4 T Hx = F (180) Se si vogliono trascurare le deformazioni assiali, occorre far tendere la rigidezza assiale EA ad infinito, ottenendo: v 1 Hx = F H x 2 x 6 EI v 2 Hx = F x I 2 2 x + x 2 M 6 EI v Hx = F x I x 6 x 2 M 6 EI N 1 Hx = F 2 (181) (182) N 2 Hx = F 6 N Hx = F 6 M 1 Hx = F 9 + F x 6 M 2 Hx = 1 M Hx = 7 F 18 F H2 9 x 18 + F x (18) (184)

32 a linea elastica e le strutture a telaio.nb T 1 Hx = F 6 (185) T 2 Hx = F 2 T Hx = F (186) In Figura 19 e' riportato il diagramma degli spostamenti trasversali, mentre il diagramma dei momenti e' identico a quello ottenuto in precedenza. F B C D H A Figura 19 - Gli spostamenti per il telaio di Figura 17 à I valori notevoli 'abbassamento al di sotto della forza vale: v D = F 6 EI o, al limite per EA che va ad infinito : 216 EI 2 96 EA EI EA EI 2 17 EA EI 2 + EA 2 4 (187) v D = 5 F 6 EI (188) Esempio n. 6 Si consideri il semplice telaio di Figura 20, gia' studiato in precedenza attraverso la scrittura diretta delle equazioni di congruenza con il metodo midto Si definiscono le linee elastiche v 1 Hx e w 1 Hx ), relativamente al ritto AB, e v 2 Hx ) e w 2 Hx relativamente al tratto BC, rispettivamente, e col solito sistema di assi locali

33 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 519 B C F H A Figura 20 - Un semplice telaio zoppo Si potra' scrivere, ipotizzando che le sezioni del ritto e del traverso siano costanti: EIv 1 '''' Hx = 0 EA w 1 '' Hx = 0 EIv 2 '''' Hx = 0 EA w 2 '' Hx = 0 (189) e quindi si ha : v 1 Hx = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a x w 1 Hx = b 0 + b 1 x v 2 Hx = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c x (190) w 2 Hx = d 0 + d 1 x Si sono quindi introdotte 12 costanti di integrazione, che dovranno essere definite attraverso l'imposizione di opportune condizioni ai limiti. Nella fattispecie, si avra': - in A l'incastro detta l'annullarsi di spostamento assiale, spostamento trasversale, e rotazione, ossia le tre equazioni di congruenza: w 1 HH = 0 v 1 HH = 0 v 1 ' HH = 0 (191) - in B si deve imporre la congruenza degli spostamenti, e l'equilibrio del nodo. Per la congruenza, si potranno imporre le tre condizioni: w 1 H0 = v 2 H0 v 1 H0 = w 2 H0 v 1 ' H0 = v 2 ' H0 (192) a prima impone che lo spostamento assiale del traverso sia pari allo spostamento trasversale del ritto, mentre la seconda impone che lo spostamento trasversale del traverso sia pari allo spostamento assiale del ritto. 'ultima condizione impone l'uguaglianza delle rotazioni

34 a linea elastica e le strutture a telaio.nb e condizioni di equilibrio del nodo in B dettano: T BC N BC M BC T BA M BA N BA Figura 21 - Il concio in B e le forze su di esso agenti N BA + T BC = 0 T BA + N BC = 0 M BA + M BC = 0 (19) ossia, in termini di spostamenti e successive derivate : EA w 1 ' H EI v 2 ''' H0 = 0 EI v 1 ''' H+EA w 2 ' H0 = 0 EI v 1 '' H EI v 2 '' H0 = 0 (194) - in C la presenza dell'appoggio impone che lo spostamento trasversale sia nullo, di conseguenza sara' nullo il momento flettente, mentre lo sforzo normale dovra' essere pari alla forza applicata F: v 2 H = 0 EA w 2 ' H = F EIv 2 '' H = 0 (195) à a soluzione del sistema di equazioni e dodici equazioni ai limiti si scrivono, utilizzando le (190): a 0 + H a 1 + H 2 a 2 + H a = 0 a H a 2 + H 2 a = 0 b 0 + H b 1 = 0 b 0 = c 0 a 0 = d 0 a 1 = c 1 EA b 1 6 EI c = 0 6 EI a + EA d 1 = 0 EI H2 a 2 2 EI c 2 = 0 c 0 + c 1 +c c = 0 EA d 1 = F 2 c c = 0 (196)

35 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 521 con soluzione : a 0 = F H I12 EI H+EA 2 H H+4 M 12 EI I EI H+EA 2 H H+M a 1 = F H 2 I EI H+EA M 2 EI I EI H+EA 2 H H+M a 2 = EA F H EI I EI H+EA 2 H H+M a = F 6 EI F H c 0 = 6 EI H+2 EA 2 H H+ c 1 = F H 2 I EI H+EA M 2 EI I EI H+EA 2 H H+M EA F H 2 2 c 2 = 4 EI I EI H+EA 2 H H+M (197) c = EA F H 2 4 EI I EI H+EA 2 H H+M F H b 0 = 6 EI H+2 EA 2 H H+ b 1 = F H 2 6 EI H+2 EA 2 H H+ d 0 = F H I12 EI H+EA 2 H H+4 M 12 EI I EI H+EA 2 H H+M d 1 = F EA Ne segue l' espressione degli spostamenti trasversali sul ritto: v 1 Hx = F H I12 EI H+EA 2 H H+4 M 12 EI I EI H+EA 2 H H+M + F H 2 I EI H+EA M 2 EI I EI H+EA 2 H H+M x + (198) e sul traverso : EA F H EI I EI H+EA 2 H H+M x 2 F 6 EI x v 2 Hx =

36 a linea elastica e le strutture a telaio.nb F H 6 EI H+2 EA 2 H H+ + F H2 I EI H+EA M 2 EI I EI H+EA 2 H H+M x EA F H EI I EI H+EA 2 H H+M x 2 + EA F H 2 4 EI I EI H+EA 2 H H+M x Gli spostamenti assiali sono invece forniti da : w 1 Hx = F H 6 EI H+2 EA 2 H H+ + F H2 6 EI H+2 EA 2 H H+ x (200) w 2 Hx = F H I12 EI H+EA 2 H H+4 M 12 EI I EI H+EA 2 H H+M + F EA x e caratteristiche della sollecitazione interna si ottengono invece tramite derivazione successiva : (201) N 1 Hx = EA F H 2 6 EI H+2 EA 2 H H+ (202) N 2 Hx = F M 1 Hx = F EA H EI H+2 EA 2 H H+ + x (20) (204) M 2 Hx = EA F H 2 H x 6 EI H+2 EA 2 H H+ (205) T 1 Hx = F (206) EA F H 2 T 2 Hx = 6 EI H+2 EA 2 H H+ (207) Se si vogliono trascurare le deformazioni assiali, occorre far tendere la rigidezza assiale EA ad infinito, ottenendo: v 1 Hx = F HH x 2 HH H H+4 +2 H H+ x 12 EI H H+ (208) v 2 Hx = F H2 H x H2 x x 4 EI H H+ F H 2 N 1 Hx = 6 H +2 2 N 2 Hx = F M 1 Hx = F I H2 + 2 H H+ x M 2 H H+ M 2 Hx = F H2 H x 2 H H+ (209) (210) (211)

37 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 52 T 1 Hx = F (212) F H 2 T 2 Hx = 6 H +2 2 (21) In Figura 22 e' riportato il diagramma degli spostamenti trasversali, mentre il diagramma dei momenti e' identico a quello ottenuto in precedenza, nella Esercitazione 18. B C F H A Figura 22 - Gli spostamenti per il telaio di Figura 20 à I valori notevoli o spostamento orizzontale del carrello e' pari a: w C = F EA + F H I12 EI H+EA 2 H H+4 M 12 EI I EI H+EA 2 H H+M o, al limite per EA che va ad infinito : e per H = : w C = F H H H+4 12 EI H H+ (214) (215) w C = 7 48 F EI (216) Esempio n.7 Si vuole ora studiare il telaio di Figura 2, costituito da due travi collegate da un pendolo.

38 a linea elastica e le strutture a telaio.nb F A B C D G E Figura 2 - Trave doppia Si potra' scrivere, ipotizzando che le sezioni del ritto e del traverso siano costanti: EIv 1 '''' Hx = 0 EA w 1 '' Hx = 0 EIv 2 '''' Hx = 0 EA w 2 '' Hx = 0 EIv '''' Hx = 0 EA w '' Hx = 0 EIv 4 '''' Hx = 0 EA w 4 '' Hx = 0 EIv 5 '''' Hx = 0 EA w 5 '' Hx = 0 (217) e quindi si ha : v 1 Hx = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a x w 1 Hx = b 0 + b 1 x v 2 Hx = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c x w 2 Hx = d 0 + d 1 x v Hx = e 0 + e 1 x + e 2 x 2 + e x w Hx = f 0 + f 1 x v 4 Hx = g 0 + g 1 x + g 2 x 2 + g x w 4 Hx = h 0 + h 1 x v 5 Hx = m 0 + m 1 x + m 2 x 2 + m x w 5 Hx = n 0 + n 1 x (218) Si sono quindi introdotte 0 costanti di integrazione, che dovranno essere definite attraverso l'imposizione di opportune condizioni ai limiti. Nella fattispecie, si avra': - in A l'appoggio detta l'annullarsi di spostamento assiale e spostamento trasversale, mentre il momento sara' nullo:

39 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 525 w 1 H0 = 0 v 1 H0 = 0 v 1 '' H0 = 0 (219) - in B il carrello impedisce lo spostamento verticale, mentre si avra' continuita' di rotazioni e spostamenti assiali. Inoltre i tagli subiranno una variazione discontinua, mentre momenti e sforzi assiali dovranno essere continui: w 1 H = w 2 H0 v 1 H = 0 v 2 H0 = 0 v 1 ' H = v 2 ' H0 v 1 '' H = v 2 '' H0 w 1 ' H = w 2 ' H0 - in C del tutto analogamente si ha: w 2 H = w H0 v 2 H = 0 v H0 = 0 v 2 ' H = v ' H0 v 2 '' H = v '' H0 w 2 ' H = w ' H0 - in D la congruenza impone che sia: w H = v 4 H0 v H = w 4 H0 mentre la presenza della cerniera impone: M DC = 0 v '' H = 0 M DE = 0 v 4 '' H0 = 0 Infine, le condizioni di equilibrio alla traslazione del nodo impongono: (220) (221) (222) (22) F N DC T DC M DC T DE M DE N DE Figura 24 - Il concio in D e le forze su di esso agenti

40 a linea elastica e le strutture a telaio.nb N DC T DE = 0 T DC + N DE + F = 0 ossia, in termini di spostamenti e successive derivate : EA w ' H+EI v 4 ''' H0 = 0 EI v ''' H+EA w 4 ' H0+F = 0 - in E, analogamente: w 4 H = v 5 H2 v 4 H = w 5 H2 v 4 '' H = 0 v 5 '' H2 = 0 EA w 5 ' H2 EI v 4 ''' H = 0 EI v 5 ''' H2 EA w 4 ' H (225) (226) M DE N ED T ED M EG N EG T EG Figura 25 - Il concio in E e le forze su di esso agenti: l'equilibrio impone che sia N EG + T ED = 0 e T EG N ED = 0 Infine, nell' incastro G : w 5 H0 = 0 v 5 H0 = 0 v 5 ' H0 = 0 e trenta equazioni si risolvono a fornire: (227) a 0 = 0 a 1 = EI F EA F 4 72 EI EA EI 2 a 2 = 0 EI F+8 EA F 2 a = 72 EI EA EI 2 b 0 = b 1 = 0 c 0 = 0 c 1 = 6 EI F EA F 4 72 EI EA EI 2

41 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 527 EI F +8 EA F c 2 = 24 EI EA EI 2 15 EI F+40 EA F 2 c = 72 EI EA EI 2 d 0 = d 1 = 0 e 0 = 0 e 1 = 21 EI F EA F 4 72 EI EA EI 2 e 2 = 4 F I EI+8 EA 2 M EI I24 EI+79 EA 2 M e = 4 F I EI+8 EA 2 M EI I24 EI+79 EA 2 M f 0 = f 1 = 0 g 0 = g 1 = g 2 = g = 0 h 0 = 5 F I EI+8 EA 2 M EI I24 EI+79 EA 2 M 15 F 2 h 1 = 24 EI+79 EA 2 m 0 = 0 m 1 = 0 m 2 = 15 EA F 24 EI EA EI 2 5 EA F 2 m = 48 EI EA EI 2 n 0 = n 1 = 0 Ne segue che gli spostamenti assiali sono diversi da zero solo sul pendolo, laddove sono nulli gli spostamenti trasversali. e linee elastiche sono fornite da: v 1 Hx = F I EI+8 EA 2 M x I 2 x 2 M EI I24 EI+79 EA 2 M v 2 Hx = F I EI+8 EA 2 M x I2 2 + x 5 x 2 M EI I24 EI+79 EA 2 M v Hx = F I EI+8 EA 2 M x I x 4 x 2 M EI I24 EI+79 EA 2 M (229) v 5 Hx = 5 EA F 2 H6 x x 2 2 EI I24 EI+79 EA 2 M w 4 Hx = 5 F 2 I EI +8 EA EI x M EI I24 EI+79 EA 2 M e le caratteristiche della sollecitazione interna, per successive derivazioni, sono :

42 a linea elastica e le strutture a telaio.nb 15 EA F 2 N 4 Hx = 24 EI+79 EA 2 M 1 Hx = 2 F I EI+8 EA 2 M x 24 EI+79 EA 2 T 1 Hx = 2 F I EI+8 EA 2 M 24 EI+79 EA 2 M 2 Hx = 2 F I EI+8 EA 2 M H 5 x 24 EI+79 EA 2 T 2 Hx = 10 F I EI+8 EA 2 M 24 EI+79 EA 2 M Hx = 8 F I EI+8 EA 2 M H x 24 EI+79 EA 2 T Hx = 8 F I EI+8 EA 2 M 24 EI+79 EA 2 M 5 Hx = 15 EA F 2 H 2 +x 24 EI+79 EA 2 T 5 Hx = 15 EA F 2 24 EI+79 EA 2 Se si vuol trascurare la deformabilita' assiale, non resta che far tendere EA all' infinito, ottenendo: v 1 Hx = 8 F x I 2 x 2 M 27 EI v 2 Hx = 8 F x I 2 2 x + 5 x 2 M 27 EI v Hx = 8 F x I x 4 x 2 M 27 EI v 5 Hx = 5 F H6 x x EI (21) w 4 Hx = 40 F 79 EI per quanto riguarda le linee elastiche, e : N 4 Hx = 15 F 79 M 1 Hx = 16 F x 79 T 1 Hx = 16 F 79 M 2 Hx = F H 5 x

43 26 - a linea elastica e le strutture a telaio.nb 529 T 2 Hx = 80 F 79 M Hx = F H x T Hx = F M 5 Hx = 15 T 5 Hx = 15 F 79 F H2 x 79 Il diagramma degli spostamenti e' riportato in Figura 26 : F A B C D G E Figura 26 - Gli spostamenti per il telaio di Figura 2 à Programma Figure