Omotopia, forme chiuse e esatte

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1 Omotopi, forme chiuse e estte Per curv intenimo un curv orientt regolre trtti. Dt un curv enoteremo con l curv ottenut cmbino orientzione, si h ω = ω per ogni form ω (1) Due curve, tli che il punto finle i coincie con quello inizile i si possono conctenre, l curv cosi ottenut si enot con + e si h ω = ω + ω per ogni form ω. (2) + Theorem.1. Si ω = i ω i(x) x i un form chius continu e A R N un perto connesso. ω è estt se e solo se ω = per ogni curv chius con supporto contenuto in A. (3) Proof. Consierimo scontto che l esistenz i un primitiv implic (3). Mostrimo che se vle (3) llor ω mmette primitiv in A. Fissimo rbitrrimente un punto x A e enotimo con x l vribile corrente in A. Dto che A è perto connesso esistono elle curve con supporto contenuto in A che collegno x x. Se è un i tli curve, efinimo un funzione u in A trmite u(x) = ω. L efinizione è ben post nel senso che non ipene ll prticolre curv scelt tr x e x. Se inftti ξ fosse un ltr curv contenut in A con punto inizile x e finle x vremmo che ξ = +( ξ) è un curv chius contenut in A cosicchè, sfruttno (1), (2) e l ipotesi ω ω = = Dto v R N h >, efinimo ξ ξ h (t) = x + tv t [, h] si h per (2) e per il Teorem el vlor meio integrle, si ricori che ω è continu u(x + h v) u(x) + lim = lim h ω ω 1 = lim ω h + h h + h h + h h 1 = lim h + h 1 h ω(x + t v)(v) t = ω(x)(v).

2 In prticolre, poneno v = e i, i = 1,, N, si h x i = ω i (x) per ogni i, quini, to che per ipotesi ω è continu, u h tutte le erivte przili continue e per il Teorem el ifferenzile totle è i clsse C 1 in A con ifferenzile ugule ω. In ltri termini u è un primitiv i ω. Questo conclue l imostrzione. Definition.2. Un perto A si ice stellto con centro x se (1 t) x + t x A per ogni x A. È chiro che ogni perto stellto è connesso e ogni perto convesso è stellto con centro un qulsisi elemento ell insieme. Theorem.3. Si A un perto stellto. Ogni form chius in A è estt. Proof. Possimo supporre che, meno i trslzioni, il centro ell stell si. Dt ω chius in A e x A, efinimo e (t) = t x per t [, 1] u(x) = ω = 1 ω(t x)(x) t. Applicno il teorem i erivzione sotto il segno integrle, ottenimo Du(x) = 1 [ω(t x)(x)] t, x utilizzno le regole i erivzione i funzioni composte, bbimo [ω(t x)(x)] = t Dω(t x)(x) + ω(t x). x Riconoscimo che l espressione i sopr è l erivt rispetto t i t t ω(t x), e utilizzno il teorem fonmentle el clcolo per funzioni reli i vribile rele, possimo scrivere Du(x) = 1 Questo conclue l imostrzione. t [t ω(t x)] t = [t ω(t x)]1 = ω(x). 2

3 Definition.4. Si A R N un perto connesso, [, b] un intervllo rele, ue curve e 1 prmetrizzte in [, b], con sostegno contenuto in A e soisfcenti () = 1 (), (b) = 1 (b), si icono omotope in A se esiste un funzione continu, ett omotopi soisfcente H : [, 1] [, b] A i) t H(s, t) è un curv per ogni s [, 1]; ii) t H(, t) è ugule, t H(1, t) è ugule 1 ; iii) H(s, ) = () = 1 () e H(s, b) = (b) = 1 (b) per ogni s. L efinizione si à nche per, 1 curve chiuse mnteneno le conizioni i), ii), e sostitueno iii) con iii ) H(b, s) = H(, s) o, equivlentemente, t H(s, t) è un curv chius, per ogni s. Il prossimo teorem, etto Teorem i Omotopi, è il risultto centrle ell teori, vle per qulsisi omotopi continu. Noi ne remo qui un versione semplifict supponeno che l omotopi si i clsse C 2. Theorem.5. Si A un perto connesso i R N e ω un form chius i clsse C 1,, 1 ue curve omotope in A con un omotopi H : [, 1] [, b] A i clsse C 2, o con gli stessi punti inizili e finli oppure chiuse, llor ω = ω. 1 Proof. Denotimo con s, per s [, 1], l curv t H(s, t), efinit in [, b]. Ponimo b J(s) = ω = ω( s (t))( s (t)) t s b ( ) = ω(h(s, t)) H(s, t)) t s [, 1], t per il teorem i erivzione sotto il segno integrle l funzione J è erivbile e si h b [ ( )] J (s) = ω(h(s, t)) H(s, t) t. (4) s t Clcolno l erivt nell formul i sopr trmite le usuli regole i erivzione ottenimo (Dω(H(s, t)) s ) ( ) ( ) H(s, t) H(s, t) + ω(h(s, t)) H(s, t) (5) t s t 3

4 utilizzno il ftto che Dω è simmetric, to che ω è chius, e l commuttività elle erivte secone miste i H, ovut ll su regolrità C 2, ottenimo che (5) ugugli (Dω(H(s, t)) t ) ( ) ( H(s, t) H(s, t) + ω(h(s, t)) s t ) H(s, t). s Riconoscimo per verific irett che quest espressione non è ltro che [ ( )] ω(h(s, t)) H(s, t) t s per cui ottenimo (4), pplicno il teorem fonmentle el clcolo per funzioni reli i vribile rele b [ ( )] [ ( )] b J (s) = ω(h(s, t)) H(s, t) t = ω(h(s, t)) H(s, t). t s s Nel cso 1, 2 bbino stessi punti inizili e finli, l conizione iii) ell efinizione i omotopi implic s H(s, ) = H(s, b) = per ogni s [, 1], (6) s nel o 1, 2 sino curve chiuse, bbimo per iii ) H(s, ) = H(s, b) Ricvimo si (6) si (7) e s H(s, ) = H(s, b) per ogni s [, 1]. (7) s J (s) in [, 1], cui si ottiene l tesi, tenuto conto ell efinizione i J. Definition.6. Un perto connesso A R N si ice semplicemente connesso se ue qulsisi curve prmetrizzte nello stesso intervllo, venti gli stessi punti inizili e finle e con supporto contenuto in A sono omotope tr i loro o equivlentemente ogni curv chius con supporto contenuto in A è omotop un curv costnte, cioè con supporto costituito un punto. Theorem.7. Ogni form chius efinit su un insieme semplicemente connesso A è estt in A. 4

5 Proof. Si ω un form chius in A e un qulsisi curv chius con supporto contenuto in A, per efinizione i insieme semplicemente connesso è omotop un curv costnte e per il Teorem.5 ω = ω =. In efinitiv l integrle i ω su ogni curv chius è nullo, m quest è conizione necessri e suffciente per l esistenz i un primitiv in bse ql Teorem.1. In ltri termini, ω è estt in A, come si volev imostrre. Antonio Siconolfi, Diprtimento i Mtemtic, Università i Rom L Spienz. 5

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