Proprietà dei linguaggi non contestuali

Transcript

1 Proprietà dei linguaggi non contestuali

2 Argomenti della lezione Pumping lemma per i linguaggi non contestuali Proprietà di chiusura

3 Argomenti della lezione Grammatiche non contestuali in forma ridotta Forme normali

4 I linguaggi non contestuali sono generati da grammatiche di Chomsky di tipo 2 Molte frasi in linguaggio naturale hanno una struttura sintattica non contestuale

5 La Forma di Backus-Naur, usata per descrivere la sintassi dei linguaggi di programmazione, è di tipo noncontestuale

6 "Pumping lemma" per i linguaggi non contestuali Analogo al pumping lemma per i linguaggi regolari Basato sulla presenza di stringhe che presentano qualche forma di simmetria

7 "Pumping lemma" per i linguaggi non contestuali Se un linguaggio non lo soddisfa esso non è di tipo 2

8 Teorema Se L è un linguaggio non contestuale allora esiste una costante n tale che se z L e z n allora esistono u,v,w,x,y tali che uvwxy = z

9 Teorema vx 1 vwx n i 0 uv i wx i y L

10 Esempio di applicazione {a n b n c n n 1} non è di tipo 2 Sia a n b n c n =uvwxy= z

11 Se v (oppure x) contiene almeno due simboli diversi (es. v = ab) allora le stringhe uv i wx i y contengono un'alternanza di simboli incompatibile con a n b n c n (es. u(ab) i wx i y)

12 Se v ed x sono composte da simboli tutti uguali fra loro (es. v=aa e x=cc) allora le stringhe uv i wx i y contengono un numero diverso di a, b e c

13 Teorema Data una grammatica non contestuale possiamo decidere: se essa genera il linguaggio vuoto o no se essa genera un linguaggio finito o infinito

14 Proprietà di chiusura dei linguaggi non contestuali

15 Teorema I linguaggi non contestuali sono chiusi rispetto all unione, alla concatenazione ed all iterazione

16 Dimostrazione Siano <Σ,V N1,P 1,S 1 > e <Σ,V N2,P 2,S 2 > due grammatiche non contestuali che generano i linguaggi L 1 ed L 2

17 Unione Aggiungiamo S' S 1 S 2 e usiamo S' come nuovo assioma; otteniamo un linguaggio non contestuale che genera l'unione dei due linguaggi L 1 ed L 2

18 Prodotto Aggiungiamo S' S 1 S 2 e usiamo S' come nuovo assioma; otteniamo un linguaggio non contestuale che genera il prodotto dei due linguaggi L 1 ed L 2

19 Iterazione Aggiungiamo S' S 1 S' ε e usiamo S' come nuovo assioma; otteniamo un linguaggio non contestuale che genera l iterazione del linguaggio L 1

20 Teorema I linguaggi non contestuali non sono chiusi rispetto all'intersezione (e quindi neanche rispetto alla complementazione)

21 Dimostrazione I linguaggi L1={a n b n c m m,n 1} ed L2={a m b n c n m,n 1} sono entrambi di tipo 2 La loro intersezione è {a n b n c n n 1} che invece non è di tipo 2

22 Grammatiche non contestuali in forma ridotta

23 Se un linguaggio CF deve contenere la stringa vuota è necessario che essa possa essere generata da un non terminale A tal fine si prevede che le grammatiche CF ammettano anche ε-produzioni, cioè produzioni del tipo A ε

24 Le grammatiche in forma ridotta sono grammatiche in cui l uso delle ε-produzioni è regolato ed in cui, inoltre, sono eliminate alcune situazioni patologiche

25 Grammatica in forma ridotta è una grammatica che: non contiene ε-produzioni tranne che, se necessario, in corrispondenza dell assioma non contiene produzioni unitarie (es. A B)

26 Grammatica in forma ridotta è una grammatica che: non contiene simboli inutili cioè simboli che non sono mai utilizzati nella derivazione di una stringa del linguaggio

27 Teorema Data una grammatica non contestuale G esiste una grammatica equivalente in forma ridotta G che può essere ottenuta da G applicando un opportuno algoritmo

28 Esempi A B BcA d B ε b può essere trasformata in A ε b ca bca d e successivamente in A ε A A b ca bca d c bc

29 Esempi Se abbiamo la produzione unitaria U V e le produzioni V α β (α e β stringhe qualunque) possiamo trasformare la produzione unitaria in: U α β

30 Esempi Un simbolo è inutile se: da esso non si derivano stringhe di terminali, cioè il simbolo è non fecondo esso non è raggiungibile dall assioma

31 Ad esempio nella grammatica: S asb ab ab B Bc C c il simbolo B e inutile (è raggiungibile ma non fecondo) ed il simbolo C e inutile (è fecondo ma non raggiungibile)

32 Forma Normale di Greibach

33 Definizione Una grammatica di tipo 2 è in forma normale di Greibach (GNF) se tutte le produzioni sono del tipo A a β con β V N

34 La forma normale di Greibach ha varie applicazioni: permette di costruire l'automa a pila che riconosce il linguaggio permette di caratterizzare i linguaggi analizzabili in modo efficiente

35 Definizione Chiamiamo A-produzioni tutte le produzioni del tipo: A β 1 β 2... β n

36 Lemma (sostituzione) Data una grammatica G le cui produzioni includono A α 1 Βα 2 (α 1, α 2 V*) B β 1 β 2... β n

37 Lemma (sostituzione) e non esistono altre B-produzioni, essa è equivalente alla grammatica G' in cui la produzione A α 1 Β α 2 è sostituita con A α 1 β 1 α 2 α 1 β 2 α 2... α 1 β n α 2

38 Lemma (eliminazione della ricursione sinistra ) Le A-produzioni del tipo: A Aα 1... Aα m β 1... β n (nessuna delle β i inizia con A) possono essere sostituite con le produzioni A β 1 B... β n B β 1... β n B α 1 B... α m B α 1... α m

39 Teorema Data una grammatica G di tipo 2 tale che ε L(G) esiste una grammatica G' in GNF con L(G)=L(G')

40 L algoritmo che realizza la trasformazione alterna, in un opportuno ordine, passi di sostituzione e passi di eliminazione della ricursione sinistra.